矩阵资料

矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。

一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。

2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。

3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。

4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。

5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。

6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。

8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。

2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。

3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。

4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。

5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。

合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)标签：分类：工作篇校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。

两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。

传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。

由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。

根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。

如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。

因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。

如果设1的个数是p，-1的个数是q,那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，J 的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。

据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。

正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。

一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是no正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

参看相似矩阵参考资料北京人学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A 是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A 的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。

矩阵分析报告1. 引言矩阵是数学中的重要概念，在众多领域中都有着广泛的应用。

本篇报告旨在介绍矩阵分析方法，并通过一个实际案例来展示其应用。

2. 矩阵基础知识2.1 什么是矩阵矩阵是由按照长方阵列排列的数所组成的矩形阵列。

矩阵由行和列组成，通常表示为一个大写字母，如A。

一个矩阵的大小可以用行数和列数来表示，例如m行n列的矩阵可以写作A(m,n)。

2.2 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法等。

两个矩阵相加时，需要保证两个矩阵的大小相同；两个矩阵相乘时，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

2.3 矩阵的特殊类型矩阵可以分为方阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等不同类型。

方阵是行数等于列数的矩阵，对角矩阵是指除主对角线外，其余元素都为0的矩阵。

3. 矩阵分析方法3.1 矩阵的转置矩阵的转置是指行与列互换的操作。

如果矩阵A的大小为m行n列，那么它的转置矩阵记作A^T，大小为n行m列。

转置矩阵的主对角线元素与原矩阵相同。

3.2 矩阵的逆如果矩阵A的乘法逆矩阵记作A^-1，满足A * A^-1 = A^-1 * A = I，其中I为单位矩阵。

只有方阵才有逆矩阵，且不是所有的方阵都有逆矩阵。

3.3 矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为矩阵A的特征值，而x称为对应于特征值λ的特征向量。

4. 案例分析4.1 问题描述假设某公司的销售数据可以用一个矩阵来表示，其中每一行代表一个销售员，每一列代表一个产品的销售数量。

我们希望通过矩阵分析的方法，找出销售业绩最好的销售员。

4.2 解决方案1.将销售数据转置，得到以产品为行、销售员为列的矩阵B。

2.计算矩阵B的每一行的和，得到一个行向量C，表示每个产品的销售总数量。

3.找出向量C中的最大值，对应的索引即为销售业绩最好的产品。

4.根据索引找到对应的销售员。

5. 结论通过矩阵分析方法，我们可以快速找到销售业绩最好的销售员。