《微积分》第十一章 练习题

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

11.4 函数展开成幂级数 习题11.41. 求函数()co s f x x =的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于此函数。

解：因为()()co s co s 2n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()()00000co s 2co s co s co s 2!nn x fx x x x x x x x n ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-++-+ ⎪⎝⎭ 。

又因为()()()1co s 01!n n R x x x n ξ+=-→+，所以在整个数轴上()()()00000co s 2co s co s co s 2!nn x fx x x x x x x x n ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==++-++-+ ⎪⎝⎭ 。

2. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）;2xxe esh x --=解：()()()21!!,,.2221!nn x xn n n n x xe exn n sh x x n ∞∞-+∞===---===∈-∞+∞+∑∑∑（2）()()ln 0;a x a +>解：()()(]111ln ln ln 1ln ,,.n nnn x a x a a x x a a a n a-∞=-⎛⎫+=++=+∈- ⎪⎝⎭∑（3）2sin ;x 解：()()()21221co s 212sin 1,,.222!n nnn xxx x n -∞=-==--∈-∞+∞∑（4）()()1ln 1;x x ++解：()()()()()()(]112111ln 11,1,1.1n nnnn n x x x x x x x nn n -∞∞==--++=+=+∈--∑∑（5()()()()()()[]2211121!!21!!111,1,1.2!!2!!n nn nn nn nx x x x xn n∞∞+==⎛⎫--=+-=+-∈-⎪⎪⎝⎭∑∑3.将下列函数展开成()1x-的幂级数，并求展开式成立的区间：（1解：()()()()()()()()[]3222333113222111112!1325!!3111,0,2.22!nnnnnnnx x xnnx x xn∞=∞=⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-=+-+---=+-+-∈∑∑（3）lg x；解：()()()()(]11ln111lg1,0,2.ln10ln10nnnxx x xn-∞=+--==-∈∑4.将函数()co sf x x=展开成3xπ⎛⎫+⎪⎝⎭的幂级数。

第十一章自测题参考答案一、填空题： 1.()⎰Γ++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量2.()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量3.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰101,dy y x f dx ， ()⎰⎰-110,dy y x f dx ， 09.()⎰-Lds x x y x P 22,二、选择题：1.C2.C3.A4.A5.D 三、计算题：1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰Lds x 2=⎰Lds y 2=⎰Lds z 2，故⎰L ds x 2=()⎰++ds z y x 22231=3223223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=()[](){}⎰+---π20sin cos 1cos 12dt t t t()⎰+=π202sin sindt t t =π202sin 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+原式=()dxdy y z x z y x a y x D222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--++⎰⎰ =()⎰⎰--⋅--++Ddxdy yx a y x a y x a2222221注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰--Ddxdy yx a x 222=⎰⎰--Ddxdy yx a y 222=0，所以原式=⎰⎰Ddxdy a=2aa π⋅=3a π.4.解 利用高斯公式原式=()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 2其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知⎰⎰⎰Ωxdxdydz =⎰⎰⎰Ωydxdydz =0，所以，原式=⎰⎰⎰Ωzdxdydz 2=⎰⎰⎰+1222y x D zdz dxdy xy=()⎰⎰--xyD dxdy y x 221=()⎰⎰-12201ρρρθπd d=2412ππ=⋅5.解 原式=()()[]()⎰+--π202222sin cos 1cos 1dt t a t a t a=()⎰-π20253cos 12dt t a =⎰π20253sin 8dt at=du u a⎰π53sin 16=315256a 6.解 ()()()()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,,要使曲线积分与路径无关，当且仅当xQ y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x xe Cex f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 21-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.由于积分与路径无关，故选取有向折线________CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。

（本科）《微积分》第十一章 练习一、填空题1.级数∑∞=032)(n n的和为 。

32.设级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则=∞→n n u lim 13.级数∑∞=11n pn，当 时收敛。

1>p 4．设级数∑∞=1!2n nn 收敛，则=∞→!2lim n n n 。

0 5．设0>q ，正项级数∑∞=+0)2)(1(n n q n 收敛，则由比值判别法可确定出 21<q 6．若p 满足条件 ，则级数∑∞=-111n p n一定收敛。

2>p7．级数∑∞=+111n p n发散，则 0≤p 8．级数∑∞=-11n n ax（0≠a ）收敛的条件是 1||<x二、单项选择题1．若0lim =∞→n n u ，则常数项级数∑∞=1n nuDA .发散B .条件收敛C .绝对收敛D .不一定收敛 2．若0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu是_________________ DA .一定条件收敛B .一定收敛C .一定发散D .可能收敛可能发散3．级数 +⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+222131211n 是_______________ BA .幂级数B .-p 级数C .等比级数D .调和级数4．设0>q ，正项级数()()∑∞=+021n nq n 收敛，则由比值判别法可确定出__________ B A .2<q B .21<q C .2≤q D .21≤q5．下列级数中，收敛的级数是_______________ B A .∑∞=11n nB .∑∞=131n n C .∑∞=1321n n D .∑∞=11n n6．级数()∑∞=--111n n ，则前n 项部分和数列的极限为______________ DA .1B .－1C .0D .不存在7．下列级数中 ，发散的级数是_______________ BA .()∑∞=--1111n n n B .∑∞=+11001n n C .∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛154n nD .()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-111111n n n n 8．级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是_______________ CA .（－1 ，1）B .(]1,1-C .[)1,1-D .[]1,1-9．设级数∑∞=153n n n，则其和为_______________ BA .25B .23C .52D .35 10．若级数∑∞=+111n p n收敛，则_____________ BA .0≥pB .0>pC .0≤pD .0<p11．若正项级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1sin n nn u为_______________ BA .条件收敛B .绝对收敛C .发散D .敛散性未定 12．0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的_____________ BA .充分条件B .必要条件C . 充要条件D .无关条件13．下列级数中 ，发散的级数是_______________ AA .∑∞=12sin n n π B .∑∞=--111)1(n n n C .∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛143n n D .311∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 14．下列级数中，绝对收敛的级数是_______________ DA .∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-123)1(n nnB .∑∞=+1121n nC .∑∞=---111)1(n n n n D .∑∞=--1311)1(n n n15．下列级数中 ，发散的级数是_______________ C A .∑∞=131n n B .+++++321161814121 C . +++3001.0001.0001.0 D . -+-+-55443322535353535316．若已知级数∑∞=1n nu收敛，n S 是它的前n 项部分和，则它的和=∑∞=1n nuCA .n SB .n uC .n n S ∞→lim D .n n u ∞→lim17．若级数∑∞=1n nu（0≠n u ）收敛，则必有下列何式成立 AA .∑∞=11n nu 必发散 B .∑∞=1||n n u 必收敛 C .∑∞=+121)(n n u 收敛 D .∑∞=-1)1(n n n u 必收敛18．幂级数∑∞=-1!)1(n nnn x 的和函数是 DA .xe B .x arctan C .)1ln(x + D .x e -19．幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，2||<x 的和函数是 CA .x 211+B .x 211-C .x +22D .x-2220．幂级数∑∞=++11)1ln(n nx n n 的收敛区间是____________ CA .（－1 ，1）B .(]1,1-C .[)1,1-D .[]1,1-21．若任意项级数∑∞=1n nu发散，则一定有 CA .对∑∞=1n nu 加括号后所成级数收敛 B .对∑∞=1n nu加括号后所成级数发散 C .对∑∞=1n nu加括号后所成级数的收敛性不定 D .对∑∞=1n nu，0lim ≠∞→n n u22．下列级数中 ，发散的级数是_______________ DA .∑∞=123n n B .∑∞=--111)1(n n n C .∑∞=+1312n n n D .∑∞=+13)1(1n n n23．级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是 CA .0lim =∞→n n uB .1lim1<=+∞→r u u nn nC .n n S ∞→lim 存在（n n u u u S +++= 21）D .21nu n ≤ 24．幂级数∑∞=---115)1()1(n n n n x 的收敛区间是____________ BA .)2,0(B .]2,0(C .)2,0[D .]2,0[25．幂级数∑∞=1!n nn x （+∞<<∞-x ）的和函数是 BA .xe B .1-x e C .1+x e D .x-1126．下列级数中，收敛的级数是_______________ CA .++++144133122111 B . +++++957453321 C . ++++++)9861()9861()9861(333222 D . ++++7161514127．级数∑∞=-1)1(n nnu 满足何条件时，该级数必收敛 DA .01lim =∞→nn u B .∑∞=1n n u 发散 C .∞=∞→n n u lim D .n u 单调增加且+∞=∞→n n u lim28．幂级数∑∞=-02!)1(n nn n x （+∞<<∞-x ）的和函数=)(x f AA .2x e- B .2x e C .2x e-- D .2x e -29．函数xx f -=31)(在1=x 处展成的泰勒级数是 A A .∑∞=+-012)1(n n n x （31<<-x ） B .∑∞=+012n n nx （11<<-x ） C .∑∞=-02)1(n nn x （31<<-x ） D .∑∞=02n n nx （11<<-x ） 30．幂级数∑∞=-1)3(n nx 的收敛区间是____________ BA .)1,1(-B .)4,2(C .)4,2[D .]4,2(31．级数∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛0152n n 的和=S _______________ DA .23B .35C .52D .32 32．幂级数∑∞=-1)2(n nx 的收敛区间是____________ BA .)1,1(-B .)3,1(C .)3,1[D .]3,1(33．幂级数∑∞=-02!)1(n nn n x 的和函数是 AA .2x e- B .xe2- C .2cos x D .2sin x34．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中，一定收敛的是 DA .∑∞=+1)(n na u（10<≤a ） B .∑∞=1n n u C . ∑∞=11n nu D .∑∞=-1)1(n n n u35．下列级数中，条件收敛的级数是_______________ BA .∑∞=+-11)1(n nn n B .∑∞=-11)1(n n n C .∑∞=-1221)1(n n D . ∑∞=11n n 36．幂级数120)!12()1(+∞=∑+-n n n x n 的和函数是 AA .xe B .x cos C .)1ln(x + D .x sin 37．若级数∑∞=+111n p n发散，则_____________ AA .0≤pB .0>pC .1≤pD .1<p38．下列级数中，收敛的级数是_______________ BA .∑∞=+11n n n B .∑∞=+111n n n C .∑∞=+1)1(21n n D . ∑∞=+111n n39．幂级数∑∞=+-1]32)1([n nn n n n x x 的收敛半径是____________ BA .2B .31C .21D .340．下列级数中 ，发散的级数是_______________ BA .∑∞=121n n B .∑∞=11cos n n C .∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛131n n D .∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛1132n n41．幂级数∑∞=--23)3(n nnn x 的收敛域是____________ B A .]4,2[ B .]4,2( C .)4,2(- D .)4,2(42．幂级数∑∞=+122n nn x n 的收敛半径=R ____________ CA .1B .2C .21D .∞43．若级数∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nau（0≠a ） AA .一定发散B .可能收敛，也可能发散C .0>a 时收敛，0<a 时发散D . 1||<a 时收敛，1||>a 时发散三、分析题1．判别级数∑∞=-+-111)1(n n n n的敛散性（绝对收敛）2．判别级数∑∞=+-+-1121)13(3)1(n n n n 的敛散性（绝对收敛）3．判别级数∑∞=-+-1111000)1(n n n n的敛散性（发散）4．讨论级数∑∞=+111n na在10<<a ，1=a 和1>a 三种条件下的敛散性 5．设0>p ，讨论p 为何值时，级数∑∞=+--111)1(n n n np 收敛 6．判定级数∑∞=+-1314)1(n n n n 的敛散性，并指出是否绝对收敛。

高等数学下册第十一章习题答案详解1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0LP x y x =⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：(,)d (,0)d bLaP x y x P x x =⎰⎰,其中(),P x y 在L 上连续.证：L ：0x xa xb y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d bLaP x y x P x x =⎰⎰3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）22()d Lxy x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）d Lxy x ⎰，其中L 为圆周()222x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3）d d Ly x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π2的一段弧； （4）22()d ()d Lx y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）2d d d x x z y y z +-⎰Γ,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0到π的一段弧；（6） 322d 3d ()d x x zy y xy z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；（7）d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里AB C 、、依次为点1,0,0（）、010（，，）、(001)，，；（8）22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x xz y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415L x xy x y xy yx x x x x x x xxx x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4. 计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 分别是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； （4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由(,0)a 沿椭圆移动到0,Bb （）,求力所做的功. 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π222022d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t t k b a t tk b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6. 计算对坐标的曲线积分：（1）d xyz z ⎰Γ,Γ为2221x y z ++=与z y =相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ卦限；（2）222222(-)d ()d ()d y z x z x y x y z +-+-⎰Γ,Γ为2221x y z ++=在第Ⅰ卦限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分. 方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0222d cos sin sin cos d 2sin cos d 2sin 2d 21cos 4d 22πxyz z t t t t t t t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰⎰⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233yz x z x y x y zt t t t tt t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰ 习题11-31. 应用格林公式计算下列积分：（1）(24)d (356)d Lx y x x y y -+++-⎰,其中L 为三顶点分别为()()0,0,3,0和(32)，的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin e )d (sin 2e )d x x Lx y x xy x y x x x y y +-+-⎰,其中L 为正向星形线222333x y a +=0a >（）；（3）3222(2cos )d (12sin 3)d Lxy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22πx y =上由点0,0（）到点π,12⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧； （4）22()d (sin )d Lxy x x y y --+⎰,其中L 是圆周22y x x =-上由点0,0（）到()1,1的一段弧；（5）(e sin )d (e cos )d x x Ly my x y m y -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(),0a 到0,0（）经过圆22x y ax +=上半部分的路线（a 为正数）.图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y+-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x ， 则2cos 2sin 2e x P x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e x Qx x x x y x∂=+-∂．从而P Qy x∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d dcos2sin e sin2ed d++--∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰x xLDx yx y x xy x y x x yQ Px yx y(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cos x，Q=1-2y sin x+3x2y2262cosPxy y xy∂=-∂，262cosQxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d0L OA AB DQ PP x Q y x yx y-++∂∂⎛⎫-+==⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π2122001222d d d dd d d dππd d12sin3243d12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅⎪⎝⎭⎛⎫=-+⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L OA ABOA ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x yy yyy y(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BO DQ PP x Q y x yx y而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1∂=-∂Py ，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P x y 于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()22222211220011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LLBA OB P x Q y x yx y x y x y x yx y x y x y x y y x x y x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e x sin y -my ， Q =e x cos y -m ， e cos x P y m y ∂=-∂，e cos x Q y x ∂=∂ 由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L OA D DDQ P P x Q y x y x y m x ym x ya m m a +∂∂⎛⎫-+= ⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0e sin 00e cos08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰L OA a x x a m a P x Q y P x Q y m a xm m m a xm a2. 设a 为正常数，利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1） 星形线 33cos ,sin ;x a t y a t == （2） 双纽线 22cos2;r a θ= （3） 圆 22x y ax ++=解：(1) ()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t a t t t a t t t a tt t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得 cos cos 2x a θ=sin cos 2y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ． 于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为 cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin L A x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰ 3. 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： （1）(1,1)(0,0)()(d d )x y x y --⎰；（2）(3,4)2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-⎰；（3）(1,2)2(1,1)d d y x x yx +⎰沿在右半平面的路径； （4）(6,8)(1,0)⎰.证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q y x∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d x x y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy y y∂=-∂，2123Qxy y x∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xyy x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x ∂=∂，在右半平面内恒有P Qy x∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰(4) P =，Q ，且P Qy x∂∂==∂∂分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,0801529x y =+⎡=+⎣=⎰⎰⎰4．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(),u x y 的全微分，并求这样的一个函数(),u x y :（1）()()2d 2d x y x x y y +++；（2）22d d xy x x y +;（3）223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++（）（）； （4）222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-（）（）. 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q y x ∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()()()()(),0,0022022d d ,22d d 2222222x y xy yu x y x y x y x y x x yx y x y xy x y xy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Qx y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分． ()()(),20,02022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Qx xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分， ()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y xyyy y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y x y ∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x y x∂=-∂， 有P Qy x∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xyu x y x y x y y x y x x y x x yy x x y y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰5.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数。

《高等数学教程》第十一章 重积分 习题参考答案习题11－11.(,)DQ x y d μσ=⎰⎰.3.(1)0; (2)0; (3)124I =I4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I .5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤.习题11－2(A)1. (1)40(,)xdx f x y dy ⎰⎰或2404(,)yy dy f x y dx ⎰⎰；(2)12220122(,)(,)x xx x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰或2122122(,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰；(3)224(,)x xf x y dy -⎰或2402(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰.2. (1)42(,)x dx f x y dy ⎰⎰; (2)101(,)ydy f x y dx ⎰⎰;(3)1102(,)ydy f x y dx -⎰⎰; (4)1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰.3. (1)203; (2)32π-; (3)655; (4)6415; (5)1e e -- 4. (1)92； (2)21122e e -+.5. 335.6. (1)20(cos ,sin )bad f r r rdr πθθθ⎰⎰；(2)2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ--⎰⎰;(3)1(cos sin )20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ-+⎰⎰;(4)3sec tan cot 444(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθθπθθθθθθ+++⎰⎰⎰⎰sec tan 304(cos ,sin )d f r r rdr πθθπθθθ+⎰⎰;7. (1)sec csc 4402(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰;(2)23cos 04()d f r rdr πθπθ⎰⎰;(3)1210cos sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰; (4)sec 40sec tan (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθθ⎰⎰.8. (1)434a π; 1. 9. (1)2364π; (2)(2ln 21)4π-; (3)34()33R π-; (4)a .10. 4332a π.习题11－2(B)1. (1)12(,)yydy f x y dx -⎰⎰; (2)110(,)dy f x y dx ⎰；(3)1012111(,)(,)(,)xf x y dy dx f x y dy dx f x y dy --++⎰⎰⎰⎰⎰;(4)0242(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+⎰⎰⎰.2. (1)0; (2)430; (3)8)3(4)1sin1-. 3. (1)2sec 41arctan4(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰;(3)4cos 202cos (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰;4. (1)38π; (2)52π.5. (1)2π; (2)49-(3)22π-; (4)414a ; (5)2π.6. (1)232a π; (2)22a ; (3)232π-.7. (1)43π; (2)7ln 23; (3)12e -; (4)2ab π. 8. 6π.习题11－3(A)1. (1)22111(,,)x y dx f x y z dz -+⎰⎰;(2)2221212(,,)x x y dx f x y z dz --+⎰⎰;(3)2211(,,)x y dx f x y z dz -+⎰;(4)1111(,,)dx f x y z dz -⎰⎰.2.32; 3. 15(ln 2)28-; 4.21162π-; 5. (1)1(1)e π--; (2)712π; (3)163π; (4)289a . 6. (1)45π; (2)476a π; (3)552()15R a π-; (4)1330π.7. (1)18; (2)8π; (3)10π; (4)ln 3ln 2)3π-. 8. 4k R π习题11－3(B)1. (1)(,,)aa dx f x y z dz -⎰;200(cos ,sin ,)ad rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰;2220sin (cos sin ,sin sin ,cos )ad d f d ππθϕϕρθϕρθϕρϕρρ⎰⎰⎰；(2)11(,,)dx f x y z dz -⎰;21(cos ,sin ,)rd rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰;2240sin (cos sin ,sin sin ,cos )d d f d ππθϕϕρθϕρθϕρϕρρ⎰⎰.(3)2211(,,)x y dx f x y z dz +-⎰⎰;2200(cos ,sin ,)rr d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰;2csc 220csc cot 4sin (cos sin ,sin sin ,cos )d d f d ππϕπϕϕθϕϕρθϕρθϕρϕρρ⎰⎰⎰;2.222241()3x y x y f dz --+⎰;2224103r rd f dz πθ-⎰⎰,6π3.2020Rd rdr dr πθI =⎰⎰⎰; 23402sin Rd d d πππθϕϕρρI =⎰⎰⎰, 5415R π. 4. (1)835; (2)2845; (3)0; (4)559480R π. 5. 336π; 6. π; 7. 45π.习题11－4(A)1.2.1)6π.3. 22(2)R π-.4.320. 5. (1)0033(,)58x y ; (2)4(0,)3bπ; (3)22(,0)2()a ab b a b +++. 6. (1)34y a b πI =; 220()4ab a b πI =+(2)725x I =, 967y I =;(3) )33x ab I =, 33y a bI =;7. (1)3(0,0)4; (2)44333()(0,0,)8()A B A B --; (3)2227(,,)5530a a a .8. (1)483a ; (2)27(0,0,)60a ; (3) 611245a .9. 649k R π.习题11－4(B)1. .2. 3535(,)4854.3. .4.44()32b a πρ-.5. 43512a π.6. 368105ρ. 7. (0,0,54a ).8.222(3)12a h a h π+. 9. 2432;327r R R π=.10. 2(lnx F G μ=;0y F =; z F Ga πμ=.11. 0x y F F ==; 2)z F G h πρ=-.总复习题十一一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A 二、1.(1)()x f x -;2.(1,1)y y --;3.54π;4.41(1)2e --; 5.42211()4R a bπ+. 三、1.2409π-；2.314()33R π-； 3.0; 4.2503π;5. 2(,)(,)f x y dx f x y dx +-22(,)(,)f x y dx f x y dx -.6. 42π-.7.212A . 8. 8π.9. 5144. 10. 以球心O 及0P 的连线作为x 轴正方向建立直角坐标系质心：(,0,0)4R-。