人教版高中数学必修一集合1.2 子集.ppt

( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；

拓展探究:
满足 A1,2,3 的集合 A 的个数
是多少？
改造条件，生成问题,解决问题
对课后作业的反思：
习题．满足 A1,2,3,4,5， 且若 x A ，
则 6xA， 问非空集合 A 的个数为多少？
反思条件，确定方向，判断可能性,生成问题
对课后作业的反思：
习题．满足 A1,2,3,4,5， 且若 x A ，
身体健康， 知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
在等待的日子里，刻苦读书，谦卑做人，养得深根，日后才能够枝叶茂盛。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 最好的教育是以身作则。孩子们对谎言或虚伪非常敏感，极易察觉。如果他们尊重你依赖你他们就是在很小的时候也会同你合作。——甘地夫 人 过去一切时代的精华尽在书中。——卡莱尔 只有想不到的事，没有做不到的事。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越来 越多，人生也就越来越好！ 不要太肯定自己的看法，这样子比较少后悔。 记住：你是你生命的船长，走自己的路，何必在乎其它。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。 内外相应，言行相称。——韩非 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。
谢谢同学们! 欢迎老师指正！
在人生征途中有许多弯路小路险路暗路，只有意志坚定且永不停步的人，才有希望到达胜利的远方。 友谊的最大努力并不是向一个朋友展示我们的缺陷，而是使他看到自己的缺陷。
一棵小草，也许永远不能成为参天大树，但它可能做最绿最坚强的小草；一滴水，也许永远不能像长江大河一样奔腾，但它可以成为所有水中 的最纯的那一滴 志不立，天下无可成之事。

阶 段 1
1．2 子集、全集、补集 第1课时 子集、真子集
阶 段 3
阶 段 2

学 业 分 层 测 评
1．理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系． (重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点) 3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)
[基础· 初探] 教材整理1 子集的概念及其性质 阅读教材P8开始至例1，完成下列问题． 1．子集
集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．
【解析】 ∵x2－1＝0，∴x＝± 1，∴A＝{1，－1}． 显然A B.
【答案】 A B
[小组合作型]
集合关系的判断
指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}； (5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．
探究2若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x<1}，则M⊆N成立吗？ 【提示】 不成立，因为1∈M但1∉N，故M⊆N错误．
探究3 集合M＝{x|2a<x<a＋1}可能是空集吗？此时a应满足什么条件？ 【提示】 M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A，求 实数m的取值范围．
【精彩点拨】 讨论集合B→列关于m的不等式(组)
→求m的取值范围

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三、教师点拨
1.集合的相等
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三、教师点拨
2.真子集定义
一般地，若集合A中的元素都是集合B的元素， B中至少有一个元素不属于A。我们称集合A是 集合B的真子集。记作：
AÞ B
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三、教师点拨
2.真子集定义
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三、教师点拨
3.子集定义 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 那么，集合A就叫做集合B的一个子集．记作：
A B
说明：(1)子集包含相等与真子集两种情况， 任何一个集合都是它自身的子集； （2）空集是任何集合的子集，包括它本身；
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பைடு நூலகம்
三、教师点拨
3.子集的定义
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四、课堂小结
（1）集合相等定义 （2）真子集的定义 （3）子集的定义 （4）体会类比发现新结论与数形结合的思想
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自主探究 时间15分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨
1.集合的相等
一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素， 反过来集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们 就说集合A等于集合B。记作：
AB
这里的符号“＝”是借用了数学中的等号，它表示两 个集合中的元素完全相同 ( 即两个集合中的元素个数 相等且相应的元素都相同)．
标题
§1.1.2集合间的基本关系
§1.1.2集合间的基本关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景 山东人组成的集合为A,中国人组成的集 合为B, 某人说:“我是一个山东人”，
那我们马上能反应出这个人也是一个中 国人，集合A与集合B有什么关系呢？

【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={
=-3或2，解得m= 或 .
1 1, ∴a a≤-2.…………………………11分
2

a

1,
a 0, 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合 为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0, ＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
1.空集：指的是_____不__含__任__何_的元集素合，记作__，并规定： ∅
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C子,那集么_____. A⊆A
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1)× (2)√ (3)×

两集合的相等关系
已知集合A＝{x，2x}，B＝{y，y2}，若A＝B，求实 数x与y的值． (链接教材P7练习T5)
[解] 因为{x，2x}＝{y，y2}，
所以，(1)x2＝x＝y，y2，解得xy＝＝00，，(舍去)或xy＝＝22，，
(2)x2＝x＝y2y，，解得xy＝＝00，，(舍去)或
x＝14， y＝12.
透相对的观点.
1.子集的概念及表示 自然 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若 语言 a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 符号 A⊆B或B⊇A，读作“集合A__包__含__于__集合B”或 语言 “集合B__包__含___集合A” 图形 A⊆B可以用Venn图表示为 语言
2.真子集 如果__A_⊆__B_，并且_A_≠__B__ ，那么集合A称为集合B的真子集， 记为A B或B A,读作“A _真__包__含__于___B”或“B真__包__含__A”． 3.子集、真子集的性质 (1)任何一个集合A是它本身的__子__集__，即_A__⊆_A__ ． (2)空集是任何集合的_子__集___，是任何非空集合的_真__子__集_．
1.用适当的符号表示下列各题中集合之间的关系： (1)A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (2)A＝{x|x 是等腰三角形}，B＝{x|x 是等边三角形}； (3)A＝{x|y＝ x＋3，y∈R}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}．
解：(1)B⃘A 且 A⃘B. (2)等边三角形一定是等腰三角形，故 B A. (3)使 y＝ x＋3，y∈R 有意义的 x 值为 x≥－3，所以 A ＝{x|x≥－3，x∈R}．而对 x∈R，有 y＝x2＋1≥1，所以 B＝{y|y≥1，y∈R}，故 B A.

[微体验] 1．思考辨析 (1)空集可以用表示．( ) (2)空集中只有元素0，而无其余元素．( ) 答案 (1)× (2)×
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x＞4}
解析 满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x|x＞8，且x＜5}＝∅. 答案 B
答案 C B A
课堂互动探究
探究一 集合关系的判断
例 1 (1)已知集合 M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合 M 与 N 的关系是( )
A．M＝N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．N M
C．M N
D．N⊆M
解析 解方程 x2－3x＋2＝0 得 x＝2 或 x＝1，则 M＝{1,2}，
因为 1∈M 且 1∈N,2∈M 且 2∈N，所以 M⊆N.
探究二 子集、真子集问题
例 2 已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，写出满足 A⊆C⊆B 的集合 C 的所有可能情况．
解 由 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}， 又因为 A⊆C⊆B，即{1,2}⊆C⊆{1,2,3,4,5}， 所以 C 中至少含有元素 1,2，故 C 的所有可能情况是： {1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共 8 个．
A．M⊆P
B．P⊆M
C．M＝P
D．M，P互不包含
解析 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含． 答案 D

高中数学
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2

1．∈，∉用在元素与集合之间，表示从属关 系；⊆，(或 )用在集合与集合之间，表示包含(真 包含)关系．
2．a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素， 而{a}表示只有一个元素的一个集合，我们常称之为 单元素集.1∈{1}，不能写成1⊆{1}．
3．关于空集∅：空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限集又不是无限集，不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集}＝∅.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.1.2集合间的基本关系
冠县一中 姚增珍
2012.9.7
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给 定集合的子集．
2．在具体情境中，了解空集的含义．
自学导引
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 _任__意__一__个__元素都是集合B中的元素，我们就说这两 个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 _A_⊆__B_(或_B__⊇_A_)，读作“_A_含__于__B_”(或“_B_包__含__A__”)．
误区解密 因忽略空集而出错
【例4】设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋ 3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A．{a|1≤a≤3}B．{a|a>3} C．{a|a≥1}D．{a|1<a<3}
错解：∵B⊆A，∴2aa＋≥32≤6 ， 解得 1≤a≤3，故选 A.
错因分析：空集是任何集合的子集，忽视这一 点，会导致漏解，产生错误结论．对于形如 {x|a<x<b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解 题中要引起注意．
解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集 合与集合的关系．
易知a∈{a，b，c}； ∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集， 故∅＝{x∈R|x2＋1＝0}； ∵{x|x2＝x}＝{0,1}， ∴{0} {x|x2＝x}； ∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2. ∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4)＝

集合的基本概念（2）
• 观察如下一些集合： • (a) 集合 {1}、{2}、{3}、{1,2}、{2,3}、 {3,1}、{1,2,3} • (b) 以上这些集合与集合{1,2,3}、 {1,2,3,4}分别有什么关系？
• 结论：(a)中集合的元素都在(b)
中的集合之中。
1.子集：对于两个集合A和B，如果集 合A的任何一个元素都是集合B的元素， 那么集合A叫做集合B的子集。




练习三：用描述法写出集合如能 化简并化简为列举法的形式。
• 8.由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字 （没有重复）所排成的一切自然数。 • 答：{由数字1，3，6中抽出一部分或全部数 字（没有重复）所排成的自然数}={1，3，6， 13，31，16，61，36，63，136，361， 613，316，163，631}。 • 9.直角坐标系第二象限内所有的点的坐标。 • 答：{(x,y)│x<0,y>0}


• 包含、真包含关系具有传递性（1）如果 C.（2）如果 C，那么A A B，B A B，B C，那么A C. • 3.集合相等：对于集合A，B，C，如果 A B，B A，那么就说这两个集合相等。 记作 A = B.



例1写出集合{a}的所有
的子集及真子集 • 解：集合{a}的所有 的子集是φ，{a}，其 中φ是真子集.
10.写出方程组
• 答：方程组
x y 4 y z 5 z x 3
的解ห้องสมุดไป่ตู้。
x y 4 y z 5 z x 3
}
的解集为
•
• •
x y 4 {(x,y,z)│ y z 5 z x 3