北京市东城区(南片)2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

数学试卷（文科）一、选择题：(每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.下列程序语言中，哪一个是输入语句A. PRINTB. INPUTC. THEND. END3.如图所示，程序框图的输出结果为 A.43 B. 61 C. 1211 D. 2425【答案】A 【解析】4.某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为A. 12B. 13C. 14D. 156.平面⊥α平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线l ，α⊥l 且β⊥l B. 存在一个平面γ， γ∥α且γ∥β C. 存在一个平面γ，γ⊥α且γ⊥β D. 存在一条直线l ，α⊥l 且l ∥β7.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为 A.31 B. 32 C. 21 D. 418.已知双曲线14222=-y a x 的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A.43 B. 53 C. 423 D. 553二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分.）11.下列命题中，真命题的是 .①必然事件的概率等于l ②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题13.某几何体的三视图如图所示，其中正视图为正三角形，则该几何体的体积为 .为3，所以2234V Sh ==⨯=考点：空间几何体的三视图、表面积和体积的计算.14.设),(00y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF ⋅的最大值为 .三、解答题（本大题共5小题，其中第15、16题各8分，第17、18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分8分）在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率.考点：互斥与对立事件、概率问题.16.（本小题满分8分）对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m／s）的数据如下表.（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息?（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m／s）数据的平均数、中位数、方差，并判断选谁参加比赛更合适.17.（本小题满分9分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求三棱锥D－B1C1C的体积.考点：线面平行的判定定理、空间几何体的体积.18.（本小题满分9分）2013年某市某区高考文科数学成绩抽样统计如下表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（纵坐标保留了小数点后四位小数）（Ⅱ）若2013年北京市高考文科考生共有20000人，试估计全市文科数学成绩在90分及90分以上的人数；（Ⅲ）香港某大学对内地进行自主招生，在参加面试的学生中，有7名学生数学成绩在140分以上，其中男生有4名，要从7名学生中录取2名学生，求其中恰有1名女生被录取的概率.19.（本小题满分10分）己知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点A （2，0）在椭圆C 上，斜率为1的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点F（1，0），求线段MN的长；（III）若直线l过点（m，0），且以MN为直径的圆恰过原点，求直线l的方程.。

北京市东城区（南片） 2012-2013 学年放学期高二期末考试数学试卷（理科）本卷 100 分。

考120 分。

第一部分（共30分）参照公式：假如事件A、 B 互斥，那么P（ A+B）=P（A） +P（ B）。

假如事件 A、 B 互相独立，那么P（ A·B） =P（ A）·P（B）。

^^^若（ x1， y 1），⋯，（ x n， y n）本点，y =b x + a 回直，x= 1 n x i，y= 1 n y in i 1n i 1n n^( x i x)( y i y)x i y i n x y^^b =i 1n=i 1， a = y － b x 。

n(x i x) 2x i2n x2i1i 12 K =n(ad bc)2，此中 n=a+b+c+d 本容量(a b)(c d )(a c)(b d )一、共 10 小，每小 3 分，共 30 分。

在每小列出的四个中，出切合目要求的一。

1.函数 f（ x） =3x－x 3的增区是A. （0，+）B. （－，－1）C.（－1，1）D. （1，+）2.（ x+1）4的睁开式中 x 2的系数A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内，复数6+5i，－ 2+3i 的点分A，B。

若 C 段 AB 的中点，点 C 的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4.用数字 0， 1， 2， 3 成无重复数字的四位数，的四位数的个数A. 24B. 18C. 16D. 1215. (e x2x) dx =A. 1B. e－1C. eD. e+16.高二第二学期期中考，依据甲、乙两个班学生数学考成秀和不秀人数后，获得2×2列表：随机量 K 2的班与成表优异 不优异总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N （ 0，1），若 P （ ≥1） =p ，则 P （－ 1< <0） =A. 1－ pB. pC. 1 +pD.1－ P228. 某游戏规则以下：随机地往半径为l 的圆内扔掷飞标，若飞标到圆心的距离大于1 ，2 则成绩为及格； 若飞标到圆心的距离小于1，则成绩为优异； 若飞标到圆心的距离大于1 且44小于 1，则成绩为优异，那么在全部扔掷到圆内的飞标中获得成绩为优异的概率为23 13D.1A.B.C.1616449. 从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名，分别从事 A ，B ，C ，D 四项不一样的工作，每人肩负一项。

2013-2014学年下学期期末高二数学试卷（理）（含答案）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集I ＝R ，若函数，集合M ＝{x|}，N ＝{x|}，则 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤32，2 B. ⎣⎡⎭⎫32，2 C. ⎝⎛⎦⎤32，2 D. ⎝⎛⎭⎫32，2 2.下列命题，正确的是（ ）A.若z ∈C ，则z2≥0B.若a ，b ∈R ，且a>b ，则a ＋i>b ＋iC.若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数D.若z ＝1i，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限 3.用数学归纳法证明,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 4.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S <<5.设Sn ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数 f(n)＝Sn ＋＋1 的最大值为( ) A.120 B.130 C.140 D.1506.若，且函数 在处有极值，则的最大值等于( )A.2B.3C.6D. 97. p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc· b m ＋d n(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )[来源:21世纪教育网]A ．p≥qB ．p≤qC ．p>qD ．不确定 8.观察式子：，， ，… ，则可归纳出式子为( ) A.( B. C. D.9.设函数的定义域为R,是的极大值点,则以下结论一定正确的是（ ） A.B.是的极小值点 [来源:21世纪教育网]C. 是的极小值点D.是的极小值点10.若 的最小值为（ ）A. B. C. D.11.已知函数6761)(3+-=x x f 在点处的切线方程为 则满足约束条件的点的可行域面积为 （ ） A. 6 B. 7C. 8 D ．9 12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。

2012-2013学年北京市某校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. i 是虚数单位，若复数z 满足z(2−i)=7−i ，则z 等于（ ） A.1+3i B.1−3i C.3−i D.3+i2. 甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是（ ） A.13 B.49C.427D.1273. 函数f(x)=1x 的图象在点（2, f(2)）处的切线方程是（ ）A.x −4y =0B.x −4y −2=0C.x −2y −1=0D.x +4y −4=04. 从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有（ ） A.9个 B.10个C.11个D.12个5. 设函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +2的导函数为f′(x)，若f′(x)为奇函数，则有（ ） A.a ≠0，c =0 B.b =0C.a =0，c ≠0D.a 2+c 2=06. 已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x 轴所围成的封闭图形的面积等于（ ）A.54 B.π2C.43D.327. 4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一起的概率是（ ） A.37B.314C.128D.1568. 已知函数f(x)=(1−ax )e x ，若同时满足条件：①∃x 0∈(0, +∞)，x 0为f(x)的一个极大值点； ②∀x ∈(8, +∞)，f(x)>0． 则实数a 的取值范围是（ ） A.(4, 8] B.[8, +∞) C.(−∞, 0)∪[8, +∞) D.(−∞, 0)∪(4, 8]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．(2√x √x)6的二项展开式中的常数项为________．（用数字作答）如果函数f(x)＝cos x ，那么f(π6)+f ′(π6)=________．已知某随机变量X 的分布列如下(p, q ∈R)：且X 的数学期望E(X)=12，那么X 的方差D(X)=________．已知函数y =x x +a的图象在x =0和x =√3处的切线互相平行，则实数a =________．有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有________种不同的组队方法．（用数字作答）设函数f n (x)=x n +x −1，其中n ∈N ∗，且n ≥2，给出下列三个结论： ①函数f 3(x)在区间(12, 1)内不存在零点；②函数f 4(x)在区间(12, 1)内存在唯一零点；③设xn (n >4)为函数f n (x)在区间(12, 1)内的零点，则x n <x n+1． 其中所有正确结论的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为13，12，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（2）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．设函数f(x)=2xx+1，且a 1=12，a n+1=f(a n )，其中n =1，2，3，…． （1）计算a 2，a 3，a 4的值；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数字归纳法加以证明．已知函数f(x)=e 2x−1−2x ． （1）求函数f(x)的单调区间；（2）设b ∈R ，求函数f(x)在区间[b, b +1]上的最小值．箱中装有4个白球和m(m ∈N ∗)个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和． （1）若P(X =6)=25，求m 的值；（2）当m =3时，求X 的分布列和数字期望E(X)．请先阅读：设平面向量a →=(a 1, a 2)，b →=(b 1, b 2)，且a →与b →的夹角为θ， 因为a →⋅b →=|a →||b →|cos θ， 所以a →⋅b →≤|a →||b →|．即a 1b 1+a 2b 2≤√a 12+a 22×√b 12+b 22， 当且仅当θ=0时，等号成立．（1）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，都有(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2≤(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)成立；（2）试求函数y =√x +√2x −2+√8−3x 的最大值．已知函数f(x)=12x 2−f′(2)x ，g(x)=ln x −12x 2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对于任意x ∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a 成立，求实数a 的取值范围；（3）设x 1，x 2>0，a 1，a 2∈[0, 1]，且a 1+a 2=1，求证：x 1a1x 2a2≤a 1x 1+a 2x 2．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市某校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】由题意求出复数z ，再分子分母同乘以2+i 后化简即可． 【解答】解：由z(2−i)=7−i 得， z =7−i 2−i=(7−i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+5i 5=3+i ，故选D ．2.【答案】 C【考点】n 次独立重复试验的结果 【解析】根据由题意可得，甲在前2个路口没有遇到红灯，概率都是23，第三个路口遇到红灯，概率等于13，根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果． 【解答】解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1−13=23， 那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427，故选C ． 3.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程． 【解答】解：求导函数，可得f′(x)=−1x 2∴ f′(2)=−14，f(2)=12∴ 函数f(x)=1x的图象在点（2, f(2)）处的切线方程是y −12=−14(x −2)，即x +4y −4=0故选D ． 4. 【答案】 B【考点】排列、组合的应用 【解析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论． 【解答】解：由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个 故选B ． 5.【答案】 D【考点】 导数的运算函数奇偶性的判断【解析】先求导数f′(x)，由f′(x)为奇函数可知f ′(x)=−f ′(−x)，故3ax 2+c 恒成立恒成立，所以a =c =0，由此得出答案． 【解答】解：函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +2的导函数为f′(x)=3ax 2+2bx +c ， ∵ 函数f′(x)=3ax 2+2bx +c 是定义在R 上的奇函数，∴ f ′(x)=−f ′(−x)，即3ax 2+2bx +c =−3ax 2+2bx −c ， ∴ 3ax 2+c 恒成立，a =c =0．即a 2+c 2=0． 故选D ． 6. 【答案】 C【考点】 定积分 【解析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求． 【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y =f(x)图象过点(−1, 0)，(1, 0)，(0, −1) 从而可知二次函数y =f(x)=x 2−1∴ 它与x 轴所围图形的面积为 ∫(1−1x 2−1)dx =(x 33−x) |−11=43．故选C ．7.【答案】 A【考点】等可能事件的概率 【解析】4名男生和4名女生随机地排成一行，总共有A 88种排列方法．由分步计数原理求出有且仅有两名男生排在一起的排法有A 42A 53A 44种，由此求得有且仅有两名男生排在一起的概率． 【解答】解：随机排成一行，总共有A 88种排列方法．任意从四个男生中挑选两个男生作为一个整体，有A 42种方法．然后往女生中插空，有A 53种排法，而女生的排法是A 44种方法，故有且仅有两名男生排在一起的排法有A 42A 53A 44种． 就可以得到 有且仅有两名男生排在一起的到概率为 A 42A 53A 44A 88=37，故选A ． 8.【答案】 A【考点】函数在某点取得极值的条件 导数求函数的最值 【解析】求导数，由①得到{a 2>0f(0)>0△=a 2−4a >0；由②∀x ∈(8, +∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8, +∞)上的最小值大于0即可， 分别解出不等式即可得到实数a 的取值范围为4<a ≤8． 【解答】解：由于f(x)=(1−ax )e x ，则f′(x)=(ax 2−ax +1)e x =x 2−ax+ax 2⋅e x令f′(x)=0，则x 1=a−√a 2−4a2，x 2=a+√a 2−4a2故函数f(x)在(−∞, x 1)，(x 2, +∞)上递增，在(x 1, x 2)上递减由于∀x ∈(8, +∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8, +∞)上的最小值大于0即可， 当x 2>8，即a >647时，函数f(x)在(8, +∞)上的最小值为f(x 2)=(1−ax2)e x 2>0，此时无解； 当x 2≤8，即a ≤647时，函数f(x)在(8, +∞)上的最小值为f(8)=(1−a8)e 8≥0，解得a ≤8．又由∃x 0∈(0, +∞)，x 0为f(x)的一个极大值点，故{a 2>0f(0)>0△=a 2−4a >0解得a >4；故实数a 的取值范围为4<a ≤8 故答案为A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．【答案】160【考点】二项式定理的应用 【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】 解：由于(2√x √x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(2√x)6−r ⋅(√x)−r =26−r ⋅C 6r ⋅x 3−r ．令3−r =0，求得r =3，故二项展开式中的常数项为 23⋅C 63=160， 故答案为160． 【答案】√3−12【考点】 求函数的值 函数的求值 导数的运算 【解析】根据解析式求出f(π6)和f′(x)，再求出f ′(π6)，代入f(π6)+f ′(π6)求解即可． 【解答】由题意知，f(x)＝cos x ， ∴ f(π6)=cos π6=√32，f′(x)＝−sin x ， ∴ f ′(π6)=−sin π6=−12 f(π6)+f ′(π6)=√3−12， 【答案】34【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】利用数学期望公式及概率的性质，求出p ，q ，再利用方差公式，即可得到结论． 【解答】解：∵ X 的数学期望E(X)=12，∴ {p +q =1p −q =0.5∴ p =34，q =14∴ X 的方差D(X)=(1−12)2×34+(−1−12)2×14=34 故答案为：34【答案】 −1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】由求导公式和法则求出导数，再把x =0、√3代入求出导数值，再根据直线平行的充要条件建立方程求a ． 【解答】解：由题意得，y′=x′(x 2+a)−x(x 2+a)′(x 2+a)2=−x 2+a (x 2+a)2，把x =0代入得，y′=1a，把x =√3代入得，y′=−3+a (3+a)2，由题意得，1a =−3+a (3+a)2，解得a =−1．故答案为：−1． 【答案】 90【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】从5男3女中先选2男1女，剩下3男2女中再选2男1女，但因为2个地震医疗小组并无区别，故无需排列，最后再除以A 22，即可得到不同的组队方法． 【解答】解：由题意，从5男3女中先选2男1女，剩下3男2女中再选2男1女，但因为2个地震医疗小组并无区别，故无需排列，最后再除以A 22，即不同的组队方法有C 52C 31C 32C 21A 22=90（种）故答案为：90 【答案】 ②③ 【考点】命题的真假判断与应用 函数的零点【解析】①确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证； ②确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；③函数在(12, 1)上是单调增函数，f n+1(x)<f n (x)，即可得到结论．【解答】解：①f 3(x)=x 3+x −1，∵ f 3′(x)=3x 2+1>0，∴ 函数在R 上是单调增函数，∵ f 3(12)=−38<0，f 3(1)=1>0，∴ 函数f 3(x)在区间(12, 1)内存在零点，即①不正确；②f 4(x)=x 4+x −1，∵ f 4′(x)=4x 3+1，∵ x ∈(12, 1)，∴ f 4′(x)>0，∴ 函数在(12, 1)上是单调增函数，∵ f 4(12)=−716<0，f 4(1)=1>0，∴ 函数f 4(x)在区间(12, 1)内存在零点，即②正确；③f n (x)=x n +x −1，∵ f n ′(x)=nx n−1+1，∵ x ∈(12, 1)，∴ f n ′(x)>0，∴ 函数在(12, 1)上是单调增函数，∵ f n+1(x)−f n (x)=x n (x −1)<0，∴ 函数在(12, 1)上f n+1(x)<f n (x)，∵ x n (n >4)为函数f n (x)在区间(12, 1)内的零点，∴ x n <x n+1，即③正确故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为13．（2）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B ．因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为C 30×(1−13)3=827，甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C 31×13×(1−13)2=49所以P(B)=827+49=2027．答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为2027． 【考点】n 次独立重复试验的结果相互独立事件的概率乘法公式 【解析】（1）记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A ，则甲投篮一次且没有命中的概率为1−13=23，同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1−12=12，再把这2个概率值相乘，即得所求．（2）记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B ，求出甲投篮3次，且都没命中的概率，再求出甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率，相加即得所求【解答】（1）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A ．因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮一次且没有命中的概率为1−13=23．同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1−12=12． 所以P(A)=(1−13)×(1−12)=13．答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为13．（2）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B ．因为甲每次投篮命中的概率为13，所以甲投篮3次，且都没命中的概率为C 30×(1−13)3=827， 甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C 31×13×(1−13)2=49所以P(B)=827+49=2027．答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为2027．【答案】解：（1）由题意，得a n+1=2a n a n +1，因为a 1=12，所以a 2=23，a 3=45，a 4=89．（2）解：由a 1，a 2，a 3，a 4，猜想a n =2n−12n−1+1 以下用数字归纳法证明：对任何的n ∈N ∗，a n =2n−12n−1+1证明：①当n =1时，由已知，左边=12，右边=11+1=12，所以等式成立． ②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，即a k =2k−12k−1+1， 则n =k +1时，a k+1=2a kak +1=2×2k−12k−1+12k−12k−1+1+1=2k 2k−1+2k−1+1=2k 2k +1=2(k+1)−12(k+1)−1+1．所以当n =k +1时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对于任何n ∈N ∗都成立． 【考点】 数学归纳法 数列递推式 【解析】 （1）由a n+1=2a nan +1，a 1=12，即可求得a 2，a 3，a 4的值；（2）由a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n =2n−12+1，用数学归纳法证明，①当n =1时，去证明结论成立；②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，去证明当n =k +1时，猜想也成立即可． 【解答】解：（1）由题意，得a n+1=2a n a n +1，因为a 1=12，所以a 2=23，a 3=45，a 4=89．（2）解：由a 1，a 2，a 3，a 4，猜想a n =2n−12n−1+1以下用数字归纳法证明：对任何的n ∈N ∗，a n =2n−12n−1+1证明：①当n =1时，由已知，左边=12，右边=11+1=12，所以等式成立． ②假设当n =k(k ∈N ∗)时等式成立，即a k =2k−12k−1+1， 则n =k +1时，a k+1=2a k a k +1=2×2k−12k−1+12k−12k−1+1+1=2k2k−1+2k−1+1=2k 2k +1=2(k+1)−12(k+1)−1+1．所以当n =k +1时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对于任何n ∈N ∗都成立． 【答案】 解：（1）因为f′(x)=2e 2x−1−2．令f′(x)=0，解得x =12．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增． （2）当b +1≤12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递减，所以当x =b +1时，函数f(x)有最小值f(b +1)=e 2b+1−2b −2． 当b <12<b +1时，因为函数f(x)在(b,12)上单调递减，在(12，b +1)上单调递增， 所以当x =12时，函数f(x)有最小值f(12)=0．当b ≥12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递增，所以当x =b 时，函数f(x)有最小值f(b)=e 2b−1−2b ．综上，当b ≤−12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b +1)=e 2b+1−2b −2； 当−12<b <12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(12)=0； 当b ≥12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b)=e 2b−1−2b ． 【考点】利用导数研究函数的单调性 导数求函数的最值【解析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f(x)在区间[b, b +1]上的最小值． 【解答】 解：（1）因为f′(x)=2e 2x−1−2． 令f′(x)=0，解得x =12．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增． （2）当b +1≤12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递减，所以当x =b +1时，函数f(x)有最小值f(b +1)=e 2b+1−2b −2． 当b <12<b +1时，因为函数f(x)在(b,12)上单调递减，在(12，b +1)上单调递增， 所以当x =12时，函数f(x)有最小值f(12)=0． 当b ≥12时，因为函数f(x)在(b, b +1)上单调递增，所以当x =b 时，函数f(x)有最小值f(b)=e 2b−1−2b ．综上，当b ≤−12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b +1)=e 2b+1−2b −2；当−12<b <12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(12)=0； 当b ≥12时，函数f(x)在[b, b +1]上的最小值为f(b)=e 2b−1−2b ． 【答案】 解：（1）由题意得取出的3个球都是白球时，随机变量X =6． 所以P(X =6)=C 43C m+43=25，即C m+43=10， 解得m =1．（2）由题意得X 的可能取值为3，4，5，6．则P(X =3)=C 33C 73=135，P(X =4)=C 32C 41C 73=1235，P(X =5)=C 31C 42C 73=1835．P(X =6)=C 43C 73=435．X 的分布列为：所以E(X)=3×135+4×1235+5×1835+6×435=337．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）取出的3个球都是白球时，随机变量X =6，利用概率公式，建立方程，即可求m 的值； （2）当m =3时，确定X 的取值，求出相应的概率，即可求X 的分布列和数字期望E(X)． 【解答】 解：（1）由题意得取出的3个球都是白球时，随机变量X =6． 所以P(X =6)=C 43C m+43=25，即C m+43=10， 解得m =1．（2）由题意得X 的可能取值为3，4，5，6．则P(X =3)=C 33C 73=135，P(X =4)=C 32C 41C 73=1235，P(X =5)=C 31C 42C 73=1835．P(X =6)=C 43C 73=435．X 的分布列为：所以E(X)=3×135+4×1235+5×1835+6×435=337．【答案】（1）证明：设空间向量a →=(a 1, a 2, a 3)，b →=(b 1, b 2, b 3)，且a →与b →的夹角为θ， 因为a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos θ， 所以a →⋅b →≤|a →|⋅|b →|，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3≤√a 12+a 22+a 32⋅√b 12+b 22+b 32所以(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2≤(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)， 当且仅当θ=0时，等号成立．（2）解：设空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(√x,√2x −2,√8−3x)，且a →与b →的夹角为θ， 因为y =√x +√2x −2+√8−3x =a →⋅b →，所以y =√x +√2x −2+√8−3x ≤√12+12+12⋅√x +(2x −2)+(8−3x)， 即y ≤√3⋅√6=3√2，当且仅当θ=0（即a →与b →共线，且方向相同）时，等号成立． 所以当√x =√2x −2=√8−3x 时，即x =2时，函数y =√x +√2x −2+√8−3x 有最大值y max =3√2． 【考点】平面向量的综合题 【解析】（1）利用a →⋅b →≤|a →|⋅|b →|，即可证明结论；（2）构造空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(√x,√2x −2,√8−3x)，且a →与b →的夹角为θ，利用（1）的结论，即可得到结论． 【解答】（1）证明：设空间向量a →=(a 1, a 2, a 3)，b →=(b 1, b 2, b 3)，且a →与b →的夹角为θ， 因为a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos θ， 所以a →⋅b →≤|a →|⋅|b →|，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3≤√a 12+a 22+a 32⋅√b 12+b 22+b 32所以(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2≤(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)， 当且仅当θ=0时，等号成立．（2）解：设空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(√x,√2x −2,√8−3x)，且a →与b →的夹角为θ， 因为y =√x +√2x −2+√8−3x =a →⋅b →，所以y =√x +√2x −2+√8−3x ≤√12+12+12⋅√x +(2x −2)+(8−3x)， 即y ≤√3⋅√6=3√2，当且仅当θ=0（即a →与b →共线，且方向相同）时，等号成立． 所以当√x =√2x −2=√8−3x 时，即x =2时，函数y =√x +√2x −2+√8−3x 有最大值y max =3√2． 【答案】解：（1）因为f(x)=12x 2−f′(2)x ， 所以f′(x)=x −f′(2)． 令x =2，得f′(2)=1，所以f(x)=12x 2−x ．（2）解：设F(x)=f(x)+g(x)=ln x −x ， 则F′(x)=1x −1，令F′(x)=0，解得x =1．当x 变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下表：所以当x =1时，F(x)max因为对于任意x ∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a 成立， 所以a ≥−1．（3）证明：由（2），得F(x)=ln x −x ≤−1，即ln x ≤x −1， 令x =x 1a 1x 1+a 2x 2，得ln x 1a 1x 1+a 2x 2≤x 1a 1x 1+a 2x 2−1， 令x =x 2a1x 1+a 2x 2，得ln x 2a1x 1+a 2x 2≤x 2a1x 1+a 2x 2−1，所以a 1ln x 1a1x 1+a 2x 2+a 2ln x 2a1x 1+a 2x 2≤a 1(x 1a1x 1+a 2x 2−1)+a 2(x 2a1x 1+a 2x 2−1)因为a 1+a 2=1， 所以a 1ln x 1a1x 1+a 2x 2+a 2ln x 2a1x 1+a 2x 2≤1−a 1−a 2=0，所以a 1ln x 1−a 1ln (a 1x 1+a 2x 2)+a 2ln x 2−a 2ln (a 1x 1+a 2x 2)≤0， 即a 1ln x 1+a 2ln x 2≤(a 1+a 2)ln (a 1x 1+a 2x 2)=ln (a 1x 1+a 2x 2)，所以ln (x 1a 1⋅x 2a2)≤ln (a 1x ′1+a 2x 2)，所以x 1a 1⋅x 2a2≤a 1x 1+a 2x 2【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用函数单调性的性质导数的运算不等式的证明【解析】（1）为了求函数f(x)的解析式，根据题意，即求出其中的f′(2)的值，故只须对函数求导后令x=2即可；（2）设F(x)=f(x)+g(x)，对于任意x∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a成立，只须a≥F(x)max即可，利用导数求函数F(x)的最大值，即可得出实数a的取值范围；（3）由（2），得F(x)=ln x−x≤−1，即ln x≤x−1，再分别令x=x1a1x1+a2x2，x=x2a1x1+a2x2，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．【解答】解：（1）因为f(x)=12x2−f′(2)x，所以f′(x)=x−f′(2)．令x=2，得f′(2)=1，所以f(x)=12x2−x．（2）解：设F(x)=f(x)+g(x)=ln x−x，则F′(x)=1x−1，令F′(x)=0，解得x=1．当x变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下表：所以当x=1时，F(x)max因为对于任意x∈(0, +∞)，都有f(x)+g(x)≤a成立，所以a≥−1．（3）证明：由（2），得F(x)=ln x−x≤−1，即ln x≤x−1，令x=x1a1x1+a2x2，得ln x1a1x1+a2x2≤x1a1x1+a2x2−1，令x=x2a1x1+a2x2，得ln x2a1x1+a2x2≤x2a1x1+a2x2−1，所以a1ln x1a1x1+a2x2+a2ln x2a1x1+a2x2≤a1(x1a1x1+a2x2−1)+a2(x2a1x1+a2x2−1)因为a1+a2=1，所以a1ln x1a1x1+a2x2+a2ln x2a1x1+a2x2≤1−a1−a2=0，所以a1ln x1−a1ln(a1x1+a2x2)+a2ln x2−a2ln(a1x1+a2x2)≤0，即a1ln x1+a2ln x2≤(a1+a2)ln(a1x1+a2x2)=ln(a1x1+a2x2)，所以ln(x1a1⋅x2a2)≤ln(a1x′1+a2x2)，所以x1a1⋅x2a2≤a1x1+a2x2。

东城区2011——2012学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．在复平面内，复数1iiz -=（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y +-=，则A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-3．在6(2)x -的展开式中，3x 的系数是A ．160B ．160-C ．120D ．120- 4．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是 A ．连续两项的和相等的数列叫等和数列B ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列C ．从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列D ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 5．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是B ．6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．某班有40名学生，其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个学生代表．在选到的学生代表是共青团员的条件下，他又是第一组学生的概率为 A ．415B ．514C ．14D ．348．若函数()ln f x x x x 2=-2-4的导函数为'()f x ，则'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. 102∞-+U （，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-109．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为密封线内不要答题区（县 学校 班 姓A ．103B ．4C ．163D ．6 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于 A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.8411．用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m ，要使它的容积最大，则容器底面的宽为A ．0.5mB ．0.7mC ．1mD ．1.5m 12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义．对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().k f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2e x f x x -=--，若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒 有()()k f x f x =，则A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13．6(1)x +的各二项式系数的最大值是 . 14．已知z 是纯虚数，21z i+-是实数，那么z = . 15根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，则ˆa = . 16．设函数()(0)2xf x x x =>+,定义()n f x ，*n ∈N 如下：当1n =时，1()()f x f x =； 当*n ∈N 且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -=．观察:1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当*n ∈N 时，()n f x = .三、解答题（本大题共4个小题，其中第17题8分，第18，19题各9分，第20题10分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分）设函数32()2f x x x x =-+-（x ∈R ）． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值.在数列{}n a 中，13a =，134n n a a n +=-，1,2,3,n = . （Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值，（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.密封线内不要答题一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.题答要不内线封密外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订 单的金额为x 万美元，可获得加工费近似地为1ln(21)2x +万美元，由于生产加工签约 和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx 万美元，其中(0,1)m ∈为 该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为1()ln(21)2f x x mx =+-万美元. （Ⅰ）若美元贬值指数1200m =，为确保实际所得加工费随x 的增加而增加，加工产品 订单的金额x 应在什么范围内？（Ⅱ）若加工产品订单的金额为x 万美元时共需要的生产成本为120p x =万美元，已知 加工生产能力为[10,20]x ∈（其中x 为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m 为何 范围时，加工生产将不会出现亏损（即当[10,20]x ∈时，都有()f x p ≥成立）.东城区2011—2012学年度第一学期期末教学统一检测高二数学答案及评分参考（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6． C 7．A 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二．填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13．20 14．2i - 15．9.1 16．(21)2n nxx -+ 三．解答题：本大题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）因为 32()2f x x x x =-+-，所以 2()341f x x x '=-+-，且(2)2f =-．………………………………… 2分 所以 (2)5f '=-． …………………………………………3分所以 曲线()f x 在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--， 整理得 580x y +-=． …………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()341f x x x '=-+-(31)(1)x x =---． 令()0f x '=，解得13x =或1x =． …………………………………………6分 当[0,2]x ∈时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，函数32()2f x x x x =-+-，[0,2]x ∈的最大值为0，最小值为2-. …………………………………………8分 18．（本小题满分9分） 解：（Ⅰ）由已知可得，25a =，37a =，49a =.………………………… 3分 （Ⅱ）猜想 21n a n =+.………………………………………………………… 4分 证明：① 当1n =时，由已知，左边3=，右边2113=⨯+=，猜想成立.……………… 6分 ② 假设当()n k k =∈*N 时猜想成立，即21k a k =+.……………………… 7分 则1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++. 所以 当1n k =+时，猜想也成立.根据①和②，可知猜想对于任何n ∈*N 都成立. ……………………………… 9分解：（Ⅰ）设A 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， …………………1分 则2232336()()55125P A C =⨯=. ………………………………………………3分 （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为1,2,3,4. …………………………………4分2(1)5P X ==. …………………………………………………………………5分 323(2)5410P X ⨯===⨯. ……………………………………………………6分3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯. …………………………………………………7分3211(4)54310P X ⨯⨯===⨯⨯. ………………………………………………8分X 12342510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………9分20．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知1200m =， 11()ln(21)2200f x x x =+-，其中0x >.………………………………………1分所以'111992()21200200(21)xf x x x -=-=++.…………………………………………3分 由'()0f x >，即19920x ->， 解得099.5x <<.即加工产品订单的金额(0,99.5)x ∈（单位：万美元）时，实际所得加工费随x 的增加而增加. …………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当[10,20]x ∈时，都有11()ln(21)220f x x mx x =+-≥. 可得1ln(21)202x m x++≤.…………………………………………………5分 令ln(21)()2x g x x +=，[10,20]x ∈.则'22ln(21)21()2x x x g x x -++=22(21)ln(21)2(21)x x x x x -++=+.……………………7分令()2(21)ln(21)h x x x x =-++. 则'2()2[2ln(21)(21)]21h x x x x =-+++⋅+2ln(21)0x =-+<.……………8分所以当[10,20]x ∈时，'()0g x <,()g x 在区间[10,20]上单调递减,因此min ln 41()40g x =，即ln 4114020m ≤-.………………………………………10分故当美元的贬值指数ln 412(0,)40m -∈时，加工生产不会亏损.。

北京市东城区（南片）2013-2014学年上学期初中八年级期末考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项）1. 下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是2. 下列运算正确的是 A. 734)(a a =B. 236a a a =÷C. 3336)2(b a ab =D. 1055a a a -=⋅-3. 从长度分别为5cm ，10cm ，15cm ，20cm 的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点5. 25)4(31222÷-⨯的运算结果是A. 215B. 1023 C.523D. 1023-6. 若等腰三角形的两边长分别是4和10，则它的周长是 A. 18B. 24C. 18或24D. 147. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为 A. 6B. 7C. 8D. 98. 若分式0392=+-x x ，则x 的值是 A. 3±B. 3C. -3D. 09. 如图1，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是10. 如图，是一组按照某种规则摆放成的图案，则按此规则摆成的第5个图案中三角形的个数是A. 8B. 9C. 16D. 17二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11. 分解因式：=+-x xy xy 442____________。

12. 若1+x 有意义，则x 的取值范围是___________。

13. 在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB=8cm ，︒=∠30A ，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则CD 的长度为__________。

2012-2013学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．==3+i2．（5分）甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都B概率都是概率等于解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是==3．（5分）函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（）解：求导函数，可得的图象在点（=（326．（5分）已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x轴所围成的封闭图形的面积等于（）B（7．（5分）（2006•广州二模）4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在B总共有种排列方法．解：随机排成一行，总共有个整体，有种排法，而女生的排法是=8．（5分）已知函数，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．得到，=，则，即时，上的最小值为）的一个极大值点，故解得二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）的二项展开式中的常数项为160．（用数字作答）解：由于•••10．（5分）如果函数f（x）=cosx，那么=．和再求出代入=sin==，故答案为：：且X的数学期望，那么X的方差D（X）=．，，=故答案为：12．（5分）已知函数的图象在x=0和处的切线互相平行，则实数a=﹣1．、=，由题意得，=13．（5分）有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有90种不同的组队方法．（用数字作答）组并无区别，故无需排列，最后再除以，即不同的组队方法有14．（5分）设函数f n（x）=x n+x﹣1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：①函数f3（x）在区间（，1）内不存在零点；②函数f4（x）在区间（，1）内存在唯一零点；③设x n（n＞4）为函数f n（x）在区间（，1）内的零点，则x n＜x n+1．其中所有正确结论的序号为②③．函数在（，）＜）在区间（，，∴函数在（）＜）在区间（，，，∴函数在（，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．的概率为因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮一次且没有命中的概率为同理，乙投篮一次且没有命中的概率为．次，且都没有命中的概率为．因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮（．．16．（13分）设函数，且，其中n=1，2，3，…．（I）计算a2，a3，a4的值；（II）猜想数列{a n}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．=，即可求得=====，右边=====17．（13分）已知函数f（x）=e2x﹣1﹣2x．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）设b∈R，求函数f（x）在区间[b，b+1]上的最小值．，解得）在（）上单调递减，在）在时，函数）有最小值综上，当18．（13分）箱中装有4个白球和m（m∈N*）个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和．（I）若，求m的值；（II）当m=3时，求X的分布列和数字期望E（X）．，，，．．19．（14分）请先阅读：设平面向量=（a1，a2），=（b1，b2），且与的夹角为θ，因为•=||||cosθ，所以•≤||||．即，当且仅当θ=0时，等号成立．（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有成立；（II）试求函数的最大值．）利用≤|||=，，且与）证明：设空间向量=，与的夹角为•=|||cos•≤|||（，=，，且的夹角为，，与共线，且方向相同）时，等号成立．时，函数有最大值20．（14分）已知函数，．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围；（III）设x1，x2＞0，a1，a2∈[0，1]，且a1+a2=1，求证：．，再分别令）因为，=′（。

北京市西城区（南区）2012-2013学年度第一学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共14个小题，每小题3分，共42分。

在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

[ ]1. 已知全集R U =，集合{}12|<=xx A ，{}01|<-=x x B ，则B A C U ⋂)(=A. {}1|>x xB. {}10|<≤x xC. {}10|≤<x xD. {}1|≤x x[ ]2. 已知幂函数)(x f y =的图象经过点（2，4），则)(x f y =的解析式为A. xy 2=B. 2x y =C. x y =D. x y 2=[ ]3. 若32=a ，且0>a ，则a 3log 的值为 A. 3-B. 3C. 21-D.21 [ ]4. 已知0>a 且1≠a ，函数x y a log =，xa y =在同一坐标系中的图象可能是[ ]5. 已知2)(357++-=cx bx ax x f ，且m f =-)5(，则)5()5(f f --的值为 A. 42-mB. 42+mC. 4-D. 4[ ]6. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 A. 72B. 36C. 27D. 18[ ]7. 同时投掷两颗骰子，所得点数之和是5的概率是 A.41 B.61 C.91 D.121 [ ]8. 下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，4[ ]9. 设9.04=a ，48.08=b ，5.1)21(-=c ，则A. b a c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>[ ]10. 若下边的程序框图输出的S 是62，则条件①可为A. 4≤nB. 5≤nC. 6≤nD. 7≤n[ ]11. 设1>a ，函数x x f a log )(=在区间[a a 2,]上的最大值与最小值之差为21，则=a A. 4B. 2C. 22D. 2[ ]12. 下列函数中，函数图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是 A. xy 2=B. 12-=x yC. 21x y =D. ||log 21x y =[ ]13. 设0x 是函数x x f x2log )31()(-=的零点，若00x a <<，则)(a f 的值满足A. 0)(=a fB. 0)(<a fC. 0)(>a fD. )(a f 的符号不确定[ ]14. 已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-0),1(0,12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C. )1,0(D. ),0[+∞二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

北京市西城区（南区）2012－2013学年度第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

[ ]1. 若q p ∨为假命题，则A. 命题p ⌝与q ⌝的真值不同B. 命题p ⌝与q ⌝至少有一个假命题C. 命题p ⌝与q ⌝都是假命题D. 命题p ⌝与q ⌝都是真命题[ ]2. 过点（－1，3）且平行于直线032=+-y x 的直线方程为A. 072=+-y xB. 012=-+y xC. 052=--y xD. 052=-+y x[ ]3. 圆122=+y x 和圆05622=+-+y y x 的位置关系是 A. 外切B. 内切C. 外离D. 内含[ ]4. 椭圆1422=+y x 的离心率为 A.23 B.43 C.22 D.32 [ ]5. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 A. x y 32±= B. x y 94±= C. x y 23±=D. x y 49±= [ ]6. 准线为x=2的抛物线的标准方程是 A. x y 42-=B. x y 82-=C. x y 42=D. x y 82=[ ]7. 关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是A. 若α//l ，m =⋂βα，则m l //B. 若α//l ，α//m ，则m l //C. 若α⊥l ，β//l ，则βα⊥D. 若α//l ，l m ⊥，则α⊥m[ ]8. 一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为A. 23aB. 2)31(a +C. 222aD. 2)21(a +[ ]9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A.ππ221+B.ππ441+ C. ππ21+ D. ππ241+ [ ]10. 如图，在正四面体ABC P -中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是A. //BC 平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面⊥PDF 平面ABCD. 平面⊥PAE 平面ABC[ ]11. 已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A. 32B. 6C. 34D. 12 [ ]12. 已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A. 2B. 3C. 511D. 1637二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。

2012~2013学年高二下学期数学期末测试题（理）模拟六答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． BDD二、填空题：8. i 是虚数单位，则=++++44433422414004i C i C i C i C i C .9.在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率是________1\2______．10.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0．80，乙闹钟准时响的概率是0．90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 ．11.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有______252______多少种参赛方法（用数字作答） ． 三、解答题：12. 解：前三项系数为C n 0，21C n 1，41C n 2，由已知C n 1＝C n 0＋41C n 2，即n 2-9n ＋8=0，解得n =8或n =1（舍去）．展开式的通项为T r +1=C r 8（x ）8-r （2·4x ）-r =C r8.r 21. x 434r -，r =0，1， (8)∵4-43r ∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r =0，r =4，r =8， ∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x -2． 13. 设数列{}n a 对一切*n N ∈，满足21=a ，241+=++n a a n n .试用数学归纳法证明：n a n 2=.14. 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ，则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43.（2）ξ的取值分别为,4,2,0. ()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ，()2092==ξP ， ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ， ξ∴的分布列为∴E .1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ ……………………13分 15. (Ⅰ）当R b a ∈=,0时函数为偶函数 ……………………5分 （Ⅱ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． …………………………………6分当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--． …………………………7分 令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． ……………………………………………8分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：3)2(,0)0(-==f f ∴当2=x 时取得最小值3-16. （Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A ， ………………………2分∵“两球恰好颜色不同”共24+42=16⨯⨯种可能， ∴164()669P A ==⨯． 解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， ∵每次摸出一球得白球的概率为3162==P ．∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为1224(1)(1)9P C p p =⋅⋅-=． …………6分（Ⅱ）设摸得白球的个数为ξ，依题意得：432(0)655P ξ==⨯= ，42248(1)656515P ξ==⨯+⨯=，211(2)6515P ξ==⨯=．…9分∴∴012215153E ξ=⨯+⨯+⨯=， 222(0)(1)(2)3531531545D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．17.已知函数)0()1()(2>⨯--=a e ax x x f ax . （Ⅰ）当2=a 时，求)(x f 的的单调区间；（Ⅱ）若对于任意[]2,0∈x ，恒有02)(≥+ax f 恒成立，求a 的取值范围.18. （本题满分14分）已知R m m mx x x f ∈-+-=),12lg()(2 （Ⅰ）当0=m 时，求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数)(x f 的值域是[)+∞,2lg ，求m 的值；（Ⅲ）若[0,1]x ∈时不等式0)(>x f 恒成立，求实数m 的取值范围.（Ⅰ）当0=m 时，()1lg )(2-=x x f当),1(+∞∈x 时，12-=x t 递增，而当0>t 时，t y lg =递增所以)(x f 的递增区间是()+∞,1 …………………………4分（Ⅱ）依题意得122-+-=m mx x t 的最小值是2，解21242=-+-m m 得2=m 或6=m …………………………8分 （Ⅲ）法一：当[0,1]x ∈时，将2220x mx m -+->分离变量后得到m x x <--222 令22)(2--=x x x g ，则22')2(24)(-+-=x x x x g ， 令0)('=x g 得22±=x ………11分∴当220-<<x 时0)('>x g ，当122<<-x 时0)('<x g而22-=x 时取得最大值4->∴m 4-…………14分法二：依题意得：2220x mx m -+->，令22)(2-+-=m mx x x h ，轴是2m x =（1）当02≤m时，则有022)0(>-=m f ，解得Φ∈m ； （2）当120≤<m时，则有0882>+-=∆m m ，解得2224≤<-m ； （3）当21m<时，则有01)1(>-=m f ，解得2>m综上所求，实数m的取值范围是（4-)∞+法三：将2220x mx m -+->移项得222x mx m >-+22m +，则1()f x 、2()f x 1]，12()()f x f x >恒成立，即要使得[0,1]x ∈时，抛物线段总在直线段的上方，因为直线恒过定点(2,2),切时的斜率可用判别式或导数易求得为4-所以4m >-……)22m +。