高三总复习7——由函数图形的对称性得到函数的周期性

函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。

其中，自对称指函数图像关于某一条直线对称，互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。

自对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

互对称的函数满足以下条件：满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。

满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。

满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。

2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质，其中T为函数的周期。

常见的函数周期有以下几种：周期为T的函数，其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的函数，其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。

周期为2T的奇函数，其图像关于原点对称，即满足f(x+2T) = -f(x)。

周期为2T的偶函数，其图像关于y轴对称，即满足f(x+2T) = f(x)。

3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。

两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x)，g(x) = (c/2) - h(x)，其中h(x)为周期为T的函数。

如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点对称。

如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称，则f(x)为奇函数，其图像关于原点上下平移b个单位。

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中，函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。

了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。

本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。

一、周期函数周期函数是指在一定的区间内，函数的图像在某一特定规律下重复出现。

周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

首先，我们来了解正弦函数和余弦函数。

正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线，它的周期为2π。

也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重新回到原来的值。

而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线，它的周期也是2π。

正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数，在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

接下来，我们再来介绍一下正切函数。

正切函数的图像是一条摆动不定的曲线，它的周期为π。

也就是说，当自变量增加π时，函数值会重新回到原来的值。

正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言，其周期要小一些。

二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。

常见的对称函数有偶函数和奇函数。

偶函数是指函数的图像关于y轴对称。

也就是说，如果函数f(x)是一个偶函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = f(x)成立。

一个简单的例子就是二次函数y = x^2，它的图像关于y轴对称。

奇函数是指函数的图像关于原点对称。

也就是说，如果函数f(x)是一个奇函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)成立。

一个简单的例子就是一次函数y = x，它的图像关于原点对称。

三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。

例如，振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。

另外，对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。

以周期函数为例，我们来看一个具体的应用。

假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况，我们希望求出物体完成一次振动的时间。

高中数学中的对称性与周期性
高中数学中的对称性与周期性是数学中重要的两个概念。

它们分别是在数学表达式、函数图像和几何图形等领域中出现，因此很容易与数学知识联系起来。

对称性指的是某一体系存在的对称特性。

在数学表达式中，可以看到例如y=x^2，具有左右对称特性，当x变化时，y也会变化，但变化的方式总是满足对称性。

再加上多元函数，如y=x^2 + y^2 ，可以看出当x变换的时候，它的对称性仍然可以在其函数图像中表现出来。

周期性是指函数值或图形沿某个方向上的重复出现。

如果将一个周期函数的曲线图画出来，底部总是在一条水平线上重复出现，这就是函数具有周期性的表现。

如sin函数，就是在x轴上周期性重复出现的函数，它可以将x轴划分成若干份，每份的范围就是它的一个有限的周期。

同样，圆、椭圆等图形也具有周期性，同态图形中存在着多种周期性特性。

在解决实际问题时，对称性及其周期性的掌握有助于快速进行求解。

如在求解多项式函数的最大值时，可以考虑多项式的对称性，以及有限范围给出的周期性，从而找出最大值点，可以节约大量的计算时间，使求解过程变得简单快速。

高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。

在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。

本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。

一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。

关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。

关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。

2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。

奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。

函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。

二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。

2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。

三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。

函数对称性与周期性的关系首先，我们先来明确对称性的概念。

在数学中，对称性是指在其中一种变换下保持不变的性质。

常见的对称性有关于点、直线、平面、中心等不同的类型。

对于函数而言，对称性通常指的是关于坐标轴或者一些点对称的性质。

具体而言，函数f(x)在一些点a处具有对称性，意味着当x=a 时，有f(a+h)=f(a-h)，其中h为任意实数。

这表明函数在点a处的函数值关于a对称。

对于关于坐标轴对称的函数，还满足函数在坐标轴两侧的函数值相等的性质。

接下来，我们来看周期性的概念。

周期性是指函数在一定范围内的数学性质重复出现的性质。

通常用来描述函数f(x)存在一个正数T，对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，其中T称为函数的周期。

具有周期性的函数在周期内的性质是相同的，因此周期性可以用来分析函数在不同时间或者空间位置上的行为。

对称性和周期性在一定程度上是有关联的。

事实上，一个函数的周期性往往与函数的对称性密切相关。

具体而言，如果一个函数具有对称性，那么它可能是周期性的。

例如，正弦函数和余弦函数是具有周期性的函数，并且它们之间满足平移对称性。

具体来说，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都具有以2π为周期的性质，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x+ 2π) = cos(x)。

同时，它们的图像也具有关于y轴的对称性，即sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。

这些对称性的存在使得正弦函数和余弦函数能够在整个实数轴上不断重复。

另一个例子是带有偶函数或者奇函数性质的函数。

一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)。

相反，如果一个函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，那么它被称为奇函数。

偶函数和奇函数的图像都具有关于y轴的对称性，因此它们都是对称性的一种特殊形式。

此外，偶函数和奇函数的周期往往是偶数或者无限大。

例如，指数函数e^x是一个偶函数，并且不存在周期性。

专题 函数的对称性与周期性一 . 函数图象的对称性与对称中心1.对于一个函数图象的对称轴 （ 1） . 函数 yf ( x) 知足 f (a x)f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于 x=ab对称。

2（ 2） . f (a x) f (a x)f ( x) f (2a-x)yf (x) 的图象的对称轴 xaf (- x)f (2a+x)（ 3）二次函数f ( x)=ax 2 bxc (a 0)的对称轴由公式x=- b2a 1.对于一个函数图象的对称中心（ 1） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于点 （ab，0）对称。

2a b c （ 2） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)+2 c 函数 yf ( x) 的图象对于点 （ 2，） 对称。

2（ 3） . f ( a x) - f ( a x)f (x) - f (2a-x)y f (x) 的图象的对称中心 ( a,0)f (- x) - f (2a+x)y f (x a) 为奇函数y f ( x) 的图象的对称中心 (a,0) 。

（ 4）简单分式函数f ( x)= axb (c 0, ax b 0 )，由变量分别法得对称中心 (-d , a ) 。

cx dc c二 . 函数的周期性1.周期函数的定义和简单性质（ 1）对于函数yf ( x) ，若存在一个常数 T 0,使适当 x 取遍其定义域内的全部直时，都有f ( x)=f ( x T ) ,则 yf ( x) 叫做以 T 为周期的周期函数。

（ 2）周期函数的定义域是无界的。

（ 3）若 T ( T0)是函数 y f ( x) 的周期，则 nT (n Z , n 0) 都是 y f ( x) 的周期；（ 4）周期函数yf ( x) 的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正当T ，则 T 叫做函数 y f (x) 的最小正周期。

高考总复习之函数的对称性与周期性【知识点】★若函数)(x f 存在两个对称关系，则)(x f 是一个周期函数.1）若函数)(x f y =的图像关于直线b a ==x x 、对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若偶函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.2）若函数)(x f y =的图像关于点(a ，0)、(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 2T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于点(a ，0)(a≠0)对称，则)(x f 是以a 2为周期的函数.3）若函数)(x f y =的图像关于直线a =x 、点(b ，0)对称，则)(x f 是周期函数，且周期为a b 4T -=.推论：若奇函数)(x f 的图像关于直线a =x (a≠0)对称，则)(x f 是以a 4为周期的函数.【同步练习题】1）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且对任意实数x ，)()2(x f x f =-恒成立.若当∈x [1-，0]时，1)(2+=x x f ，则=)2021(f .2）（单选题）已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间[1，2]上是增函数，则)(x f 满足（）A.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；B.在区间[3-，2-]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；C.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；D.在区间[3-，2-]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.3）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)2(-x f 都为偶函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 为偶函数B.)1(+x f 为偶函数C.)2(+x f 为奇函数D.)(x f 为周期函数4）（单选题）已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于点(2，0)对称，若当∈x (0，2)时，1)21()(-=xx f ，则函数)(x f 在区间[2018，2021]上有（）A.最小值为43- B.最小值为21-C.最大值为43D.最大值为215）（单选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)1(-x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)3(+x f 为奇函数D.)1()(+=x f x f 6）（多选题）已知函数)(x f 的定义域为R，若)(x f 与)1(+x f 都为奇函数，则下列说法正确的是（）A.)1(-x f 为奇函数B.)(x f 为周期函数C.)3(+x f 为奇函数D.)2(+x f 是偶函数7）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=-、)()3(x f x f =-，则)2022(f 的值为.8）设函数)(x f 的定义域为R，)1(+x f 为奇函数、)2(+x f 为偶函数，且当∈x [1，2]时，b a )(2+=x x f .若6)3()0(=+f f ，则=)29(f .9）已知函数)(x f 是定义域为(∞-，∞+)的奇函数，且满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，则=++++)50()3()2()1(f f f f .10）（多选题）已知函数)(x f 为偶函数，且)2()2(x f x f --=+，则下列结论一定正确的是（）A.)(x f 的图像关于点(2-，0)对称B.)(x f 是以4为周期的函数C.)(x f 的图像关于直线2-=x 对称D.)4(+x f 为偶函数11）（多选题）已知函数)1(-=x f y 的图像关于直线1-=x 对称，且R ∈∀x ，有4)()(=-+x f x f .若当∈x (0，2]时，2)(+=x x f .则下列说法正确的是（）A.)(x f 是以8为周期的函数B.)(x f 的最大值为4C.2)2021(=f D.)2(+x f 为偶函数12）（多选题）设函数)(x f 的定义域为R，且)2(+x f 为偶函数、)12(+x f 为奇函数，则下列说法正确的是（）A.函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称；B.函数)(x f y =的图像关于点(1，0)对称；C.函数)(x f 的一个周期为4；D.0)2(=f .13）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程)0m (m )(＞=x f 在区间[8-，8]上有4个不同的实数根4321x x x x 、、、，则=+++4321x x x x .【参考答案】1）2；2）B；3）ABD；4）B；5）C；6）ABC；7）0；8）25；9）2；10）AD；11）ABD；12）ABC；13）8 .。

高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。

对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。

一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。

这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。

这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。

周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。

我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。

2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。

非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。

我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。

三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。

函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+Û()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+Û关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x Þ=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+éùëû：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+éùëû②本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+Û()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+Û关于,02a b +æöç÷èø轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。