第5章函数

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。

第5章函数及其应用5.1 函数种类5.1.1 命令函数，例如：getchar(),putchar()等。

5.1.2标准C++库函数，fabs(), pow(), rand(),sin(x), sqrt(), fexp()等，要使用头文件。

5.1.3自定义函数5.2 自定义函数的概念及使用方法例1：求两个数中的最大数#include <iostream.h>int imax (int a, int b){return (a>b ? a:b); }void main(){int a=6,b=9;cout<<"max="<<imax(a,b)<<endl;}例2：求x的n次方#include "iostream.h"main(){ float mpow(float a,int n);cout<<"pow="<<mpow(3.,3)<<endl;}float mpow(float a,int n){int i;float k=1;for(i=1;i<=n;i++)k=k*a;return (k); }5.3 自定义函数的三种形式5.3.1 无参函数，例如main(),getchar()等。

主函数与子函数之间不传输数据例：输出字符四方形************************************************void print(){int i;for(i=1;i<5;i++)cout<<(“************\n”;}5.3.2. 空函数例：null(){ }5.3.3. 有参函数如例1，例2说明：1.C++语言程序由一个主函数和若干个子函数（模块）组成。

1．子函数也有类型和函数值。

2．子函数程序体可以作为单独的文件存放，如果单独存放，应在主函数中作为头文件进行说明。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值与导数学习目标核心素养1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．请同学们思考：“山势有什么特点？”由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极大值一定比极小值大．( )(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．( )(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点．( )(4)单调函数不存在极值．( )[提示](1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；(3)若f ′(x0)＝0，只有导函数的变号零点，x0才是极值点，故(3)错误；(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )A．y＝x3B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2xBC[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合；对于D ，y ＝2x单调递增，无极值．故选BC.]4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2B [f ′(x )＝1－2sin x ．令f ′(x )＝0，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时f ′(x )＜0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )＞0.∴x ＝π6是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点．]不含参数的函数求极值(1)y ＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)y ＝x 3(x －5)2.[解] (1)∵y ′＝3x 2－6x －9，令y ′＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，3) 3 (3，＋∞)y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y↗极大值↘极小值↗当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22. (2)y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5) ＝5x 2(x －3)(x －5)．令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3＝5.当x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)y ′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y↗无极↗极大值↘极小值0↗值108∴x ＝0不是y 的极值点；x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0.一般地，求函数y ＝fx 的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f ′x ； 2解方程f ′x ＝0，得方程的根x 0可能不止一个；3用方程f ′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x ，f ′x ，f x 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f ′x 在各个开区间内的符号，判断f x在f ′x ＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f x 在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx 在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.[跟进训练]1．求函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极值． [解] f ′(x )＝9x 2－3， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－33，x 2＝33. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33－33⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗根据上表可知x 1＝－33为函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极大值点，极大值为f ⎛⎪⎫－3＝1＋233； x 2＝33为函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极小值点，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝1－233.含参数的函数求极值【例2】 已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值． [思路探究] 求导―→解f ′x ＝0―→比较极值点大小 ―→进行讨论求极值[解] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2)＝8(2x －a )(3x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a3.①当a ＞0时，a 3＜a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3 a3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 2a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝a3时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327；当x ＝a2时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. ②当a ＜0时，a 2＜a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2 a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 3a3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝a2时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0；当x ＝a3时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.综上，当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值a 327，在x ＝a2处取得极小值0；当a ＜0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值0，在x ＝a 3处取得极小值a 327.函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′x 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′x 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.[跟进训练]2．若函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax.(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )无极值． (2)当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．由极值求参数的值或取值范围322A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3(2)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 没有极值，则( )A ．a ＝－1B ．a ≥0C ．a ＜－1D ．－1＜a ＜0[思路探究] (1)由f ′(1)＝0且f (1)＝10.求解a ，b ，注意检验极值的存在条件． (2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)(1)C (2)A [(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值，不符合题意．∴a ＝4.故选C.(2)f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x＋1，x ＞0，当a ≥0时，a x＋1＞0，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1； 令f ′(x )＞0，得x ＞1.f (x )在x ＝1处取极小值． 当a ＜0时，方程a x＋1＝0必有一个正数解x ＝－a ，①若a ＝－1，此正数解为x ＝1，此时f ′(x )＝x －12x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．②若a ≠－1，此正数解为x ≠1，f ′(x )＝0必有2个不同的正数解，f (x )存在2个极值．综上，a ＝－1.故选A.]已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f ′x ；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 2对于函数无极值的问题，往往转化为f ′x ≥0或f ′x ≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.[跟进训练]3．若x ＝2是函数f (x )＝x (x －m )2的极大值点，求函数f (x )的极大值．[解] ∵f ′(x )＝(x －m )(3x －m )，且f ′(2)＝0， ∴(m －2)(m －6)＝0，即m ＝2或m ＝6. (1)当m ＝2时，f ′(x )＝(x －2)(3x －2)， 由f ′(x )＞0得x ＜23或x ＞2；由f ′(x )＜0得23＜x ＜2.∴x ＝2是f (x )的极小值点，不合题意，故m ＝2舍去． (2)当m ＝6时，f ′(x )＝(x －6)(3x －6)， 由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞6； 由f ′(x )＜0得2＜x ＜6.∴x ＝2是f (x )的极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32. 即函数f (x )的极大值为32.极值问题的综合应用1．如何画出函数f (x )＝2x 3－3x 2－36x ＋16的大致图象．[提示] f ′(x )＝6x 2－6x －36＝6(x 2－x －6)＝6(x －3)(x ＋2)． 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞3，∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜3， ∴函数f (x )的递减区间是(－2，3)．由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x )大致图象如图所示． 2．当a 变化时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有几解？[提示] 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 解的个数问题可转化为函数y ＝a 与y ＝2x 3－3x 2－36x ＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a ＞60或a ＜－65时， 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有且只有一解； (2)当a ＝60或a ＝－65时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有两解； (3)当－65＜a ＜60时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有三解．【例4】 已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．[思路探究] 求出函数的极值，要使f (x )＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2，2)．1．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？ [解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0有且只有一个实根，求实数a 的范围． [解] 由例题可知，要使方程f (x )＝0有且只有一个实根， 只需2＋a ＜0或－2＋a ＞0， 即a ＜－2或a ＞2.3．(变条件、变结论)讨论方程ln xx＝a 的根的情况．[解] 令f (x )＝ln x x ，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗1e↘因此，x ＝e 是函数f (x )的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，函数f (x )没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a ＜1e 时，ln xx ＝a 有两个不同的根；当a ＝1e 或a ≤0时，ln xx ＝a 只有一个根；当a ＞1e 时，ln x x＝a 没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性； 2研究函数的极值情况；3在上述研究的基础上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与x 轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A．在(1，2)上函数f (x)为增函数B．在(3，4)上函数f (x)为减函数C．在(1，3)上函数f (x)有极大值D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，∴x＝2是函数f (x)的极大值点，x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D 错误．]2．设函数f (x)＝x e x，则( )A．x＝1为f (x)的极大值点B．x＝1为f (x)的极小值点C．x＝－1为f (x)的极大值点D．x＝－1为f (x)的极小值点D [令f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0；当x ＞－1时，f ′(x )＞0.故当x ＝－1时，f (x )取得极小值．]3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，∵函数f (x )既有极大值又有极小值，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1.]4．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则函数f (x )的极大值为________． 2ln 2 [f ′(x )＝2e f ′e x －1e ，故f ′(e)＝2e f ′e e －1e， 解得f ′(e)＝1e ，所以f (x )＝2ln x －x e ，f ′(x )＝2x －1e. 由f ′(x )＞0得0＜x ＜2e ，f ′(x )＜0得x ＞2e.所以函数f (x )在(0，2e)单调递增，在(2e ，＋∞)单调递减，故f (x )的极大值为f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2.]。