[推荐学习]高中数学 3.2《巧用向量求解共线、共面问题》素材 苏教版选修2-1

巧用向量求解共线、共面问题
证明三点共线和四点共面是空间向量的重要应用．解决这类问题的关键是把三点共线和四点共面问题分别转化为向量共线和向量共面问题．依据共线向量、共面向量定理和向量基本定理可以有下面的具体结论：
（1）Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线AB AC ⇔∥⇔存在实数x ，使AC xAB =⇔存在惟一的一对实数x ，y ，使得OC xOA yOB =+，且1x y +=．
（2）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面AD ⇔与AB AC ，共面⇔存在实数对()x y ，，使AD x AB y AC =+⇔存在惟一的一组实数x ，y ，z ，使得OD xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=．
下面举例说明其应用．
一、三点共线问题
例１ 在空间中，已知点(251)(142)(433)A B C --------，
，，，，，，，，求证：点Ａ、Ｂ、Ｃ共线．
证明：由已知，得(311)(622)AB AC =--=--，，，，，．
因为(622)2(311)--=--，
，，，，所以2AC AB =． 故Ａ、Ｂ、Ｃ共线．
点评：本题通过向量的坐标运算转化为向量关系，运用方法（１）得证．
例2 已知OA OB OC OD OE =====，，，，a b c d e ．又点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，如果a =3c ，
b =2d ，()t =+e a b ，t ∈R ．试问：t 为何值时，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线？
解析：()3232OE t t t t t tOC tOD ==+=+=+=+e a b a b c d ．
由于点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，得OC OD ，
不共线，若使点Ｃ、Ｄ、Ｅ共线，则有3t +2t =1，解得15
t =
． 故当15t =时，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线． 点评：本题先表示为向量之间的线性关系，然后直接运用（１）的结论求解．
二、四点共面问题
例3 已知正方体1111ABCD A BC D -，Ｐ、Ｍ为空间任意两点，若
1111764PM PB BA AA AD =+++，
试问Ｍ点是否一定在平面11BA D 内？并证明你的结论．
解析：1111764PM PB BA AA AD =+++
111117()4PB AA BA AA AD =-+++
1111174PB BB BA A D =-++
1111174PB B B BA A D =+++
11174PB BA A D =++
1117()4()PB BP PA A P PD =++++ 11634PB PA PD =-++
由6341-++=，得Ｍ、Ｂ、1A 、1D
四点共面． 故Ｍ点在平面11BA D 内．
点评：本题运用空间向量的加、减与数乘运算，转化向量之间的关系后，依据方法（２）得证．
例4 如图，矩形ABCD 所在平面α外一点Ｐ，连接PA 、PB 、PC 、
PD ．
（1）四个三角形PAB ，PBC ，PCD ，PDA 的重心Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是否
共面？
（2）若四点共面，请指出此面与面?琢的关系．
解析：（１）连结PE PF PG PH ，，，并延长分别交
AB BC CD DA ，，，于点Ｍ、Ｎ、Ｒ、Ｑ，则Ｍ、Ｎ、Ｒ、Ｑ分别为AB BC CD DA ，，，边的中点．
因此四边形MNRQ 是平行四边形，且23PE PM =，23PF PN =，23PG PR =， 23
PH PQ =． 又MR MQ MN PQ PM PN PM =+=-+- 33332222
PH PE PF PE =
-+- 3322
EH EF =+。

而33()22MR PR PM PG PE EG =-=-=， 得EG EH EF =+．
显然，四点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ共面；
（2）由（1）知32
MR EG MR EG =⇒∥， 从而EG ∥面MNRQ ，即EG ∥面α．
又222333
HE PE PH PM PQ QM =-=-=，∴HE QM ∥． 从而HE ∥面MNRQ ，即HE ∥面α．
由于EG HE E =，故面EFGH ∥面α．
点评：本题结合向量的加、减运算，将所求解的问题转化为方法（1），从而产生结论，在第（2）小题中用线面平行的判定定理得到线面平行．
巧用≤a b a b 解题
两个向量a 、b 的数量积具有性质：≤a b a b ，当且仅当a 与b 同向时取等号．此不等式结构简单、形式隽永、内容丰富．运用它可以巧妙地解决求最值和证明不等式等问题．
一、巧求最值
例１ 已知π2k αθ≠
，，k ∈Z ，求222211sin cos sin cos θθαα
+的最小值． 解：222211sin cos sin cos θθαα+ 2222221sin cos sin cos sin cos ααθθαα
+=+
22222111sin cos cos cos sin θθαθα=++． 设111sin cos cos cos sin m θθαθα⎛⎫= ⎪⎝⎭
，，， (s i n c o s c o s c o n θ
θαθα=，，， 则222222111sin cos cos cos sin θθαα
=++m ，1=n ，3=m n ． ∵≤m n m n ，∴22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
≥mn m n ，
即
2222119sin cos sin cos θθαα
+≥． 故222211sin cos sin cos θθαα+的最小值为9． 例2 求实数x 、y 的值，使得222()(1)(3)(26)f x y y x y x y =-++-+--，取得最小值．
解：令(1362)y x y x y =-+---，，
a ，(121)=，，
b ， 则(1)1(3)2(62)11y x y x y =-++-+--=a b ，
2()x y =a
26b =
由≤a b a b ，得16，即1()6f x y ，≥， 当且仅当13620121
y x y x y -+---==>， 即5526x y ==，时，()f x y ，取得最小值16
． 故所求x 、y 的值分别为5526
，． 二、巧证不等式
例3 设三角形三边长为a 、b 、c ，且a +b +c =2p ．
证明：构造空间向量，设(111)==，，，m n ，则
c -=m n m 33c p =。

∴原不等式成立．
例４ 已知x 、y 、z 都是正实数，求证：2222
x y z x y z y z z x x y +++++++≥．
证明：设
⎛⎫=a ，b =，
则x y z =++a b ，=a =b 由于≤a b a b ，得2(x y z x y y
++++
即
222
2
x y z x y z
y z z x x y
++
++
+++
≥．
∴原不等式成立．。