诱导公式五、六讲课教案

课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（一）1．教学目标知识与技能（1）掌握三角函数诱导公式二～四的推导方法，体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式二～四的应用，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；（3）培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步理解掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维能力及运算能力。

过程与方法（1） 借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与α- ，πα- ，πα+ 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；（2） 体会未知到已知、复杂到简单的转化过程。

情感态度与价值观通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。

2．教学重点：用联系的观点，发现、证明及运用诱导公式，体会数形结合思想、化归思想在解决数学问题中的指导作用。

教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与α的终边关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法。

3．教学方法与教学手段：引导合作探究式教学并结合多媒体教学4．教学过程：（一）复习引入：1．利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值；2．画出一组特殊角的图象（体会特殊到一般的思想）（二）新课讲解：问题1：360?k αα+⋅角与的正弦,余弦,正切值有什么关系公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+k ααcos )360cos(=︒⋅+kααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

诱导公式新高考教案
一、教学目标：
1. 理解诱导公式的概念和作用；
2. 掌握诱导公式的具体应用方法；
3. 能够运用诱导公式解决实际问题。

二、教学重点和难点：
1. 诱导公式的概念和作用；
2. 诱导公式的具体应用方法。

三、教学准备：
1. 教材：包括相关诱导公式的知识点和例题；
2. 教学工具：包括黑板、彩色粉笔、投影仪等。

四、教学过程：
1. 导入：通过一个生动的例子引入诱导公式的概念，让学生了解诱导公式的作用和重要性。

2. 讲解：介绍诱导公式的定义和基本原理，包括如何利用诱导公式简化问题、求解未知数等。

3. 示例分析：通过几个具体的例题，演示如何运用诱导公式解决实际问题，让学生掌握诱导公式的具体应用方法。

4. 练习：让学生进行诱导公式的相关练习，巩固所学知识。

5. 拓展：引导学生思考诱导公式在其他学科或实际生活中的应用，拓展他们的思维。

6. 总结：对诱导公式的概念、作用和应用进行总结，强化学生的理解。

五、课堂作业：
布置相关诱导公式的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：
根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学方法，帮助学生更好地掌握诱导公式的知识和应用。

《诱导公式》教案与导学案教案：教学目标：1.了解诱导公式的概念和作用；2.能够运用诱导公式解决问题；3.提高学生的归纳推理和问题解决能力。

教学重点：1.理解诱导公式的概念和作用；2.运用诱导公式解决问题。

教学难点：1.运用诱导公式解决较复杂的问题。

教学准备：1.板书：诱导公式的定义和作用；2.学生课前自主学习相关概念。

教学过程：Step 1：导入新知1.引入问题：小明在一个矩形图案中，每一行的格子数是前一行的格子数加上一个固定的数，第一行有2个格子，第二行有4个格子，第三行有6个格子，以此类推。

请问第十行有多少个格子？2.引导学生思考：如何通过前一行的格子数推算出下一行的格子数？Step 2：引入诱导公式1.板书：诱导公式的定义和作用。

2.解释：诱导公式是指通过找出一组数据之间的规律或模式，推导出一个表达式或公式，以便通过这个表达式或公式来解决问题。

3.引导学生运用诱导公式解决刚才的问题。

Step 3：诱导公式的应用1.练习1：小明在一个矩形图案中，每一行的格子数是前一行的格子数加上一个固定的数，第一行有3个格子，第二行有5个格子，第三行有7个格子，以此类推。

请问第十行有多少个格子？2.练习2：在一个排列图案中，每一行的图形数时前一行的图形数加上一个固定的数，第一行有2个图形，第二行有5个图形，第三行有10个图形，以此类推。

请问第六行有多少个图形？3.引导学生运用诱导公式解决以上两个问题。

Step 4：拓展训练1.练习3：小明在一个等差数列中，前四项依次是2、5、8、11，求第十项是多少？2.练习4：在一个等差数列中，前五项依次是1、7、13、19、25，求第十项是多少？3.引导学生通过观察找出等差数列的通项公式，并运用该公式解决以上两个问题。

Step 5：总结与展示1.引导学生总结课上所学内容，并与学生一起总结诱导公式的应用方法。

2.对学生的答题情况进行讨论和评价，鼓励学生多思考，勇于提问和发表观点。

《第五章三角函数》《5.3诱导公式》教案【教材分析】本节主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合六组诱导公式总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。

【教学目标与核心素养】课程目标1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

数学学科素养1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明.【教学重难点】重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？ 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本188-192页，思考并完成以下问题1.π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？2．诱导公式二、三、四的内容是什么？3.±α的终边与α的终边有怎样的对称关系？4.诱导公式五、六的内容是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点)2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、诱导公式五终边关于直线y ＝x 对称的角的诱导公式(公式五)： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α. 思考1：角π6与角π3的三角函数值有什么关系？ [提示] sin π6＝cos π3＝12，cos π6＝sin π3＝32.思考2：角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？ [提示] 关于直线y ＝x 对称． 二、诱导公式六π2＋α型诱导公式(公式六)： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α.1．思考辨析(1)诱导公式中角α是任意角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( ) (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝－sin α.( )[解析] (1)×.如tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立． (2)×.sin(90°＋α)＝cos α.(3)√.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.[答案] (1)× (2)× (3)√2．(1)若sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________；(2)若cos α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________.(1)13 (2)45 [(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝13. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝45.]给值求值【例1】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________． (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是______．(3)已知sin(π＋A )＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是______．思路点拨：从已知角和待求角间的关系入手，活用诱导公式求值． (1)12 (2)－13 (3)－12 [(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2， ∴π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－13.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－13. (3)sin(π＋A )＝－sin A ＝－12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－A ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝－sin A ＝－12.]1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等．1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．[解] ∵α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.利用诱导公式化简求值【例2】 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．思路点拨：利用诱导公式直接化简得(1)，(3)；结合同角三角函数关系求(2)． [解] (1)f (α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，∴sin α＝－15， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265， ∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cos π3＝－12.用诱导公式化简求值的方法：(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.(2)对于k π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin (π＋α)的值．[解] 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13， 所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23. 诱导公式在三角形中的应用【例3】 在△ABC 中，sinA ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状． 思路点拨：sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2――――――→A ＋B ＋C ＝π得B ，C 关系―→△ABC 的形状 [解] ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴cos C ＝cos B .又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形．1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．2．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C＝tan(A＋B)＝－tan C；sin B＋C 2＝cos A2；cosA＋C2＝sinB2.3．已知f(α)＝sin(π－α)cos(－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)sin(－α).(1)化简f(α)；(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝35，求tan A－sin A的值．[解](1)f(α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f(A)＝cos A＝35，又A为△ABC的内角，所以由平方关系，得sin A＝1－cos2A＝45，所以tan A＝sin Acos A＝43，所以tan A－sin A＝43－45＝815.教师独具1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题．(2)利用诱导公式解决条件求值问题．(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题． 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等.1．若cos 40°＝a ，则sin 50°＝( )A ．－aB ．aC .1－a 2D ．－1－a 2 B [∵sin 50°＝cos 40°，∴sin 50°＝a .] 2．若cos(π＋α)＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________.－13 [∵cos(π＋α)＝－cos α＝13， ∴cos α＝－13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－13.] 3．已知sin α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________.23 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝23.] 4．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．[解] cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α.∵sin α＝55， ∴2sin 2α＝10. 即原式＝10.。

三角函数的诱导公式【教学目标】 能熟练掌握2π＋α、2π－α诱导公式，并运用求任意角的三角函数值，同时复习公式一到四，并应用这些诱导公式，进行简单的三角函数式的化简及论证。

【教学重点】诱导公式五和诱导公式六的应用。

【教学难点】公式的理解。

【教学过程】一、复习提问复习诱导公式一到四。

练习：1．已知)180sin()540tan()720cos()180sin(,31)3sin(αααααπ--+++-=+ 求 解： 31sin ,sin )sin()3sin(=α∴α-=α+π=α+π 31sin sin tan cos sin ==-=∴ααααα原式 2．已知的值。

求)65cos(,33)6cos(α-π=α+π解：33)6cos()]65(cos[)65cos(-=α+π-=α-π-π-=α-π 二、新课 由角α的终边与2π－α的终边关于y ＝x 对称，可以得到公式五： sin （2π－α）＝cos α cos （2π－α）＝sin α 由于2π＋α＝π－（2π－α），由公式四和公式五可以得到公式六： sin （2π＋α）＝cos α，cos （2π＋α）＝－sin α2π±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上 一个把α看成锐角时原函数值的符号。

利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。

公式一到六都叫做诱导公式。

例3．证明：（1）sin （23π－α）＝－cos α （2）cos （23π－α）＝－sin α 分析：由23π＝π＋2π，再根据公式二和公式五可以证明。

例4．化简：)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-----++- 分析：通过本题化简的训练，让学生进一步熟悉诱导公式。