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专题三 二维数据插值拟合与最小二乘

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插值法与最小二乘法

插值法与最小二乘法

插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法一、内容分析与教学建议本章内容统称为插值法，包括Lagrange插值、逐步线性插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段多项式插值、有理函数插值等内容，既是教学的重点。

在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，建立插值概念，注意讲解上述插值是如何根据实际问题要求的提高而先后发展起来的。

培养学生分析问题和解决问题的能力。

Lagrange插值1、回顾《高等数学》的Taylor公式，讲解Taylor公式是根据某一点的多个信息得到近似多项式的插值思想。

2、将上述思想应用到多点的信息，即根据所给的多点的数据，建立插值多项式。

3、讲解过程中，沿着“发现问题EMBED Equation.DSMT4 提出解决方法EMBED Equation.DSMT4 方法的存在性和惟一性EMBED Equation.DSMT4 建立Lagrange插值公式EMBED Equation.DSMT4 误差公式”这样一个思路去讲解Lagrange插值的思想和方法。

逐步线性插值1、讲解为什么要建立逐步线性插值？这是由于Lagrange插值没有承袭性，当需要增加一个插值节点时，以前所做的工作要全部重做。

2、逐步线性插值是一个将高次插值转化成逐步线性插值的迭代过程，正是这一点使得逐步线性插值具有了承袭性。

3、强调逐步线性插值是求一点处近似值的快速方法，不太适合建立插值解析式。

Newton 插值1、Newton 插值克服了上述两类插值的缺点，继承了它们的优点：即具有承袭性，又是一个完整的解吸式，便于理论研究和分析。

2、首先掌握差分和差商的概念以及它们的性质，在此基础上建立Newton 插值公式和误差公式。

3、Newton 插值公式实际上是Lagrange插值公式的另外一种表现形式，这揭示了一种现象：将已有成果通过引入新思想、新方法，对其进行加工、改造，完全有可能产生新的、更好的成果。

第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法

第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法

最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Y ln y, A ln a Y A bx
8
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315
算
3
4
36.6
3.6000
16
14.4000
方
4
5
49.1
3.8939
25
19.4695
法
5
6
65.6
4
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计

带插值条件的移动最小二乘曲线拟合

带插值条件的移动最小二乘曲线拟合

带插值条件的移动最小二乘曲线拟合在数据拟合中，最小二乘法是一种广泛使用的方法。

它通过最小化误差的平方和来确定模型的参数。

但是，在许多实际场景中，数据可能包含噪声或坏点，最小二乘法无法准确地拟合这些数据。

在这种情况下，可以使用带插值条件的移动最小二乘曲线拟合。

移动最小二乘法是一种在数据上实现局部拟合的方法。

通过选择一个移动窗口大小来限制拟合曲线的局部性质，移动最小二乘法可以在每个位置上生成一个近似曲线。

然而，在某些情况下，通过简单的移动最小二乘法拟合曲线可能会过于平滑或过于不光滑，因此不适合应用于某些情况下。

在这种情况下，可以使用带插值条件的移动最小二乘曲线拟合。

这种方法引入了插值条件，以控制拟合曲线的平滑程度。

所谓插值条件，是指在拟合的每个位置上，将拟合曲线与原始数据的值相匹配。

这使得生成的曲线不会跳跃或突变，从而实现更顺滑的过渡。

根据带插值条件的移动最小二乘曲线拟合的过程，可以将其划分为以下步骤：1. 定义拟合窗口大小和拟合阶数在整个数据集中选择一个拟合窗口，将其定义为每个位置需要拟合的数据点的数量。

这个窗口大小可以随着数据间隔的大小而变化，并且可以根据拟合任务的特殊性质进行自定义。

另外，需要选择一个拟合阶数，该阶数定义了用于生成拟合曲线的多项式的次数。

2. 计算每个位置上的拟合参数对于每个移动窗口，可以使用最小二乘法计算多项式系数（即拟合参数），以生成一组拟合曲线。

这些拟合参数是通过求解以下矩阵方程组来获得的：$ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} w_i(x_j-x)^2a_{i+j}=\sum_{i=0}^{n}w_iy_i(x_i-x)^k$在这个方程组中，为了控制拟合的局部性质，只需要考虑在窗口内的数据。

同时，通过加权最小二乘法可以保证使用拟合参数产生的拟合数据与原始数据契合得更好。

在上述方程组中，$x$ 是当前拟合位置，$x_i$ 是在拟合窗口范围内的数据点的位置, $y_i$ 是数据点的值,$w_i$ 是加权系数, $m$ 是拟合阶数， $n$ 是窗口大小。

最小二乘曲面拟合插值法

最小二乘曲面拟合插值法

最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。

背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。

在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。

通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。

曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。

最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。

通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。

在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。

1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。

目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。

我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。

我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。

最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。

2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。

最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。

二维的最小二乘法

二维的最小二乘法

二维的最小二乘法 二维的最小二乘法是一种经典的数据拟合方法，广泛应用于各个领域，包括统计学、数学、物理学和工程学等。本文将对二维的最小二乘法进行详细介绍和解释。

最小二乘法是一种求解最佳拟合曲线的方法，通过将实际观测数据与理论模型之间的残差平方和最小化来找到最佳拟合曲线。在二维情况下，我们考虑的是二维平面上的数据点，寻找一条曲线来最佳拟合这些数据。

假设我们有一组二维的数据点，表示为{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}。我们的目标是找到一条曲线y = f(x)，使得曲线上的点到实际数据点的距离最小。

我们需要选择一个合适的函数形式来表示曲线。常见的函数形式包括线性函数、多项式函数、指数函数等。在选择函数形式时，需要考虑数据的特点和拟合的目的。

假设我们选择了一个线性函数y = ax + b来表示曲线，其中a和b是待定的参数。我们的目标是找到最佳的a和b，使得曲线上的点到实际数据点的距离最小。

为了求解最小二乘问题，我们需要定义一个损失函数，用来衡量实际数据点与曲线上的点之间的差距。常用的损失函数是残差的平方和，即： L(a, b) = Σ(yi - (axi + b))^2 其中，L(a, b)表示损失函数，yi表示实际数据点的y坐标，xi表示实际数据点的x坐标，a和b是待定的参数。

我们的目标是找到使得损失函数最小化的参数a和b。通过最小化损失函数，我们可以得到最佳的a和b，从而得到最佳拟合曲线。

为了求解最小二乘问题，可以使用数值优化的方法，如梯度下降法或最小二乘法的闭式解。这些方法可以帮助我们找到损失函数的最小值，从而得到最佳拟合曲线的参数。

在实际应用中，二维的最小二乘法可以用于各种数据拟合问题。例如，可以用二维的最小二乘法来拟合散点数据，从而找到最佳拟合直线或曲线。此外，二维的最小二乘法还可以应用于图像处理、信号处理等领域。

总结起来，二维的最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的差距来找到最佳拟合曲线。它在各个领域都有广泛的应用，可以帮助我们分析和处理实际问题。通过掌握二维的最小二乘法，我们可以更好地理解和应用这一方法，从而提高数据分析和建模的能力。

二坐标最小二乘法

二坐标最小二乘法

二坐标最小二乘法二维坐标最小二乘法（Least Squares Method for 2D Coordinates）简介：二维坐标最小二乘法是一种用于拟合二维数据点的统计分析方法。

它可以寻找到一条最优的直线或曲线，使该直线或曲线与所有数据点的距离之和最小。

这种方法广泛应用于许多领域，包括物理学、工程学、经济学和计算机图形学等。

原理：在二维坐标系中，假设有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们需要找到一条方程为y = f(x)的直线或曲线，使该直线或曲线与所有数据点的距离之和最小。

该问题可以转化为最小化误差函数的平方和，即最小二乘法。

步骤：1.选择适当的方程形式：根据实际问题选择适当的方程形式，可能是直线、抛物线、指数函数等。

2.建立误差函数：将方程代入数据点，计算每个数据点与方程的距离，得到误差函数。

3.求解最小二乘问题：将误差函数进行平方和求和，得到一个关于未知参数的函数。

通过求导数，将该函数最小化得到最优的未知参数值，进而得到最优的拟合曲线。

4.拟合度评估：根据拟合曲线与数据点的拟合程度，评估拟合质量。

应用：二维坐标最小二乘法在很多领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.直线拟合：在大量散点数据中，通过最小二乘法找到一条最佳的直线，用于描述数据点之间的线性关系。

2.曲线拟合：对数据点进行多项式拟合，可以得到与数据点最接近的曲线，用于研究数据的规律和趋势。

3.数据分析：通过最小二乘法，可以对实验或调查所得到的数据进行拟合，提取数据中的信息，如确定房价与面积之间的关系，预测股票价格的趋势等。

4.图像处理：在计算机图形学中，可以通过最小二乘法对图像进行拟合，用于图像的重建、平滑和去噪等操作。

5.参数回归：通过最小二乘法可以估计统计模型中的参数，用于回归分析、估计问题和模型参数的确定等。

优点和局限性：优点：1.最小二乘法简单直观，易于理解和实现。

最小二乘法拟合插值法精品PPT课件


7
7
1
Xi
7
Xi
2
i 1 i 1
i 1
7
7XiXi 27Xi 3i 1 i 1
i 1
7
7
Xi 2
7
Xi 3
Xi
4
i 1
i 1
i 1
步骤5：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
7 Yi
i 1
7 YiXi
i 1
7
YiXi
2
i 1
步骤6：将求得的数列进行逆矩阵 计算，如图：
最小二乘法拟合插值法
步骤1：根据X与Y对应的值，插入散点 图并做出趋势图，如图：
步骤2：从该图可以看出最接近 这7个点的趋势线为抛物线，所以 设该抛物线方程为：
Y=(A0+A1*X+A2*X2)
步骤3：分别对方程中的A0,A1,A2 进行求导，可得：
步骤4：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
步骤7：将求得的逆矩阵与矩阵B相 乘，求得根，如图：
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
9
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal

最小二乘法拟合三维曲线

最小二乘法拟合三维曲线
最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，用于通过已知数据点拟
合出一个函数曲线。

在三维空间中，我们可以通过最小二乘法来拟合
一个三维曲线。

假设我们有一组数据点{(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), ...,
(xn,yn,zn)}，我们的目标是找到一个函数 f(x,y) 来拟合这些数据点。

我们可以假设这个函数是一个形如 f(x,y) = a + bx + cy 的曲线。

为了找到最佳的拟合曲线，我们需要计算误差函数，这里我们选
择使用平方误差函数。

平方误差函数定义为 E = Σ(z - f(x,y))^2，
其中Σ 表示求和。

我们的目标是最小化这个误差函数。

通过最小二乘法，我们可以求得最优解。

首先，我们需要计算系
数 a、b 和 c。

最小化误差函数 E 的过程可以用线性代数的方法求解。

具体而言，我们需要求解一个多元线性方程组，该方程组的矩阵形式
为 XTAX = XTY，其中 XTAX 是一个3x3的矩阵，XTY 是一个3x1 的矩阵，X 是一个 n x 3 的矩阵，X 的每一行对应一个数据点，其中第一
列为1，第二列为 x 值，第三列为 y 值，Y 是一个 n x 1 的矩阵，
每一行为对应的 z 值。

解出系数 a、b 和 c 后，我们的拟合曲线即为 f(x,y) = a +
bx + cy。

最小二乘法是一种常用且经典的曲线拟合方法，在实际应用中被
广泛使用。

通过拟合三维曲线，我们可以更好地理解数据的分布规律，并进行预测和分析。

第3章插值法与最小二乘法1_

1 , i j ( 2 ) l ( x ) , i ,j 0 , 1 , 2 , , n . j i 0 , i j
2 n P ( x ) a a x a x a x --------(2) n 0 1 2 n
且满足
P ( x ) y i 0 , 1 , 2 , , n --------(3) n i i
8
即多项式 P ( x ) 的系数 a , a , a , , a 满足线性 n 0 1 2 n
§ 3.7 数据拟合
1
本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法
本章作业
P122.
2. 5. 19, 20 ,
10. 11. 16. 25. 27.
2
为了计算函数值或分析函数的性态, 必须首先产 生函数可计算的近似式. 函数的插值与数据拟合的
最小二乘法就是研究如何用简单函数为各种离散数
据建立连续模型,为各种非有理函数提供好的逼近,
使它们既能达到精度要求, 又使计算量尽可能小. 插
并 且 用 P () x 近 似 代 替 fx () .
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数 P ( x ) 为函数 f( x ) 的插值函数
点 x 0 , 1 , 2 , ,n ,称为插值节点 i ,i
区间 [a, b]称为插值区间
如函数 y sin x , 若给定 [ 0 , ] 上 5 个等分点

数值分析第3章 插值法与最小二乘法

N2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ).
§4 牛顿插值
记 f [x, y] f ( y) f (x) , f [x, y, z] f [x, z] f [x, y]
y x
z y
插值多项式。
§1 插值法
1.3 插值基函数与Lagrange插值
注：③ 不同基函数可得不同的插值多项式，如 Lagrange，Newton，Hermite等。但由插值多项式的 唯一性知本质上是相同的。
§2 插值多项式的误差
因为 175 的精确值13.22875656…，
故L2(175)=13.230158 较 L1(175)=13.214285 更精确。
一般地令
l j ( x)
( x x0 )( x ( x j x0 )( x j
x j1 )(x x j1 )( x xn ) x j1 )(x j x j1 )( x j xn )
n i 1
(x xi ) ( x j xi )
i j
(j = 0，1，2，…，n)
则
n
n
n
Ln( x) y jl j ( x) y j
所以可设 Rn ( x) K ( x)( x x0 )( x x1 )( x xn ) K ( x)n ( x)
§2 插值多项式的误差
定理1.1 设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的n次插
值多项式。则
Rn ( x)
f (x)
pn ( x)
f n1 (n
( )
1)!
n
1
(
§4 牛顿插值
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y
d
yi
Rij
yi −1
c
R
O
a
xi −1
xi
xi +1
x
图 3-1 矩形分割 Δ
设函数 S ( x, y ) 定义在矩形域 R 上且满足下列条件： （1）在每个子矩形 Rij ( i = 1, ⋅⋅⋅, n, j = 1, ⋅⋅⋅m ) 上， S ( x, y ) 是一个关于 x 和 y 都
ij 是三次的多项式函数，即 S ( x, y ) = ∑∑ bkl ( x − xi −1 ) k =0 l =0 −1
（2） 在整 R 个上， 函数 S ( x, y ) 的偏导数 ∂α + β S ( x, y ) / ∂xα ⋅ ∂y β (α , β = 0,1, 2) 都 是连续的。则称 S ( x, y ) 为双三次样条函数。如果给定一数组
{s } ( i = 0,1, ⋅⋅⋅, n; j = 0,1, ⋅⋅⋅, m ) 则称为双三次样条。如果给定一数组，双三次样条 函数 S ( x, y ) 还满足插值条件 S ( x , y ) = s ( i = 0,1, ⋅⋅⋅, n; j = 0,1, ⋅⋅⋅, m ) ， 就称 S ( x, y )
（1）矩形 R 的四条边界条件上所有节点处的一阶法向偏导数 ' ⎧ ⎪ pα j = S x ( xα , y j ) ( j = 0,1, ⋅⋅⋅, m; α = 0, n ) （3.2） ⎨ ' = = ⋅⋅⋅ = q S x , y i 0,1, , n ; β 0, m ( ) ( ) ⎪ i β y i β ⎩ （2）矩形 R 的四个角点处的二阶混合偏导数
的全体构成 n + 3 维线性空间，所以要求求出插值三次样条函数除节点插值外， 还要加上两个边界条件。对双三次样条函数，关于分割 Δ 的双三次样条函数的全 体组成了 ( m + 3)( n + 3) 维线性空间，现在插值条件只有 ( m + 1)( n + 1) 个，还差
2 ( m + 1) + 2 ( n + 1) + 4 个边界条件。常用的边界条件是：
' '' 然记 S ( xi , y j ) = sij , S x ( xi , y j ) = pij , S y' ( xi , y j ) = qij , S xy ( xi , y j ) = rij ，则由 m 连续性方
程有
⎣ hi +1 hi 其中λi = , μi = hi + hi +1 hi + hi +1
⎡ 2 / hi3 − 2 / hi3 1/ hi2 ⎢ 3 3 / hi3 − 2 / hi ⎢ −3 / hi A h = ⎡ ⎤ ( ) i ⎦ ⎣ ⎢0 0 1 ⎢ 0 0 ⎢ ⎣1
这是因为从可导出
1/ hi2 ⎤ ⎥ − 1/ hi ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎦
（3.6）
' '' si , j = S ( xi , y j ) , pij = S x ( xi , y j ) , qij = S y' ( xi , y j ) , ri, j = S xy ( xi , y j ) ,
满足前面的条件。这样， S ( x, y ) 在子矩形 Rij 上的表示式（3.5）完全决定于矩阵
[C ]ij ，对 [C ]ij ，左上角 4 个元素 sij 由插值条件直接给出，剩下 12 个元素就要通
过边界条件解连续性方程求得。 对于一元三次样条插值，我们可导出 m 连续性方程和 M 连续性方程，并讨 论了其具体求解算法，在这里从略，只是简单的介绍以下思路。 首先，固定 y = y j ( j = 0,1, ⋅⋅⋅, m ) 则函数 S ( x, y j ) 是一维三次样条函数。如仍
直线 x = xi ( i = 0,1, ⋅⋅⋅, n ) 和直线 y = y j ( j = 0,1, ⋅⋅⋅, m ) 称为 Δ 分割的两族网格 线。网格线的交点 ( xi , y j ) ( i = 0,1, ⋅⋅⋅, n, j = 0,1, ⋅⋅⋅m ) 称为 Δ 分割的节点，总共有
( m + 1)( n + 1) 个节点，见图 3-1。
易验证，上的双三次多项式可以唯一地写成
⎤ ⎡ ⎤ S ( x, y ) = ⎡ ⎣( x − xi −1 ) ⎤ ⎦⎡ ⎣ A ( hi ) ⎤ ⎦ [C ]ij ⎡ ⎣ A ( g j ) ⎦ ⎣( y − y j −1 ) ⎦ , ( x, y ) ∈ Rij , （3.5）
T T
其中符号 T 表示矩阵的转置， ⎡ ⎣ A ( hi ) ⎤ ⎦ 为 4 × 4 矩阵。
λi pi −1, j + 2 pij + μi pi +1, j = 3 ⎢λi
⎡
sij − si −1, j hi
+ μi
si +1, j − si , j ⎤ ⎥ (i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n − 1) hi +1 ⎦ （3.7）
在边界上，我们已知切向 p0 j 和 pnj ，由此即可解出
pi , j (i = 0,1, ⋅⋅⋅, n; j = 0,1, ⋅⋅⋅, m) 。分别对 j = 0,1, ⋅⋅⋅, m ，求解上 m 连续性方程就可求
出 R 的所有节点 ( xi , y j ) 处沿 x 方向的一阶偏导数 pij (i = 0,1, ⋅⋅⋅, n; j = 0,1, ⋅⋅⋅, m) 。 其次固定 x = xi ( i = 0,1, ⋅⋅⋅, n ) 则函数 S ( xi , y ) 也是一维三次样条函数。由边界 条件 qi 0和qim 及 m 连续性方程有
(3.1)
由此导出 R 上的一个矩形网格分割 Δ = Δx × Δy ，将 R 分成 mn 个子矩形
Rij : [ xi −1 , xi ] × [ yi −1 , yi ] 。
它的两条邻边长分别是
hi = xi − xi −1 ( i = 1, ⋅⋅⋅, n ) ， gi = yi − yi −1 ( j = 1, ⋅⋅⋅, m ) 。
'' rαβ = S xy ( xα , yβ ) (α = 0, n; β = 0, m ) 。
（3.3）
给出了上面的条件后，我们有 定理 给 定 xy 平 面 上 的 矩 形 区 域 R ， 分 割 Δ 和 ( m + 3)( n + 3) 个 常 数
si , j , pα j , qiβ , rαβ ( i = 0,1, ⋅⋅⋅, m; α = 0, n; β = 0, m ) ， 则存在唯一的关于分割 Δ 的插值三
。 次样条函数 S ( x, y ) 满足插值条件及边界条件（3.2）和（3.3） 这个定理的证明并不难，但属纯数学范畴，在这我们不再引述。我们关心的 是如何求出插值双三次样条函数的具体表达式。 由定义， S ( x, y ) 限制在单个子矩形 Rij 上时为双三次多项式。记 Rij 四个顶点 上的函数值为 sij , si −1, j , si , j −1 , si −1, j −1 ，两个方向的一阶偏导数为 pi −1, j −1 , pi −1, j , pi , j −1 , pij
λi ri−1,β + 2ri,β + μi ri+1,β = 3 ⎢λi
r −r ⎤ ⎡ ri,β − ri−1,β + μi i+1,β i,β ⎥ (i = 1,2, ⋅⋅⋅, n −1), β = 0, m. （3.9） hi hi+1 ⎦ ⎣
而边界条件 r0 β 和 rnβ ( β = 0, m) 已知，由此即可解出边界上的 ri 0 和
和 qi −1, j −1 , qi −1, j , qi , j −1 , qij 以及二阶混合偏导数为 ri −1, j −1 , ri −1, j , ri , j −1 , rij ，也就是给定了四
阶方阵
⎡ si −1, j −1 si −1, j qi −1, j −1 qi −1, j ⎤ ⎢ ⎥ si , j qi , j −1 qi , j ⎥ ⎢ si , j −1 =⎢ p pi −1, j ri −1, j −1 ri −1, j ⎥ ⎢ i −1, j −1 ⎥ ⎢ ⎥ p p r r i, j i , j −1 i, j ⎦ ⎣ i , j −1
∗ ∗ λ∗ j qi , j −1 + 2qij + μ j qi , j +1 = 3 ⎢ λ j
⎡ ⎢ ⎣
sij − si , j −1 gj
+ μ∗ j
其中λ ∗ j =
gi +1 gi , μ∗ j = gi + gi +1 gi + gi +1
si , j +1 − si , j ⎤ ⎥ ( j = 1, 2, ⋅⋅⋅, m − 1) gj ⎥ ⎦ （3.8）
i, j i j ij
为插值双三次样条函数。 实际上，双三次样条函数是由两个一维三次样条函数作直积产生的。对任意 固定的 y0 ∈ [ c, d ] ， S ( x, y0 ) 是关于 x 的三次样条函数，同理，对任意固定的
x0 ∈ [ a, b ] ， S ( x0 , y ) 是关于 y 的三次样条函数。 n + 1 个节点的一维三次样条函数
专题三 二维数据的插值与拟合模型
如果我们要描述一个方桌或一座建筑物的形状， 我就要测量出其角点的位置 与高度，用直线连接角点就行了。但如果要我们描绘出一个不规则的曲面，如一 座山峰，一片海床面等等，问题就不会那么简单了，测量出足够密的样本点的高 度值，尤其是有特殊特征，如山脊、峡谷等位置的高度值，用直线连接相邻样本 点， 在图纸上或计算机上就能恢复曲线的形状， 但无疑这个工作量是相当巨大的。 在这一章里，我们讨论一个更一般的情形：在一个平面区域里，随机地测量一些 样本点的高度值， 如何描绘出原有的空间曲面？这类问题是典型的二维数据的插 值与拟合建模问题， 它有两个基本特点： 一是样本点是很有限的， 也就是并不 “足 够密” ，因此无法直接通过样本点恢复出曲线的形状，需要设计出合理的模型， 通过已知样本点，计算出其他未知点上的高度值；二是样本点是随机分布的，并 不能现成地套用一维的建模方法，需要克服如何从“随机样本点”到规则样本点 的过渡。同时也正是因为这两个特点，建模的方法具有很大的灵活性。 在这一讲里，我们仍然从现实问题入手，讨论 AMCM − 86 的 A 题的建模方 法，从中可以领会到二维数据的拟合这类问题的建模方法。内容是这样安排的， 第 1 节先给出一些必备的数学理论知识，第 2 节提出问题并作出合理的假设，同 时对问题进行分析，最后在第 3 节，我们给出一种解法。 §3.1 双三次样条函数 设 R:[ a, b ] × [ c, d ] 是 xy 平面上的一个矩形区域，在 x 轴和 y 轴上分别取定分 割 Δx : a = x0 < x1 < ⋅⋅⋅ < xn = b, Δy : c = y0 < y1 < ⋅⋅⋅ < yn = d .