分类讨论专题

1 分类讨论专题分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况， 分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论．解这类问题时，首先要弄清有没有分类讨论的必要；其次要把握分类时标准要同一，做到不重复、不遗漏，同时要注意知识之间的综合应用．同学们在解题时应仔细分析题意，挖掘题目的题设和结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决．一、选择题1．已知点A 、B 、C 三点在一直线上，且AB=6cm ，BC=2cm ，则线段AC 的长为（ ）．A ．8cmB ．4cmC ．8cm 或4cmD ．无法计算2．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．无数种3．已知一个等腰三角形有一个角为50o ，则顶角是（ ）A ．50oB ．80oC ．50o 或80oD ．不能确定4．三角形三边上的垂直平分线相交于一点，这一点在( ) ．A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形一边上D ．三角形内，或三角形外，或三角形的一边上5．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为8cm ，⊙O 1的半径为3cm ，则⊙O 2的半径是（ ）．A ．5cmB ．11cmC ．3cmD ．5cm 或11cm6．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b )，则此圆的半径为（ ）A ．2a b +B ．2a b -C ．2a b +或2a b -D ． a +b 或a -b7．如图，在△ABC 中，AB>AC ，过AC 上一点D ，作直线DE ，交AB 于点E ，使得 所作的△ADE 与原三角形相似，这样的直线可以作( )．A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条8．如图，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ．以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画( )．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（第7题图）（第8题图）二、填空题9．已知2 a a=1，则a = ．10．平面上有4个点，过其中每两个点画直线，可以画条．11．在数轴上，点A对应的数是2，那么在数轴上与点A相距4个单位长度的点表示的数是．12．若点O是△ABC的外心，且∠BOC=100°，则∠A= °．13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为．三、解答题14．已知直角三角形的两边分别为6cm和8cm，求这个三角形外接圆的半径长．15．在同一平面上，∠BOA与∠BOC有一条公共边OB，若∠BOA=70°，∠BOC=15°求∠AOC的度数．16．如图，已知点A与点B的坐标分别为(4，0)，(0，2)．(1)求直线AB的解析式；(2)过点C（2，0）的直线(与x轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P，若截得的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．217．某公园的门票价格规定如下表：甲乙两个班共有103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游园，若两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元．（1）若两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱？（2）两班各有多少名学生？18．某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元．小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张．（1）写出零星租碟方式应付金额y1 (元)与租碟数量x（张）之间的函数关系式；（2）写出会员卡租碟方式应付金额y2 (元)与租碟数量x (张)之间的函数关系式；（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？34 19．如图，直线y = -34x +4与x 轴、y 轴分别交于点M 、N. （1）求M 、N 的坐标； （2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，512为半径的圆与直线y = -34x +4相切，求点P 的坐标．20．如图1，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,12=AC ,5=BC ,点M 在边AB 上，且6=AM .（1）动点D 在边AC 上运动，且与点A ，C 均不重合，设x CD =①设ABC ∆与ADM ∆的面积之比为y ，求y 与x 之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；②当x 取何值时， ADM ∆是等腰三角形？写出你的理由．（2）如图2，以图1中ABC ∆的两条直角边为一组邻边的矩形AEBC 中，动点D 在矩形边上运动一周，能使ADM ∆是以∠AMD 为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？。

分类讨论专题训练答案1、如图,已知一次函数y=3/4x+m的图象与x轴交于点A(−6,0)，交y轴于点B.(1)求m的值与点B的坐标；(2)若点C在y轴上，且使得△ABC的面积为12，请求出点C的坐标。

(3)若点P在x轴上，且△ABP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标。

答案：(1)m=8，点B坐标为(0,8).(2)存在,点C坐标(0,12)或(0,4).(3)满足条件的点P坐标为(−16,0)或(4,0)或(6,0)或(73,0).2、如图，在平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，，AO=6，将沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合.（1）求直线BE的解析式；（2）求点D的坐标；（3）x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.答：3、如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0)和B(3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：抛物线的解析式为y=x2-4x+3；点C的坐标为（4，3）；存在点P（2，21）或（2，-21）或（2，21+3）或（2，3-21）4、如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点。

如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动。

(1)若点P、Q两点分别从B. A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(2)若点P、Q两点分别从B. A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形?答案(1)，△BPD与△CQP是全等。

专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。

初中数学分类讨论专题
1. 哎呀呀，初中数学的分类讨论可太有意思啦！就说解不等式的时候吧，比如x²-5x+6＞0，我们是不是得考虑各种情况来求解呀！这就像走迷宫，
得找对每条路才行呢！
2. 嘿，你知道吗？图形的分类讨论也超有趣！像判断等腰三角形的时候，到底是哪两条边相等呢？这可得仔细琢磨呀，就如同在玩找不同的游戏一样！
3. 哇塞，分类讨论在函数问题中也常常出现呢！假如已知一个函数图像，要确定解析式，那可得把不同情况都考虑进去呀，这难道不是像拼凑一幅神秘的拼图吗？
4. 哟呵，在几何证明中，分类讨论也是必不可少的！比如点的位置不确定时，那证明的思路可能完全不同哦，这就好比在选择不同的冒险路线！
5. 嘿呀，计算概率的时候也得分类讨论呢！比如说扔骰子出现不同情况的概率，是不是得一种一种算呀，这多像在收集各种宝贝呀！
6. 哎呀，方程有时候也需要分类讨论呢！比如含绝对值的方程，得根据绝对值里面的正负情况来分别求解，这就像在解开一团乱麻！
7. 哇哦，角度的分类讨论可不能忽视呀！像三角形中锐角、直角、钝角的情况，都得考虑到呢，这多像在整理一个多彩的调色盘！
8. 嘿，动点问题更是分类讨论的典型啦！那个点动起来，情况可就复杂啦，就像在看一场刺激的赛车比赛！
9. 总之呀，初中数学的分类讨论专题真的超级重要呢！它能让我们的思维变得更加灵活，解题更加得心应手！就像是给我们的大脑加上了一对翅膀，能在数学的天空中自由翱翔！。

分类讨论思想专题一、概述1.定义：数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。

2.关键：明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。

二、例题分析1.分式方程无解的分类讨论问题例1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x解：去分母，得：2.“一元二次”方程系数的分类讨论问题例2：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。

当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且02≠m综（1）（2）得， 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。

一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。

这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m 41-≥m视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

3.三角形的形状不定需要分类讨论例3: 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。

如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·， 得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。

由 ∠B ＝25°。

可知∠BAD ＝65°。

所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。

如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。

分类讨论专题（人教版）试卷简介:明确分类讨论的四种类型：定义法则、关键词不明确、位置不确定、对应关系不确定，做题过程中需注意画出符合题意的图形，并能够根据标准取舍。

一、单选题(共10道，每道10分)1.若是完全平方式,则m的值为( )A.5或7B.-5或-7C.7或-5D.5或-7答案：C解题思路：（1）考点：分类讨论，完全平方式（2）解题过程：∵是完全平方式∴解得：故选C试题难度：三颗星知识点：完全平方式2.若是完全平方式,则m的值为( )A.1或3B.-3或-5C.1或-3D.3或-5答案：C解题思路：（1）考点：分类讨论，完全平方式（2）解题过程：∵是完全平方式∴解得：m=1或-3故选C试题难度：三颗星知识点：完全平方式3.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1,x+1,5,则x的值为( )A.1B.2C.4D.1或2或4答案：B解题思路：（1）考点：分类讨论，等腰三角形（2）解题过程：①当3x-1=x+1时，解得x=1，则等腰三角形的三边为：2，2，5，因为2+2=4<5，不能构成三角形，故舍去；②当3x-1=5时，解得x=2，则等腰三角形的三边为：5，3，5，能构成三角形，符合题意③当x+1=5时，解得x=4，则等腰三角形的三边为：11，5，5，因为5+5=10<11，不能构成三角形，故舍去；综上可得：x=2故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为40°,则△ABC的顶角为( )A.20°或160°B.30°或150°C.40°或140°D.50°或130°答案：D解题思路：（1）如图1：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°；即∠BAC=50°；（2）如图2：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠DEA=90°，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=50°，∴∠BAC=130°；综上，△ABC的顶角为50°或130°．故选D试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质5.已知C,D两点在线段AB的中垂线上,且∠ACB=50°,∠ADB=80°,则∠CAD的度数为( )A.15°或115°B.15°或125°C.30°或115°D.30°或125°答案：A解题思路：（1）如图1，当C，D两点在线段AB的同侧时，∵C，D两点在线段AB的垂直平分线上∴CA=CB，△CAB是等腰三角形∵CE⊥AB∴CE是∠ACB的角平分线∴∠ACE=∠BCE而∠ACB=50°∴∠ACE=25°同理可得：∠ADE=40°∵∠ADE=∠ACE+∠CAD∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°（2）如图2，当C，D两点在线段AB的两侧同（1）可得：∠ACE=25°，∠ADE=40°∴∠CAD=180°-∠ADE-∠ACE=180°-40°-25°=115°综上，∠CAD的度数为15°或115°故选A试题难度：三颗星知识点：分类讨论6.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点, 且AD=AC,BE=BC,则∠DCE的度数为( )A.20°或70°B.20°或60°或110°C.20°或70°或110°D.60°或70°或110°答案：C解题思路：（1）如图1，当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时∵BE=BC∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2∵AD=AC∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2∵∠BEC=∠ADC+∠DCE∴∠DCE=∠BEC-∠ADC∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°（2）如图2，当点D ,E在点A的同侧，且点D在点D′的位置，E在E′的位置时∵BE′=BC∠ABC=∠BCE′+∠BE′C∴∠BE′C=∠ABC÷2∵AD′=AC∴∠AD′C=（180°-∠BAC）÷2∵∠AD′C=∠D′CE′+∠BE′C∴∠D′CE′=∠AD′C -∠BE′C∴∠D′CE′=（180°-∠BAC）÷2-∠ABC÷2=（180°-∠BAC -∠ABC）÷2=∠ACB÷2=40°÷2=20°（3）如图3，当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时∵BE′=BC∴∠BE′C=（180°-∠CBE′）÷2=∠ABC÷2∵AD=AC∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2∵∠DCE′=180°-（∠BE′C+∠ADC）∴∠DCE′=180°-（∠ABC+∠BAC）÷2=180°-（180°-∠ACB）÷2=110°（4）如图4，当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时∵AD′=AC∴∠AD′C=（180°-∠BAC）÷2∵BE=BC∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2∴∠D′CE=180°-（∠BEC+∠AD′C）=180°-（180°-∠ABC）÷2-（180°-∠BAC）÷2=(∠BAC+∠ABC)÷2=（180°-∠ACB）÷2=（180°-40°）÷2=70°故∠DCE的度数为20°或70°或110°故选C试题难度：三颗星知识点：分类讨论7.等腰三角形一腰上的中线把周长分为15cm和27cm的两部分,则这个等腰三角形的底边长是( )A.6cmB.22cmC.6cm或22cmD.10cm或18cm答案：A解题思路：（1）考点：分类讨论，等腰三角形的性质（2）解题过程：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线．①若AB+AD=15，BC+CD=27，则可得3AD=15，∴AD=CD=5，∴AB=AC=10，BC=27-5=22，此时三角形的三边长为10,10,22，不能构成三角形，不成立．②若AB+AD=27，BC+CD=15，则可得3AD=27，∴AD=CD=9，∴AB=AC=18，BC=15-9=6．此时三角形的三边长为18,18,6，能构成三角形，成立．即底边长为6cm．故选A试题难度：三颗星知识点：分类讨论8.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动.同时,点Q在线段CA上以相同速度由C点向A点运动.一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△BPD与△CQP全等时,点P运动的时间为( )A. B.C.1D.1或答案：C解题思路：∵AB=AC，∴∠B=∠C，设点P，Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t，∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，∴BD=×10=5cm，PC=（8-3t）cm，①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC，BP=CQ，∴5=8-3t且3t=3t，解得t=1，②当△BDP≌△CQP时，∴BD=CQ，BP=PC，∴5=3t且3t=8-3t，解得t=且t=（舍去），综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题9.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个4×4的方格纸中,找出格点C,使△ABC是等腰三角形,这样的点C共有( )个.A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：本题考查的是等腰三角形的存在性，借助两圆一线进行处理.如图，分别以A，B为圆心，以AB为半径作圆；作线段AB的垂直平分线；共与格点有8个交点故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形10.在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有( )A.1B.4C.7D.10答案：D解题思路：本题考查的是等腰三角形的存在性，借助两圆一线进行处理.如图，分别以A，B，C为圆心，以等边三角形边长为半径作圆；作三边的的垂直平分线；共有满足题意的P点10个.故选D试题难度：三颗星知识点：等腰三角形。

共5页 第 1 页专题：分类讨论一、 例题选讲（一）概念中的分类讨论 1．==+x x 则,512.若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或-1B ．-5或1C ．5或1D ．-5或-1（二）含有参变量的分类讨论3. 如果x mx 29++是一个完全平方式，那么m 的值为（ ）A. ±3B. ±9C. ±6D. 6（三）运动变化中的分类讨论4．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）.A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．55.如图，如果正方形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有 个。

（四）几何图形不确定的分类讨论6．直角三角形的两边为3，4，则第三边为7.已知等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于4，则此等腰三角形的周长是（ ）.A ．16B ．14C ．16或14D ．16或12（五）实际应用中进行的分类讨论 例4. 某水果批发市场香蕉的价格如下表：共5页 第 2 页张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？※小结归纳:用分类讨论思想解决问题的一般步骤是： 1、先明确需讨论的对象；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；（统一标准，不重不漏）3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。

二、能力训练1． 若点P 在x 轴上，与点M(2,0)的距离为2，则点P 的坐标为 2.已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或153．若等腰三角形中有一个角等于50 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．50B ．80C ．65 或50D ．50 或804. 已知x y ==412，||，则xy的值等于 。

梯形中的分类讨论专题训练
概述：
本文档旨在介绍和训练梯形中的分类讨论技巧，帮助读者理解
和应用该技巧，以提高问题解决和思维能力。

梯形是一种特殊的四
边形，讨论其分类可以帮助我们更好地理解其性质和特点。

1. 什么是梯形？
- 梯形是一个四边形，其两边是平行的，但其他两边不必平行。

- 梯形具有多个特点和性质，比如有且只有两条平行边，两组
对边等长等。

2. 梯形的分类：
- 梯形可以根据各边的长度和角的大小进行分类讨论。

- 根据边的长度，梯形可以分为等腰梯形和非等腰梯形。

- 根据角的大小，梯形可以分为直角梯形、锐角梯形和钝角梯形。

3. 各类梯形的性质和特点：
- 等腰梯形：具有两组对边等长的特点，对角线也等长。

- 非等腰梯形：两组对边不等长。

- 直角梯形：具有一个直角的特点。

- 锐角梯形：四个内角均为锐角。

- 钝角梯形：至少有一个内角是钝角。

4. 举例讲解：
- 例如，一个具有两边长相等的梯形就是等腰梯形。

- 另外，如果一个梯形有一个直角，那么它就是直角梯形。

训练：
通过练分类和判断给定梯形的特点和性质，以及给定特点和性质判断梯形的类别，有助于强化对梯形分类的理解和应用。

读者可以通过练题目来提升对梯形的识别和分析能力。

结论：
通过深入理解梯形的分类讨论，我们可以更好地认识梯形的性质和特点，从而提高解决问题和思维能力。

希望本文档对读者在梯形分类讨论的研究和训练过程中有所帮助。

高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。

2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。

3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。

4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。

5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。

6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。

7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。

8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。

以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。

应用题（分类讨论题型）经典例题分析：例:甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场按照原价八折出售，乙商场对累计购物超过200元后的价格部分打七折，设小明在同一商场累计购物X元，其中X>200.（1）根据题意，填写下表：（单位：元）(2)当X取何值时，小明在甲乙两个商场花费相同？当X取何值时，甲商场实际花费少?当X取何值时，乙商场实际花费少？强化训练：1.考虑下面两种移动电话的计费方式设每月通话时间为X分钟，其中X>150(1）根据题意，填写下表(2)当X取何值时，两种计费方式的费用相同？(3）当每月通话时间超过250分钟时，选用哪种计费方式费用较少?2.某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，甲乙印刷厂的收费方式不同，甲厂的收费方式是需要先收取制版费6元，然后按照印刷数量收取每份0.1元的制版费，乙厂的收费方式是没有制版费，只按照印刷数量收取每份0.12元的印刷费，现设需要印刷的份数为X份（1）根据题意，填写下表：（单位：元）(2)当X取何值时，两种收费方式的花费是一样的？(3)该校某年级每次需印制100-450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式比较合算？3.甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累积购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费。

回答下列问题：当你在同一商场累积购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少?5.某旅行团计划今年暑假组织一个老年人旅游团去台湾旅游，预定宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案，甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费，乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按8折收费。

7个人7组讨论6个专题一、问题背景介绍随着我国社会经济的快速发展，各种问题与挑战也日益显现。

为了探讨这些问题，寻求解决方案，一群热衷于社会进步的七个朋友决定组织一次专题讨论。

这次讨论共涉及六个专题，分别是创新与发展、环境保护与可持续发展、教育改革与人才培养、医疗健康体系建设、基础设施建设与城市化进程、企业管理与市场营销、文化交流与传播。

七个朋友分成六组，围绕这些专题展开了激烈的讨论。

二、七个专题讨论内容1.专题一：创新与发展在这一专题中，小组成员们重点讨论了如何提高我国的创新能力，推动经济高质量发展。

大家一致认为，创新是驱动发展的第一动力，要加大科技研发投入，强化知识产权保护，培养一批具有国际竞争力的创新型企业。

2.专题二：环境保护与可持续发展环境保护与可持续发展是当下我国社会面临的重要课题。

小组成员们围绕如何实现绿色发展、减少污染排放、提高资源利用效率等问题展开了深入探讨，并提出了一系列切实可行的措施。

3.专题三：教育改革与人才培养教育改革与人才培养是关系国家未来竞争力的重要因素。

小组成员们从教育体制、课程设置、师资队伍建设等方面提出了许多建议，旨在提高我国教育事业的发展水平。

4.专题四：医疗健康体系建设医疗健康体系建设关乎民生福祉。

小组成员们关注医疗资源的配置、医疗保障制度的完善、公共卫生体系的构建等问题，为我国医疗健康事业的发展出谋划策。

5.专题五：基础设施建设与城市化进程基础设施建设与城市化进程是推动我国经济社会发展的关键。

小组成员们从交通、能源、住房等方面讨论了基础设施建设的现状与挑战，并对城市化进程中的问题进行了深入剖析。

6.专题六：企业管理与市场营销企业管理与市场营销是企业发展的重要环节。

小组成员们探讨了如何提高企业核心竞争力、优化市场营销策略等问题，为我国企业的可持续发展提供了有益建议。

7.专题七：文化交流与传播文化交流与传播是提升国家软实力的重要途径。

小组成员们关注如何弘扬优秀传统文化、推动文化创新、加强国际文化交流等问题，为我国文化事业的繁荣建言献策。

4.2(5)专题4--分类讨论-线段
一．【知识要点】
1.在有关线段的计算题中，有些题目没有给出图形，而符合题意的图形又不唯一，这时要分类讨论。

二．【经典例题】
1.已知AB=12cm,点C 是线段AB 的三等分点，则AC=____________.
2.点C B A ,,在同一直线上，cm BC cm AB 1,3==，求线段AC 的长
3．已知线段AB ＝8cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，点M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．
4.点C B A ,,在同一直线上，
（1）若1:3:,8==BC AC AB ，求线段AC 的长度；
（2）若1::,n BC AC m AB ==，（n 为大于1的整数），求线段AC 的长度
三．【题库】
【A 】
1. 在直线l 上有三点A 、B 、C ，如果AB=8cm, BC=3cm, 那么线段AC 的长为（ ）。

A. 11 cm
B. 5 cm
C. 11cm 或5cm
D. 不能确定
【B 】
1．已知线段AB ＝8cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，点M 是线段AC 的中点，则线段AM 的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm
【C】
1.已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．
【D】
1．已知：线段AB＝10，C、D为直线AB上的两点，且AC＝6，BD＝8，求线段CD的长．
2．如图，P是定长线段AB的三等分点，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值。

等腰平行四边形分类讨论专题
简介
这份文档将讨论等腰平行四边形的分类问题。

等腰平行四边形
是一种具有特定性质的四边形，它有两对平行边和两对相等的内角。

我们将通过分类讨论的方式，探讨不同类型的等腰平行四边形及其
特征。

分类一：矩形
矩形是一种特殊的等腰平行四边形。

它的两对内角都是直角（90度），且两对边都相等长。

矩形具有高度和宽度相等的特点，因此可以看作是正方形的一种特例。

分类二：正方形
正方形也是一种特殊的矩形，其中所有内角都是直角，且四边
长度相等。

正方形具有高度、宽度和边长都相等的特点，是最特殊
的等腰平行四边形。

分类三：菱形
菱形是一种特殊的等腰平行四边形，它的两对边长都相等，但内角并不一定是直角。

菱形有一个特殊的性质，就是对角线相互垂直，且互相平分。

分类四：一般等腰平行四边形
一般的等腰平行四边形指的是既不是矩形、正方形、也不是菱形的等腰平行四边形。

这种类型的四边形具有两对平行边和两对相等内角，但没有其他特殊性质。

结论
等腰平行四边形可以分为矩形、正方形、菱形和一般等腰平行四边形四种类型。

它们分别具有不同的特征和性质，我们可以通过观察它们的边长和内角来判断其所属类型。

钝角三角形分类讨论专题引言钝角三角形是一种具有一个或多个钝角的三角形。

在本讨论专题中，我们将探讨钝角三角形的分类以及相关属性。

通过深入研究这一主题，我们可以更好地理解钝角三角形的性质和特点。

分类根据钝角的数量和大小，钝角三角形可以分为不同类型。

1. 单钝角三角形：指具有一个钝角的三角形。

该类型的钝角可以是任意大小，只需满足大于90度即可。

2. 多钝角三角形：指具有两个或两个以上钝角的三角形。

这些钝角可以是相等的或不相等的。

属性钝角三角形具有一些特有的属性和性质。

1. 内角和：一个钝角三角形的内角和总是大于180度。

这与直角三角形和锐角三角形不同。

2. 外角和：一个钝角三角形的外角和总是小于360度。

这也是与直角三角形和锐角三角形的区别之一。

3. 边长关系：钝角三角形的边长可以各不相等，也可以存在相等的边。

这将直接影响到其形状和外观。

4. 面积计算：计算钝角三角形的面积需要不同的方法。

一种常用的方法是使用海伦公式或三角形的高。

应用钝角三角形的分类和属性在各个领域都有应用价值。

1. 数学几何：了解钝角三角形的分类和性质可以帮助我们更好地理解几何学中的相关概念和定理。

2. 工程设计：在建筑和工程设计中，我们经常会遇到各种类型的三角形。

了解钝角三角形的特点可以帮助我们更好地进行结构设计和计算。

3. 地理测量：地理测量中的三角测量法也需要考虑不同类型的三角形。

钝角三角形的分类和属性可以为测量工作提供指导和支持。

结论通过对钝角三角形的分类和属性的讨论，我们深入了解了这一特殊类型的三角形的性质和特点。

钝角三角形在不同领域都有广泛的应用，对于我们的学习和工作都具有重要意义。

通过进一步研究和应用，我们可以更好地利用钝角三角形的特点，推动相关领域的发展和创新。

椭圆中的分类讨论专题训练简介椭圆是数学中的一种曲线，具有多种分类方法和讨论内容。

本次专题训练将着重讨论椭圆的分类方法和相关问题。

椭圆的定义椭圆是平面上一组点，其到两个定点的距离之和等于定长的常数。

数学表达式为：$|\overline{PF_1}| + |\overline{PF_2}| = 2a$，其中$a$为常数，$F_1$和$F_2$为椭圆的两个焦点。

椭圆的参数方程椭圆也可以使用参数方程来表示。

参数方程可以通过描述椭圆上的点与一个参数（通常是角度）之间的关系。

常见的参数方程为：$$\begin{aligned}x &= a\cos(t) \\y &= b\sin(t)\end{aligned}$$其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴，$t$为参数。

椭圆的分类根据椭圆的长短半轴之间的关系，我们可以将椭圆分为不同的类型。

1. 等轴椭圆：当长半轴和短半轴相等时，即$a=b$，椭圆为等轴椭圆。

等轴椭圆具有特殊的对称性，并且沿着对称轴有多个重叠点。

2. 扁圆椭圆：当长半轴大于短半轴时，即$a>b$，椭圆为扁圆椭圆。

扁圆椭圆的形状更加扁平，离标准圆形更远。

3. 瘦圆椭圆：当短半轴大于长半轴时，即$b>a$，椭圆为瘦圆椭圆。

瘦圆椭圆的形状更加狭长，接近于直线。

椭圆的相关问题除了椭圆的分类外，我们还可以探讨其他与椭圆相关的问题，如：1. 椭圆的焦点和直径之间的关系。

2. 椭圆的离心率和长短半轴之间的关系。

3. 椭圆的切线方程和法线方程。

4. 椭圆的旋转和平移。

以上只是一些椭圆相关问题的简要提及，我们可以根据具体需要进行更深入的讨论和研究。

希望本次专题训练能帮助大家更好地理解和应用椭圆的分类方法和相关知识。

专题04 分类讨论型【讲】【通用版】专题04分类讨论型【讲】【通用版】分类讨论型问题，是指解决此类试题，必须确定好分类标准，并按此标准对问题进行正确分类，使复杂问题简单、清晰起来．先给出近几年高考分类讨论型试题，列举如下：【典例1】已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R．(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a＝0时，求f(x)的最小值．【答案】（1）当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．（2）1【解析】（1）先确定定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)关系，最后根据奇偶性定义确定奇偶性；（2）先研究x≥0时，函数最小值，再根据偶函数性质求最值试题解析：解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，此时f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．∴当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．方法二（分类讨论）由题设知，求OMN 的面积S ，并观察S 最大值时l 的位置特点．类型三 与三角函数、解三角形相结合的分类讨论型【典例3-1】已知方程22sin cos 1x y αα+=，其中[0,α∈曲线？απ类型六 与立体几何相结合的分类讨论型【典例6-1】六盒磁带按“规则方式”打包．所谓“规则方式”，是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体．若磁带盒长、宽、高的尺寸分别为,,a b c ，且a b c >>，请你给出一种使表面积最小的打包方式，予以证明，并画出其示意图．【解析】如果不考虑磁带盒之间的空隙，那么就要考虑长方体表面积可能的值．因为62316=⨯=⨯，所以“规则打包”只有两种类型．设磁带盒过同一顶点的三个面的面积为、、A B C ．（1）若“16⨯”类型，表面积21212S A B C =++．要使S 取值最小，由于磁带盒三边长为a b c >>，从而令A a b =⋅，,B a c C b c =⋅=⋅，则121212S ab ac bc =++；（2）若“23⨯”类型，表面积4612S A B C =++．要S 最小，应为24612S ab ac bc =++．比较两种方式，即()126223S S ac ab a c b -=-=-．当3c b >时，2S 小，故采用“23⨯”打包类型；当3c b <时，1S 小，故采用“16⨯”打包类型；当3c b =时，两种类型都可以．示意图如图所示．【举一反三】7．在长方体1111ABCD A B C D -中，()2,0AB BC a a ==>，12AA =．(1)在BC 边上是否存在点Q ，使得1A Q QD ⊥，为什么？(2)当存在点Q ，使1A Q QD ⊥时，求a 的最小值，并求出此时二面角1A A D Q --的正弦值．类型七 与解析几何相结合的分类讨论型证明：（1）当2AB p ≥时，如图，记综上所述，满足条件的正整数(1)求315C -的值．(2)组合数的两个性质：①C C m n m n n -=；②11C C C m m m n n n -++=是否都能推广到C mx （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z ．参考答案：）BC 上存在点Q ，且1A Q QD ⊥，且11,A Q A A ⊂平面1A AQ ，∴））知a 的最小值是4；4时，2x =，即Q 是BC 的中点，作作1PF A D ⊥，连结QF ．∵QP对上面a 的各种取值范围，作出这两条曲线只有一个公共点的证明如下：上述探究中的方程()214ay a y +-若0a >，则210y a =-<，从而x。