因式分解(十字交叉法)练习题教学内容

专题4.3 因式分解-十字相乘与分组分解法（专项训练）1．（2022春•怀宁县期中）分解因式：①2a（a﹣2b）+4b（2b﹣a）；②x4﹣x3+x2﹣x．【解答】解：①2a（a﹣2b）+4b（2b﹣a）＝2a（a﹣2b）﹣4b（a﹣2b）＝2（a﹣2b）（a﹣2b）＝2（a﹣2b）2；②x4﹣x3+x2﹣x＝x4+x2﹣（x3+x）＝x2（x2+1）﹣x（x2+1）＝（x2+1）（x2﹣x）＝x（x﹣1）（x2+1）．2．（2022春•覃塘区期中）因式分解：（1）a2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）m2+n2﹣2mn﹣1．【解答】解：（1）a2（a﹣b）+4（b﹣a）＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（2）m2+n2﹣2mn﹣1＝（m﹣n）2﹣1＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．3．（2022春•西湖区校级期中）因式分解（1）﹣2x3+16x2﹣24x；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【解答】解：（1）﹣2x3+16x2﹣24x＝﹣2x（x2﹣8x+12）＝﹣2x（x﹣2）（x﹣6）；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．4．（2022秋•阳城县期末）（1）因式分解：3x﹣12x3．（2）因式分解：m2+9n2+6mn﹣25．【解答】解：（1）3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x[12﹣（2x）2]＝3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）m2+9n2+6mn﹣25＝（m2+6mn+9n2）﹣25＝（m+3n）2﹣52＝（m+3n+5）（m+3n﹣5）．5．（2022秋•射洪市期末）分解因式：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．【解答】解：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）+3（m﹣n）][5（m+n）﹣3（m﹣n）]＝（5m+5n+3n﹣3n）（5m+5n﹣3m+3n）＝（8m+2n）（2m+8n）＝4（4m+n）（m+4n）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1＝（4a2﹣4a+1）﹣b2＝（2a﹣1）2﹣b2＝（2a﹣1+b）（2a﹣1﹣b）．6．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．7．（2022秋•武昌区校级期末）分解因式（1）a2﹣b2﹣2a+1；（2）a3b﹣ab．【解答】解：（1）a2﹣b2﹣2a+1＝a2﹣2a+1﹣b2＝（a﹣1）2﹣b2＝（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）；（2）a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．8．（2022秋•嘉峪关期末）分解因式（1）x2﹣16；（2）a﹣a3；（3）4（2a+b）2﹣4（2a+b）+1；（4）y2+2y+1﹣x2．【解答】解：（1）x2﹣16＝x2﹣42＝（x+4）（x﹣4）；（2）a﹣a3＝a（1﹣a2）＝a（1+a）（1﹣a）；（3）4（2a+b）2﹣4（2a+b）+1＝[2（2a+b）﹣1]2＝（4a+2b﹣1）2；（4）y2+2y+1﹣x2＝（y2+2y+1）﹣x2＝（y+1）2﹣x2＝（y+1+x）（y+1﹣x）．9．（2022秋•九龙坡区校级期末）因式分解：（1）m（5﹣m）+2（m﹣5）；（2）x4﹣81x2y2；（3）4x2﹣2x﹣y2﹣y；（4）x2+y2﹣1﹣2xy；（5）m2﹣2mn+n2+6﹣5m+5n．【解答】解：（1）原式＝m（5﹣m）﹣2（5﹣m）＝（5﹣m）（m﹣2）；（2）原式＝x2（x2﹣81y2）＝x2（x+9y）（x﹣9y）；（3）原式＝（4x2﹣y2）﹣（2x+y）＝（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x+y）＝（2x+y）（2x﹣y﹣1）；（4）原式＝（x2+y2﹣2xy）﹣1＝（x﹣y）2﹣12＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；（5）原式＝（m2﹣2mn+n2）﹣5（m﹣n）+6＝（m﹣n）2﹣5（m﹣n）+6＝（m﹣n﹣2）（m﹣n﹣3）．10．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．11．（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）A．﹣6B．6C．﹣1D．1【答案】A【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：A．12．（2022秋•新洲区期末）已知x2+3x﹣12＝0，则代数式x3﹣21x+5的值是（ ）A．31B．﹣31C．41D．﹣41【答案】B【解答】解：∵x2+3x﹣12＝0，∴x2+3x＝12，∴x3+3x2＝12x即x3＝12x﹣3x2，∴x3﹣21x+5＝12x﹣3x2﹣21x+5＝﹣3（x2+3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣31．故选：B．13．（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）A．57B．120C．﹣39D．﹣150【答案】D【解答】解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝﹣6×25＝﹣150，故选：D．14．（2022秋•南关区校级期末）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】A【解答】解：（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝（a﹣b）（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，∴a＝b或b＝c，∵a，b，c是△ABC的三边，∴△ABC是等腰三角形，故选：A．15．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a ﹣b的值为（ ）A．24B．18C．﹣24D．﹣18【答案】D【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故选：D．16．（2022秋•綦江区期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别表示广、爱、我、饶、游、美．现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）A．我爱美B．广饶游C．爱我广饶D．美我广饶【答案】C【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）且x﹣y，x+y，a﹣b，a+b四个代数式分别对应爱、我，广，饶，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我广饶”．故选：C．17．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）【答案】C【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），故选：C．18．（2022秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为 ．【答案】15【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．故答案为：15．19．（2022秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 ．【答案】﹣15【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．故答案为：﹣15．20．（2022秋•雨花区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ．【答案】（2m+n）（m+2n）【解答】解：由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n），∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）．故答案为：（2m+n）（m+2n）．21．（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16＝（3x﹣y）2﹣42＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．22．（2022秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【解答】解：（1）第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．故选：C；（2）否，最终结果为（x﹣2）4．故答案为：否，（x﹣2）4；（3）设x2﹣2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．23．（2022秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝ ；（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；故答案为：（3m+2n）（m+2n）；（2）∵无盖长方体的四个侧面的面积和是16，∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，∵图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，即m+n＝5，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．24．（2022秋•怀仁市校级期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）．①方法1： ；方法2： ；②请写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三个代数式之间的等量关系： ．（2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：m2+3mn+2n2＝ ．【解答】解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，即a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣16＝20．故答案为：20；（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．故答案为：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．25．（2022秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc ＝ ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，所以49＝23+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝13，故答案为：13．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，26．（2022秋•辛集市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　张，3号卡片 张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为　．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：2，3；（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案为：（a+2b）（a+b）；（4）长方形的面积为2a2+3b2+7ab＝（2a+b）（a+3b），∴周长为：2[（2a+b）+（a+3b）]＝6a+8b，故答案为：6a+8b．27．（2022春•田东县期中）先分解因式，再求值（m2+n2）2﹣4m2n2，其中m+n＝4，m﹣n＝7．【解答】解：∵m+n＝4，m﹣n＝7，∴（m2+n2）2﹣4m2n2＝m4+2m2n2+n4﹣4m2n2＝m4﹣2m2n2+n4＝（m2﹣n2）2＝（m+n）2（m﹣n）2＝42×72＝784．28．（2022春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；（2）依题意得，2m2+2n2＝80，mn＝12，∴m2+n2＝40，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝40+24＝64，∴m+n＝8，∴图中所有裁剪线段之和为8×6＝48（cm）．29．（2022春•顺德区期中）已知，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．【解答】解：∵，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝＝﹣．30．（2022秋•淮北月考）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），宽为a、长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图1中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为（a+b）2，画出图形，并根据图形回答（a+b）2＝ ．（2）图2是由图1中的三类图形拼出的一个长方形，根据图2可以得到并解释等式： ．（3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2+4ab+3b2，写出你的拼法，并根据你画的图形分解因式：a2+4ab+3b2．【解答】解：（1）如图1所示：（a+b）（a+b）＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：a2+2ab+b2．（2）解：由图可知，长方形的面积为（a+2b）（2a+b），还可以写成2a2+5ab+2b2，∴（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（3）解：如图2所示，长方形的长a+3b，宽为a+b，面积为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，即a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）．31．（2021秋•略阳县期末）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．【解答】解：∵x+y＝4，xy＝2，∴2x3y+4x2y2+2xy3，＝2xy（x2+2xy+y2），＝2xy（x+y）2，＝2×2×32，＝36．32．（2022秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc ＝ ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，所以64＝14+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝25，故答案为：25．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，所以x+y+z＝2+2+5＝9．。

十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。

知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。

【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。

一元二次方程里的十字交叉法怎么样做最好有例题顺便出几道题首先，对方程中的二次项系数a进行因式分解，找出两个数m和n，使得它们的和等于一次项系数b，且它们的乘积等于常数项系数c。

然后，将方程拆解为两个一次方程，形式为(x+m)(x+n)=0。

接着，将每个一次方程分别令为0，并解出x的值。

最后，将得到的解代入原方程，验证是否满足。

以下是一些例题和解答：例题1：求解方程x^2+5x+6=0。

解答：根据十字交叉法，将b=5分解为两个数的和，使得它们的乘积等于c=6、因此，我们可以将方程拆解为(x+2)(x+3)=0。

令(x+2)=0，解得x=-2令(x+3)=0，解得x=-3验证：将x=-2代入原方程得到-2^2+5(-2)+6=4-10+6=0，成立。

将x=-3代入原方程得到-3^2+5(-3)+6=9-15+6=0，成立。

因此，方程的解为x=-2和x=-3例题2：求解方程x^2-6x+9=0。

解答：根据十字交叉法，将b=-6分解为两个数的和，使得它们的乘积等于c=9、因此，我们可以将方程拆解为(x-3)(x-3)=0。

令(x-3)=0，解得x=3验证：将x=3代入原方程得到3^2-6(3)+9=9-18+9=0，成立。

因此，方程的解为x=3题目：1.求解方程x^2+8x+12=0。

2.求解方程x^2-4x-12=0。

3.求解方程2x^2-5x-3=0。

解答：1.将方程拆解为(x+2)(x+6)=0。

解得x=-2和x=-62.将方程拆解为(x-6)(x+2)=0。

解得x=6和x=-23.将方程拆解为(2x+1)(x-3)=0。

解得x=-0.5和x=3。

解二元一次方程：“十字交叉法”十字相乘就是把二次项拆成两个数的积常数项拆成两个数的积拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项看一下这个简单的例子m²+4m-12m -2m ╳ 6把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写)-12拆成-2与6的积(也是竖着写)经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m)所以十字相乘成功了m²+4m-12=(m-2)(m+6)重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。

解释说明：十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

解二元一次方程：“十字交叉法”十字相乘就是把二次项拆成两个数的积常数项拆成两个数的积拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项看一下这个简单的例子m²+4m-12m -2m ╳ 6把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写)-12拆成-2与6的积(也是竖着写)经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m)所以十字相乘成功了m²+4m-12=(m-2)(m+6)重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。

解释说明：十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

十字相乘法进行因式 【2 】分化1．二次三项式多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,个中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项．例如,322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中,假如把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式;假如把x 看作常数,就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中,把ab 看作一个整体,即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于ab 的二次三项式．同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x ＋y 看作一个整体,就是关于x ＋y 的二次三项式．2．十字相乘法的根据和具体内容应用十字相乘法分化因式,本质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法轨则．它的一般纪律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2,假如能把常数项q 分化成两个因数a ,b 的积,并且a ＋b 为一次项系数p ,那么它就可以应用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分化因式．这种办法的特点是“拆常数项,凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分化为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号雷同;当常数项为负数时,把它分化为两个异号因数的积,个中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号雷同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ,b ,c 都是整数且a ≠0)来说,假如消失四个整数2121,,,c c a a ,使a a a =⋅21,c c c =⋅21,且b c a c a =+1221,3．因式分化一般要遵守的步骤多项式因式分化的一般步骤：先斟酌可否提公因式,再斟酌可否应用公式或十字相乘法,最后斟酌分组分化法．对于一个还能持续分化的多项式因式仍然用这一步骤重复进行．以上步骤可用口诀归纳综合如下：“起首提取公因式,然后斟酌用公式.十字相乘试一试,分组分化要适合,四种办法重复试,成果应是乘积式”．【典范热门考题】例1 把下列各式分化因式：（1）1522--x x ;（2）2265y xy x +-．解：例2 把下列各式分化因式：（1）3522--x x ;（2）3832-+x x ． 解：点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分化时,二次项系数的分化和常数项的分化随机性较大,往往要实验多次,这是用十字相乘法分化的难点,要恰当增长演习,积聚经验,才能进步速度和精确性．例3 把下列各式分化因式：（1）91024+-x x ;（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+; （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 十字相乘法专项演习题(1) a 2－7a+6;(2)8x 2+6x －35;(3)18x 2－21x+5; (4) 20－9y －20y 2;(5)2x 2+3x+1;(6)2y 2+y －6;(7)6x 2－13x+6; (8)3a 2－7a －6;(9)6x 2－11x+3; (10)4m 2+8m+3;(11)10x 2－21x+2;(12)8m 2－22m+15;(13)4n 2+4n －15; (14)6a 2+a －35;(15)5x 2－8x －13;(16)4x 2+15x+9;(17)15x 2+x －2; (18)6y 2+19y+10;(19) 2(a+b)2 +(a+b)(a －b)－6(a －b)2;(20)7(x －1)2 +4(x －1)－20; 把下列各式分化因式：（1）6724+-x x ;（2）36524--x x ;（3）422416654y y x x +-; （4）633687b b a a --;（5）234456a a a --; （6）422469374b a b a a +-． 15．把下列各式分化因式：（1）2224)3(x x --;（2）9)2(22--x x ; ( 3）2222)332()123(++-++x x x x ; （4）60)(17)(222++-+x x x x ;（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ; （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． (1)22157x x ++ (2)2384a a -+ (3)2576x x +- (4)261110y y -- (5)2252310a b ab +- (6)222231710a b abxy x y -+(7)22712x xy y -+(8)42718x x +-(9)22483m mn n ++(10)53251520x x y xy --六.解下列方程（1）220x x --=(2)2560x x +-=(3)23440a a +-=(4)227150b b +-=。

用十字交叉法分解因式一、选择题1、若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 是 （ ） Ａ．－８ Ｂ．－６ Ｃ．８ Ｄ．６2、下列变形中，属于因式分解的是 （ ）Ａ．c b a m c bm am ++=++)( Ｂ．⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++a a a a a 15152Ｃ．)123(123223+-=+-a a a a a a Ｄ．22244)2(y xy x y x ++=+ 3、下列多项式：（１）672++x x ，（２）342++x x ，（3）862++x x ，（4）,1072++x x （５）44152++x x ．其中有相同因式的是（ ） Ａ．只有（１）、（２） Ｂ．只有（３）、（４）Ｃ．只有（２）、（４） Ｄ．不同于上述答案4、下列各式中，可以分解因式的是 （ ）Ａ．22y x -- Ｂ．ny mx + Ｃ．222a m n -- Ｄ．42n m - 5、在下列各式的因式分解中，分组不正确的是（ ） Ａ．)2()1(122222n mn m n mn m ++-=+-+ Ｂ．)1()(1+++=+++x y xy y x xyＣ．)()(xy ay bx ab xy ay bx ab +++=+++ Ｄ．)()(32233223y y x xy x y y x xy x +++=+++ 6、若4:5:y x =，则2215174y xy x +-的值是（ ） Ａ．54 Ｂ．45Ｃ．１ Ｄ．０7、如果)5)(3(152-+=--x x kx x ，那么k 的值是（ ） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．－２ Ｄ．２8、若多项式162--mx x 可以分解因式，则整数ｍ可取的值共有（ ） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个二、填空题9、若多项式65222-++--y mx y xy x 可以分解为)32)(2(-++-y x y x ，则____=m ． 三、计算题10、把多项式n n n b b a b a 5324257912-+-分解因式，并注明每一步因式分解所用的方法．11、已知012)1)((2222=--++y x y x ，求22y x +的值．四、分解因式：1、32576x y x y xy --2、219156n n n x x x ++-- 3 、25724--x x4、611724-+x x5、4224257y y x x -+6、42246117y y x x --7、3)()(22----b a b a8、3)()(22-+++n m n m 9、3)2(8)2(42++-+y x y x10、3168)2(42++--y x y x 11、222215228d c abcd b a +- 12、42248102mb b ma ma +-13、2592a a -+14、2x 2 13x 15 15、22152y ay a --16、2210116y xy x ++-17、22166z yz y -- 18、6)2(5)2(2++++b a b a。