2015步步高理科数学选修4-1

1.（15年广东理科）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ， 1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =图1【答案】8．【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．2.（15年广东文科）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A =．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理． 3.（15年新课标2理科）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ； （2）若AG 等于⊙O的半径，且AE MN ==EBCF 的面积。

4.（15年新课标2文科）如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EFBC ；GAEFONDB C M（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算. 5.（15年陕西理科）如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BC AB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.6.（15年陕西文科）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得DBA BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =222AB BC AC =+， 解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =所以4AC =所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.7.（15年江苏）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析考点：三角形相似1.（15年福建理科）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．A（第21——A 题）【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得()||||f x x a x b c =++-+ 的最小值为|a |b c ++，故|a |4b c ++=，即a b c 4++= ；(Ⅱ)利用柯西不等式2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++≥++求解．试题解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++ 当且仅当a xb -＃时，等号成立又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++, 所以a b c 4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a ba b c c a b c 骣骣琪琪++++炒创=++=琪琪桫桫,即222118497a b c ++ . 当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87.考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．2.（15年新课标2理科）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明： （1）若ab > cd>（2||||a b c d -<-的充要条件。

选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点 极轴 极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程 参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1 题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π3.。

[课堂练通考点]1．(2013·惠州模拟)如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连接AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.答案： 23．(2013·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD的中点，由相交弦定理知P A ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：如图，连接DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得， ∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC . (2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，由BC 是直径，知∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：125°2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝30°，AB ＝2，则⊙O 的半径为________．解析：连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接BD .∠D ＝∠C ＝30°，在Rt △ABD 中， AD ＝2AB ＝4. ∴半径为2. 答案：23．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝________.解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，设OD ⊥AC . 故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r6，故x ＝43r .又由切割线定理 AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝(10－2r )×10，故r ＝154. 由三角形相似，知AD AB ＝DFBC ，则DF ＝3.答案：34．(2014·佛山质检)如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则P A ＝________.解析：由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ，∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BPCP ， ∴8PC ＝42， ∴PC ＝4.∵P A 2＝PC ·PB ＝32， ∴P A ＝4 2. 答案：4 25．(2013·湖南高考)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．解析：由相交弦定理得AP ·PB ＝DP ·PC ，从而PC ＝AP ·PB DP ＝4，所以DC＝5，所以圆心O 到弦CD 的距离等于(7)2－⎝⎛⎭⎫522＝32.答案：326．(2013·深圳调研)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB ＝6，CF ·CB ＝5，则AE ＝________.解析：设AE ＝x ，则EB ＝6－x ，在Rt △CEB 中，EF ⊥BC ，∴CE 2＝CF ·CB ＝5.又易知CE ＝ED ，由相交弦定理得AE ·EB ＝CE ·ED ＝CE 2＝5，即x (6－x )＝5，得x ＝1.答案：17．如图所示，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.解析：由题意知OP ⊥AB ，且AP ＝32a ， 根据相交弦定理AP 2＝CP ·PD ，CP ＝98a .答案：98a8．(2014·武汉模拟)如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连接PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.解析：在△POD 中，由余弦定理知PD ＝4＋1－4cos 120°＝7，再由PE ·PD ＝PB ·PC ⇒PE ＝377.答案：3779．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD ＝8，则圆O 的半径等于________．解析：由射影定理得CD 2＝AD ×BD ，即42＝AD ×8，AD ＝2，圆O 的直径AB ＝AD ＋BD ＝10，故圆O 的半径等于5.答案：510．如图，过点P 作⊙O 的割线P AB 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE ，BE 相交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由圆的切割线定理可得PE 2＝PB ·P A ⇒PE PB ＝P A PE，∴△PEB ∽△P AE ，设∠P AE ＝α，则∠PEB ＝α，∠PBE ＝α＋30°，∠APE ＝150°－2α，∴△PCE 中，∠EPC ＝75°－α，∠PEC ＝30°＋α，∴∠PCE ＝75°.答案：75°11．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点F ，AB ＝10，AF ＝2.若CF ∶DF ＝1∶4，则CF 的长等于________．解析：∵CD ∶DF ＝1∶4， ∴DF ＝4CF ，∵AB ＝10，AF ＝2，∴BF ＝8，∵CF ·DF ＝AF ·BF ，∴CF ·4CF ＝2×8，∴CF ＝2. 答案：212．如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：连接OA .∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，P A ＝OA ·tan 60°＝ 3. 答案： 313．如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于A ，B 两点，弦CD 垂直AB 于E ，则下面结论中，错误的结论是________．①△BEC ∽△DEA ②∠ACE ＝∠ACP ③DE 2＝OE ·EP ④PC 2＝P A ·AB解析：根据图形逐一判断．因为∠BCE ＝∠DAE ，∠BEC ＝∠DEA ，所以△BEC ∽△DEA ，①正确；由切线的性质及三角形的性质得∠ACE ＝∠CBA ＝∠ACP ，②正确；连接OC ，因为PC 是切线，OC 是半径，所以OC ⊥PC ，且CE ⊥OP ，所以由射影定理可得CE 2＝OE ·EP ，又CE ＝DE ，所以DE 2＝OE ·EP ，③正确；由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ，④错误．答案：④14．如图，已知⊙O 的半径为R ，⊙O ′的半径为r ，两圆⊙O ，⊙O ′内切于点T ，点P 为外圆⊙O 上任意一点，PM 与内圆⊙O ′切于点M .PM ∶PT 为________．解析：作两圆的公切线TQ ，连接OP ，连接PT 交⊙O ′于C ，连接O ′C .设PT 交内圆于C ，则PM 2＝PC ·PT ， 所以PM 2PT 2＝PC ·PT PT 2＝PCPT.由弦切角定理知∠POT ＝2∠PTQ ，∠CO ′T ＝2∠PTQ ， 则∠POT ＝∠CO ′T ，PO ∥CO ′，所以PC PT ＝OO ′OT ＝R －r R ，即PM PT ＝R －rR为定值． 答案：R －rR15．(2013·惠州模拟)如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．解析：取BD 的中点M ，连接OM ，OB ，则OM ⊥BD ，因为BD ＝8，所以DM ＝MB ＝4，AM ＝5＋4＝9，所以OM 2＝AO 2－AM 2＝90－81＝9，所以半径OB ＝OM 2＋BM 2＝9＋16＝25＝5，即OC ＝5.答案：516．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M .设圆O 的半径为1，MD ＝3，则CE 的长为________．解析：∵MD 2＝MA ·MB ，∴3＝MA ·(MA ＋2)， ∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3，∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°， CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.答案：6－ 217．如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．若DB ＝BE ＝EA ，则过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为________．解析：如图，连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.答案：12。

选修4－1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应________的两个三角形________；②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；③三边对应成________的两个三角形________．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于____________．②相似三角形周长的比等于____________．③相似三角形面积的比等于________________________．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线________于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长________． (5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________． (6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________． (7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________． (8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角________；(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于点G ，E ，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．第1题图 第2题图2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________.4．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD ＝2，BD＝4，则EA＝________.第4题图第5题图5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .题型三 圆的切线的判定与性质例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB ，且AD ＝23，AE ＝6.(1)判断直线AC 与△BDE 的外接圆的位置关系； (2)求EC 的长．思维升华 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型四与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分](2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.[8分]由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.2.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.3. 如图所示，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB ，DE ，OC .若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．B组专项能力提升1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC 垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．答案要点梳理1．(1)平行线 相等 相等 (2)比例2．(1)①相等 相似 ②比例 相等 相似 ③比例 相似 (2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 两条直角边在斜边上的射影的乘积 4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直 (4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 夯基释疑1．8 2.a 2 3.120° 4.52 5. 6题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ， 又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴△ABC ∽△FCD . (2)解过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ， ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4， 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM， ∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152，∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 跟踪训练1 证明 在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB .∴∠BAC ＝∠BDC ， ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB . ∴EA DC ＝EDDB，即ED ·CD ＝EA ·BD . 例2 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .①∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACCD .又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝ACCD .②由①、②得EF DF ＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 跟踪训练2 证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.例3 解 (1)取BD 的中点O ，连结OE .∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE ＝∠OBE .又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ， ∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE . ∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线， 即直线AC 与△BDE 的外接圆相切．(2)设△BDE 的外接圆的半径为r . 在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2， 即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23， ∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°. ∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3.跟踪训练3 解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6， 所以AE ＝4，DE ＝2.又AE AC ＝ACAD，所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26， 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.例4 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE . 跟踪训练4(1)证明 连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ， ∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BMBD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 练出高分 A 组 1．证明(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP . 2．证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF . ∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ， 因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF.3．解 由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD . 5．解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3， 且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ， 则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2. 又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA . ∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ， ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a . ∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6．(1)证明 由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ， 结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° . 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆． (2)解 由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆， 则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.B 组1．证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . 2．证明 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ， ∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .3．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切， 得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB . (2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ， ∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC . 4.(1)证明 连结DE ，则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∠DEB ＋∠EDB ＝90°，∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ， 又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ，∴∠BDE ＝∠CDE ， ∴DE 是BC 的垂直平分线， 设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝1－34＝12，∴DH ＝32， ∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°，∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF 的外接圆半径为32.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

梯级演练·强技提能1.(2014·武汉模拟)如图,矩形ABCD中,E是BC上的点,AE⊥DE,BE=4,EC=1,则AB的长为.2.(2014·揭阳模拟)如图所示,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,若△AEF的面积等于1cm2,则△CDF的面积等于cm2.3.(2013·广东高考)如图,在矩形ABCD中,AB=错误！未找到引用源。

,BC=3,BE ⊥AC,垂足为E,则ED= .4.已知如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=6,DB=5,则AD的长为.5.(2014·广州模拟)在△ABC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足BE=错误！未找到引用源。

BD,延长AE交BC于点F,则错误！未找到引用源。

的值为.6.在△ABC中,AD⊥BC于D,且错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

的最大值为.7.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD的相似比为.8.(2013·湛江模拟)如图所示,▱ABCD中,BC=12,E,F为BD的三等分点,连接AE 并延长交BC于M,连接MF并延长交AD于N,则DN= .9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,EF∥BC,G是BC边上任一点,如果S△GEF=2错误！未找到引用源。

cm2,那么梯形ABCD的面积是cm2.10.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.11.如图,在△ABC中,AB=14cm,错误！未找到引用源。

第二讲 不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2____ab ，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当______时，它们的积P 取得最____值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当______时，它们的和S 取得最____值． 2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3abc ，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ____na 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 3．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．已知a <0，b <0，且1a 2>1b2，则a ，b 的大小关系为______．2．已知a 、b 、m 均为正数，且a <b ，M ＝ab ，N ＝a ＋m b ＋m ，则M 、N 的大小关系是________．3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 4．已知a >0，b >0，则P ＝lg(1＋ab )，Q ＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]的大小关系为________．5．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为________.题型一 柯西不等式的应用例1 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为______．题型二 用综合法或分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2) abc＋ b ac＋ cab≥3(a ＋b ＋c )．题型三 放缩法或数学归纳法 例3若n ∈N *，Sn ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.思维升华 (1)与正整数n 有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦．(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1.求证：32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．利用算术—几何平均不等式求最值典例：(5分)已知a ，b ，c 均为正数，则a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2的最小值为________． 思维启迪 (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c 分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．解析 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式取得最小值6 3.答案 6 3温馨提醒 (1)利用算术—几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误； 二是求解等号成立的a ，b ，c 的值时计算出错.方法与技巧1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防X1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练1．若1a <1b<0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a 2b <2a －b .其中正确的是________．2．若T 1＝2sm ＋n ，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________．3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．4．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则(1＋1x )(1＋1y)的最小值为________．5．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M 、N 的大小关系为__________．6．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________．7．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 8．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 9．(2013·某某)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．10．设a >0，b >0，则以下不等式①ab >2ab a ＋b ，②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2中恒成立的序号是________．B 组 专项能力提升1．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为_________________________．2．函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝⎛⎭⎫0，13上的最大值是________． 3．(2013·某某)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．4．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为________． 5．P ＝x x ＋1＋y y ＋1＋z z ＋1(x >0，y >0，z >0)与3的大小关系是________．6．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为_________________________．7．设a ，b ，c 都是正数，那么三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ________.(填序号)①都不大于2； ②都不小于2； ③至少有一个大于2； ④至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习 要点梳理1．(2)≥a ＝b 正数 不小于(即大于或等于) (3)①x ＝y 大 ②x ＝y 小2．(1)≥a ＝b ＝c 不小于 (2)不小于 ≥a 1＝a 2＝…＝a n 4．(1)①a －b >0 ②ab >1 (2)充分条件 (4)相反(5)放大或缩小 夯基释疑1．a >b 2．M <N解析 M －N ＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )<0，即M <N .3．a >b >c解析 分子有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6∴a >b >c . 4．P ≤Q解析 12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝lg(1＋a )(1＋b ).∵(1＋a )(1＋b )＝1＋(a ＋b )＋ab ≥1＋2ab ＋ab ＝(1＋ab )2，∴(1＋a )(1＋b )≥1＋ab ，∴lg(1＋ab )≤lg(1＋a )(1＋b )＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．∴P ≤Q .5．2解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·[( 2a)2＋( 2b)2＋( 2c)2] ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b · 2b ＋c · 2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c≥2. ∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. 题型分类深度剖析 例1证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )， 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤[(23)2＋(12)2](3x 2＋2y 2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.跟踪训练1425解析 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，① 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.例2证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， (1a －1)·(1b －1)·(1c －1)＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2. 又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.跟踪训练2 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1， 故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2 (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立． 例3 证明 ∵n (n ＋1)>n 2， ∴S n >1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.又∵n (n ＋1)<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12)＝n (n ＋1)2＋n 2＝n 2＋2n 2<(n ＋1)22.∴n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.跟踪训练3 证明 ∵k (k ＋1)>k 2>k (k －1)，k ≥2， ∴1k (k ＋1)<1k 2<1k (k －1)，即1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ， 分别令k ＝2,3，…，n 得 12－13<122<1－12； 13－14<132<12－13； …1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n ； 将上述不等式相加得： 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<122＋132＋ (1)2 <1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即12－1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－1n ， ∴32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n . 练出高分 A 组 1．②③④解析 取特殊值a ＝－1，b ＝－2， 代入验证得②③④正确． 2．T 1≤T 2解析 因为2s m ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0.所以T 1≤T 2. 3．c解析 由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0得c >b ，知c 最大．4．4解析 (1＋1x )(1＋1y )≥(1＋1xy )2＝4.5．M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .6．M >N解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋ba＋a >2a ＋2b ，∴a b ＋b a >a ＋b .即M >N . 7. 3解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 8.39解析 3a ＋2b ＋c ＝3a ＋2b ＋133c ≤⎝⎛⎭⎫3＋1＋13(a ＋2b ＋3c )＝39， 故最大值为39.9．－2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值 是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 10．②④解析 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≥2ab a ＋b .故①不恒成立． ②中a ＋b >|a －b |恒成立．③中a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2≥0，故③不恒成立．④中由ab >0及ab ＋2ab≥22>2恒成立， 因此只有②④正确．B 组1．16解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y时，上式等号成立． 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 2.4243解析 由y ＝x 2·(1－3x )＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝4243. 3．2解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.4．9解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a＝33b >0，① 同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.② 由①②及不等式的性质得⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b＝9. 5．P <3解析 ∵P －3＝x x ＋1－1＋y y ＋1－1＋z z ＋1－1＝－1x ＋1＋－1y ＋1＋－1z ＋1<0，∴P <3. 6．－2 3解析 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132] ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤2 3.当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z＝－23，∴最小值为－2 3. 7．④解析∵a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝⎝⎛⎭⎫a＋1a＋⎝⎛⎭⎫b＋1b＋⎝⎛⎭⎫c＋1c≥2＋2＋2＝6.∴a＋1b，b＋1c，c＋1a三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.。

[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为______ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点， M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 33．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得 ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos ∠ECD ＝⎝⎛⎭⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝212. 答案：2124.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝m n(m ，n >0)，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n.两式相乘即得BE EC ＝m ＋n n. 答案：m ＋n n5．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：72[课下提升考能]1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO与DE 交于N ，AO 的延长线与BC 交于M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：∵OD OC ＝DN MC ＝14， OE OB ＝OD OC ＝14， ∴NE BM ＝OE OB ＝14，又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14， ∴AE ∶EC ＝1∶3.答案：1∶4 1∶32.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的所有序号为________．①∠ADE ＝∠C ；②∠AED ＝∠B ；③AD AC ＝AE AB ；④DE BC ＝AE AB；⑤DE ∥BC .解析：由题图可知∠A 为公共角，由判定定理可知，①②正确；由∠A 为夹角可知，③正确；由平行线分线段成比例的定理的推论知⑤正确；④不符合两边及其夹角法．答案：①②③⑤3.在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8，则AC ＝________，CD 2BC 2＝________. 解析：由EF ∥CD 可知，△AEF ∽△ADC .于是有AE AD ＝AF AC， 由已知条件代入得，66＋3＝8AC，所以AC ＝12. 又由∠AFE ＝∠B ，得△AFE ∽△ABC ，从而△ACD ∽△ABC .所以CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34，即CD 2BC 2＝916. 答案：12 9164．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)，∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD .易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 答案：6∶35.如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于________．解析：由题意知：BC ＝EC ，又∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴EC ＝12AB . 即BC ＝12AB .∴∠A ＝30°.答案：30°6.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF ＝________.解析：设BF ＝x .若△CFB ′∽△CBA ，则CF CB ＝B ′F AB ，即4－x 4＝x 3. ∴12－3x ＝4x ，∴x ＝127. 若△CFB ′∽△CAB ，则CF CA ＝B ′F AB， 即4－x 3＝x 3，得x ＝2. 即BF ＝2或127. 答案：2或1277.如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9cm 2，S △AOB ＝________.解析：∵在▱ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴△AOB ∽△EOD ，∴S △AOB S △DOE ＝⎝⎛⎭⎫AB DE 2. ∵E 是CD 的中点，∴DE ＝12CD ＝12AB ， 则AB DE ＝2，∴S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.答案：36 cm 28．已知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，E 是AB 的中点，EF交BD 于G ，交AC 于H .若AD ＝5，BC ＝7，则GH ＝________.解析：令BD 交AC 于M ，由AD ∥EF ∥BC 且AE ＝EB 知BG ＝GD ，AH ＝HC .又AD ＝5，BC ＝7.AD ∥BC 知BM MD ＝CM MA ＝BC AD ＝75. 又GM MD ＝HM MA ＝15.∴GH AD ＝15∴GH ＝1.答案：19．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________.解析：延长ME 交CD 的延长线于点G ，则△AME ∽△DGE ，所以AE ED ＝AM DG ＝12，所以DG ＝2AM ＝DC .又△AMF ∽△CGF ，所以AF FC ＝AM CG ＝14. 答案：1410．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝70°，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP ⊥BC 于点P ，FQ ⊥AC 于点Q ，则∠CQP 的大小为________．解析：由FP ⊥BC ，FQ ⊥AC ，得C ，Q ，F ，P 四点共圆，所以∠CQP ＝∠CFP ＝∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(60°＋70°)＝50°.答案：50°11．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355. 答案：35512．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23， EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝13. ∴AD ＝3.∴AB ＝32·AD ＝92. 答案：9213．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：将线段AD 与BC 延长交于点H (如图所示)．根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得S △HCD S △HEF ＝49，S △HCD S △HAB ＝416， 故梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.答案：7∶514．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 边上，且CD ＝1.若∠CAD ＝∠B ，则BD ＝________.解析：作出草图，依据题意tan ∠CAD ＝tan ∠B ，即12＝21＋BD，∴BD ＝3. 答案：315．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF 的长为________．解析：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AF AB. ∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14， ∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD DC. ∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.答案：216．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE的延长线交BC 于F ，则S △BEF S 四边形DEFC的值为________． 解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，所以S △BEFS △BDM ＝19，即S△BDM ＝9S △BEF ，又S △DMCS △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEFS 四边形DEFC ＝114.答案：11417．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，则AF AC 的值为________．解析：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13.又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17.答案：17。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定1．判断下面结论是否正确(请在括号打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)2n>1 000，则綈p：∃n∈N,02n≤1 000.(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,0(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．(×)(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√) 2．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈q答案 B解析 p 是假命题，q 是真命题， ∴綈p ∧q 是真命题．3．(2013·)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．4．(2013·)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定围”，q 是“乙降落在指定围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学员没有落在指定围”＝“甲没有落在指定围”或“乙没有落在指定围”＝(綈p )∨(綈q )．5．若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值围是________． 答案 [－4,0]解析 “∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0.题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断例1 命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0思维启迪 先判断命题p 、q 的真假，然后利用真值表判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假． 答案 B解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， ∴命题p 是假命题．又y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π，∴命题q 真．由此，可判断命题“p ∨q ”真，“p ∧q ”假，“綈p ”为真． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．(1)若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x－1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题(2)“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的________条件． 答案 (1)D (2)必要不充分解析 (1)因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)， 所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)， 所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D. (2)若命题“p 或q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题． 若命题“p 且q ”为真命题，则p 、q 都为真命题，因此“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的必要不充分条件． 题型二 全(特)称命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 思维升华 (1)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 (2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 (1)C (2)C解析 (1)綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0. (2)利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 (1)(2013·名校联考)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值围是__________．思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数围问题，可先求出各命题为真时参数的围，再利用逻辑联结词的含义求参数围． 答案 (1)A (2)[e,4]解析 (1)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.(2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x, 得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.思维升华 以命题真假为依据求参数的取值围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值围是 ( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}(2)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值围为________． 答案 (1)A (2)[－22，22]解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.借助逻辑联结词求解参数围典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，数c 的取值围． 思维启迪 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假． 规解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.[2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．[6分]①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分] ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]第一步：求命题p 、q 对应的参数的围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 且q ”或“p 或q ”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规．温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”． 失误与防1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真．2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是 ( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．2．(2013·)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．綈p ∨綈q 答案 D解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．4．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中(其中公差d ≠0)，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是 ( )A ．綈p ∧綈qB ．綈p ∨綈qC ．綈p ∨qD ．p ∧q答案 B 解析对于命题p ，如图所示，作出函数y ＝a x (a >1)与y ＝log a x (a >1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a >1时，函数y ＝a x 的图象在函数y ＝log a x 图象的上方，即当a >1时，a x >log a x 恒成立，故命题p 为真命题．对于命题q ，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充要条件，故命题q 为假命题．∴命题綈p 为假，綈q 为真，故綈p ∨綈q 为真． 5．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x 答案 B解析 对于选项A ， ∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0， ∴此命题为真命题；对于选项C ，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴此命题为假命题；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0<sin x ， ∴此命题为假命题．故选B. 6．下列结论正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N 不能得到⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N，因此③是错误的．故选C. 二、填空题7．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________． 答案 綈p 、綈q解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真． 8．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. 9．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．10．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值围． 解 由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12， 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值围是0<c ≤12； 当p 假q 真时，c 的取值围是c ≥1.综上可知，c 的取值围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1．下列命题中的假命题是 ( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 答案 B解析 A 正确；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，错误； 对于C ，当x ∈(0,1)时，lg x <0<1，正确；对于D ，∃x ∈R ，tan x ＝2，正确． 2．设有两个命题，p ：不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值围是( )A ．1≤a <2B ．2<a ≤73C ．2≤a <73 D ．1<a ≤2 答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }； B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}． 又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数， 故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]， 而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.二、填空题3．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值围是__________．答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.4．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)解析 根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－12－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}；当p 假q 真时，a 的取值围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)． 5．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值围．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值围为{a|a>2或a<－2}．。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一 利用正弦曲线画正弦函数的图象思考1 用描点法画y ＝sin x 在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？ 答 列表取值、描点、连线；难点在取值.思考2 如何精确地得出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象？ 答 利用正弦线平移作图.1.可以利用单位圆中的正弦线作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象.2.y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象.3.把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.知识点二 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图思考 你认为哪些点是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象上的关键点？ 答 最高点、最低点及图象与x 轴的三个交点.(2)描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表：(2)描点连线，如图所示.反思与感悟 作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示.类型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用 应用1 解不等式问题例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域.解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示.结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域.解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示.结合图象可得：x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤32π，5. 类型三 方程的根(或函数零点)问题例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数.解 建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示.由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个.反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3 若函数f (x )＝sin x －2m －1，x ∈[0,2π]有两个零点，求m 的取值范围. 解 由题意可知，sin x －2m －1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x ＝2m ＋1有两个根. 可转化为y ＝sin x 与y ＝2m ＋1两函数图象有2个交点. 由y ＝sin x 图象可知：－1＜2m ＋1＜1，且2m ＋1≠0， 解得－1＜m ＜0，且m ≠－12.∴m ∈(－1，12)∪(12，0).1.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0) D.(2π，0) 答案 A解析 易知⎝⎛⎭⎫π6，12不是关键点.2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )答案 D解析 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个.答案 两解析 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12(图略)，知两函数图象有两个交点.4.函数y ＝2sin x －1的定义域为________. 答案 [π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z解析 由题意知，自变量x 应满足2sin x －1≥0， 即sin x ≥12.由y ＝sin x 在[0,2π]的图象，可知π6≤x ≤56π，又有y ＝sin x 的周期性，可得y ＝2sin x －1的定义域为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 5.在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图. 解 (1)按五个关键点列表：(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示.1.正弦曲线、余弦曲线在研究正弦函数、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.一、选择题1.对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A.向左右无限伸展B.与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C.与x 轴有无数个交点D.关于y 轴对称 答案 D解析 由正弦曲线，知A ，B ，C 均正确，D 不正确. 2.点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 答案 C解析 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.3.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A.与g (x )的图象相同 B.与g (x )的图象关于y 轴对称 C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象.4.函数y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由特殊点验证，因为y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]过点(π，2)，所以选D. 5.不等式sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A.[0，π]B.(0，π)C.⎣⎡⎦⎤π2，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π2答案 B解析 由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得. 6.方程sin x ＝x10的根的个数是( )A.7B.8C.9D.10 答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根.7.如图所示，函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是( )答案 C解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.8.已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A.4B.8C.2πD.4π 答案 D解析 采用割补法. 二、填空题 9.函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为________. 答案 (－4，－π]∪[0，π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，16－x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－4＜x ＜4⇒－4＜x ≤－π或0≤x ≤π.10.函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2.∴交点为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫32π，4. 11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是____________________________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜56π＋2k π，k ∈N .三、解答题12.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3). 13.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知：①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .。