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(7)(教师版)考点专题七 函数(1)

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考点专题七 函数第1课时 函数的概念与反函数【考情分析】从近四年的高考试卷分析来看，理科对于函数的知识每年考查5到6题，所占的分值比例为17%左右，难度以中等题、较难题为主；文科对于函数的知识每年考查5到6题，所占的分值比例为18%左右，难度以中等题、较难题为主.本专题的知识是整个高中数学的重点内容和主干知识，是高考数学每年必考的内容，高考对本专题知识点的考查形式灵活多变，可单独考查，也可作为载体与其他知识结合考查. 本专题的知识以填空题、选择题、解答题的形式均有考查，理科主要考查反函数，分段函数，函数模型，函数的奇偶性、单调性，指数函数、对数函数的图像和性质，指数方程和对数方程等知识；文科主要考查反函数，分段函数，函数的应用，二次函数的最值，函数的奇偶性、单调性，指数函数的图像和性质，指数方程和对数方程等知识.本专题知识常与一元二次不等式、数列、解析几何、三角函数等知识结合考查，涉及到的思想方法主要有分类讨论、函数与方程和数形结合.【重难点知识梳理】一、反函数难点：1.原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，在解决有关原函数与反函数的图像的相关问题时，要注意学会运用这一性质解题.2.原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域.当已知点),(b a 在反函数的图像上，求原函数的解析式时，可利用这一性质将点),(a b 代人原函数的解析式求解，这样可简化运算.易错点：求反函数的解析式时容易忽略函数的定义域而造成错误. 二、分段函数难点：分段函数的解析式不能用同一个式子来表示，这时需要通过分段来表示，分段时要做到不重不漏，即要保证各段上的函数的定义域的并集为函数的定义域，交集为空集，同时还要保证每一个分段上的函数解析式均是正确的. 易错点：1.写分段函数的解析式时，分段不正确. 2.没有将函数的解析式写成分段的形式. 三、函数模型 难点：正确判断函数模型，如分段函数，一元二次函数，指数、对数函数等常见的函数模型. 易错点：利用函数解应用题时易忽略实际问题的限制条件.【基础练习】定义域、值域、反函数、零点、函数值1.函数142--=x x y 的定义域为_______________.【答案】[)(]2,11,2 -2.函数)0(1)(2≥-=x x x f 的反函数为)(1x f -，则)2(1-f 的值是_____.【答案】33.函数)1(log )(2≥=x x x f 的反函数为_________________. 【答案】)0(2≥=x y x4.函数312-+=x x y 的值域为___________.【答案】()()+∞∞-,22, 5.已知函数⎩⎨⎧>-<=-.0),1(,0,2)(1x x f x x f x 则)5.3(f 的值为__________.6.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）（2012北京文）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B.【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图像问题，该题涉及到图像幂函数和指数函数.7. 已知函数311()1x x f x x x a⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()02f f ≥，则实数a 的取值范围是 .【答案】(]0,1（2013年10月南洋中学）8.已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（ D ）（2013年10月松江） A ．1(0,]4 B ．1[,)4+∞ C ．1(0,]8D ．1[,)8+∞【例题精讲】例1.设集合函数2ln(28)y x x =--+的定义域为A ,集合B 为函数11y x x =++（1x >-）的值域，集合C 为不等式(1)(4)0ax x ++≤()0a >的解集． （1）求B A ；（2）若R C C A ⊆，求a 的取值范围.解：（1）()4,2A =-，[1,)B =+∞，[1,2)A B = . （2）(][),42,R C A =-∞-⋃+∞ ，当14a >时， 14,C a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，不满足R C C A ⊆，当104a <≤时， 1,4C a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，满足 R C C A ⊆，故所求a 的取值范围是104a <≤ .例 2.对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[,]x a b ∈都有()f x C =，且对任意的[,]x a b ∉都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。

（1）求证：函数()|1||3|f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式|1||2|()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 解：（1）当[1,3]x ∈时，()132f x x x =-+-=；当(3,)x ∈+∞时，()13242f x x x x =-+-=->； 当(,1)x ∈-∞时，()13422f x x x x =-+-=->。

故存在闭区间[,][1,3]a b R =⊆和常数2C =符合条件。

所以函数()|1||3|f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数。

（2）因为不等式|1||2|()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，所以min |1||2|()t t f x -+-≤。

由（1）可知，min min ()(|1||3|)2f x x x =-+-=，所以|1||2|2t t -+-≤。

①2522322t t t ≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩； ②1113222t t t ≤⎧⇒≤≤⎨-≤⎩； ③12t <<时，不等式显然成立。

综上所述，可知t 的取值范围是15[,]22.例3. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若对任意的R x ∈，0)(<x f 或()0g x <，求实数m 的取值范围.（2012北京文）解：首先看()22x g x =-没有参数，从()22x g x =-入手，显然1x <时，()0g x <，1x ≥时，()0g x ≥，而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可，故只要1x ∀≥时，()0f x <（*）恒成立即可。

当0m =时，()0f x =，不符合（*），所以舍去；当0m >时，由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<，并不对1x ∀≥成立，舍去；当0m <时，由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<，注意20,1m x ->≥，故20x m ->，所以30x m ++>，即(3)m x >-+，又1x ≥，故(3)(,4]x -+∈-∞-，所以4m >-，又0m <，故(4,0)m ∈-，综上，m 的取值范围是(4,0)-.【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像的开口，根的大小，涉及到指数函数，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论的思想，对m 进行讨论。

例4.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 （2008上理）【解析】由题目中的提示知，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图像与函数x y 4=的图像交点的横坐标，由题意作出xy 4=与x y =的图象得两个交点A （2，2）、B （－2，－2）. 因x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，所以只需将函数a x y +=3的图像向下平移过A （2，2）点，或向上平移过B （－2，－2）点，由此得实数a 的取值范围是(－∞, －6)∪(6,+∞)【能力强化】1.函数()()1ln 1f x x =+ ）（2012山东文）A [)(]2,00,2-B ()(]1,00,2-C []2,2-D (]1,2- 答案：B考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考查. 解析：函数式若有意义需满足条件：210,1,l n (1)0,0,22,40,x x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎪+≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≤≤-≥⎩⎩取交集可得：()(]1,00,2x ∈- .2.已知2()121xf x =-+，1()f x -是()f x 的反函数，则13()5f -=2-。

上海市进才中学2013—2014学年第一学期月考二高三数学试卷3.已知函数12)(-=x x f ，则_____)1(=-x f .【答案】32-x4.函数[]5,3,2126)(2∈-+-=x x x x x f 的值域为____________.5.设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π=x 解答：令0)0())((==f g f π.6. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________（2011江苏）解法1：由题意可设直线方程为：y=kx （k>0）,解方程组2y kx y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点为：，4PQ ∴==当且仅当k=1时取等号； 解法2：由函数x x f 2)(=图像的对称性，可设交点为2(,)x x ，2(,)x x--，则4PQ =，当且仅当x =;点评：该题考查函数与方程、直线方程、两点间距离公式以及基本不等式。

解答过程主要有三步：1.求直线与函数xx f 2)(=的图象的交点，2.求两个交点间的距离；3.用基本不等式求最小值。

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初中数学函数知识点汇总

初中数学函数知识点汇总

初中数学函数知识点汇总函数是数学中的一个概念，它描述了一个数集和另一个数集之间的对应关系。

在初中数学中，函数是一个重要的知识点，它包含了很多基本概念和性质。

下面是初中数学函数知识点的汇总。

1.函数的定义与表示函数定义为：设有两个非空数集A，B，如果按照其中一种确定的方法，对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一确定的一个元素b和它对应，则称这种对应关系为函数，记作y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量。

2.函数的图像函数的图像是用平面直角坐标系表示函数的形状和特点。

横坐标表示自变量x，纵坐标表示因变量y，函数的图像是由平面上的一些点构成的。

3.定义域和值域函数的定义域是指自变量取值的范围，值域是指因变量取值的范围。

4.一次函数（线性函数）一次函数的定义为：f(x)=kx+b，其中，k为斜率，b为截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率越大，直线越陡峭；斜率为0时，直线平行于x轴，斜率不存在时，直线垂直于x轴。

5.二次函数（抛物线函数）二次函数的定义为：f(x)=ax²+bx+c，其中，a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

6.幂函数幂函数的定义为：f(x)=x^a，其中，a为常数。

幂函数的图像取决于幂指数a的值：当a>1时，图像上升得很快；当0<a<1时，图像上升得很慢；当a<0时，图像在y轴下方，但是a为负偶数时，图像在y轴上方。

7.反比例函数反比例函数的定义为：f(x)=a/x，其中，a为常数，且a不等于0。

反比例函数的图像是一个通过原点的开口向右上或右下的双曲线。

8.复合函数复合函数是指一个函数的自变量是另一个函数的因变量。

9.奇偶函数奇函数的定义为：f(-x)=-f(x)，即函数关于原点对称。

偶函数的定义为：f(-x)=f(x)，即函数关于y轴对称。

10.函数的单调性和极值函数的单调性是指函数在一些区间上的变化趋势，可以分为增函数和减函数。

高考数学：专题七 第一讲 函数与方程思想配套限时规范训练

高考数学：专题七 第一讲 函数与方程思想配套限时规范训练

2．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()
A．{a|1<a≤2}B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3}D．{2,3}
3．(2012·浙江)设a>0，b>0，则下列命题正确的是()
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
所以x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1，
所以2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
由即(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
又直线与椭圆相交于两点，所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)·a2(1－b2)＞0，整理得a2b2(a2＋b2－1)＞0，即a2＋b2＞1.
12．若数列{an}的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝______.
三、解答题
13．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，若椭圆的离心率e∈，求a的最大值．
14．(2012·山东)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
A.B．2C．4D．8
6．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f＝0，则满足f(logx)>0的x的取值范围是()
A．(0，＋∞)B．(0，)∪(2，＋∞)
C．(0，)∪(，2)D.
7．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤时，f(mcosθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()
A．(0,1)B．(－∞，0)
C．(－∞，1)D.
高考综合复习 专题7 函数的概念与性质专题练习

高考综合复习 专题7 函数的概念与性质专题练习

高考综合复习专题七函数的概念与性质专题练习一.选择题1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=－C.f(x)=D.f(x)=2.函数，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.－C.1, －D.1,3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(－∞,2)B.(2,＋∞)C.(－∞,2)∪(2,＋∞)D.(－2,2)4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= ,则当x<－2时,f(x)=()A.－B.C.－D.－5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为()A.(－1,2)B.(0,3)C.(－∞,－2)D.(－∞,3)6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠－1, =,.若,则()A.<0B.=0C.0<<1D.≥17.若函数f(x)=(a>0,a≠1)在区间(－,0)内单调递增,则a的取值范围是()A.[－,1)B.[,1)C.(,+∞)D.(1, )8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)= .其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二.填空题.1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=.2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点.3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)=.三.解答题.1.设函数f(x)=,求使f(x)≥2的x的取值范围.2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为=3,=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)< .3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－)<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围.4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数,满足关系f(+)=f()+f()+2.(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.(3)若数列满足=－,且对任意n∈N﹡有=f(n),试求数列的前n项和.答案与解析:一.选择题.1.选D.分析:这里f(x)为奇函数,由此否定B.C;又f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定A.故应选D.2.选C.分析:注意到这里a的可能取值至多有3个,故运用代值验证的方法.当a=1时,由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;由f(x)的表达式得f(1)==1,故a=1是所求的一个解,由此否定B.当a=－时,由f(x)的表达式得f(－)=sin=1,又f(1)=1,故f(1)+f(－)=2,a=－是所求的一个解,由此否定A.D.本题应选C.3.选D.分析:由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增.又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0,①f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0②∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D.4.选C.分析:由f(x)的图象关于直线x=-1对称得f(x)=f(－2－x)①∴当x<－2时, －2－x>0∴再由已知得f(－2－x)= ②于是由①②得当x<－2时f(x)= ,即f(x)= －.应选C.5.选A.分析:由已知条件得f(0)=1,f(3)=－1,∴(※)又f(x)在R上为减函数.∴由(※)得0<x+1<3－1<x<2故应选A.6.选A.分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.当=0时, =,=,则,由此否定B,当=1时,= ,f()=f(),则,由此否定D;当0<<1时, 是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.7.选B.分析:令u=g(x)= ,y=f(x)则y=由题意知当x∈(－,0)时,u>0注意到g(0),故u=g(x)在(－,0)上为减函数.①又y=f(x)在(－,0)上为增函数,∴y=在u的相应区间上为减函数.∴0<a<1再由①得u＇＝ｇ＇(x)= 在(－,0)上满足u＇≤0②而u＇=在(－,0)上为减函数,且是R上的连续函数.③∴由②③得u＇(－)≤0∴－a≤0,即a≥④于是由①,④得≤a<1应选B.点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数的单调性之间的联系(同增异减)初步确定a的取值范围0<a<1.但是,由于u=为x的三次函数, u＇为x的二次函数.故还要从u＇在(－,0)上的符号入手进一步确认a的正确的范围.”粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略.8.选B.分析:从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1)(※※)∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1)=2x－x,由此可知②正确(3)由已知条件以及结果①、②得,又f()=,∴f()≠f(－)∴f(x)不是偶函数即③不正确;(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f()=故④不正确.于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.二.填空题.1.答案: .分析:由题设知f(0)=f(4)(a≠0),∴(a≠0)0<=1(a≠0)4a－1=1或4a－1=－1(a≠0)a=即所求a=.2.答案: (0,3)分析:f(3)=－1y=f(x)的图象经过点(3,－1)y=g(x)的图象经过点(－1,3)g(－1)=3g(0－1)=3y=g(x)的图象经过点(0,3).3.答案:直线y=x分析:根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y= f(x),则有x=( y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)= x②∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.4.答案:1分析: 从认知f(x)的性质切入已知f(x+3)=1－f(x)①以－x代替①中的x得f(－x+3)=1－f(－x)②又f(x)为偶函数∴f(－x)=f(x)③∴由②③得f(－x+3)=1－f(x)④∴由①④得f(3+x)=f(3－x)f(x)图象关于直线x=3对称f(－x)=f(6+x)∴由③得f(x)=f(6+x)即f(x)是周期函数,且6是f(x)的一个周期.⑤于是由③⑤及另一已知条件得f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)=2×0.5=1三.解答题.1.分析:注意到f(x)为复合的指数函数,故考虑令u=,而后利用指数函数的性质将所给不等式转化为关于u的不等式解.解:令u=, y=f(x),则y=2为u的指数函数.∴f(x)≥2≥2≥u≥①∴f(x) ≥≥②(1)当x≥1时,不等式②(x+1)－(x－1) ≥2≥成立.(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥x≥即≤x<1;(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥即－2≥不成立.于是综合(1)(2)(3)得所求的x的取值范围为[,1]∪[1,+∞),也就是[,+∞)点评:对于复合函数y=f[p(x)],令u=p(x),将其分解为y=f(u),u=p(x).于是所给问题转化为内层函数u=p(x)的问题或转化为外层函数y=f(u)的问题.这种分解----转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.2.分析:注意到f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序:移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等等.解:(1)将=3, =4分别代入方程得由此解得∴f(x)= (x≠2).(2)原不等式<－<0<0<0(x－2)(x－1)(x－k)>0注意到这里k>1,(ⅰ)当1<k<2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);(ⅱ)当k=2时,原不等式(x－2)2(x－1)>0x>1且x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);(ⅲ)当k>2时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞);于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得当1<k≤2时,原不等式解集为(1,k)∪(2,+∞);当k>2时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞);点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x－2)(x－1)(x－k)>0快捷准确.此外,在分式不等式转化为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合并,以最少情形的结论给出最佳答案.3.分析:所给不等式含有抽象的函数符号f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法.解:∵f(x)是R上的增函数.∴不等式f(1－ax－)<f(2－a) 对任意x∈[0,1]都成立.不等式1－ax－<2－a对任意x∈[0,1]都成立+ax－a+1>0对任意x∈[0,1]都成立①解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)令g(x)= +ax－a+1,则①式g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立.g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)图象的对称轴为x=－(1)当－≤0即a≥0时,由②得g(0)>0－a+1>0a<1,即0≤a<1;(2)当0<－≤1时,即－2≤a<0时,由②得g(－)>01－a－>0+4a－4<0<8当－2≤a<0时,这一不等式也能成立.(3)当－>1即a<－2时.由②得g(1)>02>0即当a<－2时,不等式成立.于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2), 即(－∞,1).解法二: (以△的取值为主线展开讨论)对于二次三项式g(x)= +ax－a+1,其判别式△=+4(a－1)=+4a－4△<0<8－－2<a<－2(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－－2<a<－2;(2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得－2≤a<1或a≤－－2.于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－－2,－2）∪[－2,1）∪(－∞, －－2]即(－∞,1).点评:解法一归统为最值问题,以g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面g(x)>0在x∈[0,1]上成立,以g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题的主要策略.以××为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障.4.分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2.为利用f(0)=－2,寻觅f(x)的关系式,又在已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2故得f(x)+f(－x)=－4证明(1),由此式展开.对于(2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义;对于(3),这里a n=f(n),a n+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{a n}的递推式或通项公式,便称为问题突破的关键.解:(1)证明:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2①又已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2∴f(x)+f(－x)=－4②设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得③∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.④注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)证明:设,为任意实数,且<,则－>0∴由已知得f(－)>－2⑤注意到=(－)+由本题大前提中的恒等式得f()=f[(－)+] =f(－)+ f()+2∴f()－f()=f (－)+2⑥又由⑤知f (－)+2>0,∴由⑥得f()－f()>0,即f()>f().于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.(3)解:∵a n=f(n),∴a1=f(1)=－,a n+1=f(n+1)又由已知恒等式中令=n, =1得f(n+1)=f(n)+f(1)+2∴a n+1= a n+∴a n+1－a n=(n∈N﹡)由此可知,数列{ a n }是首项为=－,公差为的等差数列.∴=－n+×即=(n2－11n).点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出f(x)+f(－x)=－4;对于(2)由此导出f()=f()+f(－)+2;对于(3)由此导出f(n+1)=f(n)+f(1)+2即a n+1－a n=.。

中考函数必备知识点总结

中考函数必备知识点总结

中考函数必备知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种对应关系，对于每一个自变量（输入），都有且只有一个因变量（输出）与之对应。

2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是函数的输入，通常用x表示；因变量是函数的输出，通常用y表示。

3. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

4. 函数的图象：函数的图象是自变量和因变量的对应关系在坐标系中的展示，通常是一条曲线或者一组点。

二、函数的表示与表达1. 函数的表示方法：函数可以用等式、表格、图象和文字描述等方式表达。

2. 函数的公式：函数常常用公式来表示，常见的函数公式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

3. 函数的计算：可以通过函数的公式来计算函数在特定自变量取值下的因变量的取值。

三、函数的性质和运算1. 函数的奇偶性：通过函数的图象或者公式可以判断一个函数的奇偶性，常见的有奇函数和偶函数。

2. 函数的单调性：函数的单调性指的是在定义域内，函数的增减性质。

3. 函数的对称性：函数的对称性通常指的是基于对称中心对称、对称轴对称或者周期对称等性质。

4. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除运算，也可以进行复合运算。

四、函数的应用1. 函数的应用范围非常广泛，例如在数学、物理、经济等多个领域都有函数的应用。

2. 函数的实际问题：函数可以用来描述和解决实际问题，例如速度、加速度、成本、收入等各种实际问题都可以通过函数来描述。

本文总结了中考函数的必备知识点，包括了函数的基本概念、函数的表示与表达、函数的性质与运算、函数的应用等方面。

学生在备考中考数学时，应该重点掌握这些知识点，通过练习和应用来提高自己的函数应用能力，从而取得更好的考试成绩。