数学故事—约瑟夫问题与因式分解

[阅读材料]世界名题与小升初之：抽杀问题（約瑟夫问题）--马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。

先给大家介绍这一问题的由来。

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39 個犹太人与Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41個人排成一个圆圈，由第1個人开始报数，每报数到第3人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第16個与第31個位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解法約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数1开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达41为止，然后將阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41個人报数3的約瑟夫排列如下所示：14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23由上可知，最后一個自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道約瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

数学故事——约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。

敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。

最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。

给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。

剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。

按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？
（答案）
由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。

把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32．这是第二圈重新编的号码。

第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。

如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

64＝2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。

从64＝2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

具体数学笔记-约瑟夫问题据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马⼈占领乔塔帕特后，39 个犹太⼈与Josephus及他的朋友躲到⼀个洞中，39个犹太⼈决定宁愿死也不要被敌⼈抓到，于是决定了⼀个⾃杀⽅式，41个⼈排成⼀个圆圈，由第1个⼈开始报数，每报数到第3⼈该⼈就必须⾃杀，然后再由下⼀个重新报数，直到所有⼈都⾃杀⾝亡为⽌。

然⽽Josephus和他的朋友并不想遵从。

⾸先从⼀个⼈开始，越过k−2个⼈（因为第⼀个⼈已经被越过），并杀掉第k个⼈。

接着，再越过k−1个⼈，并杀掉第k个⼈。

这个过程沿着圆圈⼀直进⾏，直到最终只剩下⼀个⼈留下，这个⼈就可以继续活着。

问题是，给定了和，⼀开始要站在什么地⽅才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与⾃⼰安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

现在考虑k=2时的问题，我们设J(n)表⽰当有n个⼈时幸存者的编号。

假设⼀开始有2n个⼈，那么⼀轮后会剩下1,3,5,7...2n−1,并且⼜是从1开始跳。

所以J(2n)=2J(n)−1奇数的情况差不多,会剩下3,5,7,9....2n+1所以J(2n+1)=2J(n)+1⽤这个⽅法可以在log2n的时间内求出J(n)接下来我们可以打⼀个表容易发现J(2m+l)=2l+10≤l<2m⽤数学归纳法很容易证。

⾄此这个问题已经解决，但我们还可以发现⼀些东西。

设n的⼆进制展开为n=(b m b m−1...b1b0)2b m=1把2l+1表⽰出来2l+1=(b m−1...b1b01)2这就是n在⼆进制下向左循环移动了⼀位。

难道是碰巧吗？考虑这个递推式的⼀般形式f(1)=af(2n)=2f(n)+bf(2n+1)=2f(n)+ca,b,c显然是互不影响的，f(n)⼀定可以这样表⽰出来f(n)=A(n)a+B(n)b+C(n)c可以看出对于所有的a,b,c，A,B,C都是相同的我们取a=1,b=c=0f(n)=A(n)A(1)=1A(2n)=2A(n)A(2n+1)=2A(n)则A(2m+l)=2m接下来我们反过来使⽤递推式，确定f(n),研究是否有a,b,c能表⽰它，取f(n)=1解得a,b,c=(1,−1,−1)−−−−−>A(n)−B(n)−C(n)=f(n)=1再取f(n)=n就可以解出A,B,C了。

小学趣味数学故事之约瑟夫问题
数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从
事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.下面是为大家收集的趣味数学故事之约瑟夫问题，供大家参考。

有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。

敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。

最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号?
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。

给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。

剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。

按照这个思路，看看你能不能解决这个问题?
答案解析：
由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。

把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32.这是第二圈重新编的号码。

第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。

如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

64=2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1
到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。

从64=2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

约瑟夫问题简介约瑟夫问题是一个经典的数学问题，由弗拉维奥·约瑟夫斯(Josephus Flavius)所提出。

问题的背景是：在一个固定长度的圆桌周围围坐着n个人，从第一个人开始报数，报到m的人出圈，然后从下一个人开始重新报数，直到剩下最后一个人。

问题是，给定n和m，求最后剩下的人的编号。

解法暴力破解法最直观的解法是使用循环和数组来模拟这个过程。

首先，我们用一个数组来表示这些人的编号，例如[1, 2, 3, ..., n]。

然后我们在循环中模拟报数的过程，每次报到m的人就从数组中删除。

当数组中只剩下一个元素时，就找到了最后剩下的人。

def josephus(n, m):people = list(range(1, n +1))idx =0while len(people) >1:idx = (idx + m -1) % len(people)people.pop(idx)return people[0]这种解法的时间复杂度为O(n*m)，并且在n很大的情况下，性能会变得很差。

数学公式法约瑟夫问题其实存在一个更巧妙的解法，不需要模拟整个过程，而是通过数学公式来直接计算出最后剩下的人的编号。

如果我们将问题的规模缩小为n-1，即在一个长度为n-1的圆桌上进行同样的操作，求出的结果为f(n-1, m)。

然后我们将这个结果映射到原始问题的编号上，即将f(n-1, m)变为f(n, m)。

计算f(n, m)的过程如下： - 首先，我们将f(n, m)映射到f(n-1, m)上。

假设f(n, m) = x，那么f(n, m)在映射到f(n-1, m)上的过程中，每次都将整个序列向后移动m 位，即f(n, m)在映射到f(n-1, m)上的过程中，原来的第x个元素变成了第x+m个元素。

因此，f(n-1, m) = (x + m) % n。

- 其次，我们将f(n-1, m)映射回f(n, m)上。

约瑟夫问题(数学解法及数组模拟)约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个出现在计算机科学和数学中的问题。

在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

又称“丢手绢问题”.）据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。

首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。

接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。

这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

? 以上来自百度百科约瑟夫问题是个很有名的问题：N个人围成一个圈，从第一个人开始报数，第M个人会被杀掉，最后一个人则为幸存者，其余人都将被杀掉。

例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。

约瑟夫问题其实并不难，但求解的方法多种多样；题目的变化形式也很多。

接下来我们来对约瑟夫问题进行讨论。

1.模拟解法优点 : 思维简单。

?缺点：时间复杂度高达O(m*n)当n和m的值较大时，无法短时间内得到答案。

为了叙述的方便我们将n个人编号为：1- n ，用一个数组vis 来标记是否存活：1表示死亡 0表示存活 s代表当前死亡的人数? cnt 代表当前报了数的人数用t来枚举每一个位置(当tn时 t=1将人首尾相连)? 那么我们不难得出核心代码如下：bool vis[1000]; --标记当前位置的人的存活状态int t = 0; --模拟位置int s = 0; --死亡人数int cnt = 0; --计数器if(t n) t = 1;if(!vis[t]) cnt++; --如果这里有人,计数器+1if(cnt == m) --如果此时已经等于m,这这个人死去cnt = 0; --计数器清零s++; --死亡人数+1vis[t] = 1 --标记这个位置的人已经死去coutt" "; --输出这个位置的编号}while(s != n);接下来我们来看另一种更为高效快速的解法数学解法我们将这n个人按顺时针编号为0~n-1，则每次报数到m-1的人死去，剩下的人又继续从0开始报数，不断重复，求最后幸存的人最初的编号是多少？我们只需要将最后求得的解加1就能得到原来的编号。

因式分解历史故事
因式分解的历史可以追溯到古希腊和古埃及的数学家们。

然而，第一个被记录下来的因式分解的例子可能来自中国的《九章算术》。

在书中，有一个问题涉及到将一个二次方程式分解为两个一次方程式。

在欧洲，因式分解开始受到重视是在16世纪。

数学家费马（Pierre de Fermat）在他的笔记本中留下了许多涉及因式分解的难题和注记。

其中一个著名的例子是“费马大定理”，它指出一个整数不能被分解成三个大于1的整数之积。

这个定理历经三个世纪才被彻底解决，是数学史上的一个重大事件。

18世纪是因式分解取得突破性进展的时期。

数学家欧拉（Leonhard Euler）对因式分解进行了系统的研究，并提出了一系列的技巧和方法。

同时，数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）也在他的著作中详细讨论了因式分解的性质和应用。

进入20世纪以后，因式分解成为数学中的一个重要分支，并且发展出了许多新的技术和工具。

例如，群论、模形式和代数几何等都为因式分解的研究提供了新的视角和方法。

同时，因式分解在密码学、计算机科学和物理等领域也有着广泛的应用。

约瑟夫斯问题
问题描述
约瑟夫斯问题是一个经典的数学问题，也被称为约瑟夫环问题。

问题的描述如下：有n个人围成一圈，从第一个人开始报数，报到m的人出列，然后从出列的下一个人开始重新报数，再次报到m的人出列，如此循环，直到所有人都出列为止。

那么，最后剩下的人在原来的顺序中编号是几？
算法思路
为了解决约瑟夫斯问题，可以使用一种常用的数学技巧来计算最后剩下的人的编号。

假设n个人的编号分别为0, 1, 2, …, n-1，那么可以得到一个递推公式：
f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n
其中f(n, m)表示有n个人时最后剩下的人的编号。

根据这个递推公式，可以进行递归计算。

算法实现
下面是使用Python语言实现约瑟夫斯问题的算法：
```python def josephus(n, m): if n == 1: return 0 else: return (josephus(n-1, m) + m) % n
测试样例
n = 7 # 总人数 m = 3 # 报数到m时出列 survivor = josephus(n, m) print(。

josephus问题数学解法Josephus 问题是一个经典的数学问题，描述如下：有 n 个人围成一圈，从第一个人开始往后报数，报到 m 的人出圈，后面的人继续从 1 开始报数，直到最后一个人留下来。

问最后留下的人的编号是多少？下面是 Josephus 问题的数学解法：设最后留下的人的编号为 f(n,m)，则可以得出以下递推式：f(1,m) = 0f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n其中，% 表示取模运算。

以上递推式基于以下思路：假设有 n 个人，编号分别为 0,1,2,...,n-1。

第一轮中，第 m 个人出圈，剩下的人编号为 0,1,...,m-2,m,...,n-1。

由于是围成一圈，所以下一轮中第一个人的编号为 m%n。

而在上一轮中，编号为 m%n 的人出圈了，所以编号为 m%n+1,...,n-1,0,1,...,m%n-1的人组成了一个新的圈。

我们需要求出这个新圈中最后留下的人的编号，即 f(n-1,m)。

由于新圈中每个人的编号都比原来的编号大 m，所以我们需要将 f(n-1,m) 加上 m，以得到在原圈中他的编号。

然而，如果加上 m 后编号超过了 n-1，那么我们需要将编号重新回到 0，这就是将加和结果取模的原因。

最终，当 n=1 时，无论 m 的值为多少，都只剩下编号为 0 的人。

下面是一个 Python 实现的例子：```def josephus(n, m):f = 0for i in range(2, n+1):f = (f + m) % ireturn fprint(josephus(5, 3)) # 输出 3```。

约瑟夫环设计的知识点约瑟夫环（Josephus problem）是一个经典的数学问题，它的背后涉及到一些有趣的数学原理和设计思想。

本文将介绍约瑟夫环的背景、问题描述和解决方法，并介绍一些与约瑟夫环相关的知识点。

背景介绍：约瑟夫环问题最早出现在古代历史中，据说是由犹太历史学家弗拉维奥·约瑟夫斯（Flavius Josephus）提出的。

故事的背景是在公元1世纪犹太战争时，罗马军队包围了一个围城的犹太人民。

为了避免被俘或杀害，一群犹太人决定形成一个“死亡圈”，按照一定规则轮流自杀，直到最后一个人留下。

他们选择了一个合适的位置，每次报数到某个固定的数字时将当前的人杀掉，直到只剩下最后的一个人。

问题描述：现在我们将这个问题抽象为数学问题。

假设有n个人，从1到n编号，围成一个圆圈。

从编号为1的人开始报数，每次报到m的人将被淘汰出局，然后从下一个人重新开始报数。

重复这个过程，直到只剩下一个人。

问题的关键是确定最后剩下的人的编号。

解决方法：对于约瑟夫环问题，有很多种解决方法。

下面介绍其中两种常用的方法：1. 数学公式法：我们可以通过数学公式来解决约瑟夫环问题。

根据数学推导，对于给定的n和m，最后剩下的人的编号可以通过以下公式计算得出：f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n其中f(n,m)表示n个人中最后剩下的人的编号。

2. 循环链表法：另一种常用的解决约瑟夫环问题的方法是使用循环链表。

我们可以用一个循环链表模拟这个过程，每次找到要删除的节点并删除，直到只剩下一个节点为止。

这种方法的好处是时间复杂度较低，可以快速找到要删除的节点。

与约瑟夫环相关的知识点：除了约瑟夫环问题本身，还有一些与之相关的知识点，让我们更深入地了解这个问题。

以下是其中几个重要的知识点：1. 约瑟夫环的应用：约瑟夫环在现实生活中有一些应用。

例如，可以用来解决任务分配的问题。

假设有n个任务需要分配给m个人完成，可以通过构建一个约瑟夫环来确定每个任务分配给哪个人。

约瑟夫问题解决实验1:约瑟夫问题解决一、问题描述1。

实验主题:约瑟夫问题的一个描述是:n个人的数量是1，2，顺时针坐成一圈，每个人都有一个9(正整数)的密码。

首先，选择一个正整数作为上限值m，从第一个人开始按顺时针方向从1开始计数，当向m报告时停止计数，列出向m报告的人，使用他的密码作为新的值m，从下一个人开始按顺时针方向从1开始计数，并继续计数，直到所有的人都被列出。

试着设计一个程序，按照打印的顺序打印出每个人的号码。

2.基本要求:这个过程是通过使用单向循环链表来模拟的，每个人的号码是按照列表的顺序来打印的。

3.测试数据:N=7，7密码是3，1，7，2，4，8，4。

m的初始值是6(正确的出列顺序应该是6，1，4，7，2，3，5。

2.需求分析1。

通过程序实现的基本可能性:这个程序可以按照打印的顺序打印出每个人的号码。

程序运行后，将显示提示信息，提示用户输入人数n、初始报告值m和密码n。

如果程序需要自动重复，程序将在用户输入后自动输出计算结果。

2.输入形式和输入值范围:输入人数n、初始报告值m和n个人的密码，所有这些都是正整数int类型。

3.输出的形式:输出是按打印顺序打印每个人的号码，它是正整数。

4.测试数据要求:测试数据需要整型3.概要设计1。

为了实现上述功能，所使用的数据结构及其ADT 应在单向循环链表的有序链表中表示聚合数据的类型。

1.单向循环链表抽象数据类型的定义:typedef结构节点{ ElemType数据；元素类型号；结构节点*下一步；} SLNODE基本操作:结构节点* create _ sl(int n)；//创建单向循环链表2。

主要程序流程及其模块调用关系1)创建循环链表流程图2)约瑟夫问题解决流程图3)主要功能流程图4.详细设计1。

为每个操作实现伪代码，并在主程序上提供关键语句和注释:void main(){ SLNODE *头；int n，m；head=(SLNODE *)malloc(sizeof(SLNODE))；printf('/* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * */\ n ')；//初始界面printf('学生编号: 031350102 \ n ')；Printf('名称:王雅雯')；打印(约瑟夫问题解决)；printf('/* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * */\ n ')；打印(“输入总数n=\ n”)；scanf(“% d”，n)；打印(“输入初始值m=\ n”)；scanf(“% d”，m)；head=create _ sl(n)；约瑟夫斯(男，女，男)；}2。

21.2.3因式分解法【目标导航】1、会用因式分解法〔提公因式法、公式法、十字相乘法〕法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2、能根据具体的一元二次方程的特征 ,灵活选择方程的解法 ,体会解决问题方法的多样性。

3、进一步让学生体会以“降次〞为目的的“转化与化归〞的数学思想。

【知识链接】约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说 ,在古代的一场战争中有64名战士被敌人俘虏了 ,敌人命令它们排成一个圈 ,编上号码1 ,2 ,3 ,……64。

敌人把1号杀了 ,又把3号杀了 ,他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。

最后剩下一个人 ,这个人就是约瑟夫 ,请问约瑟夫是多少号？在此给大家一个提示 ,敌人从l号开始 ,隔一个杀一个 ,第一圈把奇数号码的战士全杀死了。

剩下的32名战士需要重新编号 ,而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。

按照这个思路 ,看看你能不能解决这个问题？这就是数学上有名的“约瑟夫问题〞。

这个问题是用因式分解的方法解决的 ,因式分解不仅能解决这样的问题而且还能帮助我们解一元二次方程。

下面我们就开始学习用因式分解法解一元二次方程。

【珍宝探寻】珍宝一．解一元二次方程的因式分解法1.对于一元二次方程 ,一边是0 ,另一边化为两个一次因式的积 ,再使这两个一次因式分别等于0 ,从而实现降次 ,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2. 用因式分解法解一元二次方程的根据是：如果a·b=0,那么a=0或b=0.据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解 ,到达降次的目的.3.只有当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积 ,而另一边是0的时候 ,才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时 ,要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．4.因式分解的方法：用因式分解法解一元二次方程的四种类型〔1〕平方差公式因式分解；〔2〕提取公因式因式分解；〔3〕完全平方公式因式分解；〔4〕十字相乘法因式分解珍宝二．一元二次方程解法的选择1.解一元二次方程解法根本思路 ,一般先考虑直接开平方法 ,再考虑分解因式法 ,最后考虑配方法与公式法.2.在解方程时 ,千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式 ,否那么可能丧失方程的一个根。

最新小学数学故事：约瑟夫问题与因式分解我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

为帮助大家提高学习数学是兴趣，查字典数学网为同学们特别提供了约瑟夫问题与因式分解，希望对大家的学习有所帮助!生活中出处充满数学的趣味，在这里济南奥数网小编为大家整理了一些小学生数学故事，希望济南的家长和孩子能在快乐中了解数学，爱上数学。

小学生数学故事：约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。

敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。

最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号? 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。