续谈2001年中国西部数学奥林匹克
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多思 考 ．
１
一
１
一
１ ＜ １
４
一了 １
１
，
１＜ １
一 一 一
．
求 和 ，１一 Ｌ ＜１ 一 —１ ＜１
．
１ 见 新 思 陈 ， 式 识 别 模
例 １ 设数 列 ｛ 满 足 ｚ１ １，ｚ ｎ＋１ ｚ ｝ 证 明 ： ｏ１ ０ １ （ ｚ２ ＜１ ０ ． 第一 天 第 １ ） ｏ 题 文 ［ ］ 先用 数 学归 纳法 证 明 了更一 般 性 的结 论 １首
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中学数学教 学 参考
２０ ０ ２年 第 １ １期
／
Ｉ｜ ｌ 】 ］
ｌ 谈 ２Ｏ 续 Ｏ 中 国西 部 数 学 奥 林 匹克 １年
陕西师范大 学数学 与信 息科学学院 罗增儒
Ｌ ｜ Ｊ ¨ ｌｌ ＿ ｌ Ｌ ｊ＿ Ｌ ｌ 凹 ¨ 四 凹 ［ 凹 凹 凹 凹 Ｅ 凹 凹 四 凹 巳 ９凹 巳
为 了促进 西 部 数 学 奥林 匹克 水 平 的 提 高 ， 国数 中 学会从 ２０ ０ １年起 ， 织西 部省 区的 中学 生进 行冬 令 营 组 层 次 的赛 事 ， 届 盛 会在 古 都 西 安 举 行 ． ［ ］ 布 了 首 文 １公 试 题 与解 答 ， 文 想在 这个 基 础 上 提 供 部 分 题 目的更 本
１
一
≤詈 ．
①
然后 特 殊 化 得 出 ｚ ｏ１ １ ０ ． 我 们 见 到 这 道 题 目 ２ ＜ ０１而 ｏ 时， 首先 想 到 的 是 文 ［ 中 的 一 道 例 题 （ １ ６例 ２ ２］ Ｐ．７ —
８ ） ２：
１
＜
，
例 ２ 设数列 口 ，１口 ， 口 ｏ口，２…， 满足口 ＝告 ， ＋ ｏ １
（ ＋ ＋． ≤ ． ｉ ｉ ． 吉 ， ． ＋
说 明 ３ 若 借 用 ∑ １： ， 可 得 出数 列 的 更 小 ： 还
（ ） Ｐ・ Ｐ取最 小 值 ； Ａ Ｂ
（ ） ＇ Ｂ 为直 角三 角形 ； ２ ／ ＡＰ ，
ｆ） ３ ＡＱ ・ Ｑ ＝△ ． Ｂ
证明： 由切 线 长公 式可 设
＝
（ ） 。 ＝２时 ， “ 、 、 ， 由 此 猜 想 出 口 １当 １ 求 ２ ３ ４ 并
的一 个通 项 公 式 ； （ ） ｎ ＞ ３时 ， 明 对 所 有 的 ≥ １ 有 ２ 当 １－ ／ 证 ，
又 由原 递推 式 易得 ｚ ＞０ ｚ ＝ ３ 故 由② 有 ，２
，
＞ …
＞ ｛＝ ， 一 吉
③ 得 － ＜ ． ＜１ ０ ． ０１ 取 ＝２ ０ ， ｚ ｏ１ ０ ０ 得 ２ｏ＜
去 ＜ ＜ 一１
同理 １ 一 １＜ １ 一
Ｚｎ
一
＝ 一．
１， 一
性
Ｘｎ ＋ｌ＝ ｚ ＋
此 例 中递 推 公 式 的 结 构 与 试 题 类 似 （ 式 的辨 模
认 ） 于 是借用 该 题 的方 法 作试 验 （ 式 的提 取 ） 果 然 ， 模 ，
取得 成 功 （ 命题 会 上 曾与 供 题 老 师谈 过 ） 这 也 就 是解 ．
题 中模式 识 别 的基 本过 程 ． 证 明 １ 将 递推 式 变形 ：
１
Ｚｎ
一 Ｚ
说 明 ２ 上 述证 明 中用到 的 “ 分 放 缩 ” 巧 。 是 ： 部 技 既
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２０ ０ ２年 第 １ １期
在 模 式 识 别 基 础 上 根 据 题 目新 特 点 所 作 的 变 通 ， 是 又
＋ ・
移 ， 一： 一＝ ， 项 １＞ １号 １｛
得 ｚ ＋ ＜ ３ １ ．
取 ＝２ ０ ， ０ ０ 更有 ｚ ｏ１ ＜１ ０ ． ２ ＜３ ０ １ ｏ 说 明 １ 表 面上 看 ， 形 为② 式 是 本题 求 解 的关 键 ： 变 但 从 解题 的实 质 性进 展 上看 ， 式③ 更本 质 ， 而式 ③ 中 的 不 等 关 系
—
等价于
ｚ ＋ ＜ｚ － ＋
．
２
＝ ＋
（ 志＝０ １ ２ … ， 一１ ， 中 是一 个 给定 ，，， ）其
这可 以 由原 递推 式 作 “ 分 放 缩 ” 出 （ 式 的变 部 得 模
通 ） ．
的正整 数 ， 证 １一 ＜口 试 ＜１ ．
证 ：已 易 ０ｚ＝ 从而 单 明２由 知 得ｚ＞ ， 丢， 有 调 ２
进而
萼 ＞ ０ ｚ＞ ，
．
Ｘ ＋ ：Ｘ ＋ ｎ２ ＜ ｎ１ ｎ
上
一
： 一
丝
２＋ ｚ
ｎ
一！ 二 翌 ±兰 ２
’
变形 即可 得③ 式 ． 了不重 复 ， 们将 上 式 作另 一 为 我
变 形并 递 推 ， 得
１
一
ｚ ＋ Ｘ （ ＋ｚ ） ｚ （ ＋ｚ ） １ ｎ
ｚｎ
１
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Ｚｎ
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即 ｚ一 ： ． １ 士 —
ｎ ＋１ ‘＋ Ｘ ｎ
②
＞ Ｌ一 １ （ 理，推 ＿ Ｚ ＿ 同 递 ）
ｎ一１ 一 Ｚ
这 一步显化 了递 推式 中相 邻项 间 的关 系 ， 既有 助 于 放缩 ， 又有助于交叉消去 ， 我们看到 了成功 的前 景 ． 使
价：
不等式 证 明 中常 用 的技 巧 ， ２ ０ 在 ０ ２年高 考数 学 理科 压 轴 题 中 已部 分用 到 （ 见 文 ［ １ ５ ） 参 ３ Ｐ．５ ： 例 ３ 设 数 列 ｛ ｝ 足 口 ＋ ＝口 一 ｎ ＋ １ 口 满 １ ａ ，
， ＝ １ ２， … ， ２ ， ３，
（） ，＋２ ｉｎ ≥ ２ ；
ＡＱ ：ＡＥ， ＝Ｐ ＝Ｐ ， ：Ｂ ＝Ｂ Ｅ Ｆ Ｑ Ｆ．
贝 △ ＝￣ ｓ Ｓ ） Ｓ ） Ｓ—Ｃ ０ ／ （ —ｎ （ —ｂ （ ）
＝
（ ＋ ＋ ）
．
又 ＡＰ・ Ｐ ＝（ Ｂ 工＋３）３＋ｚ） ｆ（ｆ
＝ ＋ （ ＋ ＋ ）
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