2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第2讲《函数、基本初等函数的图

2021年高考数学二轮复习 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质一、选择题1．(xx·北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝xC ．y ＝ln xD ．y ＝|x|答案：B2．函数f(x)＝x3＋sin x ＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：∵f(a)＝2⇒a3＋sin a ＋1＝2，∴a3＋sin a ＝1.∴f(－a)＝－a3＋sin(－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0.答案：B3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，2a ＞0，（a －3）×1＋5≥2a 1， 解得0＜a≤2.故选D.答案：D4．函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( )A ．y ＝(1－ex)3(x ＞－1)B ．y ＝(ex －1)3(x ＞－1)C ．y ＝(1－ex)3(x∈R)D ．y ＝(ex －1)3(x∈R)解析：由已知函数可得3x ＋1＝ey (y∈R)，即3x ＝ey －1，所以x ＝(ey －1)3，x ，y对调即得原函数的反函数为y ＝(ex －1)3(x∈R)．故选D.答案：D5．对实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1. 设函数f(x)＝(x2－2)(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．[－2，－1]解析：f(x)＝⎩⎨⎧x2－2，x2－2－()x －1≤1，x －1，x2－2－()x －1>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，－1≤x≤2，x －1，x<－1或x>2， 则f(x)的图象如下图所示．∵函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1或1<c≤2.故选B. 答案：B6．函数y ＝ex ＋e －x ex －e －x的图象大致为( )解析：函数有意义，需使ex －e －x ≠0，其定义域为{x|x ≠0}，排除C ，D ，又因为y ＝ex ＋e －x ex －e －x ＝e2x ＋1e2x －1＝1＋2e2x －1，所以当x ＞0时函数为减函数．故选A. 答案：A二、填空题7．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋134＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋176＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫176 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76 ＝－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34－sin 76π ＝－316＋12＝516. 答案：5168．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax －a －1)，给出下列命题：①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}；②f(x)有最小值；③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．其中真命题的序号是________．解析：∵－1－a 与1的大小不能确定，须分类讨论，故①不对，而当a ＝0时，f(x)的值域是R ，即③正确，故②不对．显然，当a ＞0时f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故在[2，＋∞)上是单调函数，故④对．答案：③④三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋a x(x≠0，a ∈R)． (1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)方法一设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.故a的取值范围是(－∞，16]．方法二f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．10．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)证明：f(x)是奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．(1)证明：函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，∴f(x)是奇函数．(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f(x2－x1)＜0.∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．(3)解析：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.11．已知函数f(x)＝ex －e －x(x∈R，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x2－t2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f(x)＝ex －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，且y ＝ex 是增函数， y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，∴f(x)是增函数． ∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝e －x －ex ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，由f(x －t)＋f(x2－t2)≥0对x∈R 恒成立，则f(x －t)≥f(t 2－x2)． ∴t2－x2≤x －t ⇔x2＋x≥t 2＋t 对x∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f(x －t)＋f(x2－t2)≥0对一切x 都成立．38904 97F8 韸LC35054 88EE 裮23361 5B41 孁 25509 63A5 接E28719 702F 瀯27741 6C5D 汝38542 968E 階38095 94CF 铏 M。

第2讲函数、基本初等函数的图象与性质推荐时间：60分钟一、填空题1．2022·浙江设函数f＝错误!若fα＝4，则实数α为________．2．2022·安徽函数＝错误!的定义域是______．3．2022·湖北已知函数f＝错误!则f错误!的值为________．4．已知定义在R上的函数f满足f＝－f错误!，且f0＝1，则f2 010＝________5．已知集合A＝11{}24xx⎛⎫>⎪⎝⎭，B＝{|og2－10且a≠1的图象如图所示，则a＋b的值是________．8．已知f是定义在R上的偶函数，并且f＋2＝－错误!，当2≤≤3时，f＝，则f＝________ 9．2022·广东设函数f＝3co ＋a＝11，则f－a＝________10．已知定义在R上的奇函数f满足f－4＝－f，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f ＝mm>0，在区间[－8,8]上有四个不同的根1，2，3，4，则1＋2＋3＋4＝________ 11．如图，函数f的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为0,0，1,2，3,1，则f错误!的值为________．12．已知函数f＝错误!a是常数且a>0．对于下列命题：①函数f的最小值是－1；②函数f在R上是单调函数；③若f>0在错误!上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的10，判断函数f的单调性；2若abf时的取值范围．15．已知二次函数f＝a2＋b＋1 a>0，F＝错误!8.2.5错误!未定义书签。

解得－1≤m0，b>0时，任意1，2∈R，10⇒a21－220⇒b31－320，当a0时，32x⎛⎫⎪⎝⎭>－错误!，则> 1.5log 2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a >0，b 32x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴错误!∴a ＝1，从而b ＝2，∴f ＝2＋2＋1，∴F ＝错误!2g ＝2＋2＋1－＝2＋2－＋1∵g 在[－2,2]上是单调函数，∴错误!≤－2，或错误!≥2，解得≤－2，或≥6 所以的取值范围为≤－2，或≥6。

2022高考数学二轮复习讲义专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一 基本初等函数的图象与性质1．指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－e x －1的大致图象可能是( )(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( )A.116B.19C.18D.162．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．696．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥27．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22D ．b －a>lg 610．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________.14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．。

2021年高考数学二轮复习专题2 函数与导数第2讲基本初等函数的性质及应用理基本初等函数的有关运算1.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x,则g(x)等于( D )(A)e x-e-x (B)(e x+e-x)(C)(e-x-e x) (D)(e x-e-x)解析:因为f(x)+g(x)=e x, ①所以f(-x)+g(-x)=e-x,所以f(x)-g(x)=e-x, ②①-②得g(x)=,故选D.2.若函数f(x)=则f(f(10))等于( B )(A)lg 101 (B)2 (C)1 (D)0解析:f(f(10))=f(lg 10)=f(1)=12+1=2.故选B.3.(xx安徽卷)lg+2lg 2-（）-1= .解析:lg+2lg 2-（）-1=lg+lg 4-（）-1=lg 10-2=-1.答案:-1比较函数值的大小4.已知a=,b=,c=（）,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c(C)a>c>b (D)c>a>b解析:因为0<log43.6<1,所以b=<5,而又log23.4>1,log3>1,所以a=>5,c=（）==>5,所以a>b,c>b.因为log23.4>log33.4>log3,所以a>c.所以a>c>b,故选C.5.(xx广州一模)已知log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是( C )(A)> (B)log2(a-b)>0(C)（）a<()b(D)2a-b<1解析:由log2a>log2b,得a>b>0,则选项A,D不成立,选项B不一定成立,对于选项C,()a<()b<()b,故选C.6.设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( A )(A)g(a)<0<f(b) (B)f(b)<0<g(a)(C)0<g(a)<f(b) (D)f(b)<g(a)<0解析:因为函数f(x)=e x+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以f(a)=0时a∈(0,1).又g(x)=ln x+x2-3在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln 2+1>0,g(b)=0得b∈(1,2),又f(1)=e-1>0,且f(x)=e x+x-2在R上单调递增,所以f(b)>0.综上可知,g(a)<0<f(b).7.(xx杭州一检)设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( C )(A)x2f(x1)>1 (B)x2f(x1)=1(C)x2f(x1)<1 (D)x2f(x1)<x1f(x2)解析:f(x)==由x1≠x2且f(x1)=f(x2),得x1,x2中一个大于1、一个小于1,且x1x2=1,若x1>1,则f(x1)=x1,x2f(x1)=1;若0<x1<1,则x2>1,f(x1)=,x2f(x1)=>1,故选C.8.已知函数f(x)=若存在x1,x2,当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2),则x1f(x2)的取值范围是.解析:作出函数f(x)的图象,由图知所以x1f(x2)=(-)·=(-)2-∈[,),即x1f(x2)的取值范围是[,).答案:[,)求参数的取值(范围)9.(xx福建卷)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.解析:当x≤2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,所以f(x)∈[4,+∞).当x>2时,若a∈(0,1),则f(x)=3+log a x在(2,+∞)上为减函数,f(x)∈(-∞,3+log a2),显然不满足题意,所以a>1,此时f(x)在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(3+log a2,+∞),由题意可知(3+log a2,+∞)⊆[4,+∞),则3+log a2≥4,即log a2≥1,所以1<a≤2.答案:(1,2]一、选择题1.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( C )(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x|(C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x解析:若f(x)=|x|,则f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),若f(x)=x-|x|,则f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),若f(x)=x+1,则f(2x)=2x+1≠2f(x),若f(x)=-x,则f(2x)=-2x=2f(x),故选C.2.(xx河南郑州市第二次质量预测)若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则+的值为( C )(A)36 (B)72 (C)108 (D)解析:设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=x,则a=2x-2,b=3x-3,a+b=6x.所以+===22×33=108.故选C.3.(xx上饶市一模)函数f(x)=-|x-|的图象为( D )解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),当0<x<1时,f(x)=+(x-)=x;当x≥1时,f(x)=x-(x-)=,故选D.4.(xx烟台二模)f(x)=则f(f(-1))等于( D )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4解析:f(-1)=-()=2>0,所以f(f(-1))=f(2)=3+log22=3+1=4.故选D.5.(xx慈溪市、余姚市联考)函数f(x)=x2lg的图象( B )(A)关于x轴对称 (B)关于原点对称(C)关于直线y=x对称(D)关于y轴对称解析:因为f(x)=x2lg,所以其定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),所以f(-x)=x2lg=-x2lg=-f(x),所以函数为奇函数,所以函数的图象关于原点对称,故选B.6.(xx信阳二检)若函数f(x)=2++sin x在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n等于( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4解析:f(x)=2++sin x,设h(x)=+sin x,得h(-x)=-h(x),函数h(x)是奇函数,则h(x)的值域为关于原点对称的区间.当-k≤x≤k时,设-p≤h(x)≤p,则m=2-p,n=2+p,得m+n=4,故选D.7.已知x=ln π,y=log52,z=,则( D )(A)x<y<z (B)z<x<y(C)z<y<x (D)y<z<x解析:x=ln π>ln e=1,y=log52<log55=1,又log25>2,所以y<.又z==,所以<z<1.所以y<z<x,故选D.8.(xx山东卷)设函数f(x)=若f(f())=4,则b等于( D )(A)1 (B) (C) (D)解析:f(f())=f(3×-b)=f(-b),当-b<1,即b>时,3×(-b)-b=4,解得b=(舍去).当-b≥1,即b≤时,=4,解得b=.故选D.9.(xx石家庄市调研)已知函数f(x)=|lox|,若m<n,有f(m)=f(n),则m+3n的取值范围是( D )(A)[2,+∞) (B)(2,+∞)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:因为f(x)=|lox|,若m<n,有f(m)=f(n),所以lom=-lon,所以mn=1,因为0<m<1,n>1,所以m+3n=m+在m∈(0,1)上单调递减.当m=1时,m+3n=4,所以m+3n>4.10.(xx河南郑州市第一次质量预测)设函数f1(x)=x,f2(x)=log xx x,a i=(i=1,2,…,xx),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a xx)-f k(a xx)|,k=1,2,则( A )(A)I1<I2(B)I1=I2(C)I1>I2(D)无法确定解析:因为I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a xx)-f1(a xx)|=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|a xx-a xx|=|-|+|-|+…+|-|=++…+=.I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a xx)-f2(a xx)|=|log xx-log xx|+|log xx-log xx|+…+|log xx-log xx|=|log xx2-log xx1|+|log xx3-log xx2|+…+|log xx xx-log xx xx|=log xx2-0+log xx3-log xx2+…+1-log xx xx=1-0=1.所以I1<I2.11.(xx烟台一模)已知函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=给出下列命题:①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若0<m<n<1,则有F(m)-F(n)<0成立;④当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中正确命题的个数为( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=所以|f(x)|=|a|log2x|+1|,所以F(x)≠|f(x)|,①不对.因为F(-x)==F(x),所以函数F(x)是偶函数,故②正确.因为当a<0时,若0<m<n<1,所以|log2m|>|log2n|,所以a|log2m|+1<a|log2n|+1,即F(m)<F(n)成立,故F(m)-F(n)<0成立,所以③正确.因为f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=所以x>0时,F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以x>0时,F(x)的最小值为F(1)=1,故x>0时,F(x)与y=2有2个交点.因为函数F(x)是偶函数,所以x<0时,F(x)与y=2有2个交点.故当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.所以④正确.二、填空题12.(xx广东省揭阳市二模)已知幂函数y=f(x)的图象过点（3,）,则lof(2)的值为.解析:设f(x)=xα,则f(3)=3α=,解得α=-1,所以f(x)=x-1,f(2)=,所以lof(2)=lo=1.答案:113.(xx北京卷)2-3,,log25三个数中最大的数是.解析:因为2-3==,=≈1.732,而log24<log25,即log25>2,所以三个数中最大的数是log25.答案:log2514.(xx肇庆二模)已知函数f(x)=在R上不是单调函数,则实数a的取值范围是.解析:当函数f(x)在R上为减函数时,有3a-1<0且0<a<1且(3a-1)×1+4a≥log a1,解得≤a<;当函数f(x)在R上为增函数时,有3a-1>0且a>1且(3a-1)×1+4a≤log a1,解得a无解;所以当函数f(x)在R上为单调函数时,有≤a<.所以当函数f(x)在R上不是单调函数时,有a>0且a≠1且a<或a≥,即0<a<或≤a<1或a>1.答案:（0,）∪[,1)∪(1,+∞).15.函数y=x2(x>0)的图象在点(a k,)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:因为y′=2x,所以k=y′=2a k,所以切线方程为y-=2a k(x-a k),令y=0,得x=a k,即a k+1=a k,所以{a k}是以首项为16,公比为的等比数列,所以a k=16×()n-1,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:21。

2022高考数学文二轮专项限时集训(二)函数、基本初等函数的图象与性质[第2讲 函数、差不多初等函数的图象与性质](时刻：10分钟＋25分钟)C.⎝⎛⎦⎤0，13D.⎝⎛⎦⎤0，231．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋1)，x <4，⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，则f (log 23)＝( )A.112B.124 C.14 D.122．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝2x－x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫133．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )图2－14．“函数f (x )在[0,1]上单调”是“函数f (x )在[0,1]上有最大值”的( ) A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件5．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥b )，b (a <b )，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是( )图2－26．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________. 7．函数y ＝4x －1＋23－x 单调递减区间为________．8．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得关于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数．假如定义域为[－1，＋∞)的函数f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范畴是________．假如定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范畴是________．专题限时集训(二)B[第2讲 函数、差不多初等函数的图象与性质](时刻：10分钟＋25分钟)1．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.3，则，，三者的大小关系是( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >c D ．c >b >a2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]3．若0<m <n ，则下列结论正确的是( )A ．2m >2nB.⎝⎛⎭⎫12m <⎝⎛⎭⎫12nC ．log 2m >log 2nD ．log 12m >log 12n4．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范畴是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)1．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )图2－32．若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x ＋1的图象关于y ＝x ＋1对称，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．log 2(x －1) C ．log 2(x ＋1) D ．log 2x －13．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范畴是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1，2)C ．(1，2)D ．[2，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)(x >0)，x 2＋ax ＋b (x ≤0).若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．25．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－456．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>07．f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则a 的取值范畴是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.⎣⎡⎦⎤12，3 C ．[3，＋∞) D ．(0,3]8．函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过一定点是________．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象与函数g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝g (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列命题：①h (x )的图象关于原点对称；②h (x )为偶函数；③h (x )的最小值为0；④h (x )在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为________(注：将所有正确．．命题的序号都填上)．专题限时集训(二)A【基础演练】1．A 【解析】 依题意，函数y ＝1x 的定义域为(0，＋∞)，函数f (x )＝log 2x 的定义域也为(0，＋∞)，选择A.2．B 【解析】 依题意，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －2＝log 2x －2＋1x －2＋2≥log 24＝2(x >2)，当且仅当x ＝3时取等号，选择B.3．A 【解析】 函数f (x )为偶函数，且导函数f ′(x )＝2x ＋sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，而f (－0.5)＝f (0.5)，故f (0)<f (0.5)<f (0.6)，故而f (0)<f (－0.5)<f (0.6)，正确答案选A.4．B 【解析】 当0<a <1时，－0＋3a ≥a 0，解得a ≥13，因此a 的取值范畴为⎣⎡⎭⎫13，1.【提升训练】1．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝124.2．B 【解析】 f ′(x )＝2x ln2－1，当x ≥1时f ′(x )＝2x ln2－1≥2ln2－1＝ln4－1>0，故函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43，43<32<53，故f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13.3．B 【解析】 由log a 2<0，得0<a <1，函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象是把函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选B.4．B 【解析】 明显“函数f (x )在[0,1]上单调”⇒“函数f (x )在[0,1]上有最大值”(现在边界取得最值)；反过来，函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋1在x ＝12时取得最大值1，但该函数在[0,1]上不是单调的，故正确答案选B.5．B 【解析】 函数是分段函数，即取大的分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <1，2x ，x ≥1.那个函数图象的最低点是(1,2)，由于函数y ＝f (x ＋1)的图象是把函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，故函数y ＝f (x ＋1)图象的最低点是(0,2)，结合已知一次函数和指数函数的图象，正确选项为B.6．－2 【解析】 依照函数f (x )为奇函数，不难明白f (1)＝－f (－1)＝－2，而f (0)＝0，故而f (0)＋f (1)＝－2.7.⎣⎡⎦⎤138，3 【解析】 易知x ∈⎣⎡⎦⎤14，3，y >0，∵y 与y 2有相同的单调区间，而y 2＝11＋4－4x 2＋13x －3，∴可得单调减区间为⎣⎡⎦⎤138，3.8．[2，＋∞) [－1,1] 【解析】 f (x )＝x 2(x ≥－1)的图象如下图左所示，要使得f (－1＋m )≥f (－1)＝1，需m ≥2；x ≥－1时，恒有f (x ＋2)≥f (x )，故m ≥2即可；由f (x )为奇函数及x ≥0时的解析式知f (x )的图象如下图右所示，∵f (3a 2)＝a 2＝f (－a 2)，由f (－a 2＋4)≥f (－a 2)＝a 2＝f (3a 2)，故－a 2＋4≥3a 2，从而a 2≤1，又a 2≤1时，恒有f (x ＋4)≥f (x )，故a 2≤1即可．专题限时集训(二)B【基础演练】1．A 【解析】 因为a ＝0.3＝0.30.5<0.30.2＝c <0.30＝1，而b ＝20.3>20＝1，因此b >c >a .2．C 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－4<x <1⇒－1<x <1.故选C. 3．D 【解析】 由指数函数与对数函数的单调性知D 正确．4．B 【解析】 由条件0<a <b 且f (a )＝f (b )，因此0<a <1<b ，故而f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝lg b ，故－lg a ＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝0，故ab ＝1，由差不多不等式得到2a ＋b ≥22ab ＝2 2.【提升训练】1．B 【解析】 因为函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、C ，又x >0时，函数为y ＝ln x ，故选B.2．C 【解析】 由题知f (x －1)与y ＝2x 关于y ＝x 对称，因此f (x －1)＝log 2x ⇒f (x )＝log 2(x ＋1)，因此选C.3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a ∈(1，2)，选择C.4．A 【解析】 依题意，∵f (3)＝2，∴log a (3＋1)＝2，解得a ＝2，又f (－2)＝0，∴4－4＋b ＝0，b ＝0，选择A.5．C 【解析】 f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，4<log 220<5，因此f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－1.6．D 【解析】 f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，由x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )为增函数且f (x )>0得函数f (x )在(2,3)上也为增函数且f (x )>0，而直线x ＝2为函数的对称轴，则函数f (x )在(1,2)上是减函数，且f (x )>0，故选D.7．A 【解析】 函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，依照题意知函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集，故有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又a >0，因此a 的取值范畴是⎝⎛⎦⎤0，12.8．(2,2) 【解析】 依题意，当x ＝2时，函数值为y ＝log a (2－1)＋2＝2，因此其图象恒过定点(2,2)．9．②③ 【解析】 依题意，g (x )＝log 12x ，h (x )＝log 12(1－|x |)，易知，h (x )为偶函数，②正确；∵|x |≥0，∴h (x )的最小值为0，③正确；①④错．故填②③.。

专题限时集训(二)A制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

[第2讲 函数、根本初等函数Ⅰ的图象与性质](时间是：30分钟)1．假设f (x )＝1log 2〔x ＋1〕，那么f (x )的定义域为( )A ．(－1，0)B ．(－1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1) 2．函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )图2－13．函数y ＝lg|x |是( )A ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 4．3a ＝5b＝A ，且1a ＋1b＝2，那么A 的值是( )A ．15 B.15 C ．±15 D ．2255．假设log a 2<0(a >0，且a ≠1)，那么函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是()图2－26．函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图2－3所示，那么函数g (x )＝a x＋b 的大致图象是( )图2－3图2－47．假设偶函数f (x )(x ≠0)在区间(0，＋∞)上单调，满足f (x 2－2x －1)＝f (x ＋1)，那么所有x 之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x －1|－2，|x |≤1，11＋x 13，|x |>1，那么f (f (27))＝( ) A ．0 B.14C ．4D ．－49．设偶函数f (x )对任意x ∈R，都有f (x ＋3)＝－1f 〔x 〕，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，那么f (107.5)＝( )A ．10 B.110 C ．－10 D ．－11010．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，那么该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减11．f (x )＝e x－1e x ＋1，假设f (m )＝12，那么f (－m )＝________．12．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧〔3－a 〕x －a 〔x <1〕，log a x 〔x ≥1〕是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是________．13．函数f (x )的定义域为A ，假设x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，那么称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出以下命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R)是单函数；③假设函数f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，那么f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)专题限时集训(二)A【根底演练】1．C [解析] 因为f (x )＝1log 2〔x ＋1〕，所以x ＋1>0，且x ＋1≠1，所以x ∈(－1，0)∪(0，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图象．3．B [解析] 因为y ＝lg|x |是偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)递增，因此选B. 4．B [解析] 因为3a ＝5b＝A ，所以a ＝log 3A ，b ＝log 5A ，且A >0，于是1a ＋1b＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，所以A ＝15.【提升训练】5．B [解析] 由log a 2<0得0<a <1，f (x )＝log a (x ＋1)的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图象．6．A [解析] 由条件知，0<a <1，b <－1，结合选项，函数g (x )＝a x＋b 只有A 符合要求． 7．D [解析] 依题意得，方程f (x 2－2x －1)＝f (x ＋1)等价于方程x 2－2x －1＝x ＋1或者x 2－2x －1＝－x －1，即x 2－3x －2＝0或者x 2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4.8．A [解析] 依题意，f (27)＝11＋2713＝11＋3＝14，那么f (f (27))＝f 14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 414－1－2＝|－1－1|－2＝0.9．B [解析] 由f (x ＋3)＝－1f 〔x 〕，得f (x ＋6)＝－1f 〔x ＋3〕＝f (x )，知6为该函数的一个周期，所以f (107.5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×18－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－1－10＝110. 10．C [解析] 当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x )＋(2x －1)＝0；当x ＝0时，f (0)＝0.因此，对任意x ∈R，均有f (－x )＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增．11．－12 [解析] 依题意，f (m )＝12，即e m－1e m ＋1＝12.所以f (－m )＝e －m－1e －m ＋1＝1－e m 1＋e m ＝－e m－1e m＋1＝－12. 12.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，〔3－a 〕·1－a ≤log a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a ≥32，解得32≤a <3.13．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知故命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

第二讲函数、基本初等函数的图象与性质一、选择题1．2022·陕西已知函数f＝错误!4a2a4a1 C0，二次函数f＝a2＋b＋c的图象可能是解析：A项，由图象开口向下知a0，∴c>0＝c0，∴b>0又∵abc>0，∴c0；C项，由图知a>0，－错误!0又∵abc>0，∴c>0，而由图知f0＝c0，－错误!>0，∴b0，∴c错误!0，∴gb在1，＋∞上为增函数，得gb＝2b＋错误!>3，故选C答案：C5．2022·山东已知定义在R上的奇函数f，满足f－4＝－f，且在区间[0,2]上是增函数，则A．f－250，∴－f12；②错误!>错误!；③|1|>1>f2恒成立的条件序号是________．解析：函数f＝2－co 显然是偶函数，其导数′＝2＋in 在0f2恒成立，即f|1|>f|2|恒成立．∵f在错误!上是增函数，∴|1|>|2|，即②成立，①③不成立．答案：②7．已知f是定义在R上的偶函数，并且f＋2＝－错误!，当2≤≤3时，f＝，则f＝________解析：∵f＋2＝－错误!，∴f＋4＝－错误!＝f∴T＝4，∴f＝f－4＝f－＝f＝答案：8．2022·全国Ⅰ直线＝1与曲线＝2－||＋a有四个交点，则a的取值范围是________．解：＝2－||＋a是偶函数，图象如图所示．由图可知＝1与＝2－||＋a有四个交点，需满足a－错误!4f4f01解不等式f错误!1，则f2－f1＝f2＋f－1＝错误!·2－1>0，∴f2>f1，∴f是增函数．f错误!<f1－⇔错误!⇔0≤<错误!，即不等式f错误!<f1－的解集为错误!2由于f为增函数，∴f的最大值为f1＝1，∴f≤t2－2at＋1对a∈[－1,1]、∈[－1,1]恒成立⇔t2－2at＋1≥1对任意a∈[－1,1]恒成立⇔t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立．把＝t2－2at看作a的函数，由a∈[－1,1]知其图象是一条线段，∴t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立⇔错误!⇔错误!⇔错误!，⇔t≤－2，或t＝0，或t≥2。

专题限时集训(二)A[第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质](时间：10分钟＋25分钟)1．下列函数中，既是偶函数又在( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |2．若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )图2－14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3ax ，a xx (a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，231．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ，ln x x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( )A.1e B ．e C ．－1eD ．－e 2．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝2x－x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫133．函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( ) A ．直线y ＝x 对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．原点对称4．若log a 2<0(a >0，且a (x )a ( )图2－25．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)6．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b ，b a <b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x＋1)的大致图象是( )图2－37．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x x ，x 2－4x ＋x ，则不等式1<f (x )<4的解集为________．专题限时集训(二)B[第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质](时间：10分钟＋25分钟)1．奇函数f (x )在(0－x )，则f (x )在(－∞，0)上的函数解析式是( )A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)2．已知定义域为R 的函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则( )A ．f (－1)<f (0)<f (2)<f (3)B ．f (－1)<f (3)<f (0)<f (2)C ．f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)D ．f (2)<f (3)<f (0)<f (－1)3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x，x ＋x ，则f (x )>1的解集为( )A ．(－1,0)∪(0，e)B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－∞，1)∪(e ，＋∞)4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (2010)＋f (2011)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－21．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )图2－42．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－453．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则f (x )＝2⊕x2－x ⊗是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数4．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)5．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (log 4x )>2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 6．f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 C ．[3，＋∞) D．(0,3]7．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：(1)函数f (x )是周期函数；(2)函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； (3)函数f (x )为R 上的偶函数； (4)函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)专题限时集训(二)A【基础演练】1．B 【解析】 是偶函数的是选项B 、C 、D 中的函数，但在(0，＋∞)上单调递增的函数只有选项B 中的函数．2．A 【解析】 根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.故选A.3．B 【解析】 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．B 【解析】 由题知0<a <1，且－0＋3a ≥a 0，解得a ≥13，所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.【提升训练】1．A 【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .2．B 【解析】 f ′(x )＝2xln2－1，当x ≥1时f ′(x )＝2xln2－1≥2ln2－1＝ln4－1>0，故函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43<32<53，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 3．D 【解析】 在函数y ＝x ln(－x )的解析式中以－x 代x ，－y 代y 得函数y ＝x ln x ，所以两个函数的图象关于坐标原点对称．4．B 【解析】 由log a 2<0，得0<a <1，函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象是把函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选B.5．B 【解析】 已知条件等价于函数在[0，＋∞)上单调递增，由于函数是偶函数，故f (1)<f (－2)<f (3)．6．B 【解析】 函数是分段函数，即取大的分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <1，2x，x ≥1.这个函数图象的最低点是(1,2)，由于函数y ＝f (x ＋1)的图象是把函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，故函数y ＝f (x ＋1)图象的最低点是(0,2)，结合已知一次函数和指数函数的图象，正确选项为B.7．0 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ， ∴a ＝0.8．(0,1]∪(3,4) 【解析】 分段求解．当0≤x ≤1时，1<3x<4，解得0<x <log 34，故此时0<x ≤1；当x >1时，结合1<x 2－4x ＋4<4，解得3<x <4.故所求不等式的解集是(0,1]∪(3,4)．专题限时集训(二)B【基础演练】1．B 【解析】 当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，由于函数f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．2．C 【解析】 函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，图象关于y 轴对称，把这个函数图象向右平移2个单位即得到函数y ＝f (x )的图象，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，所以函数f (x )在(－∞，2]上为增函数，由f (3)＝f (4－3)＝f (1)，故f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)．3．C 【解析】 当x >0时，根据ln x >1，解得x >e ；当x <0时，根据x ＋2>1，解得－1<x <0.故所求不等式的解集是(－1,0)∪(e ，＋∞)．4．A 【解析】 f (2010)＋f (2011)＝f (0)＋f (1)＝－f (－1)＝1. 【提升训练】1．B 【解析】 当x >0时，y ＝ln x ，当x <0时，y ＝－ln(－x )，因为函数y ＝x ln|x ||x |是奇函数，图象关于坐标原点对称．故只有选项B 中的图象是可能的．2．C 【解析】 f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－1.3．A 【解析】 由题可得2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －2，所以f (x )＝4－x22－x －2＝4－x 22－－x ＝4－x 2x ，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]且满足f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是奇函数．4．B 【解析】 由于函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，在0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，只能0<a <1，b >1，故f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，由f (a )＝f (b )，得－lg a ＝lg b ，即lg(ab )＝0，故ab ＝1，所以2a ＋b ≥22ab ＝22，当且仅当2a ＝b ，即a ＝22，b ＝2时取等号． 5．A 【解析】 方法1：作出函数f (x )的示意图如图，则log 4x ＞12或log 4x ＜－12，解得x >2或0<x <12.方法2：根据偶函数的性质，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，由于在偶函数中f (x )＝f (|x |)，故不等式f (log 4x )>2等价于不等式f (|log 4x |)>2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即|log 4x |>12，即log 4x ＞12或log 4x ＜－12，解得x >2或0<x <12. 6．A 【解析】 函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，根据题意知函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集，故有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又a >0，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 8．(1)(2)(3) 【解析】 由f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数；又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34图象关于(0,0)对称；y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象，原来的原点(0,0)变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，所以f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称．又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x －34＝－f (－x )⇒f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数；又f (x )为R 上的偶函数，不可能为R 上的单调函数．。

【2021新高考数学二轮复习】第2讲 基本初等函数、函数与方程考点一 基本初等函数的图象与性质[学生用书P87][典型例题](1)(2020·贵阳市四校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若a ＝f (20.3)，b ＝f (2)，c ＝(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x 2C ．f (－2)＜g (－1)D ．g (－1)＜f (－3)【解析】 (1)因为20＜20.3＜21，即1＜20.3＜2，log 25＞log 24＝2，所以20.3＜2＜log 25.因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以f (20.3)＞f (2)＞f (log 25)，即a ＞b ＞c ，故选B.(2)因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②，联立①②得⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x 2，g （x ）＝e x －e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e 4＜0，所以g (－1)＜f (－2)，g (－1)＜f (－3)，故选AD.【答案】 (1)B (2)AD基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2020·高考天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－3x 2，若f (2a －1)＞f (3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)解析：选B.易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －3x 2，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，故f (2a －1)＞f (3)等价于|2a －1|＜3，解得－1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为(－1，2)．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋2，x ＞1，e x －2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)考点二 函数与方程[学生用书P88][典型例题]命题角度1 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0＜x ≤2，f （x －2）＋1，x ＞2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)因为x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x ＞2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 (1)B (2)C(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；②利用零点存在性定理进行判断；③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度2 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)(2020·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，|x |≤1，|x |，|x |＞1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a ＞1C ．0≤a ＜1D ．a ＜0【解析】 (1)因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(3－a )＜0，所以0＜a ＜3.(2)方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.【答案】 (1)C (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x ＞1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ＞1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．(2020·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1，x →－∞时，f(x)→0.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x) 的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D.考点三函数的实际应用[学生用书P89][典型例题](1)(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)() A．60B．63C．66 D．69(2)已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为()A. 5 B．5C. 2 D．2【解析】(1)由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，即10.95＝1＋e－0.23(t *－53)，e－0.23(t*－53)＝119，e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C.(2)设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2x (a ＞0)，P ＝20－x 4.又因为0≤x ≤20时，P ＋Q ≥5恒成立，所以a x ≥x 2.①当x ＝0时，符合题意；②当0＜x ≤20时，a ≥x 2.要使a ≥x 2在x ∈(0，20]内恒成立，只需使a 不小于x 2的最大值．因为x 2的最大值为5，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.故选A.【答案】 (1)C (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练](2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1解析：选A.由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得－26.7＋1.45＝52lg E 1E 2，52lgE 1E 2＝－25.25，所以lg E 1E 2＝－10.1，lg E 2E 1＝10.1，E 2E 1＝1010.1.故选A.[学生用书(单独成册)P156]一、单项选择题1．函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.令x －1＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A (1，1)．把x ＝1，y ＝1代入各选项验证，只有A 选项中函数的图象没有经过A 点．故选A.2．设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根 解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．3．若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选B.因为函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域为[a ，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，所以当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.4．若函数y ＝a －a x (a ＞0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为当a ＞1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递减，所以a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0＜a ＜1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递增，所以a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．所以a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 5．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A ，B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，故选D.6．2018年9月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为(素数即质数，lg e ≈0.434 29，计算结果按四舍五入取整数)( )A ．1 089B ．1 086C ．434D ．145解析：选B.由题可知，小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x ，则10 000以内的素数的个数为π(10 000)≈10 000ln 10 000＝10 0004ln 10＝10 000lg e 4＝2 500lg e ≈0.434 29×2 500≈1 086，故选B.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a <b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0，所以0＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选C.由“优美点”的定义可知，若(x 0，f (x 0))为“优美点”，则点(－x 0，－f (－x 0))也在曲线f (x )上，且(－x 0，－f (－x 0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，再作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，即曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)，直线y ＝－x ＋2过点(2，0)，故与曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)交于两点，所以曲线f (x )有4个优美点．故选C.二、多项选择题9．(2020·山东枣庄滕州一中月考)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞0D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：选ACD.由题意得2＝log a 4，所以a ＝2，故函数f (x )＝log 2x .对于A 项，函数f (x )＝log 2x 为增函数，故A 项正确；对于B 项，函数f (x )＝log 2x 不是偶函数，故B 项错误；对于C 项，当x ＞1时，f (x )＝log 2x ＞log 21＝0成立，故C 项正确；对于D 项，因为f (x )＝log 2x 往上凸，所以若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，故D 项正确．故选ACD. 10．若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )解析：选AD.由题意知f (x )＝a x －2是指数函数，g (x )＝log a |x |是对数函数，且是一个偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上递减，此时A 选项符合题意，当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意，故选AD.11．设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e ＋1解析：选BCD.f (x )＝x e |x |＋1，f (－x )＝1－x e |x |，不满足f (x )＝－f (－x )，故A 错误．令g (x )＝x e |x |，则g (－x )＝－x e|－x |＝－x e |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 正确．设f (x )＝x e |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1.当x ＞0时，g (x )＝x e x ，所以g ′(x )＝1－x e x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，所以当x ∈(0，1)时，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x＝1处取得最大值，最大值g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N＝－1e ＋1，故C ，D 正确，故选BCD.12．(2020·辽宁省实验中学东戴河分校月考)设函数f (x )＝x |x |－bx ＋c ，则下列命题正确的是( )A ．当b ＞0时，函数f (x )在R 上有最小值B ．当b ＜0时，函数f (x )在R 上是单调递增函数C ．若f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，则c ＝1 010D ．方程f (x )＝0可能有三个实数根解析：选BCD.对于A 项，当b ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，可知函数f (x )在R 上无最小值，故A 项错误；对于B 项，当b ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22＋b (x 2－x 1)，由x 21－x 22＜0，x 2－x 1＞0，b ＜0可知，f (x 1)－f (x 2)＜0，故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，且(x 2－bx ＋c )min ＝f (0)＝c ＞(－x 2－bx ＋c )max ，所以函数f (x )在R 上是单调递增函数，故B项正确；对于C 项，由f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，将x ＝2 019，x ＝－2 019分别代入f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，解得c ＝1 010，故C 项正确；对于D 项，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝x |x |－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2，故D 项正确．故选BCD.三、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (log 2 16)＝________． 解析：由题可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝8. 答案：814．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________． 解析：因为f (x )＝|log 3 x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，且函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1<2，满足题意，则n m ＝9；若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得m ＝13，n ＝3，故n m＝9. 答案：915．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[a ，b ]上同时递增或同时递减时，[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x ＋t |.因为[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，所以函数y ＝|2x ＋t |和函数g (x )＝|2－x ＋t |在区间[1，2]上的单调性相同．又因为y ＝2x ＋t 和y ＝2－x ＋t 的单调性相反，所以(2x ＋t )·(2－x ＋t )≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤－t ≤2x 在[1，2]上恒成立，得－2≤t ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 16．(2020·开封市模拟考试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2，则f (1)＝________，g (x )＝f (x )－lg x ，则函数g (x )的零点共有________个．解析：依题意得f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＋f (2－x )＝0，因此f (2－x )＝f (－x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数，于是f (1)＝f (－1)＝－f (1)，2f (1)＝0，即f (1)＝0.由此可得函数f (x )的值域为(－1，1)，由g (x )＝0得f (x )＝lg x ＜1，0＜x ＜10，且函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象在区间(0，10)内的公共点个数．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝lg x 的大致图象，如图所示，结合图象可得，它们的图象共有5个公共点，因此函数g (x )的零点共有5个．答案：0 5。