相似多边形[下学期]--北师大版-
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§4.4 相似多边形●教学目标(一)教学知识点经历探究图形的形状、大小,图形的边、角之间的关系,掌握相似多边形的定义以及相似比,并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.(二)能力训练要求经历探索图形的边、角关系,培养学生的观察能力,分析判断能力.(三)情感与价值观要求通过观察、推断可以获得教学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性.●教学重点探索相似多边形的定义,以及用定义去判断两个多边形是否相似.●教学难点探索相似多边形的定义的过程.●教学方法指导探索法.●教具准备投影片两张第一张(记作§4.4 A)第二张(记作§4.4 B)●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思.[生]“相似”就是差不多,但也不是完全相同,既有相同部分也有不同部分.[师]很好,那“相似多边形”应怎么理解呢?[生]“相似多边形”即为两个边数相同的多边形,并且形状一样、大小可能不同.[师]大家的分析能力非常棒,究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢?本节课我们将进行探索.Ⅱ.新课讲解1.探究相似多边形的定义[生]在上图中,六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1是形状相同的图形,其中 ∠A 与∠A 1,∠B 与∠B 1,∠C 与∠C 1,∠D 与∠D 1,∠E 与∠E 1,∠F 与∠F 1分别对应相等,AB 与A 1B 1,BC 与B 1C 1,CD 与C 1D 1,DE 与D 1E 1,EF 与E 1F 1,F A 与F 1A 1的比都相等.[师]从上可知,幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同,只是大小不同,它们的对应角相等、对应边成比例.那么,形状相同的多边形是都有这种关系呢,还是只有六边形才有呢?下面我们继续进行探讨.[例题]下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系呢?对应边呢?(1)正三角形ABC 与正三角形DEF ;(2)正方形ABCD 与正方形EFGH .[师]请大家互相交流.[生]解:(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A =∠D =60°,∠B =∠E =60°,∠C =∠F =60°由于正三角形三边相等,所以FDCA EF BC DE AB ==. (2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A =∠E =90°,∠B =∠F =90°,∠C =∠G =90°,∠D =∠H =90°.由于正方形四边相等,所以HEDA GH CD FG BC EF AB === [师]从上面的讨论结果来看,大家能否猜测出相似多边形的定义呢?[生]可以.对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形(similar polygons ).相似多边形对应边的比叫做相似比(similarity ratio ).[师]相似应该怎样表示呢?请认真看书.[生]六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似.记作六边形ABCDEF ∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1,其中AB ∶A 1B 1等于相似比.[师]在记两个多边形相似时,要注意什么?[生]要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.2.想一想(1) 如果两个多边形相似,那么它们的对应角有什么关系?对应边呢?若两个多边形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例.3.议一议 1.[生]1.(1)中的两个图形不相似.因为相似形需要满足两个条件,一个是对应角相等,一个是对应边成比例,虽然(1)中的两个图形对应边成比例,但对应角不相等,所以两个图形不相似.(2)中的两个图形也不相似.因为它们的对应边不成比例,所以两个图形不相似.2.如果两个多边形不相似,那么它们的对应角也可能都相等,如(2)中的两个图形; 如果两个多边形不相似,那么它们的对应边也可能成比例,如(1)中的两个图形对应边成比例,但对应角不相等.4.做一做一块长3 m ,宽1.5 m 的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?请大家交流后回答图4-16[生]答:不相似.内边缘的矩形长为300 cm ,宽为150 cm ,外边缘的矩形长为315 cm ,宽为165 cm ,因为315300≠165150,所以内外边缘所成的矩形不相似. 5.想一想(2)所有的边数相同的正多边形都相似吗?[师]正多边形是指各边都相等,各角都相等的多边形,请大家根据定义进行判断. [生]相似,因为各角都相等,各边都相等,所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例,因此这两个正多边形肯定相似.比如:两个正三角形相似.Ⅲ.课堂练习判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗?并说明理由.(1)两个大小不等的矩形;(2)两个大小不等的正五边形;(3)一个正方形与一个平行四边形;(4)两个大小不等的菱形.解:(1)两个大小不等的矩形不一定相似,虽然它们的对应角相等,都是直角,但它们的对应边不一定成比例.(2)两个大小不等的正五边形是相似多边形,因为它们的对应角相等,对应边成比例.(3)一个正方形与一个平行四边形不相似,因为平行四边形的四个角不相等,四条边也不相等,所以对应角不相等,对应边也不成比例(4)两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等,两个菱形满足对应边成比例,但对应角不一定相等,所以不一定相似Ⅳ.课时小结本节课通过探究相似多边形满足的条件,从而推导出相似多边形的定义,并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形.Ⅴ.课后作业习题4.51.解:对应边的比为2∶3.2.解:两个正六边形的边长分别为a 和b ,这两个正六边形相似.因为正六边形的每个角都等于120°,所以满足对应角相等,对应边成比例,所以它们相似.3.解:小路内外边缘所成的矩形不相似,虽然它们的对应角相等,但对应边12102220 ,即对应边不成比例,所以不相似.Ⅵ.活动与探究纸张的大小图4-17如图,将一张长、宽之比为2的矩形纸ABCD 依次不断对折,可以得到矩形纸BCFE ,AEML ,GMFH ,LGPN .(1)矩形ABCD 、BCFE 、AEML 、GMFH 、LGPN 长与宽的比改变了吗?(2)在这些矩形中,有成比例的线段吗?(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗?解:(1)矩形ABCD 、BCFE 、AEML 、GMFH 、LGPN 长与宽的比不改变.设纸的宽为a ,长为2a ,则BC =a ,BE =22aAE =22a ,ME =2a MF =2a ,HF =42a LG =42a ,LN =4a ∴BEBC =a ∶22a =2 ME AE = 22a ∶2a =2 2a HF MF =∶242=a 42=LN LG a ∶4a =2 所以五个矩形的长与宽的比不改变.(2)在这些矩形中有成比例的线段.(3)这些大小不同的矩形都相似. 一、4.●备课资料经典名题苏轼巧分田产相传,北宋大文学家苏轼在凤翔作官时,为官清正,秉公执法,深得百姓拥戴.一天,有兄弟四人前来告状.苏轼坐在公案前,展开状纸一看:“小民杨大毛,家住城南寨.先父临终时,留下两顷田.只因分不均,兄弟反目.青天大老爷,请把理来断.”图4-18苏轼接过地契,心中暗暗盘算,杨家田地为工字形,如何分配,才让四兄弟满意呢?沉思片刻,计上心来,遂唤一名差役耳语道:“只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量,不一会儿,只见四兄弟满面带笑地跑过来,叩头不迭道:“多谢恩公明断!”你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同,面积相等的吗?分法如下:§4.4 相似多边形教学目标:1.使学生理解相似多边形的定义,掌握定义中的两个条件,理解相似比的意义.2.经历探究图形的形状、大小,图形的边、角之间的关系,掌握相似多边形的定义以及相似比,并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.3.通过观察、推断可以获得教学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性.教学重点:探索相似多边形的定义的过程教学难点:找出相似三角形的对应边和对应角。
§4.4 相似多边形●教学目标(一)教学知识点经历探究图形的形状、大小,图形的边、角之间的关系,掌握相似多边形的定义以及相似比,并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.(二)能力训练要求经历探索图形的边、角关系,培养学生的观察能力,分析判断能力.(三)情感与价值观要求通过观察、推断可以获得教学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性.●教学重点探索相似多边形的定义,以及用定义去判断两个多边形是否相似.●教学难点探索相似多边形的定义的过程.●教学方法指导探索法.●教具准备投影片两张第一张(记作§4.4 A)第二张(记作§4.4 B)●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思.[生]“相似”就是差不多,但也不是完全相同,既有相同部分也有不同部分.[师]很好,那“相似多边形”应怎么理解呢?[生]“相似多边形”即为两个边数相同的多边形,并且形状一样、大小可能不同.[师]大家的分析能力非常棒,究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢?本节课我们将进行探索.Ⅱ.新课讲解1.探究相似多边形的定义投影片(§4.4 A)下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗?图4-14(1)在上图的两个多边形中,是否有相等的内角?设法验证你的猜测.(2)在上图的两个多边形中,相等内角的两边是否成比例?[师]请大家动手验证一下.[生]在上图中,六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1是形状相同的图形,其中 ∠A 与∠A 1,∠B 与∠B 1,∠C 与∠C 1,∠D 与∠D 1,∠E 与∠E 1,∠F 与∠F 1分别对应相等,AB 与A 1B 1,BC 与B 1C 1,CD 与C 1D 1,DE 与D 1E 1,EF 与E 1F 1,F A 与F 1A 1的比都相等.[师]从上可知,幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同,只是大小不同,它们的对应角相等、对应边成比例.那么,形状相同的多边形是都有这种关系呢,还是只有六边形才有呢?下面我们继续进行探讨.[例题]下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系呢?对应边呢?(1)正三角形ABC 与正三角形DEF ;(2)正方形ABCD 与正方形EFGH .[师]请大家互相交流.[生]解:(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A =∠D =60°,∠B =∠E =60°,∠C =∠F =60°由于正三角形三边相等,所以FDCA EF BC DE AB ==. (2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A =∠E =90°,∠B =∠F =90°,∠C =∠G =90°,∠D =∠H =90°.由于正方形四边相等,所以HEDA GH CD FG BC EF AB === [师]从上面的讨论结果来看,大家能否猜测出相似多边形的定义呢?[生]可以.对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形(similar polygons ).相似多边形对应边的比叫做相似比(similarity ratio ).[师]相似应该怎样表示呢?请认真看书.[生]六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似.记作六边形ABCDEF ∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1,其中AB ∶A 1B 1等于相似比.[师]在记两个多边形相似时,要注意什么?[生]要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.2.想一想(1)如果两个多边形相似,那么它们的对应角有什么关系?对应边呢?若两个多边形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例.3.议一议投影片(§4.4 B )1.观察下面两组图形,(1)中的两个图形相似吗?为什么?(2)中的两个图形呢?与同伴交流.图4-152.如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能对应相等吗?它们的各边可能对应成比例吗?[生]1.(1)中的两个图形不相似.因为相似形需要满足两个条件,一个是对应角相等,一个是对应边成比例,虽然(1)中的两个图形对应边成比例,但对应角不相等,所以两个图形不相似.(2)中的两个图形也不相似.因为它们的对应边不成比例,所以两个图形不相似.2.如果两个多边形不相似,那么它们的对应角也可能都相等,如(2)中的两个图形; 如果两个多边形不相似,那么它们的对应边也可能成比例,如(1)中的两个图形对应边成比例,但对应角不相等.4.做一做一块长3 m ,宽1.5 m 的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?请大家交流后回答.图4-16[生]答:不相似.内边缘的矩形长为300 cm ,宽为150 cm ,外边缘的矩形长为315 cm ,宽为165 cm ,因为315300≠165150,所以内外边缘所成的矩形不相似. 5.想一想(2)所有的边数相同的正多边形都相似吗?[师]正多边形是指各边都相等,各角都相等的多边形,请大家根据定义进行判断. [生]相似,因为各角都相等,各边都相等,所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例,因此这两个正多边形肯定相似.比如:两个正三角形相似.Ⅲ.课堂练习判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗?并说明理由. (1)两个大小不等的矩形;(2)两个大小不等的正五边形;(3)一个正方形与一个平行四边形;(4)两个大小不等的菱形.解:(1)两个大小不等的矩形不一定相似,虽然它们的对应角相等,都是直角,但它们的对应边不一定成比例.(2)两个大小不等的正五边形是相似多边形,因为它们的对应角相等,对应边成比例.(3)一个正方形与一个平行四边形不相似,因为平行四边形的四个角不相等,四条边也不相等,所以对应角不相等,对应边也不成比例(4)两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等,两个菱形满足对应边成比例,但对应角不一定相等,所以不一定相似.Ⅳ.课时小结本节课通过探究相似多边形满足的条件,从而推导出相似多边形的定义,并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形.Ⅴ.课后作业习题4.5 1.解:对应边的比为2∶3.2.解:两个正六边形的边长分别为a 和b ,这两个正六边形相似.因为正六边形的每个角都等于120°,所以满足对应角相等,对应边成比例,所以它们相似.3.解:小路内外边缘所成的矩形不相似,虽然它们的对应角相等,但对应边12102220 ,即对应边不成比例,所以不相似.Ⅵ.活动与探究纸张的大小图4-17如图,将一张长、宽之比为2的矩形纸ABCD 依次不断对折,可以得到矩形纸BCFE ,AEML ,GMFH ,LGPN .(1)矩形ABCD 、BCFE 、AEML 、GMFH 、LGPN 长与宽的比改变了吗?(2)在这些矩形中,有成比例的线段吗?(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗?解:(1)矩形ABCD 、BCFE 、AEML 、GMFH 、LGPN 长与宽的比不改变.设纸的宽为a ,长为2a ,则BC =a ,BE =22aAE =22a ,ME =2a MF =2a ,HF =42a LG =42a ,LN =4a ∴BEBC =a ∶22a =2 ME AE = 22a ∶2a =2 2a HF MF =∶242=a 42=LN LG a ∶4a =2 所以五个矩形的长与宽的比不改变.(2)在这些矩形中有成比例的线段.(3)这些大小不同的矩形都相似.●板书设计 §4.4 相似多边形一、1.探究相似多边形的定义.例题2.想一想(1)3.议一议(根据定义判断两个多边形是否相似)4.做一做5.想一想(2)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业●备课资料经典名题苏轼巧分田产相传,北宋大文学家苏轼在凤翔作官时,为官清正,秉公执法,深得百姓拥戴.一天,有兄弟四人前来告状.苏轼坐在公案前,展开状纸一看:“小民杨大毛,家住城南寨.先父临终时,留下两顷田.只因分不均,兄弟反目.青天大老爷,请把理来断.”图4-18苏轼接过地契,心中暗暗盘算,杨家田地为工字形,如何分配,才让四兄弟满意呢?沉思片刻,计上心来,遂唤一名差役耳语道:“只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量,不一会儿,只见四兄弟满面带笑地跑过来,叩头不迭道:“多谢恩公明断!”你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同,面积相等的吗?分法如下:。