2014-2017高考真题-第十三章-计数原理
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1第十三章计数原理 考点1排列与组合1. （2017?新课标n ,6 ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A.12 种B.18 种C.24 种1.D 4项工作分成3组，可得： =6,安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 项，每项工作由1人完成，可得：6X^ =36种.故选D.2.（2016全国n, 5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9 2.B ［从E 点到F 点的最短路径有 6种，从F 点到G 点的最短路径有3种，所以从G 点的最短路径为 6 X3 = 18种，故选B.］数列”共有（ ）A. 18 个B.16 个C.14 个D.12 个 000111, 001110; 只有2个1相邻时，共A 2种，其中110100； 110010； 110001 , 101100不符合题意，三个1 都不在一起时有 C 3种，共2+ 8 + 4= 14.］4.（2016四川，4）用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数， 其中奇数的个数为（ ） A.24B.48C.60D.724.D ［由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1, 3, 5 ;分为两步：先从1 , 3, 5三个数中选一个作为个位数有C 1,再将剩下的4个数字排列得到 A 4,则满足条件的五位数有C 3 A 4= 72.选 D.] 5.（2016北京，8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒，每 次从袋中任意取出两个球， 将其中一个球放入甲盒， 如果这个球是红球， 就将另一个球放入D.36 种E 点到3.（2016全国叭 12）定义 规范01数列” a n ｝如下：｛a n ｝共有2m 项，其中 m 项为0, m 项为 1,且对任意kW2, a 1, a 2,…，a k 中0的个数不少于1的个数.若m= 4,则不同的 规范013.C［第一位为0,最后一位为1，中间3个0, 3个1，三个1在一起时为乙盒,否则就放入丙盒 .重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 （ ）3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 （ ） A.144 B.120 C.72 D.24 8.D [3 人中每两人之间恰有一个空座位, 有 A 33X2= 12 种坐法, 3人中某两人之间有两个空座位,有 A 33XA 22= 1 2 种坐法,所以共有 12＋12=24 种坐法 .]9. （2014四川，6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不 同的排法共有 （）A.192 种B.216 种C.240 种D.288 种 9.B [当最左端排甲时，不同的排法共有 A 5种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位 置之一,则不同的排法共有C 14A 44种.故不同的排法共有 A 55＋C 14A 44=9X24=216 种.]10. （2014重庆，9）某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的 演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是 （ ）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多5.B [取两个球往盒子中放有 ②黑+黑，则丙盒中黑球数加4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加 1个；1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1个;④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1个；因为红球和黑球个数一样, 所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样 .综上选 B.]6.（2015四川，6）用数字0,1,234,5组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000大的偶数共有（）A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个6.B [由题意，首位数字只能是 4,5,若万位是5,则有3朋3= 72个；若万位是4,则有2>A 4个=48 个，故 40 000 大的偶数共有 72＋48= 120 个.选 B.]7.（2014大纲全国，5）有6名男医生、5名女医生，从中选出 2名男医生、1名女医生组成一 个医疗小组,则不同的选法共有 （ ）A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种 7.C [从中选出 2 名男医生的选法有 C 6= 15种，从中选出1名女医生的选法有 C 1= 5种,所以不同的选法共有 15X5= 75种,故选 C.]8.（2014辽宁，6）6把椅子摆成一排,A.72B.120C.144D.16810.B ［依题意，先仅考虑 3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 3A 4= 144,其中3个歌舞类节目互不相邻但 2个小品类节目相邻的排法种数为 A 2A 2A 3 = 24,因此满足题意的排法 种数为 144— 24= 120,选 B.]11. （2014安徽，8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 有（）A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对 11.C ［法一 直接法：如图，在上底面中选 B 1D 1,四个侧面中的面对角线都与它成 60 ° 共8对，同样A 1C 1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧 面中共有16对.所以全部共有48对.A a法二 间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为 60°所以成角 为60° 的共有 C ?2— 12— 6 = 48 对.]12.（2014福建，10）用a 代表红球，b 代表蓝球，C 代表黑球.由加法原理及乘法原理，从 1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 （1+ a ）（1 + b ）的展开式1 + a +b+ ab 表示出来，如：“ 1表示一个球都不取、 a ”表示取出一个红球、而 ab ”则表示把红球和蓝球都取 出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、 ( )A.(1 + a+a 2+a 3+ a 4+ a 5)(1 + b 5)(1 + c)5B.(1 + a 5)(1 + b + b 2+ b 3+ b 4+ b 5)(1 + c)5C.(1 + a)5(1 + b+ b 2+b 3+ b 4+ b 5)(1 + c 5) D.(1 + a 5)(1 + b)5(1 + c+c 2+c 3+ c 4+ c 5) 12.A [分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出 0个,1个,…,5个，则有(1 + a+a 2+a 3+ a 4+ a 5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1 + b 5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作 5个不同色，从5个不同色的黑球中任取 0个，1个，…，5个，有（1 + C ）5种不同的取法，所以所求的取法种数为 （1 + a+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5）（1 + b 5）（1 +c ）5, 故选A.］13. (2014 广东，8)设集合 A= {( X 1,X 2, X 3, X 4, X 5)|x i € { — 1,0,1} , i = 1,2,3,4,5}，那么集合 A 中满足条件“ 1叹1)+ |X 2| + |X 3| + |X 4| + |X 5| < 的元素个数为()60。
的共5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 AlA.60B.90C.120D.13013. D [易知|X1|+ |X2|+ |X3|+ |X4汁 |X5|= 1 或 2 或 3,下面分三种情况讨论.其一: X1|+ |X2|+ |X3|+凶汁X 5|= 1，此时，从x i , X 2, X 3, X 4, X 5中任取一个让其等于 1或—1，其余等于0,于 是有 C 1C 1= 10 种情况；其二：|X 1 汁 |X 2|+ |X 3汁 |X 4|+ |X 5|= 2,此时，从 X 1, X 2,X 3,X 4,X 5 中任取两个让其都等于 1 或都等于— 1 或一个等于 1、另一个等于— 1,其余等于 0,于是有 2C 25 + C 5C 2 = 40 种情况；其三：|X 1 汁 |X 2|+ |X 3| + |X 4汁 1X 5= 3,此时，从 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 中任取 三个让其都等于 1 或都等于— 1 或两个等于 1 、另一个等于— 1 或两个等于— 1 、另一个等于 1其余等于0,于是有2C 5 + c 5c 3 + C 3c 3= 80种情况•由于10+40+ 80= 130,故答案为D.]14. （2017天津,14）用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9组成没有重复数字，且至多有一个 数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 ___________ 个． （用数字作答） 14.1 080 根据题意,分 2 种情况讨论：① 、四位数中没有一个偶数数字，即在 1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有 A 54=120 种情况,即有 120 个没有一个偶数数字四位数； ② 、四位数中只有一个偶数数字，在 1、 3、 5、 7、 9 种选出 3 个,在 2、 4、 6、 8 中选出 1 个,有 C 53?C 41=40 种取法, 将取出的 4 个数字全排列,有 A 44=24 种顺序,则有40X 24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1080 个；故答案为： 1080．15. （2017?浙江,16）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人 组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 _____________ 种不同的选法． （用数字作 答）15. 660 第一类,先选 1 女 3 男,有 C 63C 21=40 种,这 4人选 2 人作为队长和副队有 A 42=12 种,故有 40X 12=480种,第二类,先选 2 女 2 男,有 C 62C 22= 1 5 种,这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A 42=12 种,故有 15 X 12=180种,根据分类计数原理共有 480+180=660 种,故答案为： 660 16.（2015广东，12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那条毕业留言（用数字作答）.16.1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以 全班共写了 A 240= 40X39= 1 560 条毕业留言 .]17.（2014北京，13）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C不相邻,则不同的摆法有 __________ 种.17.36 [将A 、B 捆绑在一起，有A 2种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 4种摆法, 共有A 22A 44= 48 种摆法,而 A 、 B 、 C 3 件在一起,且 A 、 B 相邻, 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2/3 = 12种摆法，故 的摆法有48- 12 = 36种•]么全班共写了 A 、 C 相邻有 CAB 、 BAC A 、B 相邻, A 、C 不相邻18.（2014浙5 张无奖• 将这 8 张奖券分江，14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有 ___________ 种（用数字作答）.18.60 [分情况：一种情况将有奖的奖券按 2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 3C 1A 2= 36;另一种将3张有奖的奖券分给 4个人中的3个人，种数为A 4= 24,则获奖情况总 共有 36 +24= 60（种）.]考点2二项式定理及其应用1. （2017?新课标I ,6） （1+卫）（1+X ） 6展开式中X 2的系数为（）A.15B.20C.30D.351.C (2x - y) 5的展开式的通项公式：T r+1= G (2x) 5-r(- y) r=25- r(- 1) rG x 5-r y r令 5-r=2, r=3，解得 r=3.令 5 - r=3, r=2，解得 r=2.A( x+y) (2x- y) 5的展开式中的 x 3y 3系数=2’“-厅况 G +23X 1X C 5=40.故选 C.2. (2017?新课标川,4 ) A.- 80 B.- 40 (x+y) ( 2X - y) 5的展开式中的X 3y 3系数为 ()C.40D.802.C(1+) (1+X) 6展开式中：若（1+工二）=（1+x 「2）提供常数项1，则（1+X ）6提供含有X 2的项，可得展开式中 X 2的系数：若（1+忑）提供X -2项，则（1+X ） 6提供含有 X 4的项，可得展开式中 X 2的系数：由（1+X ）6通项公式可得 0^|^\可知r=2时，可得展开式中X 2的系数为 殘=[5 .可知r=4时，可得展开式中X 2的系数为 （1+X ）6展开式中X 2的系数为：15+15=30 .故选C.3.（2016四川，2）设i 为虚数单位，则（x+ i ）6的展开式中含x 4的项为（ A.-15X 4B.15X 4C.-20ix 4D.20ix 43. A [由题可知，含X 4的项为C 6x 4i 2=— 15x 4.选A.]4.（2015新课标全国I, 10）（x 2 + X+ y ）5的展开式中，x 5y 2的系数为（ A.10 B.20 C.30 D.60=C 5(X 2 + X)5—k y k ,.・.k = 2. ••• C 5(X 2 + x)3y 2 的第 r + 1 项为 C 2C 3X 2(3 —儿・24.C [T k +1 ••• 2(3 — r)+ r = 5,解得 r = 1,A x 5y 2 的系数为xy ，5.（2015湖南，6）已知 也-眾 5的展开式中含 3X 2的项的系数为30,则a=（A.d 3B. — V aC.6D. — 65.D py X —J X '的展开式通项 T r +1 = C 5x 5f ( — 1)r a rr 5―• x — 2 = (— 1)r a r C 5x 2 r ,35 3 -令2— r = 2 则r = 1,二T2=— aCk2 ,二—aC1= 30,.・.a= — 6，故选 D.]6.（2015陕西，4）二项式（X+ 1）n（n€ N + ）的展开式中X2的系数为15，则n =（）A.4B.5C.6D.7n / n 1 )6.C [由题意易得：C n 2= 15, C n 2= C n= 15，即 2 = 15,解得n= 6.]a 17.（2014湖北，2）若二项式 2x + -7的展开式中一的系数是84,则实数a =（）X —A.2B.^4C.1 D乎「— 17.C [T r +1= C7• (2X)7—r•=27 r c7a r• —2F7.令 2r — 7 = 3,贝U r = 5.由 22• C7a5= 84 得 a =—1故选C.]8.(2014 浙江，5)在(1 + x)6(1 + y)4的展开式中，记 x m y n项的系数 f(m, n)，则 f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3)=()A.45B.60C.120D.2108. C [在(1 + X)6的展开式中，x m的系数为C m,在(1 + y)4的展开式中，y n的系数为C n,故f(m, n) = C m• C4.从而 f(3 , 0) = C3= 20, f(2, 1) = C2• c4= 60, f(1 , 2) = C e - C2 = 36, f(0, 3) = C3 =4,故选C.]9.（2014四川，2）在x（1 + X）6的展开式中，含X3项的系数为（）A.30B.20C.15D.109.C [只需求（1 + X）6的展开式中含X2项的系数即可，而含X2项的系数为C6= 15,故选C.]10.（2014湖南，4） 2X— 2y 5的展开式中X2y3的系数是（）A. — 20B. — 5C.5D.2010.A [展开式的通项为 T k+1= C5(1X)5— k・(—2y)k= (— 1)k• 22k—5C5X5—k• y k，令 5 — k = 2,得 k=3.则展开式中xV的系数为(一1)3• 2只3—5c5=— 20,故选A.]11.(2017?浙江,13)已知多项式 /X+1) 3(x+2) 2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ,贝U a4= _______________ ,a5= _______ •11.16; 4 多项式/ x+1) 3/x+2) n=x5+a1X4+a2—3+a3x n+a4X+a5 , /x+1) 3中，—的系数是：3,常数是 1; /X+2) 2中—的系数是 4,常数是 4, a4=3X4+1 X4=16; a5=1X4=4.故答案为：16; 4•12. (2017?山东,11)已知(1+3x) n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n= _________________ . 12.4 (1+3x) n的展开式中通项公式：T r+1= G (3x) =3r. •••含有x 2的系数是,H MT54,.・.r=2 .•••亍 G =54,可得 G =6,.・. t =6, n € N .解得 n=4.故答案为：4..(用数字填写答案).———k13.10[(2x +破)5展开式的通项公式T k +1 = C k (2x)5—k(>/x)k= C 525— k x 5: k€ {0,1,2,3,4,5},k4令 5— 2 = 3 解得 k= 4,得 T 5= C 525—4x5—2 = 10x3,.・.x 3的系数是 10.]14. ___________________________________________________ (2016北京，10)在(1 — 2x)6的展开式中，x 2的系数为 _____________________________________ . 14. 60 [展开式的通项 T r +1 = C 616 —r(— 2x)r= C 6(— 2x)r.令 r = 2 得 T 3= C 24x 2= 60x 2,l 卩 x 2的系数为60.]15.(2015北京，9)在(2 + x)5的展开式中，x 3的系数为15.40 [展开式通项为：T r +1 = C 525—r x r，二当 r = 3 时，系数为 C 5 - 25—3= 40.]16.(2015 天津，12)在 x- 4x 6的展开式中，x2的系数为 15 「1 16.w [x —4x 6的展开式的通项 T r +1 = C 6x 6— r— 4x r =C 6 rx6—2r；当6— 2r = 2时，r = 2，所以x 2的系数为C 2 —;' 4 15 17.(2014新课标全国I, 13)(x — y)(x + y)8的展开式中x 2y 7的系数为案). (用数字填写答 17. — 20 [由二项展开式公式可知，含 x 2y 7的项可表示为x C S xy 7— y C 6x 2y 6,故(x — y)(x + y)8的展开式中X 2y 7的系数为C 8— C 6= C 8— C 2= 8 — 28= — 20.] 18.(2014新课标全国n, 13)(x+ a)10的展开式中，x 7的系数为15,则a = 答). (用数字作 18.1 [T r +1 = C 10x 10 r a r ,令 10— r = 7,得 r = 3, /• C 30a 3= 15,即[:fa 3 = 15,二 a 3=1，二 a 2 3 X 2 X 1 813.(2016全国I, 14)(2 X +G )5的展开式中，x 3的系数是(用数字作答).2 =,x 19. （2014安徽，13）设a 丰0, n 是大于1的自然数，1+-n 的展开式为ac n 丄 3, a 结合二项式定理得 即2 1 C 2 •孑=4, n = 3a, 20.（2014山东，14）若ax 2 + - 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2 + b 2的最小值为X20.2 [T r +1 = C 6(ax 2)6-r b = C 6a 6-r b r x12-3r ，令 12-3r = 3，则 r = 3. 入 二 C 3a 3b 3= 20,即 ab = 1. A a 2+ b 2> 2ab = 2,即 a 2+ b 2 的最小值为 2.]16 - 3r -—T" =2,令 得r = 4.所以展开式中x 2y 2的系数为(一1)4 • C 8= 70.]3r — 8 = 2a 0+ a i x + a 2x 2 + …+ a n x n .若点 A i (i, a i ）（i = 0,1,2）的位置如图所示，则a= 19.3 [根据题意知a 0= 1, a 1 = 3,a 2= 4,n -1 = ga,3 解得a= 3.]21.（2014大纲全国, 21.70 [T r +1= C 8 • X y 13)召-込x 8-r 8的展开式中X 2y 2的系数为 （用数字作答）.r 16 - 3r 3r - 8 -= (- 1)r • C 8 • x 2 • y 2。
