人教A版数学必修一§2.3 幂 函 数(课时练)

2.3幂函数1.幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（）A.（0，+∞）B.［0，+∞）C.（-∞，0）D.（-∞，+∞）2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）4.如右图，图中曲线是幂函数在第一象限的大致图象.已知取-2，-，，2四个值，则相应于曲线，，，的的值依次为（）A.-2，-，，2B.2，，-，-2C.-，-2，2，D.2，，-2，-5.若a＜0，则的大小关系是（）＜＜＜＜＜＜＜＜6.制造印花机的成本y元与印花机的生产能力每分钟印花布x（米）之间有函数关系y=a·，b称为经济尺度指数.已知制造印花机的经济尺度指数为2，又知印花机的生产能力达到每分钟印花布2 000米时，需投入成本4 000 000元，要使生产能力达到每分钟印花布2 500米时，需投入成本元.7.幂函数在（0，+∞）上是减函数，则k= .8.关于x的函数其中的取值范围可以是1，2，3，，）的图象恒过点 .9.已知幂函数，其中m∈{m|-2<m<2，m∈Z}，且满足：（1）f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；（2）对任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0.求幂函数f（x）的解析式，并求x∈［0，3］时f（x）的值域.10.已知幂函数的图象经过点. （1）求实数的值；（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）上是减函数.参考答案1.C 解析：由题意得幂函数为=，图象如右图.2.D 解析：=，其定义域为R，值域为［0，+∞），故定义域与值域不同.3.A 解析：∵和都是奇函数，∴ B、D错误.又虽为偶函数，但在（0，+∞）上为增函数，故C错误=在（0，+∞）上为减函数，且为偶函数，故A满足题意.4.B 解析：当x=2时，＞＞＞，故：，：，：，：.5.B 解析：=，因为当a＜0时，在（0，+∞）上单调递减，且＜0.5＜5，所以＜＜.6.6 250 000 解析：由题意可得4 000 000=a·=a·2 ，解得a=1，所以.每分钟印花布2 500米时，需投入成本y=2 =6 250 000（元）.7.3 解析：∵是幂函数，∴-2k-2=1，∴k=3或k=-1.当k=-1时，在（0，+∞）上是增函数，不合题意，舍去.当k=3时，在（0，+∞）上是减函数，符合题意.故k=3.8.（2，1）解析：当x-1=1，即x=2时，无论取何值，均有=1，∴函数恒过点（2，1）.9.解：因为m∈{m|-2<m<2，m∈Z}，所以m=-1，0，1.因为对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数.当m=-1时，只满足条件（1）而不满足条件（2）；当m=1时，条件（1）（2）都不满足；当m=0时，条件（1）（2）都满足，且在区间［0，3］上是增函数，所以当x∈［0，3］时，函数f（x）的值域为［0，27］.10.（1）解：∵的图象经过点，∴=，即，解得.（2）证明：由（1）可知，，任取，∈（0，+∞），且，则>0，∴==，即.∴在区间（0，+∞）上是减函数.。

【金版学案】2015-2016高中数学 幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断． 基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。

人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册 第三章函数概念与性质 3.3冥函数一、选择题（60分）1．若幂函数y＝(m 2＝3m＝3)x m －2的图像不过原点＝则m 的取值范围为( ) A ．1≤m ≤2 B ．m＝1或m＝2 C ．m＝2 D ．m＝12．已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3．设a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭34，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭34，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭12，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．b<c<aD ．b<a<c4．定义在R 上的奇函数()f x 在(0)+∞，上单调递减，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）. A ．[22]-， B ．[11]-， C ．[0]4，D ．[1]3，5．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A ．2y xB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =6．幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．有四个幂函数：①1()f x x -=；②2()f x x -=；③3()f x x =；④13()f x x =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y R ∈，且0}y ≠；（3）在(,0)-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④8．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）. A ．幂函数的图象都过(0,0)点 B ．幂函数的图象不经过第四象限 C ．幂函数为奇函数或偶函数D ．幂函数在其定义域内都有反函数9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(23)2f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，都有(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．11[,]66-B ．[C ．11[,]33-D ．[ 10．已知321()(1)1x f x x x +=+--，若(2018)f a =，则(2016)f -=（ ） A ．a -B ．2a -C ．4a -D ．1a -11．已知实数a ，b 满足等式1132a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ） A ．01b a <<< B ．10a b -<<< C ．a ＜b ＜1D ．10b a -<<<12．已知幂函数()n mf x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ） A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数 B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是奇函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数 二、填空题（20分）13．若点(2,4)P ，0(3,)Q y 均在幂函数()y f x =的图象上，则实数0y =_____．14．给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()y f x =在D 上封闭.若定义域(0,1)D =，则函数①1()31f x x =-；②2211()122f x x x =--+；③3()1f x x =-；④124()f x x =，其中在D 上封闭的是________（填序号）.15．若幂函数y＝x α的图像经过点(8＝4)＝则函数y＝x α的值域是________.16．已知1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α=________. 17．已知幂函数()2241()31m m f x m m x -+=-+的图像不过原点，则实数m 的值为__________.三、解答题（70分） 18．已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式.（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.19．若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围． 20．已知幂函数(1)n yp y x-⋅=（其中*,,n p q N ∈，且p ，q 互素）试研究当n ，p ，q 分别取奇数和偶数时的图像特征．21．已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；22．已知幂函数f(x)＝x 223m m －－(m∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)m-3<(3－2a)m-3的a 的取值范围．23．已知二次函数2()f x ax bx =+（a 、b 为常数且0a ≠），满足条件(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数()m n m n <、，使()f x 当定义域为[],m n 时，值域为[]3,3m n ？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由. 【参考答案】1．D 2．A 3．D 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．A 13．9 14．＝＝＝. 15．[0＝＝∞) 16．2- 17．318．（1）当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；（2）存在，130-. 19．2,(4,)3a ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭20．当n 为奇数时函数在第一象限的图像单调递减，当n 为偶数时函数在第一象限的图像单调递增；p 奇q 奇：奇函数；p 奇q 偶：偶函数：p 偶q 奇：非奇非偶函数 21．(1) 0 ; (2) [0,1]22．23132a a a ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或. 23．（1）21()2f x x x =-+;(2) 40m n =-⎧⎨=⎩。

[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是() A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是()解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为()A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t＝1时，f(x)＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B. b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a . 答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2， ∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1， ∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1. 答案：1 7．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限；②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误． 答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________.解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β， 则(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 10．已知幂函数y ＝x223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0， 解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1. ∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3. 又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32， 故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a ) B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a )D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减．因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A 2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：令f (x )＝x12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32. 答案：B3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1.∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2， 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12. 又∵f (2－a )>f (a －1)，∴⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32. 6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。

课题：§ 2.3.1幂函数教学目标：（一）知识目标1、通过实例了解幂函数的定义。

2、通过作图观察他们的特性并归纳幂函数的相关性质（单调性、奇偶性）。

（二）能力目标通过探索，要求学生掌握幂函数的定义及其性质，会做一些与幂函数相关的变式试题，培养学生的发散思维，实践能力和创新能力。

（三）情感目标通过观察、比较、归纳获取数学知识,培养学生学习数学的乐趣及勇于钻研、探索、团结协作的精神。

教学重点:幂函数定义，图像与性质。

教学难点:函数图像了解它们的变化情况，会做相关的变式试题。

教学方法:启发引导法，自主探究和共同探究相结合。

教学准备(教具):彩色粉笔，小黑板。

课型:新授课。

教学过程（一）课题引入试写出下列问题所反映的函数关系式：问题1写出下列y关于x的函数解析式：1．如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数P= ;2．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S= ;3．如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V= ;4．如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v= .分析：若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是。

（1）y=x （2）y=x2（3）y=x3（4）y=x1/2（4）y=x-1（二）探索新知问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？x，（0<a<1）的函数，其中指数答;都不是指数函数，指数函数是形如y=ax是自变量，底数a是常数，而这五个函数的自变量都不是指数。

共同特点是：1、都是函数。

2、均是以自变量为底的幂。

3、指数为常数。

4、自变量前的系数为1.（三）讲授新课1、概念: 我们把形如：y=xª的函数称为幂函数，其中a是常数练习1下列函数是幂函数的是（）(1) y=x4(2) y=2x2(3)y=-x2(4)y=2x(5)y=x-2(6)y=x3+2注意：1、要确定一个函数是幂函数，只要确定 a就可以了。

§2.3 幂 函 数（课时练）一、选择题:1、关于函数3x y =说法正确的是···················································（ ） 、A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 、B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 、C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 、D 是偶函数，且在R 上是单调减函数 2、下列函数中既是偶函数又在)0,(-∞上是增函数的是·································（ ）、A 34x y = 、B 23x y = 、C 2-=x y 、D 41-=x y3、当10<<x 时，2)(x x f =，21)(x x g =，2)(-=x x h 的大小关系是·····················（ ）、A )()()(x f x g x h << 、B )()()(x g x f x h <> 、C )()()(x f x h x g << 、D )()()(x h x g x f << 4、如图所示，是幂函数αx y =在第一象限的图象， 比较1,,,,,04321αααα的大小为（ ）、A 102431<<<<<αααα 、B 104321<<<<<αααα 、C 134210αααα<<<<< 、D 142310αααα<<<<< 5、在同一平面直角坐标系内,函数)0(≠=ααx y 和αα1+=x y 的图象应是··················（ ）二、填空题6、函数43)21(--=x y 的定义域为____________________________.7、函数942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞上是减函数，则整数a 的值是_________________.三、解答题：7.比较下列各题中两个数的大小： （1）433.2，434.2； （2）211.1-，219.0-．8.请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =.函数①②③④⑤⑥⑦⑧代号图象代号提示:要充分分析每个函数的定义域、单调性、奇偶性等性质。

2.3幂函数课时幂函数(35分钟100分)基础达标了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12,的图象,了解它们的变化情况素养突破通过幂函数的概念及其图象变化情况提高学生的数学抽象及直观想象的数学素养1.幂函数解析式一定要设为y=xα(α为常数的形式).2.可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性.3.在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴,在(1,+∞)上幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.题组一幂函数的图象与性质1.(9分)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是()A.y=x13B.y=x2C.y=x3D.y=x122.(9分)已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>13.(9分)为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是()A.√3B.3C.9D.274.(9分)若函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[-1,2] 上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)√x在区间[0,+∞)上是增函数,则am=()A.4B.14C .116D .165.(9分)函数y=x a 与y=ax (a ∈{-1,12,2,3})的图象只可能是下面中( )6.(9分)函数f (x )=(m 2-m+1)x m2+2m -3是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m= ( )A .0B .1C .2D .0或17.(14分)幂函数f (x )的图象经过点(√2,2),点(-2,14)在幂函数g (x )的图象上.(1)求f (x ),g (x )的解析式;(2)当x 为何值时,f (x )>g (x )?当x 为何值时,f (x )<g (x )?题组二 幂函数的图象与性质的应用 8.(9分)若(a+1)13<(3-2a )13,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,23) B .(23,+∞) C .(0,23)D .(-23,23)9.(9分)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .a<b<cB .a<c<bC .b<a<cD .b<c<a 10.(14分)已知函数f (x )=x 13-x -135,g (x )=x 13+x -135,x ≠0.(1)证明:f (x 2)-5f (x )g (x )=0.(2)讨论函数f (x )的奇偶性并求其单调区间.2.3 幂 函 数 课时 幂 函 数1.B 解析:本题考查幂函数的单调性.函数y=x 13,y=x 3,y=x 12在各自定义域上均是增函数,y=x 2在(-∞,0)上是减函数.2.C 解析:本题考查幂函数的图象.由幂函数的图象特征知α<1.3.C 解析:本题考查幂函数的实际应用.由题目可知加密密钥y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12, 由x 12=3,得x=9,即明文是9.4.A 解析:本题考查幂函数的性质.当a>1时,有a 2=4,a -1=m ,此时a=2,m=12,此时g (x )=-√x 在区间[0,+∞)上为减函数,不合题意;若0<a<1,则a -1=4,a 2=m ,故a=14,m=116,am =4,检验知符合题意.5.C 解析:本题考查幂函数的图象.直线对应函数为y=x ,曲线对应函数为y=x -1,1≠-1,故A 项错;直线对应函数为y=2x ,曲线对应函数为y=x 12,2≠12,故B 项错;直线对应函数为y=2x ,曲线对应函数为y=x 2,2=2,故C 项对;直线对应函数为y=-x ,曲线对应函数为y=x 3,-1≠3,故D 项错.6.A 解析:本题考查幂函数的性质.由m 2-m+1=1,得m=0或m=1,再把m=0和m=1分别代入m 2+2m -3<0检验,得m=0符合题意.7.解析:本题考查幂函数图象与性质.(1)设f (x )=x α,则(√2)α=2,∴α=2,∴f (x )=x 2,设g (x )=x β,则(-2)β=14,即β=-2, g (x )=x -2(x ≠0).(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,f (x )>g (x );当-1<x<0或0<x<1时,f (x )<g (x ).8.A 解析:本题考查利用幂函数的单调性解不等式.因为函数f (x )=x 13的定义域为R,且为单调递增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.9.C 解析:本题考查利用幂函数的性质比较数的大小.∵0.6∈(0,1),∴y=0.6x 是减函数, ∴0.60.6>0.61.5,又y=x 0.6在(0,+∞)上是增函数, ∴1.50.6>0.60.6,∴c>a>b.10.解析:本题考查幂函数性质的应用. (1)f (x 2)-5f (x )g (x )=(x 2)13-(x 2)-135-5×x 13-x -135×x 13+x -135=x 23-x -235-x 23-x -235=0,故f (x 2)-5f (x )g (x )=0成立.(2)∵函数f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴定义域关于原点对称. 又∵f (-x )=(-x )13-(-x )-135=-x 13-x -135=-f (x ),∴函数f (x )为奇函数.在(0,+∞)上任取x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 113<x 213,x 2-13<x 1-13,从而f (x 1)-f (x 2)=x 113-x 1-135-x 213-x 2-135=15(x 113-x 213)+15(x 2-13-x 1-13)<0,∴函数f (x )=x 13-x -135在(0,+∞)上是增函数.又∵f (x )是奇函数,∴函数f (x )在(-∞,0)上也是增函数. 故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞).。

§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1对数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确．知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝⎛⎭⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为⎝⎛⎭⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ；(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值． ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23 ＝43×(－23 )＝4－2＝116；②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816 ＝23×16 ＝2；③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值． (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12 ＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log75；(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2；(3)a log ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1(10lg 2)2＝94. (3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确． 答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18；(2)⎝⎛⎭⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝⎛⎭⎫17a＝b 得log 17b ＝a ； (3)由lg11 000＝－3可得10－3＝11 000； (4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log aN ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．化简[3(－5)2]34的结果为( ) A ．5B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析： [3(－5)2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5. 答案： B2．下列结论中，正确的个数是( )①若a ∈R ，则(a 2－2a ＋1)0＝1；②若a >b >0，则(a ＋b )n (a －b )n (a 2－b 2)n＝1成立； ③⎝⎛⎭⎫b a －n ＝⎝⎛⎭⎫a b n (ab >0)；④a －1＋b －1a －1－b －1＝ab (a －1＋b －1)ab (a －1－b －1)＝b ＋a b －a(a ≠b ，ab ≠0)． A ．1 B ．2C ．3D ．4解析： ①中，当a ＝1时，a 2－2a ＋1＝0，(a 2－2a ＋1)0无意义，故错；②③正确运用了幂的运算性质，正确；④先变形又利用了幂的运算性质，正确．故选C.答案： C 3．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 解析： 将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2， 即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋2. 答案： C4．化简：(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)的结果是( ) A.12(1－2－132)－1 B ．(1－2132)－1 C ．1－2－132 D.12(1－2－132) 解析： (1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12) ＝11－2－132×(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12) ＝11－2－132×(1－2－116)(1＋2－116)·(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．计算(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12＝________. 解析： 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380. 答案： 14380 6．化简：a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)＝________. 解析： 原式＝(a 3b 2a 13b 23)12a ·b 2·a －13·b 13＝a 103×12b 83×12a 23b 2＋13＝a 53b 43a 23b 73＝a 53－23b 43－73＝a b . 答案： a b三、解答题(每小题10分，共20分)7．化简(a 23b 12)·(－3a 12·b 13)÷(13a 16b 56)． 解析： 原式＝－3·a 76·b 56÷⎝⎛⎭⎫13·a 16b 56 ＝－9·a 1·b 0＝－9a .8．计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. 解析： (1)原式＝1＋14·23－110＝1615； (2)原式＝53＋100＋916－3＋3748＝100＋14448－3＝100. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)．(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值． 解析： (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]＝[(e x －e －x )＋(e x ＋e －x )][(e x －e －x )－(e x －e －x )]＝2e x ·(－2e －x )＝－4.(2)∵f (x )·f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y －e x －y －e y －x ＋e －(x ＋y )，g (x )·g (y )＝(e x ＋e －x )(e y ＋e －y )＝e x ＋y ＋e x －y ＋e y －x ＋e －(x ＋y )，g (x ＋y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )，g (x －y )＝e x －y ＋e －(x －y )＝e x －y ＋e y －x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )－g (x －y )＝f (x )·f (y )＝4，g (x ＋y )＋g (x －y )＝g (x )·g (y )＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.。

课时作业(十九) 幂函数练 基 础1.[2022·江苏徐州高一期末]若幂函数f (x )的图象过点(4，2)，则f (2)的值为( ) A ．12 B ．22C ． 2D ．2 2．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝xD ．y ＝x 583．设a ＝(12)34，b ＝(15)34，c ＝(2)12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a4．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －2是幂函数，且为偶函数，则实数m ＝( ) A ．2或－1 B ．－1 C ．4 D ．25．(多选)已知幂函数f (x )＝(m －2)x m，则( ) A ．m ＝3B ．定义域为[0，＋∞)C ．(－1.5)m＜(－1.4)mD ．f （2）＝26．写出一个在区间[－1，1]上单调递增的幂函数：f (x )＝________．7．已知幂函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12m x m在(0，＋∞)上单调递减，则f (2)＝________．8．已知幂函数f (x )的图象过点(3，27).(1)求出此函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并给予证明．提 能 力9.(多选)已知幂函数f (x )＝x α图象过点(4，2)，则下列命题中正确的是( ) A ．α＝12B ．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)C ．函数f (x )为偶函数D ．若x ＞1，则f (x )＞1 10．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－111．已知幂函数f (x )的图象过点(－2，16)，则f (x )＝________，f (x ＋1)≤f (3x －1)的解集为________．12．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m －9)x m －3在(0，＋∞)上单调递减．(1)求m 的值；(2)若(2a －1)m ＞(a ＋2)m，求a 的取值范围．培 优 生13.已知幂函数y ＝x a与y ＝x b的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0＜m ＜1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b ＝( )A ．12 B ．1 C ． 2 D ．2课时作业(十九) 幂函数1．解析：设f (x )＝x α，因为幂函数f (x )的图象过点(4，2)，所以4α＝2，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以f (2)＝212＝ 2.答案：C2．解析：根据函数图象可得：①对应的幂函数y ＝x α在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D 选项符合要求．答案：D3．解析：构造幂函数y ＝x 34，x >0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a >b ；又c ＝212>1，知a <c .故c >a >b .答案：B4．解析：由幂函数的定义知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又因为f (x )为偶函数，所以指数m 2－2m －2为偶数，故只有m ＝2满足． 答案：D5．解析：∵f (x )为幂函数，∴m －2＝1，得m ＝3，∴f (x )＝x 3，A 对； 函数f (x )的定义域为R ，B 错误；由于f (x )在R 上为增函数，－1.5＜－1.4，∴(－1.5)3＜(－1.4)3，C 对； ∴f (2)＝23＝8，∴f （2）＝22，D 错误． 答案：AC6．解析：因为幂函数f (x )在区间[－1，1]上单调递增，所以幂函数可以是f (x )＝x . 答案：x (答案不唯一)7．解析：由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪12m ＝1且m ＜0，则m ＝－2，f (x )＝x －2，故f (2)＝14.答案：148．解析：(1)设幂函数f (x )＝x α，因为f (x )的图象过点(3，27)，所以有3α＝27⇒α＝3，因此f (x )＝x 3；(2)函数f (x )是奇函数，理由如下：∵定义域为R 且f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 9．解析：∵幂函数f (x )＝x α图象过点(4，2)， ∴4α＝2，即α＝12，∴f (x )＝x 12，故A 正确；又函数的定义域为[0，＋∞)，故B 错误； 函数为非奇非偶函数，故C 错误； 当x ＞1时，f (x )＝x 12＞1，故D 正确． 答案：AD10．解析：根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1或m ＝－2. 若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去； 若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称． 答案：A11．解析：依题意，设f (x )＝x α，则f (－2)＝(－2)α＝16，解得α＝4，于是得f (x )＝x 4，显然f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，而f (x ＋1)≤f (3x －1)⇔f (|x ＋1|)≤f (|3x －1|)，即有|x ＋1|≤|3x －1|，解得x ≤0或x ≥1，所以f (x ＋1)≤f (3x －1)的解集为(－∞，0]∪[1，＋∞). 答案：x 4(－∞，0]∪[1，＋∞)12．解析：(1)因为f (x )是幂函数，所以m 2－3m －9＝1， 所以m 2－3m －10＝0，即(m ＋2)(m －5)＝0， 解得m ＝－2或m ＝5.因为f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以m －3＜0，即m ＜3，则m ＝－2. (2)由(1)可知m ＝－2，则(2a －1)m ＞(a ＋2)m等价于1（2a －1）2＞1（a ＋2）2，所以⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）2＜（a ＋2）22a －1≠0a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－8a －3＜0a ≠12a ≠－2，解得－13＜a ＜12或12＜a ＜3.故a 的取值范围是(－13，12)∪(12，3).13．解析：由题意，|AB |＝(m 2)a－(m 2)b，|CD |＝m a －m b，根据图象可知b ＞1＞a ＞0，因为0＜m ＜1时，(m 2)a＞(m 2)b，m a ＞m b ，因为|AB |＝|CD |，所以m 2a －m 2b ＝(m a ＋m b )(m a －m b )＝m a－m b，因为m a－m b＞0，可得m a＋m b＝1.答案：B。

贵州省2019-2020学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分） (2018高二下·定远期末) 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·遵义期中) 幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（）A .B . 64C .D .3. （2分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象经过点（，），则k﹣α=（）A .B . 1C .D . 24. （2分） (2016高一上·杭州期中) 设函数f（x）定义在R上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A .B .C .D .5. （2分）已知幂函数y=xn中的n分别为3，，﹣1，则它们对应的图象依次是（）A . C2C1C3B . C1C3C2C . C3C2C1D . C1C2C36. （2分）若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分） (2016高一下·大庆开学考) 幂函数y=（m2﹣m﹣1）x1﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m=________．8. （1分）设幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的奇偶性为________ ．9. （1分）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为________ ．10. （1分）若幂函数的图象过点（27，9）则它的解析式为f（x）=________．三、解答题 (共4题；共30分)11. （5分） (2019高一上·绍兴期末) 已知函数Ⅰ 求的最小正周期和单调递增区间；Ⅱ 把函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的解析式．12. （10分） (2018高一上·南京期中) 已知幂函数的图象经过点(2,8)．（1）试确定m的值；（2）求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a的取值范围．13. （10分） (2019高一上·济南期中) 已知幂函数为偶函数，且在区间内是单调递增函数．（1）求的值和函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．14. （5分）求函数的值域．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共4题；共4分)7-1、8-1、9-1、10-1、三、解答题 (共4题；共30分)11-1、12-1、答案：略12-2、答案：略13-1、答案：略13-2、答案：略14-1、。

课堂练习：1．幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2f x x =B ．2()f x x =C ．()2x f x =D ．2()log 3f x x =+ 【答案】B 【解析】试题分析：因42=α,故2=α，所以2)(x x f =,故应选B.考点：幂函数的定义．2．已知指数函数)10(7)(16≠>+=-a a a x f x 且的图象恒过定点P ，若定点P 在幂函数)(x g 的图像上，则幂函数)(x g 的图像是（ ）【答案】A考点：指数函数幂函数性质 3. 如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧。

若幂函数)(x f 的图象经过的部分是④⑧，则)(x f 可能是（ ）A.y ＝x 2B.y= C.12y x = D.y=x -2【答案】B 【解析】试题分析：由图像知，幂函数)(x f 的性质为：（1）函数)(x f 的定义域为()0+∞，；（2）当01x <<时，()1f x >，且()1f x x <；当1x >时，01x <<，且()1f x x>；所以)(x f 可能是y=故选B.考点：幂函数的图像和性质.4．已知幂函数()f x 的图像过点(2，，则()4f = ． 【答案】8 【解析】试题分析：幂函数可设为ax x f =)(，由图象过点)22,2(得a222=，解得23=a ，所以23)(x x f =，所以84)4(23==f ，答案为8．考点：幂函数的解析式5．点（2，2）在幂函数f （x ）的图象上，点（-2，）41在幂函数g （x ）的图象上，问当x 为何值时，有f （x ）＞g （x ），f （x ）=g （x ），f （x ）＜g （x ）.【答案】①当x ＞1或x ＜-1时，f （x ）＞g （x ）；②当x=±1时，f （x ）=g （x ）；③当-1＜x ＜1且x ≠0时， f （x ）＜g （x ）.课后练习：1．幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ． (2,)-+∞ B ． [1,)-+∞ C ． [0,)+∞ D ． (,2)-∞- 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数过点(2,4)，所以42,2αα==，故函数解析式为2y x =，单调增区间为[0,)+∞，选C.考点：1.幂函数；2.二次函数.2．函数()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上为增函数，则实数m 的值是（ ） A ．1- B ．2 C ．3 D ．1- 或2【答案】B 【解析】试题分析：()()21m f x m m x =-- 是幂函数2111m m m ⇒--=⇒=-或2m = . 又()0,x ∈+∞ 上是增函数,所以2m =.考点：幂函数的概念及性质.3．当()0,x ∈+∞时，幂函数()211m y m m x --=--为减函数，则函数m = .【答案】2考点：幂函数的性质4．幂函数222)33()(--+-=m m x m m x f 的图像与坐标轴没有公共点，则m 的值为【答案】1 【解析】试题分析：由题意可得2233120m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1212m m m ==⎧⎨-<<⎩或即m=1考点：幂函数性质5．已知幂函数()()22421mm f x m x-+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2xg x k =-．（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A =，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =（2）[]0,1 【解析】试题分析：（1）由幂函数的定义可得()211m -=，解出m 的值，注意验证（2）当[]1,2x ∈时，()(),f x g x 单调递增，易得()(),f x g x 的值域,A B ，由AB A =即B A ⊆可求实数k 的取值范围试题解析：（1）依题意得：()211m -=，解得0m =或2m = 当2m =时，()2f x x -=在()0,+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去．∴0m =．（2）由（1）可知()2f x x =，当[]1,2x ∈时，()(),fx g x 单调递增，∴[][]1,2,2,4A B k k ==--，∵AB A =，∴B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩．故实0,1．数k的取值范围是[]考点：幂函数的定义，单调性，值域，集合的运算。

2.3 幂函数一、填空题1.在函数222123y y x y x x y x x=,=,=+,=中,幂函数的个数为_______个. 解析显然,根据幂函数定义可知,只有21y x=是幂函数. 答案 12. 在幂函数y ＝x 4，y ＝x 14，y ＝x －3，y ＝x －12，y ＝x －2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．解析 由幂函数的性质容易得出答案.答案 y ＝x －3y ＝x 4；y ＝x －2y ＝x 14；y ＝x －123.设a =0.1270b ,=.128c ,=log 30.7,则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析∵幂函数12y x =在(0),+∞上是增函数,∴0<a <b .∵log 30.7<0,∴c <a <b .答案 c <a <b4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12.∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 325．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．解析 当α＝1,3时，y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y ＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，不符合要求；当α＝12时，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．答案 1,36．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析 设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝(2)m 得m ＝2，由14＝(－2)n ，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝22＋(－1)－2＝5.答案 57.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为________．解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3，又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.∵m 2－2m －3为偶数，经验证m ＝1符合题意．答案 18.已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案 ±19．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析 命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.答案 ①④⑤10 .若1122(1)(32)a a --+<-,则a 的取值X 围是. 解析令12()f x x -=,则f (x )在(0),+∞上是减函数,故得10320132a a a a +>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩解得3232a <<. 答案32()32, 11．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n ＞0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是________．解析幂函数y ＝x n ，当n <0时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．答案 ②⑤12.若函数f (x )=1212020(3)0x x x x x -⎧,>,⎪⎪-,=,⎨⎪⎪+,<,⎩则f (f (f (0)))=.解析f (f (f (0)))=f (f (-2))=f (12(23)-+)12(1)11f -===.答案113．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 二、解答题14．幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，某某数m 的值．解析因为函数是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，∴m 2－3m ＋2＝0，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1或m ＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m ＝1或m ＝2.15.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,某某数m 的取值X 围.解析:令2()21f x mx mx =++,当m >0时,f (1)=3m +1<0,即13m <-,舍去. 当m <0时,3m +1>0,即13m >-. ∴103m -<<. 16．已知函数y ＝415－2x －x 2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间．解析 这是复合函数问题，利用换元法．令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t .(1)由15－2x －x 2≥0，得－5≤x ≤3，故函数的定义域为[－5,3]，∴t ＝16－(x ＋1)2∈[0,16]，∴函数的值域为[0,2]．(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x ＝－1，∴x ∈[－5，－1]时，t 随x 的增大而增大；x ∈(－1,3]时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈[0,16]时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝415－2x －x 2的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．17.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值X 围是. 解析当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当20a -≠时,2204(2)16(2)0a a a -<,⎧⎨∆=-+-<,⎩解之得-2<a <2.∴a 的取值X 围是22a -<≤.18．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意． ②当a 2＞1时，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103.③当a 2＜0时，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. 综上，f (x )在区间[0,1]上的最大值为2时a ＝103或－6.。

2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x－45是幂函数．()(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y ＝x －( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y ＝x α的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2＝1，12m2＋m<0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． [探究共研型]探究1 幂函数y ＝x 【提示】 当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12，1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13， ∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52.1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12，∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【导学号：97030118】A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。

3．3 幂函数必备知识基础练1．[2022·河北沧州高一期末]下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝x 3D ．y ＝2x2．幂函数y ＝x 23的大致图象是( )3．下列幂函数中，其图象关于y 轴对称且过点(0，0)、(1，1)的是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 134．[2022·河北石家庄高一期末]若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (3)＝( )A ．13 B ． 3 C ．3 D ．95．(多选)下列说法正确的是( ) A ．当α＝0时，y ＝x α的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) C ．幂函数的图象不可能出现在第四象限D ．若幂函数y ＝x α在区间(0，＋∞)上单调递减，则α<06．[2022·北京五中高一期末]已知幂函数f (x )＝x α过点(2，8)，若f (x 0)＝－5，则x 0＝________．7．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，14)，则该函数的图象关于________对称．关键能力综合练1．已知幂函数y 1＝x a，y 2＝x b，y 3＝x c，y 4＝x d在第一象限的图象如图所示，则( )A ．a >b >c >dB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >b >d >a 2．已知幂函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a ＋1为偶函数，则实数a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．1或23．幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)x m －2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－34．已知幂函数f (x )＝(3m 2－2m )x 12－m满足f (2)>f (3)，则m ＝( ) A ．23 B ．－13C ．1D ．－1 5．[2022·河北沧州高一月考]已知函数f (x )＝x n的图象经过点(3，13)，则f (x )在区间[14，4]上的最小值是( ) A ．4 B ．14 C ．2 D ．126．[2022·辽宁高一期末](多选)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(12，2)，则( )A ．f (x )的图象经过点(2，4)B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．f (x )在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点(116，14)，则m －2n ＋3k ＝________．8．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 的图象不经过原点，则实数m 的值为________．9．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，19)，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．10．已知幂函数f (x )＝x 2m2－m －6(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是减函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)讨论函数f (x )的奇偶性和单调性．核心素养升级练1．(多选)某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y |y ∈R 且y ≠0}；③在(－∞，0)上是减函数．则以下幂函数符合这三个性质的有( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝xC ．f (x )＝x －1D ．f (x )＝x －132．[2022·辽宁丹东高一期末]写出一个具有性质①②③的函数f (x )＝________． ①f (x )定义域为{x |x ≠0}； ②f (x )在(－∞，0)单调递增； ③f (ab )＝f (a )·f (b ).3．[2022·北京房山高一期末]已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2). (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )满足条件f (2－a )>f (a －1) ，试求实数a 的取值范围．3．3 幂函数必备知识基础练1．答案：C解析：形如y ＝x α的函数为幂函数，则y ＝x 3为幂函数． 2．答案：B解析：∵23>0，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A ，C ，D.3．答案：B解析：由于函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，所以函数y ＝x 12图象不关于y 轴对称，故A 错误；由于函数y ＝f (x )＝x 4的定义域为(－∞，＋∞)，且f (－x )＝(－x )4＝f (x )，所以函数y ＝x 4关于y 轴对称，且经过了点(0，0)、(1，1)，故B 正确；由于y ＝x －2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数y ＝x －2不过点(0，0)，故C 错误；由于y ＝f (x )＝x 13的定义域为(－∞，＋∞)，且f (－x )＝(－x )13＝－x 13＝－f (x )，所以y ＝x 13图象关于原点中心对称，故D 错误．4．答案：B解析：设幂函数y ＝f (x )＝x α， 其图象经过点(2，2)， ∴2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝x 12＝x ，∴f (3)＝ 3. 5．答案：CD解析：对于选项A ，当α＝0时，y ＝x α的定义域为：{x |x ≠0，x ∈R }，所以函数的图象不是一条直线，故A 不正确；对于选项B ，由幂函数的性质可知幂函数图象一定经过(1，1)，但不一定经过(0，0)，如y ＝x －1，故B 不正确；对于选项C ，由幂函数的性质可知，幂函数在第四象限没有图象，故C 正确； 对于选项D ，若幂函数y ＝x α在区间(0，＋∞)上单调递减，此时α<0，满足幂函数的性质，故D 正确．6．答案：－35解析：因为幂函数f (x )＝x α过点(2，8)， 所以2α＝8，得α＝3， 所以f (x )＝x 3，因为f (x 0)＝－5，所以x 30 ＝－5，得x 0＝－35. 7．答案：y 轴解析：设y ＝f (x )＝x α，由题意可得，2α＝14，解得α＝－2，所以f (x )＝x －2，函数为偶函数，故该函数的图象关于y 轴对称．关键能力综合练1．答案：B解析：根据幂函数y 1＝x a ，y 2＝x b ，y 3＝x c ，y 4＝x d在第一象限的图象知，b >c >1>d >0>a ，即b >c >d >a .2．答案：C解析：∵幂函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)xa ＋1为偶函数，∴a 2－3a ＋3＝1，且a ＋1为偶数，则实数a ＝1. 3．答案：A解析：因为f (x )＝(m 2－2m －2)xm －2是幂函数，故m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或－1， 又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递减， 所以需要m －2<0，则m ＝－1. 4．答案：C解析：由幂函数的定义可知，3m 2－2m ＝1，即3m 2－2m －1＝0，解得：m ＝1或m ＝－13，当m ＝1时，f (x )＝x －12在(0，＋∞)上单调递减，满足f (2)>f (3)；当m ＝－13时，f (x )＝x 56在(0，＋∞)上单调递增，不满足f (2)>f (3)，综上：m ＝1.5．答案：B解析：由题意知13＝3n，∴n ＝－1.∴f (x )＝x －1在[14，4]上是减函数．∴f (x )＝x －1在[14，4]上的最小值是14.6．答案：BD解析：将点(12，2)代入f (x )＝x α，可得α＝－1，则f (x )＝1x ，因为f (2)＝12，故f (x )的图象不经过点(2，4)，A 错误；根据反比例函数的图象与性质可得：f (x )的图象关于原点对称， f (x )单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，f (x )在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)，故BD 正确，C 错误．7．答案：0解析：因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点(116，14)，所以(116)n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0. 8．答案：－1解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x m2＋2m是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意； 当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意； 所以m ＝－1.9．解析：因为幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，19)，故可得3α＝19，解得α＝－2，故f (x )＝x －2，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称； 其函数图象如图所示：数形结合可知，因为f (x )的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；且f (x )在(0，＋∞)单调递减，在(－∞，0)单调递增．10．解析：(1)依题意2m 2－m －6<0，即(2m ＋3)(m －2)<0，解得－32<m <2，因为m ∈Z ，所以m ＝－1或m ＝0或m ＝1， 所以f (x )＝x －3或f (x )＝x －6或f (x )＝x －5.(2)若f (x )＝x －3定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －3为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；若f (x )＝x －6的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －6为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；若f (x )＝x －5定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )＝x －5为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．核心素养升级练1．答案：CD解析：由已知可得，此函数为奇函数，而A 选项f (x )＝x 2为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B ，f (x )＝x 的值域为{y |y ∈R }，且该函数在R 上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C 、D 同时满足三个条件．2．答案：1x2(答案不唯一)解析：f (x )＝1x2的定义域为{x |x ≠0}，在区间(－∞，0)递增，且f (ab )＝1（ab ）2＝1a 2·1b2＝f (a )·f (b )，所以f (x )＝1x2符合题意．3．解析：(1)因为幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2)，则有(2)α＝2， 所以α＝2，所以f (x )＝x 2.(2)因为f (－x )＝x 2＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2为偶函数， 又函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上递增，且f (2－a )>f (a －1)， 所以|2－a |>|a －1|， 所以4－4a ＋a 2>a 2－2a ＋1， 解得a <32，所以满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为(－∞，32).。

课时作业(三十一) 2.3 幂函数1.下列函数：①y＝x 2＋1；②y＝x －12；③y＝2x 2；④y＝x －1；⑤y＝x －13＋1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③C.②④D.②③⑤答案 C2.设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a答案 A解析 ∵y ＝x 25在(0，＋∞)上是增函数，且35>25，∴(35)25>(25)25，即a>c.∵y ＝(25)x 在R 上是减函数，且35>25，∴(25)35<(25)25，即b<c.∴b<c<a，故选A.3.设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为() A.1，3 B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3答案 A4.已知幂函数f(x)＝(2n 2－n)x n ＋1，若在其定义域上为增函数，则n 等于( )A.1，－12B.1C.－12D.－1，12答案 C5.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m －2的图像不过原点，则m 的取值范围为( )A.1≤m ≤2B.m ＝1或m ＝2C.m ＝2D.m ＝1答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2<0，m 2－3m ＋3＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m<2，m ＝1或m ＝2，∴m ＝1. 6.如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图像，则( )A.－1<n<0<m<1B.n<－1，0<m<1C.－1<n<0，m>1D.n<－1，m>1 答案 B7.设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x>0，若0≤f(x 0)≤1，则x 0的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.[－1，1]C.(－∞，1]D.(－∞，－1]∪(1，＋∞)答案 B8.使(3－2x －x 2)－34有意义的x 的取值范围是________. 答案 (－3，1)解析 (3－2x －x 2)－34有意义，∴－x 2－2x ＋3>0，得－3<x<1. 9.若幂函数y ＝x α的图像经过点(8，4)，则函数y ＝x α的值域是________.答案 [0，＋∞)10.函数f(x)＝1xm 2＋m ＋1(m∈N *)的定义域是________， 奇偶性为________，单调递减区间是________.答案 {x|x≠0}，奇函数，(－∞，0)和(0，＋∞)11.若幂函数y ＝x p在(1，＋∞)上的图像都在y ＝x 的下方，则p 的取值范围为________. 答案 p<112.设函数f 1(x)＝x 12，f 2(x)＝x －1，f 3(x)＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2 017)))＝________.答案 12 017 13.若(a ＋1)－12<(3－2a)－12，求a 的取值范围. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a>0，a ＋1>3－2a ，得23<a<32. 14.比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2.解析 ∵0.5<0.6，∴1<1.20.5<1.20.6，0.51.2<0.61.2<1，∴0.51.2<0.61.2<1.20.5<1.20.6.1.已知函数y ＝xn 2－2n －3(n∈Z )的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图像.解析 因为图像与x 轴无交点，所以n 2－2n －3≤0，又图像关于y 轴对称，则n 2－2n －3为偶数.由n 2－2n －3≤0，得－1≤n≤3，又n∈Z ，所以n ＝0，±1，2，3.当n ＝0时，n 2－2n －3＝－3不是偶数；当n ＝1时，n 2－2n －3＝－4是偶数；当n ＝－1时，n 2－2n －3＝0是偶数；当n ＝2时，n 2－2n －3＝－3不是偶数；当n ＝3时，n 2－2n －3＝0是偶数.综上，n ＝－1或n ＝1或n ＝3，此时解析式为y ＝x 0(x≠0)或y ＝x －4(x≠0)，如图.。