高考数学二轮复习第二部分第一板块考前练2个送分专题教学案文

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高考数学二轮复习第2部分必考补充专题教学案理-人教版高三全册数学教学案

第2部分必考补充专题
必考补充专题中的7讲在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题及选修“二选一”，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分做构建知识体系和针对训练.
高考突破点
对应专题限时集训
第17讲集合与常用逻辑用语
P132，专题限时集训(十七)
第18讲平面向量、复数
P134，专题限时集训(十八)
第19讲不等式与线性规划
P136，专题限时集训(十九)
第20讲古典概型、几何概型
P140，专题限Βιβλιοθήκη 集训(二十)第21讲算法初步、推理证明
P143，专题限时集训(二十一)
第22讲排列组合、二项式定理
P146，专题限时集训(二十二)
第23讲选修4－4选修4－5
P148，专题限时集训(二十三)

高考数学二轮复习专题教案(人教版)

高考数学二轮复习专题教案（人教版）集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，...}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}（C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。

例2、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．解：由BA，且不可能等于－1，可知＝2－1，解得：＝1。

高考数学二轮复习专题教案人教版

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N+={0，1，2，3，...}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A 是B的真子集。

例2、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．解：由BA，且不可能等于－1，可知＝2－1，解得：＝1。

2021-2022年高考数学二轮复习专题02函数与导数教学案文

2021年高考数学二轮复习专题02函数与导数教学案文一．考场传真1. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.12. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】定义在上的函数满足.若当时.，则当时，=________________.3. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设函数（，为自然对数的底数）.若存在使成立，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）4. 【xx年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设函数2f e+-=+-x x=.2,()ln)3(x x g x x若实数a, b满足, 则（）(A) (B)(C) (D)5.【xx年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A.0B.1C.2D.36. 【xx年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（）（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）7. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】若曲线在点处的切线平行于轴，则．8. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（A）3 (B) 4(C) 5 (D) 6如图则有3个交点，故选A.二．高考研究【考纲要求】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背最②理解导数的几何意义.(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y=x,y=,y=的导数。

(通用版)高考数学二轮复习第一部分专题二数列教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题二数列[研高考·明考点]小题考情分析大题考情分析常考点1.等差、等比数列的基本运算(3年6考)2.等差、等比数列的性质(3年3考)常考点高考对数列的考查若只出现在解答题中时，常以数列的相关项以及关系式，或a n 与S n 的关系入手，结合等差、等比数列的定义展开考查，题型主要有：1.等差、等比数列基本量的运算2.数列求和问题3.等差、等比数列的判断与证明偶考点1.数列的递推关系式2.等差与等比数列的综合应用问题偶考点数列与其他知识的综合问题第一讲小题考法——等差数列与等比数列考点(一) 主要考查方式有两种：一是利用a n 与S n 的关系求通项a n 或前n 项和S n ；二是利用a n 与a n ＋1的关系求通项a n 或前n 项和S n .数列的递推关系式[典例感悟][典例] (1)(2017·云南调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1(2)(2017·成都模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[解析] (1)当n ＝1时，4×(1＋1)×(a 1＋1)＝(1＋2)2×a 1，解得a 1＝8.当n ≥2时，4(S n ＋1)＝n ＋22a n n ＋1，则4(S n －1＋1)＝n ＋12a n －1n ，两式相减得，4a n ＝n ＋22a nn ＋1－n ＋12a n －1n，整理得，a na n －1＝n ＋13n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n ＋13n 3×n 3n －13×…×3323×8＝(n ＋1)3.检验知，a 1＝8也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.(2)根据a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n ，①有a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －12＝a n －1，②①－②得，a nn2＝a n －a n －1，即n 2a n －1＝(n 2－1)a n ，所以a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2n ＋1n －1，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×222＋12－1×323＋13－1×…×n 2n ＋1n －1＝22×32×42×…×n 22－12＋13－13＋14－14＋1…n －1n ＋1＝22×32×42×…×n21×3×2×4×3×5×…×n －1×n ＋1 ＝2n n ＋1. [答案] (1)A (2)2n n ＋1[方法技巧]由a n 与S n 的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[演练冲关]1．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝( )A.2 0171 009 B.2 0151 008C.2 0162 017 D.2 0152 016解析：选A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝n －1n ＋22，所以a n ＝n 2＋n2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝211－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝2 0171 009，故选A. 2．(2017·石家庄质检)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：选 D 不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以{a n }的前60项和为S 60＝30＋2×30＋30×30－12×4＝1 830.3．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则S 5＝________. 解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案：121考点(二)主要考查与等差比数列的通项公式、前n 项和公式有关的五个基本量间的“知三求二”运算.等差、等比数列的基本运算[典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97(2)(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8(3)(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. [解析] (1)∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，故选C. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. (3)设等比数列{a n}的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] (1)C (2)A (3)32[方法技巧]等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－83．(2018届高三·河南十校联考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________.解析：∵{a n }是公差为1的等差数列， ∴S 8＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.答案：192考点(三) 主要考查利用等差、等比数列的性质求解基本量及与前n 项和有关的最值问题.等差、等比数列的性质[典例感悟][典例] (1)(2017·云南调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50(2)(2017·长沙模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2(3)(2018届高三·湖南名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032D ．4 033[解析] (1)由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，所以S 9－S 6＝16，S 12－S 9＝32，所以S 12＝(S 12－S 9)＋(S 9－S 6)＋(S 6－S 3)＋S 3＝32＋16＋8＋4＝60，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，故选C.(3)因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032a 1＋a 4 0322＝4 032a 2 016＋a 2 0172>0，S 4 033＝4 033a 1＋a 4 0332＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.[答案] (1)B (2)C (3)C[方法技巧]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．[演练冲关]1．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项和等于前5项和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．2解析：选A 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由题意S 10＝S 5，所以S 10－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，又a 6＋a 10＝a 7＋a 9＝2a 8，于是a 8＝0，又a m ＋a 6＝0，所以m ＋6＝2×8，解得m ＝10.2．(2017·合肥质检)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选A 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n＝1＋a n a n ＝1＋1a n ，又对任意的n ∈N *都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<0，9＋a －1>0，解得－8<a <－7.3．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50[典例] (1)(2018届高三·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ． 3(2)设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是等比数列，记数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. [解析] (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.(2)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q . 由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4b 5＋b 5q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝－6a 5.故a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 5＋2d b 5q 2＋b 5＝2a 5＋2－6a 525a 5＋a 5＝－10a 526a 5＝－513. [答案] (1)A (2)－513[方法技巧]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．[演练冲关]1．(2017·云南调研)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，则q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，得2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，所以a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列．又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5，q ＝a 3－3a 1－1＝1. 2．(2017·望江调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为( )A ．－47B ．－48C ．－49D ．－50解析：选C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又6<203<7，从而检验n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49.所以nS n 的最小值为－49.3．(2017·太原模拟)设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－a 22为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝________.解析：依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，由等比数列的性质，知数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－S 6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8.答案：8[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1(q ≠0)前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q；(2)q ＝1，S n ＝na 12．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (二) 二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1. (5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. [针对练1] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m qn －m；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q . (5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q mS n ；②S m S n ＝1－q m 1－q n(q ≠±1)． (三) 易错易混要明了已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[针对练2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则该数列的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又当n ＝1时，2×1－1＝1≠2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2017·兰州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝9a 1＋a 92＝72.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．已知S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8. 6．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8a 1＋a 82＝8a 4＋a 52＝92.7．已知数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1.若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，故选A.8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，则1a 1＋1a 1q ＋1a 1q2＋1a 1q 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( ) A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q 2a 41＋q 2＝1q ＝25＋1＝5－12，故选A. 10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a n a 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选Ba n a 2n ＝a 1＋n －1d a 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ≠0，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n <0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝14. 二、填空题13．(2017·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×1－291－2＝210－2＝1 022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×1＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋12－n ＋1＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n ＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选D 不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.2．(2017·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋14．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋1，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ＝n －1n ，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018.答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________. 解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a nb n＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n，所以c n＝a n ＋b n a n b n ＝2n 2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036第二讲大题考法——数列[典例1] (2017·沈阳模拟)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d＝2＋(n －1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2. 因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·qn －1＝2×2n －1＝2n.(2)因为a n ＝2n ，b n ＝2n，所以a n ＋b n ＝2n ＋2n，所以S n ＝n 2＋2n2＋21－2n1－2＝n2＋n ＋2n ＋1－2.[备课札记][方法技巧]等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.由题可得，2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k－1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k－32，即n 为偶数时，a n ＝n －32. 综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.题型(二) 主要考查错位相减法求和、裂项相消法求和以及分组求和，且常结合数列的递推公式、周期等命题.数列求和问题[典例感悟][典例2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋21－4n1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n－1)． [备课札记][方法技巧]1．分组求和中分组的策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②将两个和式错位相减； ③整理结果形式．[演练冲关]2．(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n＋(2n ＋1)，∴T n ＝2×(4＋42＋ (4))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝2×41－4n1－4＋n 3＋2n ＋12＝83(4n －1)＋n 2＋2n . 3．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.题型(三)主要考查等差数列与等比数列的定义、等差中项及等比中项，且常与数列的递推公式相结合命题.等差、等比数列的判定与证明[典例3] (2017·成都模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . [解] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋4， ∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n， ∴a n ＝2n－4.当n ＝1时，a 1＝－2<0， ∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋...＋(2n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝21－2n1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，也满足上式． ∴数列{|a n |}的前n 项和S n ＝2n ＋1－4n ＋2.[备课札记][方法技巧]判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的某一常数．(2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； ②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1≠0(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．[演练冲关]4．(2018届高三·东北三校联考)已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 31－a n ＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.(2)由(1)知，1a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋n .5．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[解题通法点拨] 数列问题重在“归”——化归、归纳[循流程思维——入题快]等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法，是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．[按流程解题——快又准][典例] (2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解题示范](1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2. 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17 ＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.[思维升华] 对于数列的备考：一是准确掌握数列中a n 与S n 之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；四是在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[应用体验](2017·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n＝211－2n －1.(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2. 当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.[课时跟踪检测] 1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －12d ＝n 2＋3n4.2．(2017·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1. (2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1) ＝2×(1＋3＋32＋ (3))－(n ＋1) ＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.3．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2a n －a 1，① ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；② ①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.。

高考数学二轮复习教案

高考数学二轮复习教案【篇一：高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题】专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合a、b，当a∩b＝?时，你是否注意到“极端”情况：a＝?或b＝?？求集合的子集时是否忘记?？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合m, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.5. ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2. 已知命题p：n∈n,2n＞1 000，则p为________．3. 条件p：a∈m＝{x|x2－x0}，条件q：a∈n＝{x||x|2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“?x∈r，x2＋(a－1)x＋10”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合a＝{x|x2－3x－10≤0}，集合b＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若b?a，求实数p的取值范围．【例2】设a＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，b＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，c＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈n，使得(a∪b)∩c ＝?？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．则下列结论恒成立的是________．a. t，v中至少有一个关于乘法封闭b. t，v中至多有一个关于乘法封闭 c. t，v中有且只有一个关于乘法封闭 d. t，v中每一个关于乘法封闭【例4】已知a0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b0时，若?x∈r，都有f(x)≤1，证明：0a≤b； (2) 当b1时，证明：?x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤b.①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝a12＋a由此可知x10，x20，(3分)①当a0时，a＝{x|xx1}∪{x|xx2}，(5分) 1a∩b≠?的充要条件是x2＜3，即a②当a0时， a＝{x|x1xx2}，(10分) 1a∩b≠?的充要条件是x21，即＋a2＋1，解得a－2，(13分) a62＋3，解得a(9分) a712，x2＝＋aa6?.(14分) 综上，使a∩b≠?成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪??7?一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语a. 57b. 56c. 49d. 8【答案】 b 解析：集合a的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合s共有56个．故选b.m2y≤2m＋1，x，y∈r}, 若a∩b≠?，则实数m的取值范围是________．1m12＋2? 解析：由a∩b≠?得，a≠?，所以m2≥，m≥m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2当m≤0＝22m＞－m，且＝2m＞－m，又2＋0＝2＞2m222|2－2m|1＋1，所以集合a表示的区域和集合b表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m22|2－2m－1|22或m，解得22≤m≤2＋2或1－m≤1，所以实数m的取值范围222122?. 是??2?点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：a＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，b＝(0，＋∞)，a∪b＝(－∞，＋∞)，a∩b＝[3，＋∞)．2. ?n∈n,2n≤1 0003. 充分不必要解析：m＝(0,1)?n＝(－2,2)．例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ a＝[－2,5]．①当b≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.由b?a得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.②当b＝?时，即p＋12p－1?p＜2.b?a成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关a∩b＝?，a∪b＝a，a∪b＝b 或a?b等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为m，如果m?[1,4]，求实数a的取值范围．??f?1?≥0且f?4?≥0，[x1，x2]，m?[1,4]?1≤x1＜x2≤4??－a＋3≥0，??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2，1818－1. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7?7例2 解：∵ (a∪b)∩c＝?，∵a∩c＝?且b∩c＝?，2??y＝x＋1，由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ?y＝kx＋b?∴ 4k2－4bk＋10，此不等式有解，其充要条件是16b2－160，即b21，①2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，?∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，∴ k2－2k＋8b－190, 从而8b20，即b2.5，②?4k2－8k＋1＜0，??2 ?k－2k－3＜0，?∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(a∪b)∩c＝?．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.???1－y＝3变式训练已知集合a＝??x，y???x＋1?????，b＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若a∩b＝?，??求实数k的取值范围．解：集合a表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合b表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，a∩b＝?，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.例3 【答案】 a 解析：由于t∪v＝z，故整数1一定在t，v两个集合中的一个中，不妨设1∈t，则?a，b∈t，另一方面，当t＝{非负整数}，v＝{负整数}时，t关于乘法封闭，v关于乘法不封闭，故d不对；当t＝{奇数}，v＝{偶数}时，t，v显然关于乘法都是封闭的，故b，c不对．从而本题就选a.例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈r恒成立，又b＞0, ∴a2－4b≤0，∴ 0＜a≤b. (2) 必要性，∵ ?x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，111对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋f(x)＝bxx∈(0,1]上单调增，f(x)最大值xxxf(1)＝b－1.1111函数g(x)＝bx＋在?0，?上单调减，在?1?上单调增，函数g(x)的最小值为g?x?b????b?＝2，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立；a2a2aa1122b4b2b2a2f(x)max＝1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，4bf(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴－1≤f(x)≤1，故充分性成立；综上命题得证．变式训练命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．2解：使命题甲成立的条件是： ??m＞2.?x1＋x2＝－m＜0?∴集合a＝{m|m2}．【篇二：高三数学二轮复习教案】高三数学二轮复习教案学校：寿县迎河中学汇编：龙如山第一部分：三角问题的题型与方法一、考试内容1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

高考数学二轮复习专题教案2.doc

宿羊山高中校本数学二轮复习精品学案系列――第二课时常用逻辑用语★高考趋势★考点1、命题的四种形式1、给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是．2、命题“,221a b a b >>-则”的否命题是____________________________________．3、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是．（1）若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；（2）函数)32cos(2π+=x y 的图象关于x=12π对称；（3）函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数；（4）函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π；考点2、必要条件、充分条件、充分必要条件4、命题:p 2{|0}a M x x x ∈=-<；命题:q {|||2}a N x x ∈=<，p 是q 的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要选择）5、已知p ：一4＜x －a ＜4，q ：(x 一2)(3一x)＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是6、若f (x )是R 上的增函数，且f (-1)=-4, f (2)=2，设(){}(){}|2,|4P x f x t Q x f x =+<<-＝，若x P x Q ∈∈“”是“”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是．考点3、简单的逻辑联结词7、条件P ：21>+x ，条件Q ：131>-x，则P ⌝是Q ⌝的条件（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要选择）8、已知命题;2|2:|≥-x p 命题Z x q ∈:．如果”“”“q q p ⌝与且同时为假命题，则满足条件的x 的集合为．考点4、全称量词与存在量词9、若命题2:,210p x x ∀∈+>R ，则该命题的否定是10、若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 .二感悟解答1、答：1；解析：设(),,m nf x x m n =其中都是整数且mn不可约，分别就正负与奇偶情况明确幂函数的单调性、奇偶性及图象所在限象，判断出原命题正确，可知它的逆否命题也正确；而其逆命题“若函数()y f x =的图象不过第四象限，则函数()y f x =是幂函数”为假，故其否命题亦假。

(通用版)高考数学二轮复习第一部分专题二数列教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题二数列[研高考·明考点]偶考点 1.三角函数的综合问题2.平面向量与解三角形、三角函数的综合问题偶考点数列与其他知识的综合问题第一讲小题考法——等差数列与等比数列考点(一) 主要考查方式有两种：一是利用a n 与S n 的关系求通项a n 或前n 项和S n ；二是利用a n 与a n ＋1的关系求通项a n 或前n 项和S n .数列的递推关系式[典例感悟][典例] (1)(2017·云南调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1(2)(2017·成都模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[解析] (1)当n ＝1时，4×(1＋1)×(a 1＋1)＝(1＋2)2×a 1，解得a 1＝8.当n ≥2时，4(S n ＋1)＝n ＋22a n n ＋1，则4(S n －1＋1)＝n ＋12a n －1n ，两式相减得，4a n ＝n ＋22a nn ＋1－n ＋12a n －1n，整理得，a na n －1＝n ＋13n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n ＋13n 3×n 3n －13×…×3323×8＝(n ＋1)3.检验知，a 1＝8也符合，所以a n ＝(n ＋1)3. (2)根据a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n ，①有a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －12＝a n －1，②①－②得，a nn2＝a n －a n －1，即n 2a n －1＝(n 2－1)a n ，所以a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2n ＋1n －1，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×222＋12－1×323＋13－1×…×n 2n ＋1n －1＝22×32×42×…×n 22－12＋13－13＋14－14＋1…n －1n ＋1＝22×32×42×…×n21×3×2×4×3×5×…×n －1×n ＋1 ＝2n n ＋1. [答案] (1)A (2)2n n ＋1[方法技巧]由a n 与S n 的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[演练冲关]1．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝( )A.2 0171 009 B.2 0151 008 C.2 0162 017 D.2 0152 016解析：选A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝n －1n ＋22，所以a n ＝n 2＋n2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝211－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝2 0171 009，故选A. 2．(2017·石家庄质检)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：选D 不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以{a n }的前60项和为S 60＝30＋2×30＋30×30－12×4＝1 830.3．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则S 5＝________. 解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案：121考点(二)主要考查与等差比数列的通项公式、前n 项和公式有关的五个基本量间的“知三求二”运算.等差、等比数列的基本运算[典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97(2)(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8(3)(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. [解析] (1)∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，故选C. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. (3)设等比数列{a n}的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] (1)C (2)A (3)32[方法技巧]等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－83．(2018届高三·河南十校联考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________.解析：∵{a n }是公差为1的等差数列， ∴S 8＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.答案：192[典例] (1)(2017·云南调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50(2)(2017·长沙模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )C．8 D．8－4 2(3)(2018届高三·湖南名校联考)若{a n}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和S n>0成立的最大正整数n是( )A．2 016 B．2 017C．4 032 D．4 033[解析] (1)由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故选B.(2)在等比数列{a n}中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，故选C.(3)因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝4 032a1＋a4 0322＝4 032a2 016＋a2 0172>0，S4 033＝4 033a1＋a4 0332＝4 033a2 017<0，所以使前n项和S n>0成立的最大正整数n是4 032，故选C.[答案] (1)B (2)C (3)C[方法技巧]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．[演练冲关]1．已知等差数列{a n}中，a1＝1，前10项和等于前5项和，若a m＋a6＝0，则m＝( ) A．10 B．9C．8 D．2解析：选A 记数列{a n}的前n项和为S n，由题意S10＝S5，所以S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，又a6＋a10＝a7＋a9＝2a8，于是a8＝0，又a m＋a6＝0，所以m＋6＝2×8，解得m＝10.2．(2017·合肥质检)已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b n}满足b n＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选A 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n＝1＋a n a n ＝1＋1a n ，又对任意的n ∈N *都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<0，9＋a －1>0，解得－8<a <－7.3．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50[典例] (1)(2018届高三·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ． 3(2)设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是等比数列，记数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. [解析] (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. (2)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q . 由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4b 5＋b 5q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝－6a 5.故a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 5＋2d b 5q 2＋b 5＝2a 5＋2－6a 525a 5＋a 5＝－10a 526a 5＝－513. [答案] (1)A (2)－513[方法技巧]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．[演练冲关]1．(2017·云南调研)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，则q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，得2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，所以a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列．又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5，q ＝a 3－3a 1－1＝1. 2．(2017·望江调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为( )A ．－47B ．－48C ．－49D ．－50解析：选C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又6<203<7，从而检验n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49.所以nS n 的最小值为－49.3．(2017·太原模拟)设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－a 22为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝________.解析：依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，由等比数列的性质，知数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－S 6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8.答案：8[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1(q ≠0)前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q；(2)q ＝1，S n ＝na 1(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (二) 二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1. (5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. [针对练1] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m qn －m；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q . (5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q mS n ；②S m S n ＝1－q m 1－q n(q ≠±1)． (三) 易错易混要明了已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[针对练2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则该数列的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又当n ＝1时，2×1－1＝1≠2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2017·兰州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝9a 1＋a 92＝72.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．已知S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8. 6．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8a 1＋a 82＝8a 4＋a 52＝92.7．已知数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n＜12，2a n－1，12≤a n＜1.若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，故选A.8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，则1a 1＋1a 1q ＋1a 1q2＋1a 1q 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( ) A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q 2a 41＋q 2＝1q ＝25＋1＝5－12，故选A.10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a n a 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选Ba n a 2n ＝a 1＋n －1d a 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ≠0，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n <0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝14. 二、填空题13．(2017·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×1－291－2＝210－2＝1 022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×1＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋12－n ＋1＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n ＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选D 不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.2．(2017·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋14．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋1，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n ＝n －1n ，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018.答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________.解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a nb n＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n，所以c n＝a n ＋b n a n b n ＝2n 2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036第二讲大题考法——数列[典例1] (2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3. ① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.[备课札记][方法技巧]等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.由题可得，2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k－1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k－32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.题型(二) 主要考查错位相减法求和、裂项相消法求和以及分组求和，且常结合数列的递推公式、周期等命题.数列求和问题[典例感悟][典例2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋21－4n1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n－1)． [备课札记][方法技巧]1．分组求和中分组的策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②将两个和式错位相减； ③整理结果形式．[演练冲关]2．(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n＋(2n ＋1)，∴T n ＝2×(4＋42＋ (4))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝2×41－4n1－4＋n 3＋2n ＋12＝83(4n －1)＋n 2＋2n . 3．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.题型(三)主要考查等差数列与等比数列的定义、等差中项及等比中项，且常与数列的递推公式相结合命题.等差、等比数列的判定与证明[典例感悟][典例3] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[备课札记][方法技巧]判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的某一常数．(2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； ②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1≠0(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．[演练冲关]4．(2018届高三·东北三校联考)已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 31－a n ＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.(2)由(1)知，1a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋n .[解题通法点拨] 数列问题重在“化归”[循流程思维——入题快]等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．[按流程解题——快又准][典例] (2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解题示范](1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2. 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17 ＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.[思维升华] 对于数列的备考：一是准确掌握数列中a n 与S n 之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；四是在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[应用体验](2017·张掖模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝b n2n ＋1，其中n ∈N *，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ＋n ＋22n的值．解：(1)由题意知a 1＝1，∵a n ＝－3S n ＋4，∴a n ＋1＝－3S n ＋1＋4. 两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，∴{a n }是首项为1，公比为14的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1.b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝2n . (2)∵c n ＝b n 2n ＋1＝2n 2n ＋1＝n2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1， ②①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1.∴T n ＝2－n ＋22n，即T n ＋n ＋22n＝2.[课时跟踪检测] 1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －12d ＝n 2＋3n4.2．(2017·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1.(2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)＝2×(1＋3＋32＋ (3))－(n ＋1)＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.3．(2017·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n＝211－2n －1.(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2.当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.4．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2a n －a 1， ① ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；②①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n.(2)∵a n ＝2n，∴S n ＝2a n －a 1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋12n ＋1－22n ＋2－2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1＝2n－12n ＋1－1. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12，a 1－1＝－12，又c n ＝a n －1，∴{c n }是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n。

(通用版)高考数学二轮复习第一部分专题二数列教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题二数列[研高考·明考点][典例] (1)(2017·云南调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1(2)(2017·成都模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. [解析] (1)当n ＝1时，4×(1＋1)×(a 1＋1)＝(1＋2)2×a 1，解得a 1＝8.当n ≥2时，4(S n ＋1)＝n ＋22a nn ＋1，则4(S n －1＋1)＝n ＋12a n －1n，两式相减得，4a n ＝n ＋22a n n ＋1－n ＋12a n －1n，整理得，a n a n －1＝n ＋13n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n ＋13n 3×n 3n －13×…×3323×8＝(n ＋1)3.检验知，a 1＝8也符合，所以a n＝(n ＋1)3.(2)根据a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n ，①有a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －12＝a n －1，②①－②得，a n n 2＝a n －a n －1，即n 2a n －1＝(n 2－1)a n ，所以a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2n ＋1n －1，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×222＋12－1×323＋13－1×…×n 2n ＋1n －1＝错误!＝22×32×42×…×n21×3×2×4×3×5×…×n －1×n ＋1＝2n n ＋1. [答案] (1)A (2)2nn ＋1[方法技巧]由a n 与S n 的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)．(3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[演练冲关]1．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝( )A.2 0171 009B.2 0151 008 C.2 0162 017 D.2 0152 016解析：选A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝n －1n ＋22，所以a n ＝n 2＋n2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝211－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝2 0171 009，故选A.2．(2017·石家庄质检)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：选D 不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以{a n }的前60项和为S 60＝30＋2×30＋30×30－12×4＝1 830.3．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则S 5＝________.解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.答案：121主要考查与等差比数列的通项公式、前n 项和公式有关的五个基本量间的“知三求二”运算.[典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97(2)(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8(3)(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.[解析] (1)∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，故选C. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a 11－q61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] (1)C (2)A (3)32[方法技巧]等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－83．(2018届高三·河南十校联考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________.解析：∵{a n }是公差为1的等差数列， ∴S 8＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.答案：192[典例] (1)(2017·云南调研)已知数列{a n}是等比数列，S n 为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( ) A．40 B．60C．32 D．50(2)(2017·长沙模拟)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝( )A．4 B．6C．8 D．8－42(3)(2018届高三·湖南名校联考)若{a n}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和S n>0成立的最大正整数n是( )A．2 016 B．2 017C．4 032 D．4 033[解析] (1)由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故选B.(2)在等比数列{a n}中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，故选C.(3)因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032a 1＋a 4 0322＝4 032a 2 016＋a 2 0172>0，S 4 033＝4 033a 1＋a 4 0332＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.[答案] (1)B (2)C (3)C[方法技巧]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．[演练冲关]1．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项和等于前5项和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．2解析：选A 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由题意S 10＝S 5，所以S 10－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，又a 6＋a 10＝a 7＋a 9＝2a 8，于是a 8＝0，又a m ＋a 6＝0，所以m ＋6＝2×8，解得m ＝10.2．(2017·合肥质检)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选A 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a na n＝1＋1a n，又对任意的n ∈N *都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<0，9＋a －1>0，解得－8<a <－7.3．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋lna 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50[典例] (1)(2018届高三·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ．3(2)设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是等比数列，记数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________.[解析] (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tanπ3＝－ 3.(2)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q . 由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4b 5＋b 5q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝－6a 5.故a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 5＋2d b 5q 2＋b 5＝2a 5＋2－6a 525a 5＋a 5＝－10a 526a 5＝－513.[答案] (1)A (2)－513[方法技巧]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．[演练冲关]1．(2017·云南调研)已知数列{a n}是等差数列，若a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为q的等比数列，则q＝( ) A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选C 依题意，得2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，所以a1－1，a3－3，a5－5成等差数列．又a1－1，a3－3，a5－5依次构成公比为q的等比数列，因此有a1－1＝a3－3＝a5－5，q＝a3－3a1－1＝1.2．(2017·望江调研)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为( )A．－47 B．－48C．－49 D．－50解析：选C由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又6<203<7，从而检验n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49.所以nS n 的最小值为－49.3．(2017·太原模拟)设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－a 22为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝________.解析：依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，由等比数列的性质，知数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－S 6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8.答案：8[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1(q ≠0)前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q；na 1＋n n －12d(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(二) 二级结论要用好1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m＋a n .(2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1.(5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝mm －1.[针对练1] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m qn －m；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q .(5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q mS n ；②S m S n ＝1－q m 1－q n(q ≠±1)． (三) 易错易混要明了已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[针对练2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则该数列的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又当n ＝1时，2×1－1＝1≠2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2017·兰州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝9a 1＋a 92＝72.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a3－13，则公比q ＝( ) A ．1 B ．4 C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．已知S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8.6．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8a 1＋a 82＝8a 4＋a 52＝92.7．已知数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1.若a 1＝35，则a 2 018＝( ) A.15 B.25 C.35 D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，故选A.8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，则1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q 2a 41＋q 2＝1q＝25＋1＝5－12，故选A.10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B a n a 2n ＝a 1＋n －1d a 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ≠0，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n <0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝14.二、填空题13．(2017·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×1－291－2＝210－2＝1 022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a na n S n －S 2n＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n－S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009.答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×1＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋12－n ＋1＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n ＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选D不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.2．(2017·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选 D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋14．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋1，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018. 答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n－a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n ，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a nb n＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n 2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036.答案：4 036第二讲大题考法——数列[典例1] (2017·沈阳模拟)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2.因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·q n －1＝2×2n －1＝2n.(2)因为a n ＝2n ，b n ＝2n，所以a n ＋b n ＝2n ＋2n，所以S n ＝n 2＋2n2＋21－2n1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.[备课札记][方法技巧]等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.由题可得，2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.[典例2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋21－4n1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n－1)． [备课札记][方法技巧]1．分组求和中分组的策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和．(2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②将两个和式错位相减； ③整理结果形式．[演练冲关]2．(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n＋(2n ＋1)，∴T n ＝2×(4＋42＋ (4))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝2×41－4n1－4＋n 3＋2n ＋12＝83(4n －1)＋n 2＋2n . 3．(2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.[典例3] (2017·成都模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4.(1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . [解] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋4， ∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)，∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n， ∴a n ＝2n－4.当n ＝1时，a 1＝－2<0， ∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝21－2n1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，也满足上式． ∴数列{|a n |}的前n 项和S n ＝2n ＋1－4n ＋2.[备课札记][方法技巧]判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的某一常数．(2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； ②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1≠0(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．[演练冲关]4．(2018届高三·东北三校联考)已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n－11a n－1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 31－a n ＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.(2)由(1)知，1a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋n .5．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1 ＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[解题通法点拨] 数列问题重在“归”——化归、归纳[循流程思维——入题快]等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法，是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．[按流程解题——快又准][典例] (2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和．[解题示范](1)由a2n＋2a n＝4S n＋3，①可知a2n＋1＋2a n＋1＝4S n＋1＋3.②②－①，得a2n＋1－a2n＋2(a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2(a n＋1＋a n)＝a2n＋1－a2n＝(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)．由a n>0，得a n＋1－a n＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n＝2n＋1.(2)由a n＝2n＋1可知b n＝1a n a n＋1＝12n＋12n＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3.设数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17 ＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.[思维升华] 对于数列的备考：一是准确掌握数列中a n 与S n之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；四是在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[应用体验](2017·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)．(1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n ＝211－2n －1.(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2.当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.[课时跟踪检测] 1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －12d ＝n 2＋3n4.2．(2017·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1.(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1. (2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1) ＝2×(1＋3＋32＋ (3))－(n ＋1) ＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.3．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＝2a n －a 1，①∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；② ①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3， ∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＝2n.(2)∵a n ＝2n，∴S n ＝2a n －a 1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋12n ＋1－22n ＋2－2＝1212n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1＝2n －12n ＋1－1.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n＋1.(1)求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝b n2n ＋1＋1nn ＋1，其中n ∈N *，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝－3a 1＋4，得a 1＝1，由a n ＝－3S n ＋4，知a n ＋1＝－3S n ＋1＋4，两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝2n .。

(通用版)高考数学二轮复习第一部分专题二数列教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题二数列[研高考·明考点]常考点1.等差、等比数列的基本运算(3年6考)2.等差、等比数列的性质(3年3考)常考点高考对数列的考查假设只出现在解答题中时，常以数列的相关项以及关系式，或a n 与S n 的关系入手，结合等差、等比数列的定义展开考查，题型主要有：1.等差、等比数列基本量的运算2.数列求和问题3.等差、等比数列的判断与证明偶考点1.数列的递推关系式2.等差与等比数列的综合应用问题偶考点数列与其他知识的综合问题第一讲小题考法——等差数列与等比数列考点(一) 主要考查方式有两种：一是利用a n 与S n 的关系求通项a n 或前n 项和S n ；二是利用a n 与a n ＋1的关系求通项a n 或前n 项和S n .数列的递推关系式[典例感悟][典例] (1)(2017·云南调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1(2)(2017·成都模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.[解析] (1)当n ＝1时，4×(1＋1)×(a 1＋1)＝(1＋2)2×a 1，解得a 1＝8.当n ≥2时，4(S n＋1)＝n ＋22a nn ＋1，那么4(S n －1＋1)＝n ＋12a n －1n，两式相减得，4a n ＝n ＋22a nn ＋1－n ＋12a n －1n，整理得，a n a n －1＝n ＋13n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n ＋13n 3×n 3n －13×…×3323×8＝(n ＋1)3.检验知，a 1＝8也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.(2)根据a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n ，①有a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －12＝a n －1，②①－②得，a nn2＝a n －a n －1，即n 2a n －1＝(n 2－1)a n ，所以a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2n ＋1n －1，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×222＋12－1×323＋13－1×…×n 2n ＋1n －1＝22×32×42×…×n 22－12＋13－13＋14－14＋1…n －1n ＋1＝22×32×42×…×n21×3×2×4×3×5×…×n －1×n ＋1 ＝2n n ＋1. [答案] (1)A (2)2n n ＋1[方法技巧]由a n 与S n 的关系求通项公式的须知(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，那么需统一表示(“合写〞)．(3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，那么数列的通项公式应分段表示(“分写〞)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[演练冲关]1．(2018届高三·广东五校联考)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，那么1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝( )A.2 0171 009 B.2 0151 008 C.2 0162 017 D.2 0152 016解析：选 A 由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝n －1n ＋22，所以a n ＝n 2＋n2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017＝211－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝2 0171 009，应选A. 2．(2017·石家庄质检)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，那么{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845D ．1 830解析：选D 不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以{a n }的前60项和为S 60＝30＋2×30＋30×30－12×4＝1 830.3．设数列{a n }的前n 项和为S n .假设S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，那么S 5＝________. 解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.答案：121考点(二)主要考查与等差比数列的通项公式、前n 项和公式有关的五个基本量间的“知三求二〞运算.等差、等比数列的基本运算 [典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，那么a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97(2)(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.假设a 2，a 3，a 6成等比数列，那么{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8(3)(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .S 3＝74，S 6＝634，那么a 8＝________.[解析] (1)∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，应选C. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，那么d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. (3)设等比数列{a n}的公比为q ，那么由S 6≠2S 3，得q ≠1，那么⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，那么a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] (1)C (2)A (3)32[方法技巧]等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．[演练冲关]1．(2017·合肥质检)假设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，那么a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.应选C.2．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，那么a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，那么a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－83．(2018届高三·河南十校联考){a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，假设S 8＝4S 4，那么a 10＝________.解析：∵{a n }是公差为1的等差数列， ∴S 8＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.答案：192考点(三) 主要考查利用等差、等比数列的性质求解基本量及与前n项和有关的最值问题.等差、等比数列的性质[典例感悟][典例] (1)(2017·云南调研)数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，假设a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，那么S12＝( )A．40 B．60C．32 D．50(2)(2017·长沙模拟)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，那么a23＋2a2a6＋a3a7＝( )A．4 B．6C．8 D．8－4 2(3)(2018届高三·湖南名校联考)假设{a n}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，那么使前n项和S n>0成立的最大正整数n是( )A．2 016 B．2 017C．4 032 D．4 033[解析] (1)由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，应选B.(2)在等比数列{a n}中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8，应选C.(3)因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝4 032a1＋a4 0322＝4 032a2 016＋a2 0172>0，S4 033＝4 033a1＋a4 0332＝4 033a2 017<0，所以使前n项和S n>0成立的最大正整数n是4 032，应选C.[答案] (1)B (2)C (3)C[方法技巧]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．[演练冲关]1．等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项和等于前5项和，假设a m ＋a 6＝0，那么m ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．2解析：选A 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由题意S 10＝S 5，所以S 10－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，又a 6＋a 10＝a 7＋a 9＝2a 8，于是a 8＝0，又a m ＋a 6＝0，所以m ＋6＝2×8，解得m ＝10.2．(2017·合肥质检)数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n.假设对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选A 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a n a n＝1＋1a n ，又对任意的n ∈N *都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0，a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<0，9＋a －1>0，解得－8<a <－7.3．假设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，那么ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50[典例感悟][典例] (1)(2018届高三·西安八校联考)数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，假设a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，那么tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值为( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ． 3(2)设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是等比数列，记数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n .假设a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，那么a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. [解析] (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. (2)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q . 由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4b 5＋b 5q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝－6a 5.故a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 5＋2d b 5q 2＋b 5＝2a 5＋2－6a 525a 5＋a 5＝－10a 526a 5＝－513. [答案] (1)A (2)－513[方法技巧]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法〞求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．[演练冲关]1．(2017·云南调研)数列{a n }是等差数列，假设a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，那么q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，得2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，所以a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列．又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5，q ＝a 3－3a 1－1＝1. 2．(2017·望江调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝0，S 15＝25，那么nS n 的最小值为( )A ．－47B ．－48C ．－49D ．－50解析：选C 由得⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又6<203<7，从而检验n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49.所以nS n 的最小值为－49.3．(2017·太原模拟)设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－a 22为a 1，a 3的等差中项，那么a 7＋a 8＋a 9＝________.解析：依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，由等比数列的性质，知数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－S 6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8.答案：8[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1(q ≠0)前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q；na 1＋n n －12d2．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (二) 二级结论要用好 1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd .(3)连续k 项的和(如S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…)构成的数列是等差数列．(4)假设等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，那么所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1. (5)假设等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，那么所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. [针对练1] 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，那么该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论 (1)a n ＝a 1qn －1＝a m qn －m；p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)假设等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，那么S 偶S 奇＝q . (5)对于等比数列前n 项和S n ，有： ①S m ＋n ＝S m ＋q mS n ；②S m S n ＝1－q m 1－q n(q ≠±1)． (三) 易错易混要明了数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.[针对练2] 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，那么该数列的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又当n ＝1时，2×1－1＝1≠2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，那么a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.应选B.2．(2017·兰州模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝2，a 8＋a 10＝28，那么S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝9a 1＋a 92＝72.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．假设a 4＋a 5＝24，S 6＝48，那么{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，假设S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，那么公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，那么a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，那么S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8.6．(2018届高三·湖南十校联考)S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，那么S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8a 1＋a 82＝8a 4＋a 52＝92. 7．数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1.假设a 1＝35，那么a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，应选A.8．假设等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，那么前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，那么第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，那么1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，那么a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 31＋q2a 41＋q 2＝1q＝25＋1＝5－12，应选A. 10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，那么该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选Ba n a 2n ＝a 1＋n －1d a 1＋2n －1d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，假设a 1＝d ≠0，那么a n a 2n ＝12；假设a 1≠0，d ＝0，那么a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，假设存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，那么当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 假设a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，那么d >0，否那么假设d ≤0，数列是递减数列或常数列，那么恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .应选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，那么当n ∈N*时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n <0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝14.二、填空题13．(2017·合肥质检)数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，那么其前9项和S 9＝________.解析：由，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×1－291－2＝210－2＝1 022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，那么S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，那么S 2 017＝11 009. 答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，那么a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，那么由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p＋a q ，那么f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，那么有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n＋2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×1＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋12－n ＋1＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，那么f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292. 答案：292B 组——能力小题保分练1．假设a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选D 不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，那么a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.2．(2017·郑州质检)数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，那么实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，那么∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋14．(2017·兰州模拟)数列{a n }，{b n }，假设b 1＝0，a n ＝1nn ＋1，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，那么b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018.答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，假设S k ＝14，那么a k ＝________.解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋nn ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n＝1a n ＋1b n，那么数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a n b n ＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036.答案：4 036第二讲大题考法——数列[典例感悟][典例1] (2017·沈阳模拟)数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2. 因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·qn －1＝2×2n －1＝2n.(2)因为a n ＝2n ，b n ＝2n，所以a n ＋b n ＝2n ＋2n，所以S n ＝n 2＋2n2＋21－2n1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.[备课札记][方法技巧]等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，假设等比数列的公比不能确定，那么要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)． (1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1，∴a 2＝12.由题可得，2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.题型(二) 主要考查错位相减法求和、裂项相消法求和以及分组求和，且常结合数列的递推公式、周期等命题.数列求和问题[典例感悟][典例2] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，那么c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋21－4n1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n－1)．[备课札记][方法技巧]1．分组求和中分组的策略 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比； ②将两个和式错位相减； ③整理结果形式．[演练冲关]2．(2017·合肥质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n＋(2n ＋1)，∴T n ＝2×(4＋42＋ (4))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝2×41－4n1－4＋n 3＋2n ＋12＝83(4n －1)＋n 2＋2n .3．(2017·天津高考){a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.题型(三)主要考查等差数列与等比数列的定义、等差中项及等比中项，且常与数列的递推公式相结合命题.等差、等比数列的判定与证明 [典例感悟][典例3] (2017·成都模拟)数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . [解] (1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋4， ∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n， ∴a n ＝2n－4.当n ＝1时，a 1＝－2<0， ∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋...＋(2n －4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝21－2n1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，也满足上式． ∴数列{|a n |}的前n 项和S n ＝2n ＋1－4n ＋2.[备课札记][方法技巧]判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的某一常数．(2)中项公式法：①假设2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，那么{a n }为等差数列； ②假设a 2n ＝a n －1·a n ＋1≠0(n ∈N *，n ≥2)，那么{a n }为等比数列．[演练冲关]4．(2018届高三·东北三校联考)数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，那么b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 31－a n ＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.(2)由(1)知，1a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋n .5．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[解题通法点拨] 数列问题重在“归〞——化归、归纳[循流程思维——入题快]等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法，是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．[按流程解题——快又准][典例] (2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解题示范](1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2. 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，那么T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17 ＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.[思维升华] 对于数列的备考：一是准确掌握数列中a n 与S n 之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；四是在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[应用体验](2017·济南模拟)数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n＝211－2n －1.(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，那么T n ＝10n －n 2.当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.[课时跟踪检测] 1．(2018届高三·广西三市联考)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，那么b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －12d ＝n 2＋3n4.2．(2017·福州质检)等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.因为a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1. (2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1) ＝2×(1＋3＋32＋ (3))－(n ＋1) ＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.。

数学二轮复习板块2应试技巧必备学案含解析文

板块2 应试技巧必备活用4招解“中高档”解答题高考数学解答题的答题方式不同于选择题和填空题,解答题既要结果又要过程，考生必须严格按照推理的方式按部就班地进行解答和表述．因此对于基础性的解答题要做到“对而全”，防止被扣“步骤分”；对于中高档题目要学会“踩点得分”，也就是我们常说的“缺步解答、跳步解答、逆向解答和退步解答"．妙招1缺步解答——化繁为简，能解多少算多少如果遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。

特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法,每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”.结合示例：本例第1问是椭圆离心率的求解问题,难度较小，而第2问有一定难度,如果不能拿全分，可采用缺步解答，尽量多得分。

首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，若需要设直线方程,应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l的斜率不存在时，求出点Q的坐标为，这是每位考生都应该能做到的。

其次，联立直线方程与椭圆方程并设出M，N，Q的坐标，通过,得到,然后由x1＋x2及x1x2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到x2＝是完全可以做到的，到此已经可以得到9分。

另外,考虑到点Q在直线l上，将点Q坐标代入所设直线方程就能得到10y －22－3x2＝18,到此便可以得到10分。

到此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了.同学们可以根据此法求解下面的例题.[典例1］(12分)已知椭圆C:xa2＋错误!＝1（a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（－1，0）,F2(1,0），且椭圆C经过点P错误!.（1)求椭圆C的离心率；（2）设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点，且错误!＝错误!＋错误!，求点Q的轨迹方程．[规范解答］（1)由椭圆定义知,2a＝｜PF1｜＋|PF2｜＝错误!＋错误!＝2错误!,所以a＝错误!。

高三数学第二轮复习教案设计

高三数学第二轮复习专题教案设计《数列》（约2课时）一．复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二．基础再现1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法： ①若n a = 1a +（n －1）d = k a +（n －k ）d ，则{a n }为等差数列； ②若n a =k n k n q a q a --=11 ，则{a n }为等比数列。

(3)中项公式法：验证212-++=n n n a a a ,)(221++=n n n a a a ,n ∈N* 都成立。

3．在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a 1 >0,d <0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得S m 取最大值. (2)当a 1 <0,d >0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得S m 取最小值。

高考数学二轮复习专题2 函数与导数教案文

高考数学二轮复习专题2 函数与导数教案文专题二函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ．当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或．故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =．当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<，因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠．（1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．解析：（1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >，此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--，设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=，令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（） A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2．定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为．5．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3．答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++，由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-．（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-，故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-，令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩，所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解，由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

江苏省高考数学二轮复习课时正文教案学案课后训练

目录专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1第2讲函数、图象及性质3第3讲基本初等函数5第4讲函数的实际应用7第5讲不等式及其应用9第6讲导数及其应用11滚动练习(一)13专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质15第8讲三角变换与解三角形17第9讲平面向量及其应用19滚动练习(二)21专题三数列第10讲等差数列与等比数列23第11讲数列求和及其综合应用25滚动练习(三)27专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用29第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)31滚动练习(四)33专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积35第15讲点、直线、平面之间的位置关系37滚动练习(五)39专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计41第17讲算法、复数43滚动练习(六)45专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想47第19讲函数与方程思想49第20讲数形结合思想51第21讲转化与化归思想53滚动练习(七)55专题八高考数学题型训练第22讲高考题中的填空题解法57第23讲高考题中的解答题解法59滚动练习(八)61专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 命题“，有x 2>0”的否定是______________．2. 已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x|log 2x ＞1}，则M ∩N ＝________.3. 若命题“∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．4. 若集合A ＝{y|y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝{y|y ＝2－1x ，0<x ≤1}，则A ∩B ＝________.5. 已知a ，b 均为实数，设集合A ＝xa ≤x ≤a ＋45，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪b －13≤x ≤b，且A 、B 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集．如果把n －m 叫做集合{x|m ≤x ≤n}的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是________.6. 已知条件p ：x 2＋x －6<0，条件q ：mx ＋1>0(关于x 的不等式)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________________．7. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8. 设集合M ＝{(x ，y)|y ＝16－x 2}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋a}，若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______________．9.记函数f(x)＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g(x)＝lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B. (1) 求集合A ； (2) 若求实数a 的取值范围．10. 已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．第2讲函数、图象及性质1. 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)＝f(x＋2)恒成立，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则当x∈[2,3]时，函数f(x)的解析式为____________．2. 函数y＝xx－m在区间(1，＋∞)内是减函数，则实数m的取值范围是________.3. 若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.4. 定义在(－1,1)上的函数f(x)＝－5x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数a的取值范围为________．5. 函数f(x)＝|x－2|－1log2(x－1)的定义域为________．6. 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f(x)，若f(2)＝12，则f(2 012)＝________.7. 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的值为________．8. 已知t为实常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝________.9. 已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[－1,1](a∈R)．(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 判断g(x)的单调性；(3) 若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．10.设函数f(x)对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2，(1) 求证：f(x)是奇函数；(2) 试问在－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说明理由．第3讲基本初等函数1. lg 22＋lg2lg5＋lg50＝________.2. y ＝log a (2－ax)(a>0，a ≠1)在[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是________．3. 不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________.4. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必过定点坐标为________.5. 函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________.6. 函数f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a]，则f(x)的值域为________．7. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是________．8. 函数y ＝log a x ＋1(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn>0)上，则1m ＋1n的最小值为________．9. 已知函数f(x)＝12p x2－x＋3在区间[－1,2]上的最大值M，最小值m，当实数p为何值时2M＋m＝3.10.函数f(x)＝log a(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y＝f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y＝g(x)图象上的点．(1) 写出函数y＝g(x)的解析式；(2) 当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围．第4讲函数的实际应用1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f(x)＝2，则x ＝________.2. 一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本________．3. 方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的一根在(0,1)内，另一根在(2,3)内，则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f(x)＝a x －x －a (a>0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．5. 某公司将进价8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应定为每个________元．6. 已知函数f(x)＝ax ＋2a ＋1，当x ∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a 的取值范围是________________．7. 函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.8. 设函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c ，则下列命题中所有正确命题的序号是________．①当b<0时，f(x)在R 上有最大值；②函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；③方程f(x)＝0可能有4个实根；④一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，(a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f(x)≤18(x ＋2)2成立．(1) 证明：f(2)＝2；(2) 若f(－2)＝0，求函数f(x)的表达式；(3) 在(2)的条件下，设g(x)＝f(x)－m2x ，x ∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝14的上方，求实数m 的取值范围．10.有时可用函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，(x ≤6)，x －4.4x －4，(x>6)描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1) 证明：当x ≥7时，掌握程度的增加量f(x ＋1)－f(x)总是下降；(2) 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(取e 0.05≈4139)第5讲不等式及其应用1. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R )的部分对应值如下表，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是________.2. 已知关于x 的不等式ax ＋b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是________．3. 若变量x ，y 满足约束条件{ 3≤2x ＋y ≤9，≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．4.已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为________．5.若x>0，y>0且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是________．6.当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．7.已知变量x ，y 满足约束条件{ x －y ＋2≤0，≥1，＋y －7≤0，则yx的取值范围是________．8. 对一切正整数n ，不等式2x －1|x|>nn ＋1恒成立，则实数x 的取值范围是________．9. 某隧道长2 150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身长都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x 米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x 米的距离，其中a 为常数且12≤a ≤1，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) .(1) 将y 表示为x 的函数；(2) 求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．10.已知函数f(x)＝3x 2＋bx ＋c ，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋mx －2在(2，＋∞)上单调增，求实数m 的取值范围； (3) 若对于任意的x ∈[－2,2]，f(x)＋n ≤3都成立，求实数n 的最大值．第6讲导数及其应用1. 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则y＝f(x)的表达式是________________．(第2题)2. 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.3. 曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________．4. 设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，在P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是________.5. 已知函数f(x)＝lnx＋2x2＋ax＋1是单调递增函数，则实数a的取值范围是________6. 已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m ＝________.7. 若方程x3－3x＋a＝0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是________．8. 已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0 成立，则实数a＝________.9. 设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(1) 用t表示a，b，c；(2) 若函数y＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，求实数t的取值范围．10.已知a>0，b∈R，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)，g′(x)是f(x)，g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间[－1，＋∞)上恒成立．(1) 求实数b的取值范围；(2) 当b取最小值时，讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－1，＋∞)上的单调性．滚动练习(一)1. 幂函数f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f(8)＝________.2. 命题“x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．3. 已知函数f(x)＝{ －x ＋1，x<0，，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是________．4. 函数f(x)＝xx ＋1的最大值为________．5. 函数f(x)＝12ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)＋1x的定义域为________．6. 方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．7. 对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax>4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________．8. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则实数a ＝________.9. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．10. 设a>1，对于任意的x ∈[a,2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值范围为________．11. 如果条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，且p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．12. 设二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋a ，方程f(x)－x ＝0的两实根x 1和x 2满足0<x 1<x 2<1.(1) 求实数a 的取值范围；(2) 试比较f(0)·f(1)－f(0)与116的大小，并说明理由．13.水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V(t)＝⎩⎨⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1) 该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i －1<t<i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，同一年内哪几个月份是枯水期？(2) 求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)．14.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1x ，x ∈[－2，－1)，－2，x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12，－1x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2. (1) 求f(x)的值域；(2) 设函数g(x)＝ax －2，x ∈[－2,2]，若对于任意x 1∈[－2,2]，总存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，求实数a 的取值范围．专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. 把函数y ＝sinx(x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________.3. 已知函数f(x)＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________.4. 设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得到的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．5. 方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0一定有解，则实数a 的取值范围是________．(第6题)6. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值等于________．7. 设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎫π2x ＋π5，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．8. 定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cosx 的图象与y ＝5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．9. 已知函数f(x)＝－acos2x －23asinx·cosx ＋2a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求实常数a 、b 的值．10.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求函数f(x)的最值．第8讲三角变换与解三角形1. 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tanα＝________.2. 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sinA ＝13，则a ＝________.3. 若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝________.4. 已知α是第三象限角，且sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，则sin2α的值是________．5. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cosC ，则tanC tanA ＋tanCtanB ＝________.6. 设sinα＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值等于________.7. 在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cosC ＝1314，则最大内角的余弦值为________．8. 在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c)2，则sinA ＝________.9. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.已知a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.(1) 求△ABC 的周长； (2) 求cos(A －C)的值．10.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，且cosA ＝45.(1) 求sin 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2) 若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．第9讲平面向量及其应用1. 已知向量a ＝(3,4)，b 满足a ·b ＝0且|b |＝1，则b ＝________.2.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3.已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.4.O 为△ABC 中的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________.5.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.6. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.7.设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为________．8. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AmB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．(第8题)9. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cosA ，sinA)，且m ·n ＝0，(1) 求角A;(2) 若1＋sin2Bcos 2B －sin 2B ＝－3，求tanC.10.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝13，∠ADC ＝90°，且AB →·AC →＝50. (1) 求sin ∠BAD 的值；(2) 设△ABD 的面积为S △ABD ，△BCD 的面积为S △BCD ，求S △ABD S △BCD的值．(第10题)滚动练习(二)1. 设集合M ＝{m ∈Z |－3<m<2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝________.2. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x 3－2x ＋1，则f(1)＝________.3. cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4. 函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．5. 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．6. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.7. 定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为________．8. “m ＝－2”是函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)9. 已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是________.10. 已知函数f(x)＝x 2－cosx ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 21>x 22；③|x 1|>x 2；④x 1>|x 2|.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是________．(填上所有的可能情况)11. 已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0.(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12.已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．13.△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA ＝1213.(1) 求AB →·AC →；(2) 若c －b ＝1，求a 的值．14. 直角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，分别在AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．(第14题)专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值时的n 值是________．4. 等比数列{a n }的公比q>0, 已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.5. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．7. 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________.8. 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.9. 已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n＝b12＋b222＋…＋b n2n，求数列{b n}的前n项和S n.10.已知数列{a n}和{b n}满足：a1＝1，a2＝2，a n>0，b n＝a n a n＋1(n∈N*)，且{b n}是以q为公比的等比数列．(1) 证明：a n＋2＝a n q2；(2) 若c n＝a2n－1＋2a2n，证明：数列{c n}是等比数列；(3) 求和：1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋…＋1a2n－1＋1a2n.第11讲数列求和及其综合应用1. 数列1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)的前n 项和为________．2. 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝________.3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________T 16T 12成等比数列．4. 等差数列前p 项的和为q ，前q 项的和为p ，(p ≠q)则前p ＋q 项的和为________．5. 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n }的通项公式b n＝________.6. 设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为________．7. 数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a)n ＋6＋2a(其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是________．8. 数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3，其前n 项和为S n ，则S 30＝________.9. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(1＋λ)－λa n ，其中λ≠－1,0. (1) 证明：数列{a n }是等比数列；(2) 设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝12，b n ＝f(b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求数列{b n }的通项公式；(3) 记λ＝1，c n ＝a n ⎝⎛⎭⎫1b n－1，求数列{c n }的前n 项和T n .10.已知数列{a n }的首项为a(a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a(t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求实数a 的取值范围；(3) 当t ≠1时，若c n ＝2＋∑i ＝1nb i ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t)．滚动练习(三)1. 设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{1,3}，则(A ∪B)＝________.2. 设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝csinC ，那么∠A＝________.3. 在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝60，则2a 9－a 10的值为________．4. 若函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为________.5. 若函数f(x)＝xmx 2＋mx ＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．6. 已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －9≤0，则z ＝x ＋y 的最大值是________．7. 函数y ＝x －2cosx 在(0,2π)内的单调减区间为________.8. 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，b －a)，n ＝(a －c ，b)，若m ⊥n ，则∠C 等于________．9. 已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0，－2)，B(－3,2)是其图象上的两点，那么不等式|f(x －2)|>2的解集是________．10. 已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －t (a n ≥t )，t ＋2－a n (a n<t )，且t<a 1<t ＋1，其中t>2，a n ＋k ＝a n (k ∈N *)，则实数k 的最小值是________．11.设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(x ＋π)cosx(x ∈R )． (1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函数y ＝f(x)的图象向右平移π4个单位后再向上平移32个单位得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．12.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1) 求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2) 设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M进行更新，证明：须在第9年初对M 进行更新．13.已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若x ＝23时，y ＝f(x)有极值．y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010. (1) 求a ，b ，c 的值；(2) 求y ＝f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且－1，S n ，a n ＋1成等差数列，n ∈N *，a 1＝1.函数f(x)＝log 3x.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与512－2n ＋5312的大小．专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用1.过点(1，－2)且倾斜角是120°的直线方程是________________．2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．3.若圆心在x轴上、半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________________．4.点(2,3)到圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点的距离的最大值是________．5.已知圆x2＋y2－2x－2y＝0上恰有3个点到直线x＋y＋a＝0的距离等于22，则实数a＝________.6.若直线y＝kx－2与圆x2＋y2＝2相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，实数k的值为________．7.若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．8.已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2与圆C1外切，且与直线x＝3切于点(3,1)，则圆C2的方程为________________．9. 已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆经过原点O ，且分别交x 轴，y 轴于点A ，B.点A ，B 与点O 不重合．(1) 求证△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，OM ＝ON ，求圆C 的方程．10.已知过点A(0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，相交于M 、N 两点．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 求证：AM →·AN →是定值；(3) 若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 抛物线x ＝4y 2的焦点坐标是________．2.离心率为53，一条准线方程为x ＝3，中心在坐标原点的椭圆方程是________．3.若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．4.已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x －y ＝0，则该双曲线的标准方程为________．5.△ABC 中，A(－2,0)，B(2,0)，且AC 、AB 、BC 成等差数列，则点C 的轨迹方程是________________.6.已知直线mx ＋ny ＝2(m>0，n>0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，当1m ＋2n 取最小值时，双曲线x 2m 2－y 2n2＝1的离心率是________．7.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C 在双曲线的右支上，则sinA －sinBsinC的值是________．9. 离心率为45的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上有一点M 到椭圆两焦点的距离之和为10.以椭圆C 的右焦点F(c,0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT ，T 为切点，且点P 满足|PT|＝|PB|(B为椭圆C 的上顶点)．(1) 求椭圆的方程；(2) 求动点P 的轨迹的方程．10. 如图，已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M.(1) 若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(2) 设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点坐标为(0,9)时，求这个圆的方程．(第10题)滚动练习(四)1. 设全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{－2，－1,0}，B ＝{0,1,2}，则(A)∩B ＝________.2. 已知函数f(x)在区间[a ，b]上连续，则f(a)·f(b)<0是函数f(x)在区间(a ，b)上有零点的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)3. 函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的定义域是________．4. 函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f(1)＋f ′(1)＝________.5. 函数f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3的值域是________．6. 设f(x)为偶函数，且对任意的正数x 都有f(2＋x)＝－f(2－x)，若f(－1)＝4，则f(－3)等于________．7. 若直线ax ＋2by －2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值是________.8. △ABC 中，∠ACB ＝60°，sinA ∶sinB ＝8∶5，则以A 、B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率是________．9. 设e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量. 已知OM →＝e 1，ON →＝e 2，OP →＝x·OM →＋y·ON →(x ，y 为实数). 若△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则x －y 的取值集合是________．10. 已知函数f(x)＝cosx ，g(x)＝sinx ，记S n ＝2∑k ＝12nf ⎝⎛⎭⎫(k －1)π2n －12n ∑k ＝12n g ⎝⎛⎭⎫(k －n －1)π2n ，T m ＝S 1＋S 2＋…＋S m (m ∈N *)，若T m <11，则m 的最大值为________．11. 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R )，至少有一个负的实根的充要条件．12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC ＝3acosB －ccosB.(1) 求sinB 的值；(2) 若BA →·BC →＝2，b ＝22，求a 和c 的值．13.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，M 、N 是椭圆右准线上的两动点，且F 1M →·F 2N →＝0.(1) 判定原点O 与以MN 为直径的圆的位置关系；(2) 设椭圆离心率为12，MN 的最小值是215，求椭圆方程．14.已知函数f(x)＝x 3a 2图象上斜率为3的两条切线间的距离为2105，函数g(x)＝f(x)－3bxa 2＋3.(1) 若函数g(x)在x ＝1处有极值，求g(x)的解析式；(2) 若函数g(x)在区间[－1,1]上为增函数，且b 2－mb ＋4≥g(x)在区间[－1,1]上都成立，求实数m 的取值范围．专题五空间立体几何第14讲空间几何体的表面积与体积1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________．2. 在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．3. 底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________m2.4. 用半径为10 2 cm，面积为1002π cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计), 则该容器盛满水时的体积是________．(第5题)5. 如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面运动一周回到B点，则质点B运动所走的最短路程为________6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们面积分别是6 cm2、4 cm2、3 cm2，那么它的外接球体积是________cm3.(第7题)7. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均等于1，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则该三棱柱的体积是________．8. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm，满盘时直径为120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．9. 在边长为6 cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．(1) 判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；(2) 求多面体E—AFNM的体积．(第9题)10.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱. 求圆柱的侧面积，并求圆柱侧面积最大时x的值．第15讲点、直线、平面之间的位置关系1. 直线与平面的位置关系有________、________和________，其中________和________统称为直线在平面外；平面与平面的位置关系有________________．2. 过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．3. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的有________．(填上所有正确命题的序号)① l1⊥l2，l2⊥l31∥l3；② l1⊥l2，l2∥l31⊥l3；③ l1∥l2∥l31，l2，l3共面；④ l1，l2，l3共点1，l2，l3共面．4. 已知m、n、l是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中，正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；②若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；③若m∥β，，，则m∥n；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.(第5题)5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为BB1的中点，AC、BD交于点O，则D1O与平面AMC所成的角为________．6. 已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB ＝PC＝1 cm，则球的表面积为________cm2.7. 已知平面α、β、γ，直线l、m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么① m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．8. 设α、β为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，，则n∥α；②若α⊥β，α∩β＝m ，，n ⊥m ，则n ⊥β； ③若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β； ④若，，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中，所有真命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)9.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点．(1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2) 若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面A 1BD.(第9题)10.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中．(1) 若BB 1＝BC ，B 1C ⊥A 1B ，证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2) 设D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上的一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值．(第10题)滚动练习(五)1. 命题“∈R ，sinx>0”的否定是________________．2. 函数y ＝log a (x －3)(a>0，a ≠1)在(a ，＋∞)上单调增，则a 的取值范围是________.3.tan22.5°1－tan 222.5°＝________.4. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大小为________．5. 设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝abx ＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________．6. 下列说法中正确的是________________．(填上所有正确命题的序号) ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一个平面的两条直线平行；③若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则直线垂直于该平面； ④垂直于同一平面的两条直线平行．7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确的是________. (填上所有正确命题的序号)①⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，β∥γ∥γ；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ∥β⊥β；③⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n ，∥α；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，∥β；8.如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．9.f(x)是偶函数，在(－∞，0]上是减函数，若f(－1)<f(lgx)，则实数x 的取值范围是________．10.若平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |≤1，且以a 、b 为邻边的平行四边形的面积是12，则向量a 、b 的夹角θ的取值范围是________.11.已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将AED 折起，使DB ＝23，O 、H 分别为AE 、AB 的中点．(第11题)(1) 求证：直线OH ∥面BDE ； (2) 求证：面ADE ⊥面ABCE.12.如图，等边△ABC 与直角梯形ABDE 所在平面垂直，BD ∥AE ，BD ＝2AE ，AE ⊥AB ，M 为AB 的中点．(第12题)(1) 证明：CM ⊥DE ；(2) 在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN.13. 设点O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1) 求实数m 的值；(2) 求直线PQ 的方程．14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足：b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，且b 3＝11，前9项和为153.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＜k57对一切(n ∈N *)都成立的最小正整数k 的值；(3) 设n ∈N *，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，问是否存在m ∈N *，使得f(m ＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1. 某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，则其中支出在[50,60]元的同学人数有________．(第1题)2.样本数据11,8,9,10,7的方差是________．3.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 的值为________．5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：6.若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________．7. 右表是某工厂1至4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x。

高三数学第二轮数学专题复习全套教案

高三数学第二轮数学专题复习全套教案目标为高三学生提供一套完整的数学专题复教案，帮助他们加深对数学知识的理解和掌握，为高考做好准备。

复内容1. 函数与方程- 函数的概念和性质- 一次函数和二次函数的图像、性质及应用- 方程的根与解的判定- 一元一次方程组和一元二次方程的求解方法- 函数方程的解法和应用2. 三角函数- 三角函数的概念和性质- 常用三角函数的图像、性质及应用- 三角函数的基本关系式和恒等变换- 解三角函数方程和不等式的方法3. 数列与数学归纳法- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列的推导和应用- 数学归纳法的基本原理和应用- 常见数列问题的解法4. 三角比例和相似- 三角比例的性质和应用- 直角三角形和一般三角形的相似性质- 解三角形的基本方法和应用- 四边形的性质和计算教学安排1. 每个教题讲解时长约为30分钟，包括概念讲解和示例演练。

2. 每个专题分为3节课，共计9节课。

3. 每节课后设置10道练题，供学生完成并检查答案。

4. 每周安排一次模拟考试，让学生检验自己的研究成果。

教案编写原则1. 教案内容简明扼要，重点突出，不涉及复杂的法律问题。

2. 尽可能使用清晰简单的语言，避免使用过多的专业术语。

3. 引用的内容必须能够得到确认，并标明出处。

4. 鼓励学生积极参与讨论和解决问题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。

结语这份高三数学第二轮数学专题复全套教案旨在帮助学生复数学知识，强化概念和技巧的掌握。

教案内容简明扼要，注重培养学生的思考能力和解决问题的能力。

希望学生能够利用这份教案，全面提升数学水平，为高考取得好成绩做好准备。

> 注意：该文档的内容是根据提供的信息创作的，内容的准确性和可行性需要进一步核实确认。

高考数学二轮复习第二部分第一板块考前练2个送分专

第一板块考前练2个送分专题送分专题(一)集合与常用逻辑用语考点一集合[题组练透]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( )A ．A ∩B ＝{x |x <0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅ 解析：选A ∵集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}，故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．4．(2018届高三·西安八校联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x ≥1，N ＝{y |y ＝1－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]解析：选B 由2x ≥1得x －2x≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}；函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝(0,1]，故选B.5．(2017·洛阳统考)已知集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |e x>1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．[1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1]解析：选A 依题意得，A ＝{x |0<x <1}，则∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥1}，又B ＝{x |x >0}，故(∁R A )∩B ＝{x |x ≥1}＝[1，＋∞)，故选A.6．(2017·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A. 7.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，故选B. 8．(2017·云南统考)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆AB ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B 解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >52，所以B ⊆A ，故选A.[临考指导]集合运算中的3种常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象求解；(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．[易错提醒]在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．考点二充要条件的判断[题组练透]1．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．2．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若a ＝4，则直线l 1：4x ＋8y －8＝0，即x ＋2y －2＝0，直线l 2：2x ＋4y －4＝0，即x ＋2y －2＝0.此时两直线重合．反过来，若直线l 1与l 2平行，则满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2×8＝0，8×－a －a ×－8≠0，方程组无解，a 的值不存在．即“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的既不充分也不必要条件．3．(2017·惠州调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称，充分性不成立．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，必要性成立．故选C.4．(2017·南昌模拟)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋π3，β＝π3，有α>β成立，但sin α＝sin β，即“α>β”不是“sin α>sin β”的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝π3，β＝2π＋π6，有sin α>sin β成立，但α<β，即“α>β”不是“sin α>sin β”的必要条件．综上所述，“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．5．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．6．(2017·广州模拟)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x ，在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ≤1时，e x ≥ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1.由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件，故选B.[临考指导]判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．[易错提醒]“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .考点三命题真假的判定与命题的否定[题组练透]1．(2017·沈阳质检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( ) A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12 B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12D ．∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12”即可，故选D.2．(2017·合肥质检)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题C ．命题綈q ：∃x ∈R ，x 2≤0为假命题D ．命题綈q ：∃x ∈R ，x 2≤0为真命题解析：选D 全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题，故选D.3．以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0解析：选D 选项D 中綈p 应为：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.故选D.4．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：选B 因为命题p 为假，命题q 为真，所以p ∨q 为真命题．5．(2017·广东诊断)下列说法错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∀x ∈R ，均有x ＋ln x >1”的否定是“∃x ∈R ，x ＋ln x ≤1”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件解析：选D 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，全称命题的否定是特称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误，故选D.6．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是( )A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错；B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.[临考指导]命题真假的4种判定方法(1)一般命题p 的真假结合其涉及的相关知识判定．(2)四种命题真假的判定根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．[易错提醒]“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．送分专题(二)算法、复数、推理与证明2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在选择题第6～9题的位置上，难度中等偏下，都是考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、统计等知识．3．在全国卷中很少直接考查“推理与证明”，合情推理是考查重点，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．考点一算法[题组练透]1．(2017·陕西质检)如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图．若输出的a＝3，则输入的a，b不可能为( )A．6,9 B．3,3C．15,18 D．13,10解析：选D 该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行该算法后输出的a＝3，即输入的a，b的最大公约数为3，结合选项可知选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立；S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立；S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立；S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立；S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D 执行程序框图，S ＝0＋100＝100，M ＝－10，t ＝2；S ＝100－10＝90，M ＝1，t ＝3，S <91，输出S ，此时，t ＝3不满足t ≤N ，所以输入的正整数N 的最小值为2.4．(2017·合肥模拟)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C.5．(2018届高三·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016＋12 018的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 014?B ．i ≤2 016?C ．i ≤2 018?D ．i ≤2 020?解析：选C 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋12 016＋12 018，i ＝2 020，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016＋12 018，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2 018？”，故选C.6．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：选D 程序框图中A ＝3n －2n，且判断框内的条件不满足时输出n ，所以判断框中应填入A ≤1 000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n －2n >1 000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2.[临考指导]解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．[易错提醒]循环结构的两个注意点：(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环．考点二复数[题组练透]1．(2017·广东诊断)1＋2i 1－i 2＝( ) A ．－1－12i B ．1＋12i C ．－1＋12i D ．1－12i 解析：选C 1＋2i 1－i 2＝1＋2i －2i ＝1＋2i i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. 2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1.∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.3．(2017·广州模拟)复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B 因为(1＋i)2＋21＋i ＝2i ＋21－i 1＋i 1－i＝2i ＋1－i ＝1＋i ，所以复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是1－i ，故选B. 4．(2018届高三·湖南五市十校联考)已知复数z 满足1－z 1＋z＝－i ，则|z |＝( ) A ．1 B. 2C ．2D ．2 2解析：选A 由1－z 1＋z ＝－i ，得z ＝1＋i 1－i ＝1＋i 1＋i 1＋i 1－i ＝i ，则|z |＝1.故选A.5．(2017·成都模拟)若复数z 1＝a ＋i(a ∈R)，z 2＝1－i ，且z 1z 2为纯虚数，则z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选Az 1z 2＝a ＋i 1－i ＝a ＋i 1＋i 2＝a －1＋1＋a i 2为纯虚数，则a ＝1，所以z 1＝1＋i ，z 1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.6．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1， ∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0， ∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0， ∴a ＝0或b ＝0， ∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ， ∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．[临考指导]1．复数的相关概念及运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与向量OZ ―→对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．考点三推理与证明[题组练透]1．观察下列各式：32＋27＝22×317，33＋326＝32×3126，34＋463＝42×3163，…，若39＋9m ＝92×31m，则m ＝( )A ．80B ．81C ．728D ．729解析：选C 32＋27＝22×317＝22×3123－1，33＋326＝32×3126＝32×3133－1，34＋463＝42×3163＝42×3143－1，…，所以可归纳出3n ＋n n 3－1＝n 2×31n 3－1，所以39＋9m ＝92×31m＝92×3193－1，所以m ＝93－1＝729－1＝728.故选C.2．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷．游戏规则如下：一个方块下面有雷或没有雷，如果没有雷，掀开方块就会出现数字(如果数字是0，则省略)，此数字表明它周围的方块下面雷的个数(至多8个)．如图甲中的“3”表示它周围的八个方块下面有3个雷．图乙是张三玩的“扫雷”游戏的局部图，根据图乙中的信息可知，第一行七个方块中下面一定没有雷的有( )A ．DGEFB ．BDEFC ．BDGED ．AFGE解析：选B 由第三行最右边的“1”及其下方的“1”知它的右边有雷，所以D ，E ，F 下面均没有雷．由第三行最左边的“1”知它的左上方必定有雷，结合B 下方的“3”知它所在的方块周围有且仅有3个雷，结合C ，D 下方的“1”知C 下面一定有雷，B 下面一定没有雷，A 下面一定有雷，综上所述下面一定没有雷的方块有BDEF .故选B.3．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.4．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________________________．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋1226．(2017·宝鸡质检)我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B录像课，则称A录像课不亚于B录像课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．解析：记这5节录像课为A1～A5，先考虑2节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量，且A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2节；再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量，且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3节．以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5节．答案：5[临考指导]归纳推理的2种常见类型及相应的解决方法(1)数的归纳：包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳：主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解决此类问题的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．[易错提醒]在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．[专题跟踪检测]组合训练(一)一、选择题1．(2018届高三·广西三市联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，则A∩B＝( )A．{－1,1} B．{－1,3}C．{1,3} D．{3,1，－1}解析：选C ∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{1,3,5，…}，∴A∩B＝{1,3}．2．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )A．∅B．{x|2<x<3}C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x≤2}解析：选C 由题可得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝{x|2≤x<3}，故选C.3．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i ·2i＝－2，不是纯虚数； B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数； C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.4．(2017·宝鸡质量检测)已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 1>1且x 2>1可得x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，即“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分条件；反过来，由x 1＋x 2>2且x 1x 2>1不能推出x 1>1且x 2>1，如取x 1＝4，x 2＝12，此时x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，但x 2＝12<1，因此“x 1>1且x 2>1”不是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的必要条件．故“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分不必要条件，故选A.5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，则2z －z ＝21＋i －1＋i ＝21－i1＋i 1－i －1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.6．(2017·武昌调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：选D A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |2<x <5}，∴A －B ＝{0,1,2,5}． 7．下列命题中，真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．已知a ，b 为实数，则0<a <1,00；选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x＝x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由a b＝－1可推出a ＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是a b＝－1；选项D 为真命题，若0<a <1,01，故0<a <1,03；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3；第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,4，则输出的v 的值为( )A ．6B ．25C ．100D ．400解析：选C 输入n ＝3，x ＝4；第一步：v ＝1，i ＝3－1＝2；第二步：v ＝1×4＋2＝6，i ＝2－1＝1；第三步：v ＝6×4＋1＝25，i ＝1－1＝0；第四步：v ＝25×4＝100，i ＝0－1＝－1<0.程序结束，输出的v ＝100，故选C.10．(2017·张掖模拟)下列说法正确的是( ) A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”解析：选A 由1a <1，得a <0或a >1，反之，由a >1，得1a <1，∴“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴命题p 为真命题，则綈p 是假命题，故C 不正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．11．(2017·兰州模拟)图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出的i ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0；i ＝1，不满足a >b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2；i ＝2，满足a >b ，a ＝6－2＝4；i ＝3，满足a >b ，a ＝4－2＝2；i ＝4，不满足a >b ，满足a ＝b ，故输出的a ＝2，i ＝4.12．(2017·武昌调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一个人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．二、填空题 13．若复数a ＋3i1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：a ＋3i1＋i＝a ＋3i1－i1＋i 1－i ＝a ＋3＋3－a i2，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，∴a ＝－3.答案：－314．(2017·惠州调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为________．解析：法一：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3>－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；i ＝9，S ＝lg 19＋lg911＝lg 111＝－lg 11<－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i ＋2)，当i ＝9时，S ＝－lg(9＋2)<－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.答案：915.(2017·贵阳检测)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：法一：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.法二：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5516．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b 1，点(1，－1)处标b 2，点(0，－1)处标b 3，点(－1，－1)处标b 4，点(－1,0)处标b 5，点(－1,1)处标b 6，点(0,1)处标b 7，…，以此类推，则b 963处的格点的坐标为________．解析：观察已知点(1,0)处标b 1，即b 1×1，点(2,1)处标b 9，即b 3×3，点(3,2)处标b 25，即b 5×5，…，由此推断点(n ，n －1)处标b (2n －1)×(2n －1)，因为961＝31×31时，n ＝16，故b 961处的格点的坐标为(16,15)，从而b 963处的格点的坐标为(16,13)．答案：(16,13)组合训练(二)一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知i 为虚数单位，若实数a ，b 满足(a ＋b i)i ＝1＋i ，则a ＋b i 的模为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选B 依题意得a ＋b i ＝1＋i i ＝1－i ，所以|a ＋b i|＝|1－i|＝2，故选B.2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2017·郑州质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0解析：选A 依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”，故选A.4．(2018届高三·湖北七市(州)联考)集合A ＝{－1,0,1,2,3}，B ＝{x |log 2(x ＋1)<2}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1,2}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：选B B ＝{x |log 2(x ＋1)<2}＝{x |0<x ＋1<4}＝{x |－1<x <3}，而A ＝{－1,0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，故选D.6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |1<2x≤4，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(1,2] C ．{2} D ．{1,2}解析：选C 因为A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |1<2x≤4，x ∈N}＝{1,2}，所以A ∩B ＝{2}，故选C.7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或2解析：选B 当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.8．(2018届高三·湖北五市十校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为( )A ．－3B ．13C ．－12D ．2解析：选C 第1次循环，a ＝－3，i ＝2；第2次循环，a ＝－12，i ＝3；第3次循环，a ＝13，i ＝4；第4次循环，a ＝2，i ＝5；…所以循环周期为4，又2 018＝4×504＋2，故最后输出的a的值为－12.9．已知函数f(x)＝3ln(x＋x2＋1)＋a(7x＋7－x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由题意知f(x)的定义域为R，易知y＝ln(x＋x2＋1)为奇函数，y＝7x＋7－x为偶函数．当a＝0时，f(x)＝3ln(x＋x2＋1)为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件，故选C.10．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，所以仅有丁猜测正确，故选D.11．(2017·福州模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为( )A．4,7 B．4,56C．3,7 D．3,56解析：选C 对第一个循环结构，第一次循环：k＝1，m＝84，n＝56，m，n均为偶数；第二次循环：k ＝2，m ＝42，n ＝28，m ，n 均为偶数；第三次循环：k ＝3，m ＝21，n ＝14，因为m 不是偶数，所以结束第一个循环．又m ≠n ，所以执行第二个循环结构，第一次循环：d ＝|21－14|＝7，m ＝14，n ＝7，m ≠n ；第二次循环：d ＝|14－7|＝7，m ＝7，n ＝7，因为m ＝n ，所以结束循环．输出k ＝3，m ＝7，故选C.12．(2017·广东诊断)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′x .执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >2 0162 017，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B 由题意得，f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，所以g (x )＝1f ′x＝1x 2＋x ＝1xx ＋1＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，则S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.因为输出的结果S >2 0162 017，结合选项分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？”，故选B.二、填空题13．设复数z 满足z (2＋i)＝5i ，则|z －1|＝________. 解析：由题意，得z ＝5i 2＋i ＝5i 2－i 2＋i 2－i＝1＋2i ，所以|z －1|＝|2i|＝22＝2.答案：214．(2017·南昌模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．解析：S ＝3，i ＝1，i ≤7成立；S ＝3＋log 221＝3＋log 22，i ＝2，i ≤7成立；S ＝3＋log 221＋log 232＝3＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32＝3＋log 23，i ＝3，i ≤7成立；S ＝3＋log 23＋log 243＝3＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3×43＝3＋log 24，i ＝4，i ≤7成立；…；S ＝3＋log 28＝6，i ＝8，i ≤7不成立，跳出循环．S ＝log 26＝log 2(2×3)＝1＋log 23，输出S .答案：1＋log 2315．(2017·成都模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图①是一个形状不规则的封闭图形，图②是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图①和图②所截得的两线段长始终相等，则图①的面积为________．解析：类比祖暅原理，得图①的面积就是图②梯形的面积，即为1＋2×32＝92. 答案：9216．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π.他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12,24,48，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形……的面积，这些数值逐步地逼近圆的面积，刘徽一直计算到正一百九十二边形，得到了圆周率π精确到小数点后两位的近似值3.14.刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无限．这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．。

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第一板块考前练2个送分专题送分专题(一)集合与常用逻辑用语考点一集合 [题组练透]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A ∵集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}，故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．4．(2018届高三·西安八校联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x≥1，N ＝{y |y ＝1－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]解析：选B 由2x ≥1得x －2x≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}；函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝(0,1]，故选B.5．(2017·洛阳统考)已知集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |e x>1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．[1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1]解析：选A 依题意得，A ＝{x |0<x <1}，则∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥1}，又B ＝{x |x >0}，故(∁R A )∩B ＝{x |x ≥1}＝[1，＋∞)，故选A.6．(2017·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.7.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1<x <32，故选B.8．(2017·云南统考)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >52，所以B ⊆A ，故选A.[临考指导]集合运算中的3种常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象求解；(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．[易错提醒]在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．考点二充要条件的判断[题组练透]1．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．2．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若a ＝4，则直线l 1：4x ＋8y －8＝0，即x ＋2y －2＝0，直线l 2：2x ＋4y －4＝0，即x ＋2y －2＝0.此时两直线重合．反过来，若直线l 1与l 2平行，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2×8＝0，－a －a －，方程组无解，a 的值不存在．即“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y－8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的既不充分也不必要条件．3．(2017·惠州调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称，充分性不成立．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，必要性成立．故选C.4．(2017·南昌模拟)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋π3，β＝π3，有α>β成立，但sinα＝sin β，即“α>β”不是“sin α>sin β”的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝π3，β＝2π＋π6，有sin α>sin β成立，但α<β，即“α>β”不是“sin α>sinβ”的必要条件．综上所述，“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．5．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．6．(2017·广州模拟)已知命题p ：∃x >0，e x－ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x，在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 作出y ＝e x与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ≤1时，e x≥ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x－ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1.由函数f (x )＝－(a －1)x是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件，故选B.[临考指导]判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．[易错提醒]“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .考点三命题真假的判定与命题的否定[题组练透]1．(2017·沈阳质检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12D ．∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12”即可，故选D.2．(2017·合肥质检)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x ∈R ，x 2≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x ∈R ，x 2≤0为真命题解析：选D 全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题，故选D.3．以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0 解析：选D 选项D 中綈p 应为：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.故选D.4．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：选B 因为命题p 为假，命题q 为真，所以p ∨q 为真命题． 5．(2017·广东诊断)下列说法错误的是( ) A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∀x ∈R ，均有x ＋ln x >1”的否定是“∃x ∈R ，x ＋ln x ≤1”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件解析：选D 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，全称命题的否定是特称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误，故选D.6．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1”D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错；B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n>(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，故D 正确．故选D.[临考指导] 命题真假的4种判定方法(1)一般命题p 的真假结合其涉及的相关知识判定．(2)四种命题真假的判定根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．[易错提醒]“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．送分专题(二)算法、复数、推理与证明考点一算法[题组练透]1．(2017·陕西质检)如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图．若输出的a＝3，则输入的a，b不可能为( )A．6,9 B．3,3C．15,18 D．13,10解析：选D 该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行该算法后输出的a＝3，即输入的a，b的最大公约数为3，结合选项可知选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D 执行程序框图，S ＝0＋100＝100，M ＝－10，t ＝2；S ＝100－10＝90，M ＝1，t ＝3，S <91，输出S ，此时，t ＝3不满足t ≤N ，所以输入的正整数N 的最小值为2.4．(2017·合肥模拟)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495,135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C.5．(2018届高三·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016＋12 018的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 014?B ．i ≤2 016?C ．i ≤2 018?D ．i ≤2 020?解析：选C 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋12 016＋12 018，i ＝2 020，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016＋12 018，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2 018？”，故选C.6．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：选D 程序框图中A ＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n ，所以判断框中应填入A ≤1 000，由于初始值n ＝0，要求满足A ＝3n－2n>1 000的最小偶数，故执行框中应填入n ＝n ＋2.[临考指导]解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．[易错提醒]循环结构的两个注意点：(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环．考点二复数 [题组练透]1．(2017·广东诊断)1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i －2＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i. 2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.3．(2017·广州模拟)复数(1＋i)2＋21＋i 的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选B 因为(1＋i)2＋21＋i＝2i ＋－＋－＝2i ＋1－i ＝1＋i ，所以复数(1＋i)2＋21＋i的共轭复数是1－i ，故选B.4．(2018届高三·湖南五市十校联考)已知复数z 满足1－z1＋z＝－i ，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由1－z 1＋z ＝－i ，得z ＝1＋i1－i＝＋＋＋－＝i ，则|z |＝1.故选A.5．(2017·成都模拟)若复数z 1＝a ＋i(a ∈R)，z 2＝1－i ，且z 1z 2为纯虚数，则z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选Az 1z 2＝a ＋i 1－i＝a ＋＋2＝a －＋＋a2为纯虚数，则a ＝1，所以z 1＝1＋i ，z 1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.6．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1， ∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0， ∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0， ∴a ＝0或b ＝0， ∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ， ∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．[临考指导]1．复数的相关概念及运算的技巧(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与向量OZ ―→对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．考点三推理与证明[题组练透]1．观察下列各式：32＋27＝22×317，33＋326＝32×3126，34＋463＝42×3163，…，若39＋9m ＝92×31m，则m ＝( )A ．80B ．81C ．728D ．729解析：选C 32＋27＝22×317＝22×3123－1，33＋326＝32×3126＝32×3133－1，34＋463＝42×3163＝42×3143－1，…，所以可归纳出3n ＋n n 3－1＝n 2×31n 3－1，所以39＋9m ＝92×31m＝92×3193－1，所以m ＝93－1＝729－1＝728.故选C.2．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷．游戏规则如下：一个方块下面有雷或没有雷，如果没有雷，掀开方块就会出现数字(如果数字是0，则省略)，此数字表明它周围的方块下面雷的个数(至多8个)．如图甲中的“3”表示它周围的八个方块下面有3个雷．图乙是张三玩的“扫雷”游戏的局部图，根据图乙中的信息可知，第一行七个方块中下面一定没有雷的有( )A ．DGEFB ．BDEFC ．BDGED ．AFGE解析：选B 由第三行最右边的“1”及其下方的“1”知它的右边有雷，所以D ，E ，F 下面均没有雷．由第三行最左边的“1”知它的左上方必定有雷，结合B 下方的“3”知它所在的方块周围有且仅有3个雷，结合C ，D 下方的“1”知C 下面一定有雷，B 下面一定没有雷，A 下面一定有雷，综上所述下面一定没有雷的方块有BDEF .故选B.3．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.4．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.5．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________________________．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋226．(2017·宝鸡质检)我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B录像课，则称A录像课不亚于B录像课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．解析：记这5节录像课为A1～A5，先考虑2节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量，且A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2节；再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量，且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3节．以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5节．答案：5[临考指导]归纳推理的2种常见类型及相应的解决方法(1)数的归纳：包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳：主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解决此类问题的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．[易错提醒]在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．[专题跟踪检测]组合训练(一)一、选择题1．(2018届高三·广西三市联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，则A∩B＝( )A．{－1,1} B．{－1,3}C．{1,3} D．{3,1，－1}解析：选C ∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{1,3,5，…}，∴A∩B＝{1,3}．2．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )A．∅B．{x|2<x<3}C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x≤2}解析：选C 由题可得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝{x|2≤x<3}，故选C.3．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数； C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.4．(2017·宝鸡质量检测)已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 1>1且x 2>1可得x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，即“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分条件；反过来，由x 1＋x 2>2且x 1x 2>1不能推出x 1>1且x 2>1，如取x 1＝4，x 2＝12，此时x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，但x 2＝12<1，因此“x 1>1且x 2>1”不是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的必要条件．故“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分不必要条件，故选A.5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，则2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.6．(2017·武昌调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：选D A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |2<x <5}，∴A －B ＝{0,1,2,5}． 7．下列命题中，真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．已知a ，b 为实数，则0<a <1,00；选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x＝x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由a b＝－1可推出a ＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是a b＝－1；选项D 为真命题，若0<a <1,01，故0<a <1,03；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3；第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.9．(2018届高三·湖北七市(州)联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,4，则输出的v 的值为( )A ．6B ．25C ．100D ．400解析：选C 输入n ＝3，x ＝4；第一步：v ＝1，i ＝3－1＝2；第二步：v ＝1×4＋2＝6，i ＝2－1＝1；第三步：v ＝6×4＋1＝25，i ＝1－1＝0；第四步：v ＝25×4＝100，i ＝0－1＝－1<0.程序结束，输出的v ＝100，故选C.10．(2017·张掖模拟)下列说法正确的是( ) A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”解析：选A 由1a <1，得a <0或a >1，反之，由a >1，得1a <1，∴“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴命题p 为真命题，则綈p 是假命题，故C 不正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．11．(2017·兰州模拟)图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出的i ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 执行程序框图，可得a ＝6，b ＝8，i ＝0；i ＝1，不满足a >b ，不满足a ＝b ，b ＝8－6＝2；i ＝2，满足a >b ，a ＝6－2＝4；i ＝3，满足a >b ，a ＝4－2＝2；i ＝4，不满足a >b ，满足a ＝b ，故输出的a ＝2，i ＝4.12．(2017·武昌调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一个人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．二、填空题 13．若复数a ＋3i1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：a ＋3i1＋i＝a ＋－＋－＝a ＋＋－a2，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，∴a ＝－3.答案：－314．(2017·惠州调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为________．解析：法一：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3>－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；i ＝9，S ＝lg 19＋lg911＝lg 111＝－lg 11<－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i ＋2)，当i ＝9时，S ＝－lg(9＋2)<－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.答案：915.(2017·贵阳检测)辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至东汉时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是欧几里得辗转相除法．若输入m ＝5 280，n ＝12 155，则输出的m 的值为________．解析：法一：依题意，当输入m ＝5 280，n ＝12 155时，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，m 除以n 的余数r ＝5 280，m ＝12 155，n ＝5 280，r ≠0；进行第二次循环时，m 除以n 的余数r ＝1 595，m ＝5280，n ＝1 595，r ≠0；进行第三次循环时，m 除以n 的余数r ＝495，m ＝1 595，n ＝495，r ≠0；进行第四次循环时，m 除以n 的余数r ＝110，m ＝495，n ＝110，r ≠0；进行第五次循环时，m 除以n 的余数r ＝55，m ＝110，n ＝55，r ≠0；进行第六次循环时，m 除以n 的余数r ＝0，m ＝55，n ＝0，r ＝0，此时结束循环，输出的m 的值为55.法二：依题意，注意到5 280＝25×3×5×11,12 155＝5×11×221，因此5 280与12 155的最大公因子是55，即输出的m 的值为55.答案：5516．如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b 1，点(1，－1)处标b 2，点(0，－1)处标b 3，点(－1，－1)处标b 4，点(－1,0)处标b 5，点(－1,1)处标b 6，点(0,1)处标b 7，…，以此类推，则b 963处的格点的坐标为________．解析：观察已知点(1,0)处标b 1，即b 1×1，点(2,1)处标b 9，即b 3×3，点(3,2)处标b 25，即b 5×5，…，由此推断点(n ，n －1)处标b (2n －1)×(2n －1)，因为961＝31×31时，n ＝16，故b 961处的格点的坐标为(16,15)，从而b 963处的格点的坐标为(16,13)．答案：(16,13)组合训练(二)一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知i 为虚数单位，若实数a ，b 满足(a ＋b i)i ＝1＋i ，则a ＋b i 的模为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选B 依题意得a ＋b i ＝1＋i i ＝1－i ，所以|a ＋b i|＝|1－i|＝2，故选B.2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2017·郑州质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0解析：选A 依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”，故选A.4．(2018届高三·湖北七市(州)联考)集合A ＝{－1,0,1,2,3}，B ＝{x |log 2(x ＋1)<2}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1,2}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：选B B ＝{x |log 2(x ＋1)<2}＝{x |0<x ＋1<4}＝{x |－1<x <3}，而A ＝{－1,0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，故选D.6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |1<2x≤4，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(1,2] C ．{2} D ．{1,2}解析：选C 因为A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |1<2x≤4，x ∈N}＝{1,2}，所以A ∩B ＝{2}，故选C.7．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或2解析：选B 当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.8．(2018届高三·湖北五市十校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为( )A ．－3B ．13C ．－12D ．2解析：选C 第1次循环，a ＝－3，i ＝2；第2次循环，a ＝－12，i ＝3；第3次循环，a ＝13，i ＝4；第4次循环，a ＝2，i ＝5；…所以循环周期为4，又2 018＝4×504＋2，故最后输出的a的值为－12.9．已知函数f(x)＝3ln(x＋x2＋1)＋a(7x＋7－x)，x∈R，则“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由题意知f(x)的定义域为R，易知y＝ln(x＋x2＋1)为奇函数，y＝7x＋7－x为偶函数．当a＝0时，f(x)＝3ln(x＋x2＋1)为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件，故选C.10．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，所以仅有丁猜测正确，故选D.11．(2017·福州模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为( )A．4,7 B．4,56C．3,7 D．3,56解析：选C 对第一个循环结构，第一次循环：k＝1，m＝84，n＝56，m，n均为偶数；第二次循环：k ＝2，m ＝42，n ＝28，m ，n 均为偶数；第三次循环：k ＝3，m ＝21，n ＝14，因为m 不是偶数，所以结束第一个循环．又m ≠n ，所以执行第二个循环结构，第一次循环：d ＝|21－14|＝7，m ＝14，n ＝7，m ≠n ；第二次循环：d ＝|14－7|＝7，m ＝7，n ＝7，因为m ＝n ，所以结束循环．输出k ＝3，m ＝7，故选C.12．(2017·广东诊断)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1fx.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >2 0162 017，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B 由题意得，f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，所以g (x )＝1f x＝1x 2＋x ＝1xx ＋＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，则S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.因为输出的结果S >2 0162 017，结合选项分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？”，故选B.二、填空题13．设复数z 满足z (2＋i)＝5i ，则|z －1|＝________. 解析：由题意，得z ＝5i2＋i ＝－＋－＝1＋2i ，所以|z －1|＝|2i|＝22＝2.答案：214．(2017·南昌模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．解析：S ＝3，i ＝1，i ≤7成立；S ＝3＋log 221＝3＋log 22，i ＝2，i ≤7成立；S ＝3＋log 221＋log 232＝3＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32＝3＋log 23，i ＝3，i ≤7成立；S ＝3＋log 23＋log 243＝3＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3×43＝3＋log 24，i ＝4，i ≤7成立；…；S ＝3＋log 28＝6，i ＝8，i ≤7不成立，跳出循环．S ＝log 26＝log 2(2×3)＝1＋log 23，输出S .答案：1＋log 2315．(2017·成都模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图①是一个形状不规则的封闭图形，图②是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图①和图②所截得的两线段长始终相等，则图①的面积为________．解析：类比祖暅原理，得图①的面积就是图②梯形的面积，即为＋2＝92. 答案：9216．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π.他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12,24,48，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形……的面积，这些数值逐步地逼近圆的面积，刘徽一直计算到正一百九十二边形，得到了圆周率π精确到小数点后两位的近似值3.14.刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无限．这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．。

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