2013高一数学必修1课件：2.4.1 函数的零点(新人教B版)

∴－1<b<0.
答案：(－1,0)
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7．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当 a＝0 时，函数为 y＝－x－1，显然该函数的图象与 x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点． (2)当 a≠0 时，函数 y＝ax2－x－1 是二次函数． 因为 y＝ax2－x－1 只有一个零点，所以关于 x 的方程 ax2－x －1＝0 有两个相等的实数根，所以 Δ＝0，即 1＋4a＝0，解得 1 a＝－ . 4 1 综上所述，a 的取值范围为{a|a＝0 或 a＝－ }． 4
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[例 2]
分别判断下列函数零点的个数，并说明理由：
2
1 (1)f(x)＝x ＋6x＋9；(2)f(x)＝x－x；
x＋1，x≥0， (3)f(x)＝ x－1，x<0.
[思路点拨]
由y＝f(x)与x轴公共点的个数或方程
f(x)＝0的实数根的个数来判断函数零点的个数．
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[精解详析]
x＋1，x≥0， y＝f(x)＝ x－1，x<0，
的图象，
因为函数图象与 x 轴没有公共点，
x＋1，x≥0， f(x)＝ x－1，x<0
故
没有零点．
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[一点通] 判断函数零点个数的主要方法：
(1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从 而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)· f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a，b) 上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．
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(3)法一：当 x≥0 时， 令 f(x)＝0，得 x＋1＝0， 解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾； 当 x<0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0， 解得 x＝1，与 x<0 矛盾．
x＋1，x≥0， f(x)＝ x－1，x<0
所以函数
没有零点．
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法二：画出函数 如图所示，
2
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5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且ac<0，判断函数零
点的个数．
解：法一：∵ac<0，
∴Δ＝b2－4ac>0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
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法二：∵f(0)＝c，∴ac＝af(0)<0，
a>0， ∴ f0<0， a<0， 或 f0>0.
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（ 1 ）函数是否有零点是针对相应方程是否有实数 根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．反映 在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y＝1，y＝ x2＋1就没有零点．
（ 2 ）判断函数的零点，可利用的结论：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线， 并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)· f(b)<0，则在 区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的 方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
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2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系 判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋ c(a>0)的图像
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判别式 Δ
Δ>0
Δ＝0 有两相等实根 b x1＝x2＝－ 2a
Δ<0 没有 实根
一元二次方程 ax2 有两相异实根 ＋bx＋c＝0 的根 二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c 的零点 x1，x2(x1<x2) 有两个零点 x1，x2

(8 分)
a＞0， 即 4a－4a＋1＋a－1＜0，
a＜0， 或 4a－4a＋1＋a－1＞0，
解得 0＜a＜5， ∴a 的取值范围为(0,5)． (10 分)
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[一点通] 解决此类问题可设出方程对应的函数，根
据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建
象，数形结合建立关于a的不等式组．
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[精解详析]
令 f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函
数 f(x)有两个零点，且一个零点大于 2，一个零点小于 2. ∴f(x)的大致图象如图所示：

(4 分)
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则a
a＞0， 应满足 f2＜0，
a＜0， 或 f2＞0，
解：(1)由f(x)＝0，得 x2－7x＋12＝0. Δ＝49－4×12＝1>0，
∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实
数根3,4. ∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.
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1 1 2 (2)由 x －x＝0，得 x ＝x.
2
令 h(x)＝x2(x≠0)， 1 g(x)＝x. 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象， 由图可知两函 数图象只有一个交点， 1 故函数 f(x)＝x －x只有一个零点．
立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要 注意分类讨论．
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6．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为
________．
解析：∵f(x)＝x＋b 是增函数，又 f(x)＝x＋b 的零点在区间 (0,1)内，
f0<0， ∴ f1>0. b<0， ∴ 1＋b>0.
理解教材新知
第 二 章
函 数
2. 4 函 数 与 方 程
2.4. 1 函 数 的 零 点
考点一
把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
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给定一元二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？ 提示：方程的根为－3,1.
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问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？
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[一点通] 函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)＝0，
可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点
的横坐标即为函数的零点．
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1．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax 的零点是________． 解析：∵f(x)＝ax－b的零点是3， ∴f(3)＝0，即3a－b＝0，也就是b＝3a. ∴g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)． ∴g(x)的零点为－1,0.
(1)函数 f(x)＝x2＋6x＋9 的图像为开口向上的
抛物线，且与 x 轴有唯一的公共点(－3,0)，所以函数 f(x)＝x2 ＋6x＋9 有一个零点． 1 (2)函数 f(x)＝x－x， 1 令 f(x)＝0，得 x－x＝0， 即 x2－1＝0，解得 x＝± 1， 1 所以函数 f(x)＝x－x有两个零点．
可知无论哪种情况，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴都有 两个交点，所以二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点.
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[例3]
(10分)已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－
1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实
数a的取值范围．
[思路点拨] 根据二次方程根的分布画出相应的函数图
答案：－1,0
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2．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x3－x2＋x－1；
(2)f(x)＝x4－2x2－3.
解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1) (x2＋1)＝0， 而 x2＋1≠0，故 x＝1，∴f(x)＝x3－x2＋x－1 的零点为 1. (2)由 f(x)＝x4－2x2－3＝(x2－3)(x2＋1)＝(x＋ 3)· (x－ 3)(x2＋ 1)，而 x2＋1≠0，得 x＝± 3. ∴f(x)＝x4－2x2－3 的零点为 3，－ 3.
提示：交点为(－3,0)，(1,0)． 问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？ 提示：相等． 问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数 值符号有什么特点？ 提示：在每一交点两侧函数值符号异号．
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1．函数的零点：
如果函数y＝f(x)在实数α处的值 等于零，即 f(α)＝0 ，
则α 叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共 点是 (α，0) ．
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4 3．函数 f(x)＝x－x的零点有 A．0 个 C．2 个
4 解析：令 f(x)＝0，得 x－x＝0. ∴x＝± 2. 故 f(x)的零点有 2 个．
( B．1 个 D．无数个
)
答案：C
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4．判断下列函数的零点个数： (1)f(x)＝x2－7x＋12； 1 (2)f(x)＝x －x.
2
有一个二重零 没有 点 x1＝x2 零点
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(1)并非所有的函数都有零点，若函数y＝f(x)有零点， 则零点一定在函数定义域内．
(2)函数的零点其实就是函数y＝f(x)图像与x轴交点
的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．
(3)若c是函数y＝f(x)的零点，则一定有f(c)＝0.
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[例1] 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1. [思路点拨] 根据函数零点与相应方程的根之间的关系
知，求函数的零点就是求相应方程的根．
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[精解详析]
(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1. 故函数的零点是－1,1.