新一次函数和不等式组

一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。

课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。

一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y bkx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

一、一次函数与一元一次方程综合【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．例题精讲知识点睛一次函数与方程、不等式综合二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25y x=-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x=时，y的值；（3）求出当3y=-时，x的值；（4）观察图象，求出当x为何值时，0y>，0y=，0y<【例4】当自变量x满足什么条件时，函数23y x=-+的图象在：（1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数41y x=-+的图象在：（1）x轴上方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【例5】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <【巩固】一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例6】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围； （4）当21y -<<时，x 的值范围．【巩固】已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例7】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ）A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <【巩固】如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【巩固】直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例9】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例10】已知直线3y x=-与22y x=+的交点为（-5，-8），则方程组30220x yx y--=⎧⎨-+=⎩的解是________．【巩固】如图所示的是函数y kx b=+与y mx n=+的图象，求方程组kx b ymx n y+=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例11】已知方程组y ax cy kx b-=⎧⎨-=⎩（a b c k，，，为常数，0ak≠）的解为23xy=-⎧⎨=⎩，则直线y ax c=+和直线y kx b=+的交点坐标为________．【巩固】已知24xy=⎧⎨=⎩，是方程组73228x yx y-=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y=________和y=________的交点是________．【例12】阅读：我们知道，在数轴上，1x=表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x=表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y-+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x=+的图象，它也是一条直线，如图①．观察图①可以得出：直线1x=与直线21y x=+的交点P的坐标(1，3)就是方程组1210xx y=⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13xy=⎧⎨=⎩；在直角坐标系中，1x≤表示一个平面区域，即直线1x=以及它左侧的部分，如图②；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．(1)y=2x+1x=1x=1(2)(3)回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组122x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；2y 1=2x+1(4)⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示220y x y ⎪≤-+⎨⎪≥⎩所围成的区域．⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .1. 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．2. 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．3.已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ） A ．20y -<< B ．40y -<< C ．2y <- D ．4y <-课后作业4.已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x < C ．6x <- D ．6x >-5.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36. b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？7.已知一次函数6y kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．。

专题8 一次函数的应用（即方程（组）不等式（组）和一次函数的综合应用）一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。

1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．2.某销售商准备采购A、B两种型号的空气净化器，经调查，采购2台A型净化器和3台B型净化器共需花费11500元，且采购5台A型净化器和购进4台B型净化器所需的费用相等.（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少？（2）若销售商购进A型、B型净化器共50台，其中A型的台数不大于B型的台数，且不少于15台，设购进A型净化器a台.①求a的的取值范围；②已知A型的售价是2600元/台，B型的售价是3200元/台，设销售商售完50台净化器获得的利润为w，求w的最大值.3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台，已知购买3台空调和2台彩电花费2.32万元，购买2台空调和4台彩电需花费2.48万元。

（1）求每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）根据市场需要，这些空调、彩电很快全部售出，商场计划再次筹集资金12.8万元，一次性购买空调、彩电共30台，且可全部售出，在（2）的条件下，商场如何进货可获得最大利润，最大利润是多少元？4.某超市计划购进甲、乙两种玩具若干件，已知5件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价之和为141元.（1）求每件甲种玩具和每件乙种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0，且x为整数）件甲种玩具需花费y元，请求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，超市应选择购进哪种玩具最省钱.5.学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进15张甲办公桌和10张乙办公桌共花费15500元，购进8张甲种办公桌的费用与购买5张乙办公桌的费用相等.（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购进甲、乙两种办公桌共30张，且甲种办公桌不多于乙种办公桌数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.6.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？7.某地新建的一个企业，每月产生1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型污水处理器和3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型污水处理器和4台B型污水处理器的总价为42万元.（1）求每台A型污水处理器和B型污水处理器的价格分别是多少万元？（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的两种污水处理器共10台，请你设计出最省钱的购买方案，请求出最低费用.答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．由题意得：，解得：答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a≥，解得：a≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．。

一次函数与方程和不等式讲义(经典)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一次函数与方程和不等式讲义函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

1、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

2、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

3、正比例函数及性质一般地，形如y =kx (k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y =kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k >0时，直线y =kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k <0时，•直线y =kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y =kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k >0时，图像经过一、三象限；k <0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大，越接近y 轴；|k |越小，越接近x 轴 4、一次函数及性质一般地，形如y =kx ＋b (k ,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b =0时，y =kx ＋b 即y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y =kx +b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y =kx +b 的图象是经过（0，b ）和（－kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y =kx +b ,它可以看作由直线y =kx 平移|b |个单位长度得到.（当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移）（1）解析式：y =kx +b (k 、b 是常数，k ≠0 （2）必过点：（0，b ）和（－kb，0）（3）走向： k >0，图象经过第一、三象限；k <0，图象经过第二、四象限 b >0，图象经过第一、二象限；b <0，图象经过第三、四象限 ⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k | 越大，图象越接近于y 轴；|k | 越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b >0时，将直线y =kx 的图象向上平移b 个单位； （上加下减，左加右减） 当b <0时，将直线y =kx 的图象向下平移b 个单位.当b <0时，向下平移）.5、直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 （4）两直线垂直：k 1·k 2= –1 6、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax +b =0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y =ax +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k ,b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例，这就是说，在y=kx+b 中，当y=0时，即为一元一次方程. 9、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）任何二元一次方程ax+by=c (a ,b ,c 为常数，且a≠0,b≠0)都可以化为y=-a b x+ cb的形式，所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数；（2）从“数”的角度看，解方程组相当考虑求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线的交点坐标.10、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积一次函数y =kx ＋b 的图象与两条坐标轴的交点：与y 轴的交点（0，b ），与x轴的交点（kb-，0）.直线（b ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s =k b b k b 2212=⨯⨯ 例题讲解：探究类型之一 一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．类似性问题1、把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ） <m<7 <m<4 >1 <4探究类型之二 一次函数与一元一次不等式【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧； （3）第一象限．（2）已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例6】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少类似性问题1、 如图，函数1y =｜x ｜，2y =13x+43，当1y ＞2y 时，x 的取值范围是（ ）A. x ＜-1B. -1＜x ＜2C. x ＜-1或x ＞2D. x ＞22、 如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （-3，0），B （0，5）两点，则不等式-kx -b ＜0的解集为（ ） A. x ＞-3 B. x ＜-3 C. x ＞3 D. x ＜33、如图，直线y 1=kx+b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点 P （1，m ),则不等式组mx ＞kx+b ＞mx -2的解集是________.探究类型之三 一次函数、方程（组）、不等式（组）与几何等知识的综合例3、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（-1，-5），且与函数y=12x+1的图象相交于点A （83，a ）．（1）求a 的值；（2）求不等式组0＜kx+b ＜12x+1的正整数解；（3）若函数y=kx+b图象与x轴的交点是B，函数y＝12x+1的图象与y轴的交点是C，求四边形ABOC的面积．例4、如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求直线l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．类似性问题1．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x（cm），应付给个体车主的月费用为y1元，•应付给汽车出租公司的月费用为y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内，租出租公司的车合算（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算2．某学校计划购买若干台电脑，•现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买电脑台数x之间的关系式是________．乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买电脑台数x之间的关系式是_________．（1）什么情况下到甲商场购买更优惠（2）什么情况下到乙商场购买更优惠（3）什么情况下两家商场的收费相同探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．问：让哪家公司制作这批宣传比较合算2．（学科内综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L）•与进水时间x（min）的函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L3．小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元．（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，•表示从现在起每个月存18元，争取超过小明．请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图像．半年以后小丽的存款数是多少能否超过小明•至少几个月后小丽的存款数超过小明4．（探究题）某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，•使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，•乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．（1）试分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式．（2）当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算一次函数与方程和不等式 课后练习1：一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则方程kx +b =0的解为( )A ．x =2B ．y =2C ．x =1-D ．y =1-2：一次函数y =ax +b 的图象如图所示，则不等式ax +b ＞0的解集是( ) A ．x ＜2 B ．x ＞2 C ．x ＜1 D ．x ＞13：已知一次函数y =ax +b 的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点(2，0)，则关于x 的不等式a (x 1)b ＞0的解集为( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞1 D ．x ＜14：如图，已知函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是 ．5：如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=-=⎧⎨⎩B ．121x y x y -=--=-⎧⎨⎩C ．121x y x y -=--=⎧⎨⎩D ．121x y x y -=-=-⎧⎨⎩6：(1)已知关于x 的方程mx +n =0的解是x =-2，那么，直线y =mx +n 与x 轴的交点坐标是 ．(2)如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y =kx +b 与直线OA ：y =mx 相交于点A (1，2)，则关于x 的不等式kx +b ＜mx 的解是 ．(3)如图，直线l 1和l 2的交点坐标为( ) A ．(4，2) B ．(2，-4) C ．(-4，2) D ．(3，1)7：(1)已知方程2x +1=-x +4的解是x =1，那么，直线y =2x +1与直线y =-x +4的交点坐标是 __ __ ．(2)在平面直角坐标系中，直线y =kx +1关于直线x =1对称的直线l 刚好经过点(3，2)，则不等式3x ＞kx +1的解集是__ __ ． (3)如图，直线l 1、l 2交于点A ，试求点A 的坐标．8：已知一次函数y1=kx+b和正比例函数y2＝1x的图象交于点A(2，m)，又一2次函数y1=kx+b的图象过点B(1，4)．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象写出y1＞y2的取值范围．9：如图，已知一次函数的图象经过点A(1，0)、B(0，2)．(1)求一次函数的关系式；(2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标．10：如图，已知直线y=kx+b经过点A(1，4)，B(0，2)，与x轴交于点C，经过点D(1，0)的直线DE平行于OA，并与直线AB交于点E．(1)求直线AB的解析式；(2)求直线DE的解析式；(3)求△EDC的面积．11：随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过140000元购进A、B两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于品牌价格A品牌电动摩托B品牌电动摩托进价(元/辆)40003000售价(元/辆)50003500设该商场计划进A品牌电动摩托x辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润y元．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)该商场购进A品牌电动摩托多少辆时获利最大，最大利润是多少。

一次函数与一元一次方程、不等式一、教材分析1、地位和作用本大节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后,从变化和对应的角度,对一次运算进行更深入的讨论,是站在更高起点上的动态分析。

通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系,用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识,加强知识间的横向和纵向联系,发挥函数的统领作用,构建和发展相互联系的知识体系。

本节课的主要内容是对前两小节内容的复习,但不是简单的回顾复习,而是居高临下的进行动态分析,使新旧知识融会贯通,加大学生对已经学习过的相关内容之间联系的认识,进一步体验函数的重要性,提高灵活分析问题和解决问题的能力。

2、教材的重点与难点：本节的教学重点是巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系；由于从图象的角度认识方程及不等式涉及到变化、对应以及数形结合的思想,这对学生来说有一定困难,所以本节的教学难点为从函数图象的角度认识一元一次方程及一元一次不等式。

二、目标分析：1、知识技能：充分利用图象巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。

2、数学思考：通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。

3、解决问题：能利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系,解决实际问题。

4、情感态度：（1）、通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探索,培养学生的探究精神,体会事物之间的相互联系；（2）、通过利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的联系解决实际问题,进一步感受数学的价值。

三、学法分析1、学生自主探索,思考问题,获取知识,掌握方法,真正成为学习的主体。

2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。

合作交流的友好氛围,让学生更有机会体验自己与他人的想法,从而掌握知识,发展技能,获得愉快的心理体验。

四、教法分析本节课以启发激励为主,让学生在习题的逐层升华中乐学、会学、善学。

19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。

第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式二、核心纲要直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=bk-，直线y=kx+b交x轴于点(bk-,0)，bk-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.注：(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.2.—次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.3.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)① 从“数”看，它是一个二元一次方程； ② 从“形”看，它是一条直线。

4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y =k 1x +b 1不平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1≠k 2.(2) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y =k 1x +b 1平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2. (3) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2,b 1=b 2.5.比较两个函数值大小的方法 (1) 画图像，求交点.(2) 过交点作平行于y 轴的直线. (3) 谁高谁大.6.数学思想数形结合和转化思想.本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.三、全能突破1.若直线y =(m -3)x +6与x 轴交于点(3,0)，则m 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图19-3-1所示，一次函数y =kx +b 的图像经过A 、B 两点，则kx +b ≥0的解集是( ) A. x >0 B. x ≥—3 C. x >2 D. -3≤x ≤23.已知ax +b =0的解是2,则直线y =ax +b 与x 轴的交点坐标是______。

第9讲一次函数与方程、不等式考点·方法·破译1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y ＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝a cxb b -+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b ＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为()A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．【变式题组】01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a ＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201mm m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________． 04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －2与y ＝kx ＋k 的交点为整点时，k 的取值可以取( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．解：由2y x y kx k =-⎧⎨=+⎩得21221k x kk y k +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，∵两直线交点为整数， ∴x 、y 均为整数，又当x 为整数时，y 为整数， ∴21k k +-为整数即可，2213311111k k k k k k k ++-+=-=-=------， ∵k －1是整数，∴k －1＝±1，±3时，x 、y 为整数， ∴k ＝－2，0，2，4． 所以选A ．【变式题组】01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q (p ≠q )，构成函数y ＝px －2和y ＝x ＋q ，并使这两个函数图象的交点在直线x ＝2的右侧，则这样的有序数对(p ，q )共有( ) A ．12对 B ．6对 C ．5对 D ．3对 02． (浙江竞赛试题)直线l ：y ＝px (p 是不等于0的整数)与直线y ＝x ＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l 有( ) A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 03． (荆州竞赛试题)点A 、B 分别在一次函数y ＝x ，y ＝8x 的图像上，其横坐标分别是a 、b (a ＞0，b ＞0)．若直线AB 为一次函数y ＝kx ＋m 的图象，则当ba是整数时，求满足条件的整数k 的值． 【例4】已知x 、y 、z 都为非负数，满足x ＋y －z ＝1，x ＋2y ＋3z ＝4，记ω＝3x ＋2y ＋z ．求ω的最大值与最小值．【解法指导】将x 、y 、z 中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x 、y 、z 的三元方程可变成关于x 、y 的二元方程，从而求出x 与y ，然后代入ω＝3x ＋2y ＋z 中，可得ω与z 的一次函数关系式，然后再求出z 的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．解：由已知得：1243x y z x y z +=+⎧⎨+=-⎩，∴5234x z y z =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝3x ＋2y ＋z ＝3(5z －2)＋2(3－4z )＋z ＝8z ．∵x 、y 、z 都为非负数，∴5203400z z z -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，∴2354z ≤≤，∴ω的最大值为8×34＝6，ω的最小值为8×25＝165．【变式题组】01． (荆州竞赛试题)已知x 满足不等式：31752233x xx -+--≥，|x －3|－|x ＋2|的最大值为p ，最小值为q ，则pq 的值是( )A ．6B ．5C ．－5D ．－102． 已知非负数a 、b 、c 满足条件：3a ＋2b ＋c ＝4，2a ＋b ＋3c ＝5．设S ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m ＝________．03． (黄冈竞赛试题)若x ＋y ＋z ＝30，3x ＋y －z ＝50，x 、y 、z 均为非负数，则M ＝5x ＋4y＋2z 的取值范围是( ) A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140【例5】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求△ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∵l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∵y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)．∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S △ABC ＝12×2×3＝3．演练巩固·反馈提高01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么△ABC 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________． 08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S △ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________． 10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________．11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________．13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l2、l1的解析式；⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，32 )．⑴求直线l2的解析式；⑵求S△ADC；⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．l2第14题图。

第17讲 一次函数与二元一次方程组、不等式知识导航二元一次方程组的解实质是求组成方程组的两个方程的公共解，也可以看作是求两条直线的交点坐标. 1.一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，因而也对应两条直线；从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.2.二元一次方程组的解法有代入法，加减消元法和图象法，图象法只是直观地反映了二元一次方程组的解在相应的一次函数图象上的点的坐标之间的关系.3.解一元一次不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0（a ≠0），相当于是某个一次函数y ＝ax ＋b 的值大于0或小于0时，求自变量x 的取值范围.【板块一】一次函数与一元一次方程方法技巧由于任何一元一次方程都可转化为kx ＋b ＝0（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值；从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx ＋b 确定它与x 轴交点的横坐标的值.题型一 直线与坐标轴的交点【例1】(1)直线y ＝kx ＋b 过点A （0,－3）和点B （2，0），则关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是（ ) A .x ＝2 B .x ＝－2 C .x ＝3 D .x ＝－3 (2)直线y ＝k 1x ＋1和直线y ＝k 2x －3的交点在x 轴上，则12k k ＝（ ） A . 13 B .－3 C .13D .3【例2】(1)关于x 的方程x ＋b ＝－2的解为x ＝1，则函数y ＝x ＋b ＋2与x 轴交点坐标为______________； (2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A （2，1），则直线y ＝kx ＋b －1与x 轴交点B 的坐标是______________.针对练习11.一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是_____________，关于x 的方程kxx2.不论m为何值，直线y=（m－1）x＋m一定经过一个定点，则这个定点的坐标为______________.3.如图，在口ABCD中，点A（-1，0），B（3，0），D（0，3），AC，BD交于点'O.(1)求点'O的坐标；(2)若直线y＝kx－1，将口ABCD的面积分成两等份，求k的值.x板块二一次函数与二元一次方程组题型二求两条直线的交点【例1】用作图象的方法解方程组27 38 x yx y【例2】已知函数y＝1(1)1(10)1(00)1(1)x xx xx xx x的图象为“W”型，直线y＝kx－k＋1与函数y的图象有三个公共点，则k的值是（）A.1或12B.0或12C.12D.12或－12题型三直线与直线的交点坐标位置与字母的取值范围【例3】已知直线l1：y＝－2x＋4与直线l2：y＝kx＋b（k≠0）交于点M，且直线l2与x轴的交点为A（－2，0）．（1）如图，若点M在第一象限，求k的取值范围；（2）若点M在第二象限，直接写出k的取值范围．针对练习21．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b），不解关于x，y的方程组1,, y xy mx n=+⎧⎨=+⎩请你直接写出它的解．2．无论m为何实数，直线y＝x＋2m与直线y＝－x＋4的交点一定不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若直线y＝kx＋3经过直线y＝4－3x与y＝2x－1的交点，求k的值．4．在夹击直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m＋1，m－1）．（1）试判断点P是否在一次函数y＝x－2的图象上，并说明理由；（2）如图，一次函数y＝132x-+的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，若点P在△AOB的内部，求m的取值范围．【板块三】一次函数与一元一次不等式（组）方法技巧 一元一次不等式求解：从数的角度看，求ax ＋b ＞0（a ≠0）的解即求x 为何值时，y ＝ax ＋b 的值大于0；从形的角度看，求ax ＋b ＞0（a ≠0）的解即确定直线y ＝ax ＋b 在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围，数形结合是解一次不等式（组）的重要方法． 题型四 观察图象求不等式的解．【例1】如图，函数y 1＝1x -和，y 2＝12x ＋1的图象相交于（0，1），（4，3）两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围＿＿＿＿＿＿．题型五 利用图象求不等式组的解【例2】（1）如图1，直线y ＝kx ＋b 经过点A （－1，3），与x 轴交于点B0），则关于x 的不等式组0≤kx ＋b ＜－3x 的解集为＿＿＿＿＿＿＿．图1 图2 图3 图4（2）如图2，直线y ＝kx ＋b 经过点A （－1，0）和B （3，－1）两点，则不等式组x －4＜kx ＋b ≤0的解集为＿＿＿＿＿．（3）如图3，直线y ＝kx ＋b 交x 轴于（－3，0），且过P （2，－3），则不等式组kx ＋b ≤－1，5x ＜0的解集为＿＿＿＿＿．（4）如图4，直线y ＝kx ＋b 经过A （2，0）和P （3，1）两点，则关于x 的不等式组1,3,x b kx kx b ⎧-≤⎪⎨⎪>-⎩ 的解集为＿＿＿＿． 【例3】如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A （0，2），且与直线y 2＝mx 交于点P （1，m ），求不等式组mx ＞kx ＋b ＞mx －2的解集．题型六隐藏的交点的运用【例4】（1）如图1，直线y＝kx＋b过A（2，1），B，0），则不等式组0≤kx＋b＜12x的解集为＿＿＿＿＿．（2）如图2，直线y＝kx＋b经过A（2，1），B（－1，－2）两点，求不等式组12x＞kx＋b＞－2的解集．图1 图2 题型七由不等的解集求交点坐标【例5】不等式kx＋b＞2x＋3的解集为x＞1，则方程组,23y kx by x=+⎧⎨=+⎩的解为＿＿＿．针对练习31．在平面直角坐标系中，直线y＝kx向下平移6个单位后刚好过点（－2，0），求不等式kx－6＞3x的解集．2．在平面直角坐标系中，将直线y＝kx＋2沿y轴翻折后刚好经过点（2，1），求不等式kx＋2＞x＋1的解集．3．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，m），（3，m＋2），直线y＝2x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿（用含m的式子表示）．4．如图，已知直线y＝kx＋b过（－2，3）和（－1，0），则x＋5＞kx＋b≥0的解集为＿＿＿＿＿．5．如图，A（2，1）为直线y＝kx＋b上一点，则不等式kx＋b＞x－1＞0的解集为＿＿＿＿．6．在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx与函数24,(3),2,(33),28,(3)x xy xx x+<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩的图象恰好有三个不同的交点，则k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．7．已知关于x的不等式kx＋b＞0的解集为x＞1，下列关于直线y＝kx＋b与x轴交点坐标与k的符号正确的是（）A．（1，0），k＞0 B．（1，0），k＜0 C．（－1，0），k＞0 D．（－1，0），k＜0 8．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4（n≠0）的交点的横坐标为－2，求关于x的不等式组－x＋m＞nx＋4n＞0的整数解集．。

例1 从2014年起，中国的鞋号已“变脸”，新的国家标准要求鞋号用毫米数标注．据了解大多数市民还不了解此新标准，小明对新旧鞋号的标注变化进行了对比研究，发现新标准鞋子毫米数y与旧鞋号x之间存在着一次函数关系，并得到相关数据如下：旧鞋号 x 36 38 40新标准毫米数y230 240 250（1）请你帮助小明根据上述数据归纳出新标准毫米数与旧鞋号标注之间的换算关系式，并用一句简明的数学语言来表示；（2）如果小明的爸爸穿的一双42号凉鞋坏了，准备买一双同样尺寸的新凉鞋，那么应买一双多少毫米数的新凉鞋？例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，•油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数解析式．（2）一箱油可供拖位机工作几小时？知识点2 图像法解决实际问题注：读图时一定要明确横纵坐标表示的量所代表的意义。

例3 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求yl 与y2的函数表达式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．二、典型例题题型1 运用一次函数的关系解决生活中的实际问题例 1 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数表达式；（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度；（3）若桌面上有若干个饭碗，整齐叠放成一摞，已测得它的高度为37.5cm，你能求出此时有多少个饭碗吗？题型2利用图表信息解决实际问题例2 某厂家生产两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？题型3 建立一次函数模型解决实际问题例3 某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售，已知买出的苹果数量x（kg）与收入y（元）的关系如下表：在平面直角坐标系中描点，观察点的分布情况，探求收入y（元）与买出数量x（kg）之间的函数关系式。

一元一次不等式与一次函数的关系
一元一次不等式与一次函数之间有着密切的联系，这一联系表现在以下几个方面：
一、当令一元一次不等式中等号左边的表达式为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式：
1. 一元一次方程组：
a. 当一元一次方程组中等式左右两边分别为一次函数时，可以将其化简为一次函数形式。

b. 两个一次方程涉及到同一个未知数时，可以最终得出结果，即将一元一次不等式化简为一次函数的形式。

2. 一元二次不等式：
a. 当一元二次不等式左边为一次函数时，也可以将其化简为一次函数形式。

b. 二次不等式的解也可以表现为一次函数的形式，即分段函数。

二、求解一元一次不等式可以利用一次函数的性质：
1. 关于一元一次方程：
a. 利用一次函数求函数图像实现一元一次方程的求解，从而得到不
等式的解。

b. 利用一次函数的性质验证不等式的正确性，从而得到不等式的解。

2. 关于一元二次方程：
a. 利用一次函数的对称性，判断不等式的大小，从而得到不等式的解。

b. 利用一次函数的单调性，得到不等式上下界，从而得到不等式的解。

综上所述，一元一次不等式与一次函数有着密切的联系，一元一次不
等式可以化简为一次函数形式，求解一元一次不等式也可以利用一次
函数的性质。

《19.2 一次函数》教学设计19.2.3 一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式教材分析本节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式的认识之后，从变化和对应的角度，对一次函数进行更深入的讨论，是站在更高起点上的动态分析．通过讨论一次函数与一元一次方程及不等式的关系，用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识，加强知识间的横向和纵向联系，发挥函数的统领作用．备课素材一、新知导入【复习导入】（1）按照“列表——描点——连线”的步骤画出一次函数y＝2x－3的图象；（2）观察一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点，指出当y＝0时，自变量x的取值是多少？它与方程2x－3＝0的解相同吗？它们之间有什么联系？（3）观察一次函数y＝2x－3的图象在x轴上方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？（4）观察一次函数y＝2x－3的图象在x轴下方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？【说明与建议】说明：复习一次函数图象的画法，把所列表格中的数据与函数图象中点的坐标结合起来，分析函数值的不同符号特征，与方程、不等式建立起联系．建议：用描点法画一次函数图象时，可以多列出几组数对，在x＝1的左右两侧分别列出3～4组对称的数对，再将其与函数图象对照，发挥数形结合思想的优势，使函数值的符号特征更加明显．二、命题热点命题角度1 利用一次函数图象求一元一次方程的解1.一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则方程ax＋b＝0的解为（A）A．x＝－2 B．y＝－2 C．x＝1 D．y＝1第1题图第2题图2.一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx＋b＝4的解是x ＝3Ｗ．命题角度2 利用一次函数图象求一元一次不等式的解集3.如图，已知直线y ＝kx －2，根据图象可知不等式kx －2＜0的解集是（C ） A ．x ＞1 B ．x ＞－2 C ．x ＜1 D ．x ＜－2第3题图 第4题图4.一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当0＜kx ＋b ＜3时，x 的取值范围为－4＜x ＜0．命题角度3 通过解一元一次方程确定一次函数的图象与坐标轴的交点坐标 5.已知直线经过点（1，2）和点（4，5）. （1）求这条直线的解析式；（2）求直线与坐标轴所围成的三角形面积． 解：（1）设直线解析式为y ＝kx ＋b ，把（1，2），（4，5）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，4k ＋b ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴这条直线的解析式为y ＝x ＋1.（2）如图，对于直线y ＝x ＋1， 令x ＝0，则y ＝1； 令y ＝0，则x ＝－1. ∴A （0，1），B （－1，0）. ∴S △AOB ＝12 ×1×1＝12.∴直线与坐标轴所围成的三角形面积为12.教学设计课题 19.2.3 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 授课人 素养目标1.会用图象法解一元一次方程、一元一次不等式．2.经历用函数图象表示方程、不等式解集的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想．3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，发展学生辩证思维能力．4.体会数学知识的融会贯通，从不同方面认识事物的本质．教学重点理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系．教学难点根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.解方程4x＋1＝0；当自变量x为何值时，函数y＝4x＋1的值为0？2.解不等式3x＋6＞－2；当自变量x为何值时，函数y＝3x＋6的值大于－2？回顾旧知，更好地学习新知，为突破重难点做准备．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】（1）观察下面的一元一次方程与一元一次不等式，它们有什么共同之处？2x－2>0，2x－2＝0，2x－2<0.（2）上面的一元一次方程与一元一次不等式的解或解集，与一次函数y＝2x－2的图象有关系吗？师生活动：教师引导学生观察一元一次方程与一元一次不等式的左边，并与一次函数y＝2x－2的右边进行比较，让学生初步感知它们之间有一定的联系．通过直观观察这三个式子与一次函数的区别，联合一次函数的意义，使学生产生深入探究的欲望，更好地进入新课．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1.一次函数的图象与一元一次方程的解下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个方程进行解释吗？（1）2x＋1＝3；（2）2x＋1＝0；（3）2x＋1＝－1.观察、思考、分析、归纳，引导学生探索一元一次函数、一元一次不等式的关系，学生进一步体会数形结合思想，构建完整的知识体系．师生活动：教师引导学生从函数的角度看一元一次方程．学生小组讨论之后，派出代表汇报想法，教师帮助总结．归纳：解关于x的一元一次方程ax＋b＝k，就是求当y＝ax ＋b的函数值为k时对应的自变量的值．从数的角度看：求ax＋b＝0（a≠0）的解⇩x为何值时，y＝ax＋b的值为0？从形的角度看：求ax＋b＝0（a≠0）的解⇩确定直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标2.一次函数的图象与一元一次不等式的解集下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？你能把你得到的结论推广到一般情形吗？（1）3x＋2>2；（2）3x＋2<0；（3）3x＋2<－1.师生活动：教师引导学生类比一元一次方程，自主探究从函数的角度看一元一次不等式．归纳：利用图象求ax＋b＞0（a≠0）或ax＋b＜0（a≠0）的解集，就是求一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上方或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．活动三：开放训练、体现应【典型例题】例1 一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，根据图象信息可典型例题巩固新知，让学生进一步熟悉一用求得关于x的方程kx＋b＝3的解为（C）A.x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3例1题图例2题图例2 如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（C）A.x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3【变式训练】1.若一次函数y＝ax＋b的图象过点A（2，1），则ax＋b＝1的解是x＝2Ｗ．2.已知关于x的方程ax＋b＝2的解为x＝－5，则一次函数y＝ax＋b－2的图象与x轴交点的坐标为（－5，0）Ｗ．3.如图，直线y＝kx＋3经过点（2，0），则关于x的不等式kx＋3>0的解集是（B）A.x>2B.x<2C.x≥2D.x≤2师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．次函数与一元一次方程与一元一次不等式的关系，发展学生数形结合的思想，培养灵活地解决问题的能力．活动四：课堂检测【课堂检测】1.若关于x的方程4x－b＝0的解是x＝－2，则直线y＝4x－b一定经过点（C）A.（2，0） B．（0，－2） C．（－2，0） D．（0，2）2.若直线y＝2x＋b与x轴交于点A（－3，0），则方程2x＋b＝0的解是（A）A.x＝－3 B．x＝－2 C．x＝6 D．x＝－32通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．3.直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx＋b－1≥0的解集是（D）A.x≥2 B．x≥0 C．x≤2 D．x≤0第3题图第4题图4.如图，已知一次函数y＝kx＋b，观察图象回答下列问题：当x>2.5时，kx＋b>0；当x>3时，kx＋b>1.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．课堂小结1.课堂小结（1）本节课你学到了什么？有哪些体会与收获？（2）本节课你还有哪些疑惑？2.布置作业教材第99页第8题．注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．教学反思反思，更进一步提升．19.2 一次函数19.2.3 一次函数与方程、不等式第2课时一次函数与二元一次方程组教材分析函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型．用函数的观点看方程（组）与不等式，不仅能帮助学生加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美．本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义．备课素材一、新知导入【置疑导入】小聪和小惠去某景区游览，约好在“飞瀑”见面．上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发：沿景区公路去“飞瀑”，车速为36 km/h ，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26 km/h.（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？追问：当小聪追上小慧时，他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”？该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析式法？【说明与建议】 说明：通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决问题，在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．建议：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难．可用以下问题串引导学生进行分析：（1）两个人是否同时起步？（2）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？（3）这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？（4）如果用s 表示路程，t 表示时间，那么他们各自的解析式分别是什么？【情景导入】在河道A ，B 两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从A 码头匀速行驶到B 码头，同时货轮从B 码头出发，运送一批物资匀速行驶到A 码头，两船距B 码头的距离y （km ）与行驶时间x （min ）之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）A ，B 两个码头之间的距离是80km ；（2）已知货轮距B 码头的距离与行驶时间的函数解析式为y 1＝12 x ，求客轮距B 码头的距离y 2（km ）与时间x （min ）之间的函数解析式；（3）求出点P 的坐标，并指出点P 的横坐标与纵坐标所表示的实际意义．【说明与建议】 说明：通过学生熟悉的问题导入新课，培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识及学习兴趣．建议：引导学生建立函数模型，结合图象利用“数形结合”解决问题．二、命题热点命题角度1 利用两个一次函数图象求二元一次方程组的解1.如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是（C ）A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－1C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1第1题图 第3题图2.在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋11与直线y ＝13 x ＋53的交点坐标是（4，3），则方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝11，x －3y ＝－5 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3 ．命题角度2 利用两个一次函数图象求一元一次不等式的解集3.函数y ＝kx 与y ＝－x ＋3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx ＞－x ＋3的解集是x ＞1．命题角度3 利用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题4.某电信公司有两种上网费用的计算方式，方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基本费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费．设上网时间为x 分钟，所需费用为y 元．用函数方法解答何时两种计费方式费用相等．解：y A ＝0.1x ，y B ＝0.05x ＋20.函数图象如图所示．∴当每月上网时间为400分钟时，两种计费方式费用相等．教学设计课题19.2.3第2课时 一次函数与二元一次方程组授课人素养目标 1.理解一次函数的图象与二元一次方程（组）的关系．2.经历用函数观点分析二元一次方程（组）的过程，进一步体会类比思想、分类讨论思想．3.利用一次函数图象的性质，解决实际问题．4.体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，激发学生的学习兴趣．教学重点借助两个一次函数图象求二元一次方程（组）的解或一元一次不等式的解集．教学难点借助四个一次[一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）的解、一元一次不等式]之间的关系，解决实际问题．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾 1.解二元一次方程组2.一次函数y＝5x＋6与y＝3x＋10的交点坐标是多少？复习旧知，引发思考，为突破本节课重难点做铺垫．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】1号探测气球从海拔5 m出发，以1 m/min的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都上升了1小时．用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间t（单位：min）的函数关系；1号气球：y＝x＋5，2号气球：y＝0.5x＋15.从实际问题抽象出数学问题，一方面有助于发展学生抽象逻辑能力，另一方面可以激发学生的学习兴趣，更好地开展新课．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】针对【课堂引入】的问题，继续思考在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多少时间？位于什么高度？问题1 从数的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？问题2 从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？师生活动：教师引导学生类比一次函数与一元一次方程的关系，结合两个一次函数的图象，探求与二元一次方程组之间的关系．最后，教师帮助学生总结．归纳：（2）图象法解方程组的步骤：①将方程组中各方程化为y＝ax＋b的形式；②画出各函数的图象；通过类比一次函数与一元一次方程，分别从数和形两个角度分析二元一次方程组与一次函数之间的关系，进一步开拓学生的思维，感受数形结合思想以及分类讨论思想，体会数学思想的应用价值．③由交点坐标得出方程组的解．自主探究：在什么时候，1号气球比2号气球高？在什么时候，2号气球比1号气球高？活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1 如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx＋b＝x＋2的解是（B）A.x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4例2 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x和y＝ax＋2相交于点A（m，1），则不等式－2x<ax＋2的解集为（D）A.x<12B．x<1 C．x>1 D．x>－12【变式训练】在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，解决下列问题：（1）求方程－x＋4＝2x－5的解；（2）求二元一次方程组的解；（3）当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜0？解：画函数图象如图所示．（1）∵一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象相交于点（3，1），通过典型例题和变式训练．进一步感受两个一次函数与二元一次方程组的解之间的联系．由形判数，培养数形结合思想，体会数学知识的融会贯通．∴方程－x ＋4＝2x －5的解为x ＝3.（2）由图可知，二元一次方程组（3）由图可知，当x ＜3时，y 1＞y 2； 当x ＜52时，y 1＞0且y 2＜0.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 活动四：课堂检测 【课堂检测】1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x 和y ＝ax ＋2相交于点A （m ，1），则关于x ，y 的二元一次方程组的解为（C ）第1题图 第2题图 第3题图2.如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2的图象交于点A （3，2），它们与x 轴的交点横坐标分别为1和－1，则不等式k 2x ＋b 2>0>k 1x ＋b 1的解集为（D ）A.x>3 B ．x<－1 C ．x>1 D ．－1<x<13.一次函数y 1＝mx ＋n 与y 2＝－x ＋a 的图象如图所示，则不等式mx ＋n ＞－x ＋a 的解集为（A ）A.x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ＜2 D ．x ＞24.如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P （1，b ）.（1）求b 的值；（2）不解关于x ，y 的方程组请你直接写出它的解．学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，帮助每个学生有所收获、有所提高．解：（1）∵P（1，b）在直线l1上，∴b＝1＋1，即b＝2.（2）师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．课堂小结1.课堂小结1.如何用一次函数的图象解二元一次方程组？2.你是否从中体会到了某种数学思想？2.布置作业教材第98页练习题．注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．。

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式( 组 )知识要点基础练知识点1一次函数与一元一次方程1.( 合肥包河区期中 )已知一次函数y=ax+b( a,b是常数,且a≠0 ),x与y 的部分对应值如下表:那么方程ax+b=0的解是( D )A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=22.已知一次函数y=mx-n( m≠0 )与x轴的交点为( 4,0 ),则方程mx-n=0( m≠0 )的解是x=4.知识点2一次函数与一元一次不等式( 组 )3.( 合肥长丰期末 )如图,直线y=kx+b与x轴交于点( 3,0 ),则当y>0时,x 的取值范围是( D )A.x<0B.x>0C.x>3D.x<34.( 合肥庐阳区期末 )函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A( m,2 ),则不等式2x-4≤ax的解集是x≤1.x+3的图象,根据图象回答下列问题:5.画出函数y=-37x+3=0的解.( 1 )求方程-37x+3<0的解集.( 2 )求不等式-37( 3 )当x取何值时,y≥0?解:图略,易知图象与x轴的交点的坐标为( 7,0 ).x+3=0的解为x=7.( 1 )观察图象可知,方程-37x+3<0的解集为x>7.( 2 )观察图象可知,不等式-37( 3 )观察图象可知,当x≤7时,y≥0.综合能力提升练6.利用函数y=ax+b的图象解得ax+b<0的解集是x<-2,则y=ax+b的图象可能是( C )7.一次函数y=mx+n在x轴下方部分点的横坐标的范围是x<3,则不等式mx+n<0的解集为( B )A.x>3B.x<3C.x>-3D.x<-3【变式拓展】一次函数y=kx+b在x轴上方部分点的横坐标范围是x>-1,则不等式kx+b<0的解集为( C )A.x>-1B.x>1C.x<-1D.x<18.( 蚌埠期末 )如图,已知函数y1=3x+b和y2=ax-3的图象相交于点P( -2,-5 ),则不等式3x+b>ax-3的解集为( A )A.x>-2B.x<-2C.x>-5D.x<-59.( 滁州期末 )如图,一次函数y=kx+b( k≠0 )的图象与x轴的交点坐标为( -2,0 ),则下列说法:①y随x的增大而减小;②关于x的方程kx+b=0的解为x=-2;③kx+b>0的解集是x>-2;④b<0.其中正确的说法( C )A.1个B.2个C.3个D.4个10.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b( k,b为常数,k≠0 )的图象如图所示,根据图象中的信息,可求得关于x的方程kx+b=3的解为x=-2.11.如图,经过点B( -2,0 )的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A( -1,-2 ),则关于x的不等式组4x+2<kx+b<0的解集为-2<x<-1.12.如图,直线l1:y=2x-2与x轴交于点D,直线l2:y=kx+b与x轴交于点A,且经过点B,直线l1,l2相交于点C( m,2 ).( 1 )求m的值;( 2 )求直线l2的表达式;( 3 )根据图象,直接写出1<kx+b<2x-2的解集.解:( 1 )把C( m,2 )代入y=2x-2,得2m-2=2,解得m=2.( 2 )把C( 2,2 ),B( 3,1 )代入y=kx+b,得{2k +b =2,3k +b =1,解得{k =−1,b =4, 所以直线l 2的表达式为y=-x+4. ( 3 )2<x<3.13.( 安庆期末 )如图,正比例函数y 1的图象和一次函数y 2的图象相交于点A ( -1,2 ),点B 为一次函数y 2的图象与x 轴负半轴的交点,且△ABO 的面积为3.( 1 )求这两个函数的表达式;( 2 )根据图象,直接写出当0<y 1<y 2时,自变量x 的取值范围.解:( 1 )因为点A ( -1,2 ),△ABO 的面积为 3, 所以OB=3,即点B 的坐标为( -3,0 ), 所以正比例函数y 1=-2x.设一次函数的表达式为y 2=kx+b ,把点A ( -1,2 ),点B ( -3,0 )代入,得{-k +b =2,-3k +b =0,解得{k =1,b =3, 所以一次函数y 2=x+3.( 2 )根据图象得x 的取值范围是-1<x<0.14.定义运算min{a ,b }:当a ≥b 时,min{a ,b }=b ;当a<b 时,min{a ,b }=a.如:min{4,0}=0;min{2,2}=2;min{-3,-1}=-3.根据该定义运算完成下列问题: ( 1 )min{-3,2}= -3 ,当x ≤2时,min{x ,2}= x ; ( 2 )若min{3x-1,-x+3}=3x-1,求x 的取值范围;( 3 )如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-2相交于点P ( -2,1 ).若min{x+m ,kx-2}=kx-2,结合图象,直接写出x 的取值范围是 x ≥-2 .解:( 2 )由题意,得3x-1≤-x+3,解得x ≤1.拓展探究突破练15.画出函数y=|x|-2的图象,利用图象回答下列问题: ( 1 )写出函数图象上最低点的坐标,并求出函数y 的最小值;( 2 )利用图象直接写出不等式|x|-2>0的解集;( 3 )若直线y=kx+b( k,b为常数,且k≠0 )与y=|x|-2的图象有两个交点A( m,1 ),B(12,-32),直接写出关于x的方程|x|-2=kx+b的解.解:图略.( 1 )最低点坐标是( 0,-2 ),函数y的最小值是-2. ( 2 )x>2或x<-2.( 3 )当y=1时,|x|-2=1,解得x=-3或x=3( 舍去 ),所以交点A的坐标为( -3,1 ),而交点B的坐标为(12,-3 2 ),所以关于x的方程|x|-2=kx+b的解为x=-3或x=12.。

一次函数与方程组、不等式的关系
一次函数与方程组、不等式的关系
一、概述
一次函数，又称一元函数，是利用一个变量由常数、指数、对数、三
角函数和其他的混合动态变量构成的函数。

它可以以简单的一次曲线
定义某一参数变化情况，也可以定义涉及多个变量的复杂方程组，对
曲线参数进行函数式分析和证明。

一次函数可以看做是方程组和不等
式的特例，与方程组、不等式关系密切。

二、一次函数与方程组的关系
一次函数可以看做方程组的特殊情况，当某一方程只有一个未知数时，它就可以转换成一次函数，并有着一定的图形表示，简化了对其进行
分析的过程，极大的提高了效率。

如当一组方程组均为一个未知数冚
构成时，若满足一次函数的性质，那么这组方程组就可以看做是一次
函数的特殊情况。

例如，若我们有一组以y=2x+1构成的一次函数，那么它就可以表示为
形如y-2x-1=0的方程，也就是图形上红色一次函数曲线对应着满足蓝
色方程线的点。

三、一次函数与不等式的关系
与方程组类似，不等式也可以通过一次函数转换，当某一不等式只有一个未知数构成时，就可以用一次函数进行表示，并且由于不等式的加减性，不同类型的不等式有着不同的图形表示。

例如，当y<2x+1的不等式表达式转换为一次函数时，我们可以得到一条红色的上限函数曲线，它就可以表示不等式表达式所给出的结果，也就是解空间位于红色曲线之下的点才符合不等式表达式。

四、总结
一次函数与方程组、不等式的关系密切，它们各自都可以通过对另一个的转换来进行数学分析和求解，而一次函数的表示也简化了数学求解的难度，可以有效的提高效率。

一次函数与一次不等式的关系在数学中，一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于0。

而一次不等式则是指形式为ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c是常数，且a不等于0。

虽然一次函数和一次不等式看起来似乎毫无关联，但实际上它们之间存在着密切的联系。

我们来看一次函数与一次不等式在图像上的关系。

对于一次函数y=ax+b，其图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

而一次不等式ax+b>c或ax+b<c则表示直线上（或下）方的区域。

也就是说，一次函数的图像实际上将平面分为两个部分，一次不等式则确定了这两个部分中的一个。

因此，一次函数与一次不等式之间的关系可以通过图像直观地展示出来。

一次函数与一次不等式在求解中也有着密切的联系。

当我们需要求解一次不等式ax+b>c或ax+b<c时，常常需要用到一次函数的知识。

首先，我们可以将不等式转化为等价的形式，即ax+b=c，然后再根据c的大小确定不等式的解集。

这种转化的过程实际上就是利用一次函数的性质来求解一次不等式。

一次函数与一次不等式还可以用来解决实际问题。

在生活中，我们经常会遇到一些与线性关系相关的问题，比如物品的售价与数量之间的关系、工作时间与收入之间的关系等。

这些问题往往可以建立成一次函数或一次不等式的形式，并通过求解来得到最优解。

因此，一次函数与一次不等式在解决实际问题中发挥着重要作用。

总的来说，一次函数与一次不等式之间存在着紧密的联系。

无论是在图像上的表现、求解过程中的运用，还是在实际问题的解决中，一次函数与一次不等式都相辅相成，相互补充。

通过深入理解和掌握一次函数与一次不等式的关系，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学建模和计算能力。

希望大家在学习数学的过程中能够注重理论与实践的结合，不断提升自己的数学素养，探索数学的奥秘。