2020届高三数学下册十二校联考考试试题1 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc

ln x 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2020 届“三省十二校”联考 数学（文科）试题（考试时间：150 分钟总分：150 分）2020.2.19第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A = {x ∈ R x 2- x - 2 < 0}， B = {-1,0,1}，则 A I B = （）A ．{-1, 0,1}B ．{-1, 0}C ．{0,1}D ．{0}2.已知 (3 - i )z = 4i (i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. m = log 4 0.4, n = 40.4 , p = 0.4 0.5 ，则（ ）A. m < n < pB. m < p < nC. p < m < nD. n < p < m 4.工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分 别为001，002，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（ ）A.522B.324C.535D. 5785.函数 f ( x ) =的图象大致为（）xA ．B ．C ．D ．6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴，焦点在 y 轴上，且椭圆 C 的离心率为（）7 ，面积为12π ，则椭圆 C 的方程为4A. x + y= 1 B.x + y = 1 C. x + y = 1 D. x + y= 1 9 163 4 18 32 4 367.已知 cos(a - π) + sin a = 4 3 ，则 sin(a + 7π) 的值为（）6 5 61 4 1A. B.2C. - 5D. -2 8. 如图所示， ∆ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点， E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点， υυυρ则 AC = （）5 2π ⎫ ⎣ ⎦4 υυυρ υυυρ5 υυυρ υυυρ 4 υυυρ 1 υυυρ 5 υυυρ1 υυυρ A AD + BE B. 3 AD + BE C . 3 AD + 32 BE D. AD + BE3 2（8 题图）（9 题图）9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图上的对应点为 P ，点 A 、B 、C 在俯视图上的对应点为 A 、B 、C ，则 PA 与 BC 所成角的余弦值为（）A. B. 5 2C.D.2510.已知 A , B , C 是双曲线 x2 y 2 - = 1(a > 0,b > 0) 上的三个点， AB 经过原点 O ， AC 经过 a 2 b 2右焦点 F ，若 BF ⊥ AC 且2 AF 5= CF ，则该双曲线的离心率是（） 9D. A.B.33C.24⎛ π ⎫11．已知奇函数 f (x ) = sin (ωx + ϕ )- c os (ωx +ϕ ) ϕ ⎝ < ,ω > 0⎪ 对任意 x ∈ R 都有 2 ⎭ f (x )+ f ⎛x + ⎝ ⎪ = 0 ，现将 f (x )图象向右平移 π 2 ⎭ 3个单位长度得到 g (x )图象，则下列判断 错误的是（ ）A ．函数 g (x ) 在区间 ⎡ π , π ⎤上单调递增 B ． g (x ) 图象关于直线 x = 7π 对称⎢12 2 ⎥ 12 C ．函数 g (x ) 在区间 ⎡- π , π ⎤ 上单调递减 D ． g (x ) 图象关于点 ⎛ π , 0 ⎫对称⎢ 6 3 ⎥ 3 ⎪ ⎣ ⎦ 12. 已知定义在 R 上的可导函数f (x ) 的导函数为 ⎝ ⎭ f '(x ) ， 满足 f ' (x ) > f (x ) ，y = f (x +1)是偶函数， f (0) = 2e 2 ，则不等式 f (x ) < 2e x 的解集为（）A. (- ∞,2)B. (- ∞,0)C. (0,+∞)D. (2,+∞)第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置）5 10 17 1733( )()()。

绍兴一中高三数学文回头考试题一、选择题 1．复数32ii -+的实部为 （ ） A ．iB ．-IC ．1D ．-12.设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为 ( ) （A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆954.设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内两条相交直线，则βα⊥的一个充分不必要条件是 （ ） （A ）11,l m l n ⊥⊥ （B ）12,m l m l ⊥⊥ （C ）12,m l n l ⊥⊥ （D ）1//,m n l n ⊥5. 如右图，此程序框图的输出结果为 ( ) (A)94 (B) 98(C)115 (D)11106.数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅，则数列{}n a 的第100项为A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．150（ ） 7.函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为A ．sin31y x =+B ．1)34sin(++=πx yC ．cos31y x =+D ．1)64cos(+-=πx y （ ）8.设实数,x y 满足 2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y u xy +=的取值范围是A ．5[2,]2 B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4（ ） 9.已经双曲线22x 1169y -=的顶点为A 、B ，若双曲线上一点P （异于A 、B ）使得线段PA 的中点在直线y=2x 上，则PA 的斜率为 （ ）.A ．34B ．932C ．916D ．210.已知函数()()log 1a f x x =+，()()()2log 21a g x x t a =+>，若[][)0,146x t ∈∈，，时，()()()F x g x f x =-有最大值是2，则a 的最小值为（ ）. A． B． C．D．二、填空题11.若221m y x +=，的长轴是短轴的2倍，则m= ； 12. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧 视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分， 则这个几何体的表面积为 ．13. 已知向量(),a m n =，()1,1b =-，其中{},1,2,3,4,5m n ∈， 则与a b 的夹角能成为直角三角形内角的概率是 ．14.函数 1sin()26y x π=-的纵坐标不变，将其图象上的各点的横坐标缩短为原来的14，得到的函数记为()()3g x g π=,则 ；15.设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与（第11题图）∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆= ; 16.把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm 、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为 17.若408ππ<<<<-x y ，且)2tan(3)2tan(y x y x -=-，则y x +的最大值为 ； 三、解答题18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知3=a ，22tan =+CA . （1）求B cos 的值. （2）求AC AB ⋅的取值范围. .19. 已知等比数列{}n a 中，422324a a a a -=+=．记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，122,3b b ==，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：1121n n n T T T +-+=+，*2,n n N ≥∈， 求：21(4),log n n n n c s b c ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⋅n 1令证明前项的和小于2．20.如图（1），在直角梯形ABCD 中，BC AD //，BC AB ⊥，BC DE ⊥，1=AB ，122BE EC ==，以DE 为轴旋转至图（2）位置，F 为DC 的中点. （1）求证：//BC 平面AEF（2）若平面ABED ⊥平面BCD ，且BC 垂直于AE 求①二面角C DE B --的大小.②直线BF 与平面ABED 所成角的正弦值21.设)1(ln 23)(232---=x x x a x a x f .(1) 当0=a 时，求)(x f 的单调区间. （2）当0>a 时，讨论)(x f 的极值点个数。

浙江省金丽衡十二校2020届高三数学第一次联考试题（含解析）1.设集合M={x|(x+3)(x_2)<0,xw R},N={x|1<x<3,xw R}.则McN=()A.IF)B.IFC.(2,3]D.[2,3]【答案】A【解析】因为M={x|(x+3)(x-2)<0,xg R}={x|-3<x<2},N={x|1<x<3,xg R},因此可知M c N=[1，2),选a2.已知双曲线的离心率为（扩一条渐近线与直线2x-4y+2-0垂直，则该双曲线)A.$【答案】A75B.2D.2^2C.^2【解析】【分析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于一1列方程，结合c2=a2+h2求得双曲线离心率.1【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为。

，则。

2，即。

,又，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于-1.属于基础题.3.若实数x,*满足约束条件x+2y-220x+y<2心,则'-A的最大值等于（A. 2B. 1C. -2D. -4【答案】A【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.【详解】根据题意作出可行域如图：x+2y-2=04平移直线= °可得在点A 处取到最大值，联立= °可得"(2,0),代入X-*可得最大值为2,故选A.【点暗】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.4.已知一几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为()71 1A. 6 3—+1B. 12N 1—+ 一C. 12 3JC I —+ 一D. 4 3【答案】C【解析】【分析】观察三视图可知，儿何体是一个圆锥的彳与三棱锥的组合体，然后计算出两个简单几何体的体积，相加可得出结果.【详解】观察三视图可知，凡何体是一个圆锥的彳与三梭锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1,高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1、2的直角三角形，高为1.V=—X—x^xl2xl+—X—xlx2xl=—+—则几何体的体积3432123，故选：c.【点暗】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题时要利用三视图得出几何体的组合方式，并计算出各简单凡何体的体积，然后将各部分相加减即可.5.己知b是实数,则“a>2且b>2-是“a+b>4且。

2020届湖北省十二校联考高三第二次调研考试理科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．2+2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3B ．(0,1)C ．3D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．D ．10安7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+9．sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C ．-D ．10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知t a n ()7c o s ()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _．15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．(1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,m ∈-时，12max 3x x -=， ……3分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<， ………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心， 所以36k ωπππ-+=，k Z∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ .………………………2分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()6f x π=+.………………………4分 最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k ==………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)tx x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x =++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500%………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+， 则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =．…………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y m y x --=， …………………………5分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>，124y y m+=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-，01x <， …………………………10分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-，易知4()2f t t t=-在上是减函数，所以2)d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ (1)分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<；当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=，故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． …………………5分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-，所以1212111||||8t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x …，即|1||1|3x x ++-…， 不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩……或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩…或1113x x x ⎧⎨++-⎩……， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分（2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立， 所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤， 解得a ≥或a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞．…………………10分。

上海市十二校2020届高三联考数学试题一. 填空题1. 双曲线的焦距为________【答案】【解析】由双曲线的方程可得：，则，双曲线的焦距为.2. 若等差数列的前5项和为25，则________【答案】【解析】由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：.3. 计算：________【答案】【解析】结合等比数列前n项和公式有：，则：.4. 如果函数的反函数为，则的值为________【答案】【解析】令5. 二元一次方程组的增广矩阵通过矩阵变换可得，则代数式的值为________ 【答案】【解析】由题意可得二元一次方程组的解集为：，则：，据此有：.6. 函数的一条对称轴为直线，则直线的倾斜角为________【答案】【解析】由题意可得：，其中，直线的斜率为，则直线的倾斜角为.7. 满足不等式的的取值范围为________【答案】【解析】反余弦函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：，求解不等式有：，综上可得，不等式的解集为.8. 已知集合，，若，则实数的取值范围为________ 【答案】即实数的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min......................【答案】【解析】由题意可得：，不妨设：，则：，结合抛物线方程有：，结合椭圆方程可得：.10. 在中，，，，D为线段上任一点（包含端点），则的最大值为________【答案】【解析】考查的取值范围：由余弦定理可得，若D为动点,设,,；则：；解得；∴；∴，分类讨论：①k=0时,D与B重合,由余弦定理得，；②时，；∴；则的取值范围为[−5,2].其最大值为2.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11. 已知函数，在8行8列的矩阵中，（且），则这个矩阵中所有数之和为________【答案】【解析】对任意的，有，则对任意的：，由排列组合知识可得，满足上述等式的共有对，则对任意的：，这样的有：对，据此可得：这个矩阵中所有数之和为.12. 用表示非空集合中元素的个数，设，若，则实数的取值范围为________【答案】【解析】分解因式，原问题即：有个不同的实数根，则有个不同的实数根，很明显不是方程的实数根，据此可得：，则函数与函数有个不同的交点，将对勾函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，然后将轴下方的图象向上关于轴对称翻折即可得到函数的图象，绘制函数图象如图所示(注意到当时函数值)，考查临界条件，观察可得：，据此可知实数的取值范围为.点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．二. 选择题13. 函数的图像（）A. 关于原点对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于直线对称【答案】C【解析】试题分析：由题可知，由，知定义域为全体实数，，故是偶函数，即函数图像关于y轴对称。

闽粤赣2020届高三下学期三省十二校联考数学文科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，B{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{0}2．已知（3﹣i）z＝4i（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知m＝log40.4，n＝40.4，p＝0.40.5，则（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜n＜m D．n＜p＜m4．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5785．函数f（x）=ln|x|的图象大致为（）xA．B．C．D．6．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为√7，面积为12π，则椭圆C的方程为（）4A ．x 29+y 216=1 B ．x 23+y 24=1 C ．x 218+y 232=1D ．x 24+y 236=17．已知cos(α−π6)+sinα=4√35，则sin(α+7π6)的值为（ ） A ．12B ．√32 C ．−45D ．−128．如图所示，△ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC →=（ ）A ．43AD →+BE →B ．53AD →+BE →C ．43AD →+12BE →D ．53AD →+12BE →9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点A 、B 、C 在俯视图上的对应点为A 、B 、C ，则P A 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．√55B ．√105C ．√22D ．√5210．已知A ，B ，C 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且2|AF |＝|CF |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．53B ．√173C ．√172D ．9411．已知奇函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）（|φ|＜π2，ω＞0）对任意x ∈R 都有f （x ）+f （x +π2）＝0，现将f （x ）图象向右平移π3个单位长度得到g （x ）图象，则下列判断错误的是（ ） A ．函数g （x ）在区间[π12，π2]上单调递增 B ．g （ x ） 图象关于直线x =7π12对称C ．函数 g （ x ）在区间[−π6，π3]上单调递减 D ．g （ x ） 图象关于点(π3，0)对称12．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＞f （x ），y ＝f （x +1）是偶函数，f （0）＝2e 2，则不等式f （x ）＜2e x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，0）C ．（0，+∞）D ．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13．已知函数f(x)={2x −2，x ≤0f(x −3)，x ＞0，则f （2020）＝ ．14．若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −3y ≤0x +y ≤2，则z ＝2x ﹣3y 的最小值为 ．15．在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，a ＝2，(c −a)(sinC +sinA)=(√3c −b)sinB ，则bc 的最大值为 ．16．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ＝2，∠ABC ＝90°，∠C ＝45°，E 为BC 中点，现将△CDE 沿DE 折起，使得平面CDE ⊥平面ABED ，连接AC 、BC ，设M 为CE 中点，动点P 在平面CBE 和平面CDE 上运动，且始终满足AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a7﹣a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和S n．（2）设b n=1a n⋅a n+118．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅰ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅰ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS的中点．（1）求证：SD∥平面ACE；（2）若平面ABS⊥平面ABCD，AB＝4，∠ABC＝120°，求三棱锥E﹣ASD的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点F为抛物线C的焦点，点A（1，m）（m＞0）在抛物线C≤k≤2)的直线l与抛物线C交于P，Q两点．上，且|F A|＝2，过点F作斜率为k(12（1）求抛物线C的方程；（2）求△APQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣2）e x +b （x ﹣2）2，（Ⅰ）若函数f （x ）在（0，f （0））处的切线方程为5x ﹣y ﹣2＝0，求a ，b 的值； （Ⅰ）若a ＝1，b ∈R 求函数f （x ）的零点的个数．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =−1+tsinα（t 为参数）（1）若α=π2，求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）设点P （2，﹣1），曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求|P A |2+|PB |2的最小值 [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13|x ﹣a |，（a ∈R ） （1）当a ＝2时，解不等式|x −13|+f （x ）≥1；（2）设不等式|x −13|+f （x ）≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．闽粤赣2020届高三下学期三省十二校联考数学文科试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【详解详析】A ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}，B {﹣1，0，1}， 则A ∩B ＝{0，1}， 故选：C ．2．【详解详析】由题意可得，Z =4i 3−i=4i(3+i)10═−45+65i ，对应的点（−45，65）在第二象限． 故选：B ．3．【详解详析】因为m =log 40.4＜0，n =40.4＞1，0＜p =0.40.5＜1，所以m ＜p ＜n ． 故选：B ．4．【详解详析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578， 故选：D ．5．【详解详析】∵f （﹣x ）=ln|−x|−x=−ln|x|x=−f （x ），∴f （x ）是奇函数，故f （x ）的图象关于原点对称， 当x ＞0时，f （x ）=lnx x，∴当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，当x ＞1时，f （x ）＞0， 故选：A ．6．【详解详析】由题意可得：{abπ=12πca =√74a 2=b 2+c 2，解得a ＝4，b ＝3，因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：y 216+x 29=1．故选：A ．7．【详解详析】cos(α−π6)+sinα=4√35， 可得√32cosα+12sinα+sinα=4√35√32cosα+32sinα=4√35可得√3(12cosα+√32sinα)=4√35， 12cosα+√32sinα=45．sin （α+π6）=45 则sin(α+7π6)=−sin （α+π6）=−45． 故选：C ．8．【详解详析】据题意，AC →=DC →−DA →=BD →+AD →=BE →+ED →+AD →=BE →+23AD →+AD →=53AD →+BE →．故选：B ．9．【详解详析】由三视图知，该几何体是直四棱锥P ﹣ABCD ，且PD ⊥平面ABCD ，如图所示；取CD 的中点M ，连接AM 、PM ，则AM ∥BC ，∴∠P AM 是异面直线P A 与BC 所成的角， △P AM 中，P A ＝2√2，AM ＝PM =√5， ∴cos ∠P AM =√2√5=√105， 即P A 与BC 所成角的余弦值为√105． 故选：B ．10．【详解详析】设双曲线的另一个焦点为E ，由题意可得在直角三角形ABF 中，OF 为斜边AB 上的中线，即有|AB |＝2|OA |＝2|OF |＝2c ，令|BF |＝|AE |＝m ，|AF |＝n ，|CF |＝2n ， 由双曲线的定义有，|CE |﹣|CF |＝|AE |﹣|AF |＝2a ，∴CE ＝2n +2a 在直角三角形EAC 中，m 2+（3n ）2＝（2n +2a ）2， 代入2a ＝m ﹣n ，化简可得m ＝4n ， 又m ﹣n ＝2a 得n =23a ，m =83a ，在直角三角形EAF 中，m 2+n 2＝（2c ）2， 即为49a 2+649a 2＝4c 2，可得e =ca =√173． 故选：B ．11．【详解详析】f （x ）=√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）＝2sin （ωx +φ−π6）， ∵f （x ）为奇函数，∴φ−π6=k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ=π6，∴f （x ）＝2sinωx ，∵奇函数f （x ）满足f(x)+f(x +π2)=0，∴f(x)=−f(x +π2)，∴f(x +π2)=−f(x +π)， ∴f （x ）的最小正周期为π，∴ω=2πT=2， ∴f （x ）＝2sin2x ，g(x)=2sin(2x −2π3)，因此g （x ）在[π12，7π12]上单调递增，在[−5π12，π12]上单调递减，即A 正确，C 错误； 令2x −2π3=π2+kπ，k ∈Z ，得g （x ）的对称轴方程为x =7π12+kπ2，k ∈Z ，即B 正确；令2x −2π3=kπ，k ∈Z ，得g （x ）的对称中心为(π3+kπ2，0)，k ∈Z ，即D 正确．故选：C ．12．【详解详析】因为f '（x ）＞f （x ）， 令g （x ）=f(x)e x，则g′(x)=f(x)−f(x)′e x＞0，故f （x ）单调递增，因为y ＝f （x +1）是偶函数，所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f （2）＝f （0）＝2e 2，g （2）＝2，则不等式f （x ）＜2e x 可转化为g （x ）＜2＝g （2）， 故x ＜2即不等式的解集为（﹣∞，2）． 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13．【详解详析】根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝f （x ﹣3）， 则f （2020）＝f （﹣2+674×3）＝f （﹣2），又由x ≤0时，f （x ）＝2x ﹣2，则f （﹣2）＝2﹣2﹣2=−74； 则有f （2020）=−74；故答案为：−74．14．【详解详析】实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −3y ≤0x +y ≤2的可行域如图：目标函数z ＝2x ﹣3y ，点A （0，2），z 在点A 处有最小值：z ＝2×0﹣3×2＝﹣6， 故答案为：﹣6．15．【详解详析】∵(c −a)(sinC +sinA)=(√3c −b)sinB ， 则（c ﹣a ）（c +a ）＝（√3c −b ）b ， 整理可得，b 2+c 2−a 2=√3bc ， ∴b 2+c 2=√3bc +4≥2bc解可得，bc ≤4(2+√3)即bc 的最大值4（2+√3） 故答案为：4（2+√3）．16．【详解详析】由题意在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ＝2，∠ABC ＝90°，∠C ＝45°，E 为BC 中点，现将△CDE 沿DE 折起，使得平面CDE ⊥平面ABED ，可知，CE ⊥DE ，CE ⊥BE ，BE ⊥DE ，以E 为坐标原点，ED ，EB ，EC 为x ，y ，z 轴，如图：则B （0，2，0），D （2，0，0），C （0，0，2），M （0，0，1），设P （0，y ，z ）在BC 上，BP →=λBC →，可得（0，y ﹣2，z ）＝λ（0，﹣2，2），可得y ＝2﹣2λ，z ＝2λ，AM ⊥MP ，可得：MP →=（0，y ，z ﹣1），AM →=（﹣2，﹣2，1），∴（0，y ，z ﹣1）•（﹣2，﹣2，1）＝0，可得﹣2y +z ﹣1＝0，﹣4+4λ+2λ﹣1＝0，解得λ=56，所以P （0，13，53），|MP →|=√19+259=√263， 所以点P 形成的轨迹长度：2√263．故答案为：2√263．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【详解详析】（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列， a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得 a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40）， 解得a 1＝5，则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3； （2）b n =1a n ⋅a n+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3−12n+5），即有前n 项和为S n =12（15−17+17−19+⋯+12n+3−12n+5） =12（15−12n+5）=n5(2n+5)， 数列{b n }的前n 项和S n =n 5(2n+5)．18．【详解详析】（I ）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．……（4分） （II ）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高， 乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中． ……（8分）（III ）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ，b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e现从甲乙两位同学的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩有：（a ，b ），（a ，c ）（a ，d ）（a ，e ）（b ，c ）（b ，d ）（b ，e ）（c ，d ）（c ，e ）（d ，e ）共10种， 其中2个成绩分属不同同学的情况有：（a ，c ）（a ，d ）（a ，e ）（b ，c ）（b ，d ）（b ，e ）共6种 因此事件A 发生的概率P （A ）=610=35．……（12分）19．【详解详析】（1）证明：连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，则点O 是BD 的中点． 又因为E 是BS 的中点，所以SD ∥OE ， 又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以SD ∥平面ACE ．（2）因为四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝120°，所以∠ABD =12∠ABC =60°．又因为AB ＝AD ，所以三角形ABD 是正三角形．取AB 的中点F ，连接SF ，则DF ⊥AB ，且DF =2√3．又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS ∩平面ABCD ＝AB ，所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D ﹣AES 的一条高．而S △ASE =12SA ⋅SE ⋅sin∠ASE =2√3．∵V E ﹣ADS ＝V D ﹣AES =13S △ASE ⋅DF =13×2√3×2√3=4．综上，三棱锥E ﹣ASD 的体积为4．20．【详解详析】（1）由抛物线的焦半径公式得|FA|=x A +p 2=1+p 2=2⇒p =2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），{y =k(x −1)y 2=4x⇒k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 由韦达定理得x 1+x 2=2k 2+4k 2，x 1•x 2＝1， 因为AF ⊥x 轴，则S △APQ =12×|AF|×|x 1−x 2|=|x 1−x 2|，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√k 2+1k 4=4√1k 2+1k 4，因为12≤k ≤2，令t =1k 2，所以14≤t ≤4，S △APQ =4√t 2+t ， 所以516≤t 2+t ≤20，即√5≤4√t 2+t ≤8√5，所以△APQ 得面积的取值范围为[√5，8√5]．21．【详解详析】（Ⅰ）f （x ）的导数为f '（x ）＝a （x ﹣1）e x +2b （x ﹣2），f '（0）＝﹣a ﹣4b ＝5，f （0）＝﹣2a +4b ＝﹣2，解得a ＝b ＝﹣1；（Ⅰ）f （x ）＝（x ﹣2）[e x +b （x ﹣2）]，易得f （x ）有一个零点为x ＝2，令g （x ）＝e x +b （x ﹣2），（1）若b ＝0，则g （x ）＝e x ＞0，无零点，所以函数f （x ）只有一个零点；（2）若b ≠0，则g '（x ）＝e 'x ＝e x +b①若b ＞0，则g '（x ）＞0所以g （x ）单调递增，而g(−1b )=e −1b −1−2b ＜0，g （2）＝e 2＞0， 所以g （x ）有一个零点，所以f （x ）有两个零点；②若b ＜0，由g '（x ）＝e x +b ＝0，知e x ＝﹣b ，x ＝ln （﹣b ），所以g （x ）在（﹣∞，ln （﹣b ）]单调递减，在（ln （﹣b ），+∞）单调递增；所以函数g （x ）的最小值为g （x ）min ＝g （ln （﹣b ））＝b [ln （﹣b ）﹣3]（Ⅰ）当ln （﹣b ）﹣3＜0即﹣e 3＜b ＜0时，g （x ）min ＝g （ln （﹣b ））＝b [ln （﹣b ）﹣3]＞0，所以g （x ）无零点，所以f （x ）函数只有一个零点；（Ⅰ）当ln （﹣b ）﹣3＝0时，即b ＝﹣33，所以g （x ）有一个零点，所以函数f （x ）有两个零点，（Ⅰ）当ln （﹣b ）﹣3＞0时，即b ＜﹣33时，g （x ）min ＜0，所以g （x ）有两个零点，所以函数f （x ）有三个零点；综上，当b ＝0或﹣e 3＜b ＜0时，函数f （x ）只有一个零点；当b ＞0或b ＝﹣e 3时，函数f （x ）有两个零点；当b ＞﹣e 3时，函数f （x ）有三个零点．（利用函数图象的交点个数讨论酌情给分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）曲线C ：ρ2＝6ρcosθ，将x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ．代入得x 2+y 2﹣6x ＝0即曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣3）2+y 2＝9．直线l ：{x =2y =−1+t，（t 为参数），所以直线的直角坐标方程为x ＝2，故直线l 的极坐标方程为ρcosθ＝2． （2）联立直线l 与曲线C 的方程得（t cosα+sinα）2+（t sinα﹣1）2＝9即t 2﹣2t （cosα+sinα）﹣7＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2＝2（cosα+sinα），t 1t 2＝﹣7，因为|PA|2+|PB|2=t 12+t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4(cosα+sinα)2+14=4sin2α+18≥14，当sin2α＝﹣1时取等号，所以|P A |2+|PB |2的最小值为14．[选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）a ＝2时，f （x ）=13|x ﹣2|，问题转化为解不等式|x −13|+13|x ﹣2|≥1，①x ≥2时，x −13+13（x ﹣2）≥1，x −13+13x −23≥1，解得：x ≥32；②13＜x ＜2时，x −13+13（2﹣x ）≥1，解得：x ≥1，故1≤x ＜2；③x ≤13时，13−x +13（2﹣x ）≥1，解得：x ≤0，综上，不等式的解集是：{x |x ≤0或x ≥1}；（2）|x −13|+13|x ﹣a |≤x 的解集包含[13，12]， ∴x −13+13|x ﹣a |≤x ，故﹣1≤|x ﹣a |≤1，解得：﹣1+a ≤x ≤1+a ，故{−1+a ≤131+a ≥12，解得：−12≤a ≤43．。

湖南省2020届高三•十二校联考第二次考试数学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，满分40分.其中8〜9题是选做题，考生只需选做一题，二题全答的，只计算前一题得分.）(一）必做题（1〜7题）1. 巳知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 巳知集合，，则为A. (1，2)B. (1)C. [2，)D. [1，)3. 下列判断错误的是A. a,b，m为实数，则“”是“a<6”的充分不必要条件B命题“”的否定是“”C. 若为假命题，则力，g均为假命题D. 若，则4. 巳知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是A. 24B. 36+C. 36D. 36 +5. 平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足=0，则三角形ABC是A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形6. 如图，在半径为及的圆内随机撒一粒芝麻，它落在阴影部分(圆内接正三角形）上的概率是A. B.C D.7. 定义在R上的函数f(X)满足=1，为的导函数，巳知的图象如图所示，若两个正数“乂满足_，则的取值范围是A. B.C D.(二）选做题（考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题得分）8. 用分数法优选最佳点时，若可能的试点数为20，则第一、二试点分别安排的分点处为A. B. C D.9. 如图，巳知AB是的一条弦，点P为AB上一点，，PC交于C，若AP = 4，PB = 2，则PC的长是A. B.C D.二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分35分.其中16〜17题是选做题，考生只需选做一题，二题全答的，只计算前一题得分.）(一）必做题（10〜15题）10. 设等比数列的前n项和为，巳知，，则=______.11. 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据a i40 41 43 43 44 46 47 48在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中a是这8个数据的平均数），则输出的S的值是______12.某车队有7辆车，现在要调出4辆，再按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加，而且甲车比乙车先开出，那么不同的调度方案有_______种.13. 已知FhF2分别是椭圆（a>b〉0)的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在^轴左侧交于A、B两点，若是等边三角形，则椭圆的离心率等于_______.14. 若，则定义为曲线的线.已知f(x)=,则的线为_______.15. 设（a,b>为常数）.当z〉0时，，且f(x)为R上的奇函数.(1) 若，且f(x)的最小值为0,则F(x)的解析式为_______；(2) 在（1)的条件下，若庄[2，4]上是单调函数，则实数&的取值范围是_______.(二）选做题（考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题得分）16. (坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线的距离是_______.17. (不等式选讲选做题）若a,b,c〉0，且，则的最小值为_______三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. (本小题满分12分)已知在ABC中，a,b,c分别为角A、B、C所对的边，向量，n=(1) 求角A的大小；(2)若a = 3,求ABC面积的最大值.19 (本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1) 求甲获第一名且丙获第二名的概率；(2) 设在该次比赛中，甲得分为，求的分布列和数学期望.20. (本小题满分12分)如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9.(1) 求证：平面ABCD丄平面ADE;(2) 求二面角D—BC—E的平面角的正切值.21. (本小题满分13分)某城市2020年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？22. (本小题满分13分)如图，椭圆方程为SP为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当P点不在x轴上时，过F1作F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合.(1) 求M点的轨迹T的方程；(2) 巳知O(0，0)、E(2，1)，试探究是否存在这样的点Q:点Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.23. (本小题满分13分)巳知函数(1) 证明：当a〉0时，对于任意不相等的两个正实数x1、x2，均有成立；(2) 记，(i)若在[1，）上单调递增，求实数“的取值范围；(i i)证明：.。

2020届高三年级联考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上1．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的 （ ） A ．充分条件，但不是必要条件； B ．必要条件，但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件2．已知)2,1(=a ，)1,(x b =，且2+与-2平行，则=x （ ） A ．1； B ．2； C ．21； D ．313．函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ）A ．周期为π2的奇函数；B ．周期为π2的偶函数；C ．周期为π的奇函数；D ．周期为π的偶函数4．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ） A ．―1； B ．2； C ．21； D ．―1或2 5．若}{n a 是各项为正的等比数列,且公比1≠q ,则)(41a a +与)(32a a +的大小关系是 （ ） A ．3241a a a a +>+； B ．3241a a a a +<+； C ．3241a a a a +=+； D ．不确定6．设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x M ，}112|{≥-=x x N ，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤<x x ； D ．2|{<x x7．若21cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ，则θcos 的值等于 （ ）A ．53；B ．53-；C ．54；D ．5-8．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09<S ，则1S ，2S ，3S ，…，n S 中最小的是 （ ）A ．4S ；B ．5S ；C ．6S ；D ．S9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上 （ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且)(<x f10．在△ABC 中，︒>∠90C ，下列关系式中正确的是 （ ） A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<；B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+；D ．A C B A sin sin sin cos cos +<<+2020届 高 三 联 考数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，则1(2)f-将函数x x y cos sin +=的图象按向量),(k h （其中，2π<h ）平移后与1cos 2+=x y 的图象重合,则向量坐标=h ,=k13．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是14．设函数()sin()f x x ωϕ=+ )22,0(πϕπω<<->，给出下列四个论断：①它的周期为π；②在区间(,0)6π-上是增函数；③它的图象关于点(,0)3π成中心对称；④它的图象关于直线12x π=对称请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：①②⇒③④）三 解答题：（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53, 求cosA 的值16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式17 （本小题满分14分）已知函数：，θθθθ,3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2R x x x x x f ∈-++++=（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）3πθ=当时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x +-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式;（II ）求证：+∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数;（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式； （3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<< ,且，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+2020届高三联合考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ）6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11． 3- 12 ,4π-=k 113． 1[,1)2⋃ 14． ①④⇒②③或 ①③⇒②④三 解答题：（共6小题，共74分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53, 求cosA 的值解：∵ cosB ＝21, ∴sinB ＝23, 又sinC ＝53, cosC ＝±54, …………4分若cosC ＝－54, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝53, sinB ＝23, 于是： sin(π－C)< sinB ……（5分） ∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾, ∴ cosC ≠－54, …………7分 cosC ＝54,…………8分 π=++C B A Θ故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10433-, …………12分 （说明：本题如果没有去掉cosC ＝54-，扣3分）16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式16 解：⋅⋅⋅=,2,1,}{ n S n a n n 项和为前设数列 依题意得：+∈+=N n , 22n n a S …………2分2211+=∴++n n a S)(2111n n n n n a a S S a -=-=∴+++ （n=1,2,…）…………5分 ++∈=∴N n ,21n n a a …………8分故数列{}n a 是等比数列 …………10分2 N n , 221-=∴∈+=+a a S n n ，又Θ+-∈-=⨯-=N n a n n n ,2221…………12分17 （本小题满分14分）已知函数：)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合17． 解：（Ⅰ）1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f ] ………………2分)2cos(3)2sin(θθ+++=x x ……（4分）= ))32sin(2)(()62cos(2πθπθ++=-+x x f x 或……………6分 2 ,2max min =-=y y ………………8分（Ⅱ）由y =得：及3)62cos(2πθπθ=-+x 2162cos ,162cos 2,1)(≥+∴≥+⇒≥）（）（ππx x x f ……………………12分Z k k x k ∈+≤+≤-⇒,326232πππππ},124|{Z k k x k x x ∈+≤≤-∴ππππ的集合是所求…………14分18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数18．解：（Ⅰ）当时，1=a 1)(≤x f 111≤+-⇒x x ,化为012≤+-x ……（3分） ,01>+⇒x 1->x 即：故，满足（Ⅰ）条件的集合为{}1->x x ……（5分）（Ⅱ）在区间),0(+∞上任取21,x x ，则1111)()(112212---+-=-x ax x ax x f x f ……（7分）)1)(1())(1(1212++-+=x x x x a ……（8分）因12x x >故012>-x x ，又在),0(+∞上012>+x ,011>+x ……（10分） ∴只有当01<+a 时，即1-<a 时才总有0)()(12<-x f x f , ……（12分）∴当1-<a 时,)(x f 在),0(+∞上是单调减函数 (14分)说明：本题若令0)()(12<-x f x f 求出1-<a ，没有考虑a 的充分性扣2分 19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：+∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列19 解：（Ⅰ）由于y ＝214x +- ∵点An(n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +) ∴11+-n a = f(n a )= 214n a +- , 并且0>n a ……（2分）21141n n a a +=∴+ ， ),1(411221N n n a a nn ∈≥=-∴+ ∴数列{21n a }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4 ……（4分） ∴21na =1+4（n —1） ， ∴3412-=n a n ∵ 0>n a ，∴341-=n a n ……（5分）（II ）+∈-=N n n a n ，341Θ 23414341423422--+=-++>-=n n n n n a n ……（8分） +∈++=-+>-∑=∴N n n n n n S n ,1142)114(21341 ……（10分） （Ⅲ）由341-=n a n ， 381622121--+=++n n a T a T n n n n得：)14)(34()14()341+-++=-+n n T n T n n n （ 134141+-=+⇒+n T n T n n ……（12分）=n c 令34-n T n ，如果11=c ，此时11=b +∈=⨯-+=∴N n n n c n ，1)1(1 ……（13分）+∈-=-=N n n n n n T n ,34)34(2则：+∈-=⇒N n n b n ,89，此时，数列{n b }是等差数列 ……（14分）20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数 ；（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式；（3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<<且,，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+ 20 证明：（1）任取x 1 x 2∈R,则2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] =2[a(221x x +)2 + b 221x x ++c] －[a x 12+bx 1+c] － [a x 22+bx 2+c] =2a [(x 1+x 2)2－2(x 12+x 22)]= －2a (x 1－x 2)2 ……（2分）Θa<0 ∴2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] ≥ 0 ∴)2()()([212121x x f x f x f +≤+ ∴由定义得 y = f(x)是R 上的凸函数 ……（4分）（2）Θ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 39)3(24)2()1(解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+-=+-=)3()2(3)1(3)3(23)2(4)1(25)3(21)2()1(21f f f c f f f b f f f a ……（5分） Θ|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|Θ|f(1)| ≤1，|f(2)| ≤2,|f(3)| ≤3∴|f(4)| ≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| ≤16 ……（6分）Θa<0时f(x)= ax 2+bx+c 开口向下，∴当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-==-=3)3(2)2(1)1(f f f 时取等号，代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=12154c b a∴f(x)= －4x 2+15x －12 ……（8分）（3）Θ p q m n R ∈且p<m<n<q不妨设m = p+i, 其中i *∈NΘp+q = m+n ∴m －p = q －n = i由定义知，任意x 1 x 2∈R,有f(x 1)+f(x 2)≤ 2f(221x x +) ……（9分） 取x 1 = p x 2 = p+2则有f(p)+f(p+2) ≤ 2f(p+1) 变形得f(p) －f(p+1) ≤ f(p+1) － f(p+2)同理有 f(p+1) －f(p+2) ≤ f(p+2) － f(p+3) f(p+2) －f(p+3) ≤ f(p+3) －f(p+4)f(p+4) －f(p+5) ≤ f(p+5) － f(p+6) … …f(p+k-2) － f(p+k －1) ≤ f(p+k －1) －f(p+k) 累加求和得：f(p)－f(p+k －1) ≤ f(p+1) －f(p+k)即f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ……（11分）递推i次得f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ≤f(p+2)+f(p+k－2) ≤…≤f(p+i)+f(p+k－i) ∴f(p)+ f(p+k)≤f(p+i)+f(p+k－i)令p+k = q,得f(p)+f(q) ≤f(p+i) + f(q－i)Θm－p = q－n = i∴f(p)+f(q) ≤f(m)+f(n) ……（14分）。

金丽衢十二校2019学年高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I N M =I ð（ ）A. {0}B. {3}C. {0，2，3}D. ∅ 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为集合}{0,1,2,3I =，集合{0,1},{0,3}M N ==，所以{}2,3I M =ð，{}()3I N M =I ð故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.双曲线2231x y -=的渐进线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y =D. 3y x =±【答案】C【解析】【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，求得,a b ，写出其渐进线方程. 【详解】因为双曲线的标准方程为：22113x y -=，所以1a b ==，所以双曲线的渐进线方程为b y x a=±=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件236021x y y x -+⎧⎨-⎩……，则z =3x +y 的最小值为（ ） A. 13 B. 3 C. 2D. 1 【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，根据z 的几何意义求解即可.【详解】22,12|1|22,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩Q∴该不等式组对应的平面区域，如下图所示3z x y =+可化为3y x z =-+平移直线3y x =-，当直线过点(0,2)A 时，z 取最小值即min 3022z =⨯+=故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 2B. 23C. 1D. 4 【答案】A【解析】【分析】将三视图还原可得一个以俯视图为底面直三棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案.【详解】解：将三视图还原可得一个以俯视图为底面的直三棱柱， 所以112222V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图求体积，根据已知分析出几何体形状，是解答的关键.5.设m ∈R ，已知圆1:C 221x y +=和圆2C ：2268300x y x y m +--+-=，则“21m >”是“圆C 1和圆C 2相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 的【解析】【分析】根据题意先求出两圆心的距离12C C ，再利用圆C 1和圆C 2相交列不等式121212||r r C C r r -<<+求出m 的范围，即可得答案.【详解】解：由已知圆2C ：()()22345x y m -+-=-，若圆C 1和圆C 2相交，则121||5C C <==<，解得2141m <<，“21m >”是“2141m <<”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查充分性和必要性的判断，关键是熟练判断圆与圆的位置关系，是基础题.6.已知函数f （x ）的定义域为D ，其导函数为()f x '，函数'sin ()()y x f x x D =⋅∈的图象如图所示，则f （x ）（ ）A. 有极小值f （2），极大值f （π）B. 有极大值f （2），极小值f （0）C. 有极大值f （2），无极小值D. 有极小值f （2），无极大值【答案】D【解析】【分析】 通过sin x 的正负取值以及'sin ()x f x ⋅的正负取值，可判断函数()f x 在定义域D 上的单调性，进而可判断极值的取值情况．【详解】解：当()0,x π∈，sin 0x >，当()(),0,2x πππ∈-U ，sin 0x <则由图像可得当(),2x π∈-时，()0f x '≤，当()2,2x π∈时，()0f x '≥，故函数()f x 在(),2π-上单调递减，在()2,2π上单调递增，则由图像可得函数f （x ）在定义域D 上，先减后增，有极小值f （2），无极大值.故选：D.【点睛】本题考查导函数的图像和原函数单调性之间的关系，考查函数在某点取得极值的条件，考查学生识图用图能力，是基础题.7.设01,a n R <<∈，随机变量X 的分布列是则随机变量X 的方差D （X ）（ ）A. 既与n 有关，也与a 有关B. 与n 有关，但与a 无关C. 既与a 无关，也与n 无关D. 与a 有关，但与n 无关【答案】D【解析】【分析】根据分布列计算()E X n a =+，再计算()2D X a a =-，得到答案. 【详解】根据分布列得到()()()11E X n a n a n a =-++=+，故()()()()()()2223232112D X a n E X a n E X a a a a a a a =--++-=-+-+=-. 故选：D.【点睛】本题考查了根据分布列求方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.设正数数列{}n a 满足12n n a a a S +++=L ，21n n S S S T =L ，1n n S T +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和属于（ ）A. (0,500)B. (500,1000)C. (1000,2000)D. (2000,3000) 【答案】A【解析】【分析】由已知可得211n n S S S S =-L ，对n 赋值分别求出123,,S S S ，猜想n S ，然后验证，进而可求出n a ，从而可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和.【详解】因为21n n S S S T =L ，1n n S T +=，所以211n n S S S S =-L ，当1n =时，111S S =-，所以112S =， 当2n =时，1221S S S =-，即22112S S =-，所以223S =， 当3n =时，12331S S S S =-，即33113S S =-，所以334S =， 猜想：1n n S n =+，则11n T n =+，代入已知检验等式21n n S S S T =L ，1n n S T +=成立， 所以当2n ≥时，2211111(1)(1)n n n n n n n a S S n n n n n n ---+=-=-==+++，又1112a S ==， 所以1(1)n a n n =+，所以1(1)n n n a =+， 所以12101111223910330(0,500)a a a +++=⨯+⨯++⨯=∈L L . 故选：A.【点睛】本题主要考查数列和的概念及知n S 求n a ，属于中档题.9.在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则（ ）A. 2αβγ<<B. 2βαγ<<C. 2αγβ<<D. 2βγα<<【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出三棱锥P ABC -，作PH ⊥平面ABC ，即可得直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角，由三角形边角关系即可判断大小.【详解】三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，作出几何关系如下图所示：作PH ⊥平面ABC ，连接,,DH EH AH ，则PDH ∠即为直线PD 与平面ABC 所成角α,即sin sin PH DPDH P α∠==， 则PEH ∠即为直线PE 与平面ABC 所成角β,即sin sin PH EPEH P β∠==， 则PAH ∠即为直线PA 与平面ABC 所成角γ,即sin sin PH A PAH P γ∠==， 且α，β，γ0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.因为PCB ∠为钝角，,AD PD =所以PE PD <，则PH PH PD PE<，所以sin sin αβ<，即αβ<， 由E 在线段AC 上，平面PBC ⊥平面ABC ，所以EAP V 为钝角三角形，AEP ∠为钝角；AEH △为钝角三角形，AEH ∠为钝角； 由余弦定理可知222cos 02EA EP PA AEP EA EP+-∠=<⋅，因为AE PE =， 所以222EP PA <. 而22sin 22sin cos 2PH AH PH AH PA PA PAγγγ⨯==⨯⨯= 22sin sin 2PH AHPH AH AH AH PE PE PE AEPE ββ⨯<=⨯=⋅=⋅， 即sin 2sin AH AEγβ<⋅，因AEH ∠为钝角，所以1AH AE >，所以sin 2sin γβ>，即2γβ>， 综上可知2αβγ<<，故选：A【点睛】本题考查了直线与平面夹角的作法与大小比较，关键是找到直线与平面夹角，再由边角关系比较即可，属于难题.10.设t ∈R ，已知平面向量,a b r r 满足：||2||2a b ==r r ，且1a b ⋅=r r ，向量()c xa t x b =+-r r r ，若存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r ，则实数t （ ）A. 有最大值为2，最小值为32 B. 无最大值，最小值为32 C. 有最大值为2，无最小值D. 无最大值，最小值为0 【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得出2223,3a c x t c x t ⋅=+=+r r r ，从而将方程2230c a c -⋅+=r r r 化为2236230x x t t -+-+=，利用二次函数零点的分布求出t 的范围，即可得出答案. 【详解】设向量,a b r r 的夹角为θ ||||cos 2cos 1a b a b θθ⋅===r r r r Q ，1cos 2θ∴= [0,]θπ∈Q ，3πθ∴= ()2()()43a c xa t x b a xa t x b a x t x x t ⋅=+-⋅=+-⋅=+-=+r r r r r r r r 222222[()]2()()c xa t x b x a x t x a b t x b =+-=+-⋅+-⋅r r r r r r r 22222242223x xt x t xt x x t =+-+-+=+ 存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r即存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2236230x x t t -+-+= 即22()3623f x x x t t =-+-+在[0,]t 内有两个不同的零点 .22(0)0230()048300026016f t t f t t t t t t ⎧⎧-+≥⎪⎪⎪-+≥⎪⎪⇒∆>⎨⎨<<⎪⎪-⎪⎪<-<>⎩⎪⎩……，解得3,22t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 则实数t 的最小值为32，无最大值 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积公式的应用，利用二次函数零点分布求参数范围，属于中档题. 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.复数z满足：1,z i ⋅=+其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第______象限；|z |=______.【答案】 (1). 四 (2). 2【解析】【分析】根据条件得到z =，根据复数的除法运算整理为z a bi =+的形式，即可求解.【详解】因为1,z i ⋅=所以z i === 所以z对应的点的坐标为)1-， 故z 对应的点位于复平面的第四象限，因为z i =，所以2z =.故答案为：四；2.【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，复数模长的计算，考查运算能力，属于基础题.12.若二项式23()nx x -展开式中各项系数之和为64，则n =______；其展开式的所有二项式系数中最大的是______（用数字作答）【答案】 (1). 6 (2). 20【解析】【分析】取1x =得到264n =，解得6n =，再计算二项式系数最大值得到答案.【详解】取1x =得到(13)64-=n ，解得6n =；故二项式系数为6r C ，当3r =时，二项式系数最大为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯. 故答案为：6；20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在看考查学生的计算能力和应用能力. 13.设R,0,a b ∈>已知函数()21,12,1x a x f x b x x x π+-≤=⎨⎪+>⎪⎩是奇函数，则a =______；若函数()f x 是R 上的增函数，则b 的取值范围是______.【答案】 (1).12(2). 1,1⎤⎦ 【解析】【分析】由()00f =可算出12a =，由函数()f x 是R 上的增函数可得b y x x =+在()1,+∞上单调递增且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值，然后即可求出b 的取值范围.【详解】因为()f x 是奇函数，定义域为R所以()0210f a =-=，解得12a =因为函数()f x 是R 上的增函数 所以b y x x=+在()1,+∞上单调递增，所以1b ≤且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值12b π≤+，解得1b ≥-综上：b的取值范围是1,1⎤⎦ 故答案为：12；1,1⎤⎦ 【点睛】本题考查的是分段函数的奇偶性和单调性，考查了学生的转化能力和计算能力，属于中档题. 14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =4，C =2A ，3a =2c ，则cosA =______；a =______.【答案】 (1).34(2). 165 【解析】【分析】 由正弦定理可知3sin 2sin 2A A =，结合二倍角的正弦公式可求出3cos 4A =；由余弦定理结合32a c =可得22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，从而可求出165a =或4，由22C A π=<可排除4a =这一情况，进而可得正确答案. 【详解】解：由正弦定理知，sin sin a c A C=，因为32a c =，2C A =， 所以3sin 2sin24sin cos A A A A ==，即3cos 4A =； 由余弦定理知，2222216cos 28b c a c a A bc c+-+-==，因为32a c =， 所以22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，整理得，2536640a a -+=，解得165a =或4.因为3cos 42A =>，所以4A π<，则22C A π=<.当4a =时，6c =， 则2222224461cos 22448a b c C ab +-+-===-⨯⨯，此时2C π>不符合题意，因此165a =. 故答案为: 34;165【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了二倍角公式.本题的关键是由正弦定理边角互化求出cos A .本题的易错点是未对a 的结果进行取舍.15.设F 是椭圆22143x y +=上右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线34120x y --=的动点，则PA PF -的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】根据椭圆方程可知()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-.根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==，则()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-， 即PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值即可，利用图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，利用点到直线的距离公式求出AF '的值，进而可得出结论.【详解】解：Q F 是椭圆22143x y +=上的右焦点， 24a =，23b =， ∴2221c a b =-=，即()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-. 根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==. ∴4PF PF '=-，()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-. 则PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值，根据图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，则3AF '==. 则此时44341PA PF AF ''+-=-=-=-.所以PA PF -的最小值为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，考查点到直线的距离公式，考查数形结合能力，属于中档题. 16.两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有______种.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】对于不相邻的问题，运用插空的方法，先排出红球，再将黑球插空在红球的空隙之中，再将白球插在红球和黑球的空隙中可得答案.【详解】第一步：先将两个相同红球，排成一排，只有一种排法，第二步：情况1:再在两个红球的空隙中插入一个黑球，剩下的一个黑球有122C =种排法， 再将两个相同的白球插在红球和黑球的空隙中有2510C =种排法，所以由分步乘法原理得共有21020⨯=种排法，所以情况1共有20种排法；情况2：两个黑球分别放在红球的两侧，有1种方法，再将1个白球放于两个红球之间，剩下的1个白球再在红球和黑球之间插空，有14C 4=种方法，因此对于情况2共有4种排列方法；情况3：两个黑球一起放在红球的一侧，有2种方法，再分别在相邻的红球和相邻的黑球之间各放一个白球，只有一种放法，因此情况3共有2种放法；情况4：两个黑球一起放在红球之间，有1种放法，再在两个黑球之间放一白球，红球和黑球的空隙中再插入1个白球，共有4种放法，因此情况4共有4种放法；根据分类计数原理可得：所有的放球方法共有20+4+2+430=种方法；故答案为：30.【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的,对于较难问题，我们可以采取分步来做,不相邻的问题运用插空法，属于中档题.17.已知函数()()()()ln ,3f x x x a g x ff x =-+=+有4个零点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()21,2e -【解析】【分析】利用导数求得函数()f x 的单调性与最值，得到10a ->，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，得出()13f x x +=有两个零点，再结合()23f x x +=，得出22x a <+，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()ln f x x x a =-+，可得()111x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递递减， 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()11f a =-，要使函数()f x 有零点，则10a ->，可得1a >，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，令()0g x =，即()()30f f x +=，则()13f x x +=，即()13f x x =-，则()13(3,1)f x x =-∈--有两个零点，又由()23f x x +=，即()23f x x =-，只需231x a -<-，即22x a <+，即(2)ln(2)20f a a +=+-<，解得22a e <-，综上可得：实数a 的取值范围是()21,2e -.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性，以及合理应用函数性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()()4sin 0,02x x f ϕωϕπω=+><<的部分图象如图所示(),f x 经过()1,0，当2x =-时(),f x 取到最小值.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数()()()2g x f x f x =++的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）6π=ω，116πϕ=. （Ⅱ）[]123,123k k -+，k Z ∈.【解析】【分析】（Ⅰ）根据图像中特殊点的位置，先求周期，进而求出ω的值，再代入特殊点，根据特殊点的对应关系可求出ϕ的值. （Ⅱ）根据题意求出()g x 的解析式，然后利用整体思想的应用求出函数的单调区间.【详解】解：（Ⅰ）由图像可知，34T =，∴ 12T =，则2=126ωππ=； 又()4s =16in 0f πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴5+k 6πϕπ=.因为在1x =处为上升零点，且02ϕπ<<，所以116πϕ=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()6114sin 6x x f ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，11()4sin 4sin 6666x x g x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8sin cos 666x x πππ==， 解22262x k k πππππ-≤≤+得：123123k x k -≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是[]123,123k k -+，k Z ∈.【点睛】本题考查根据三角函数的图像求解析式，考查三角函数式的恒等变换以及正弦函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.19.如图，三棱锥P ABC -的底面是边长为3的等边三角形，侧棱3,4,5,PA PB PC ===设点M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（Ⅰ）求证：BC ⊥面AMN ；（Ⅱ）求直线AP 与平面AMN 所成角.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）30°【解析】【分析】（Ⅰ）根据边长关系可以计算PB BC ⊥，由传递性可得MN BC ⊥，再根据等边三角形的性质可知AN BC ⊥，由此可证明. （Ⅱ）利用BC ⊥面AMN 的关系，过P 做面AMN 的垂线PQ ，则PAQ ∠为所求角，根据长度关系可求出角的正弦值，进而求出角的大小.【详解】（Ⅰ）因为3BC =，4,5,PB PC ==所以PBC ∆为直角三角形，由勾股定理逆定理可知PB BC ⊥，所以MN BC ⊥，在等边三角形ABC 中，N 为BC 中点，所以AN BC ⊥，又PB BC B ⋂=，所以BC ⊥面AMN .（Ⅱ）延长NM 到Q ，使NM MQ =，连接PQ ，AQ ，于是四边形PQNB 为平行四边形.所以PQ BN P ， 根据前一问的结论可知PQ ⊥面AMN ，所以PAQ ∠直线直线AP 与平面AMN 所成角.在直角三角形PAQ 中，312sin 32PQ PAQ AP ∠===，所以30PAQ ∠=︒.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面角的求法，考查线面角的定义，熟练掌握线面角的定义是解题的关键，本题属于中档题.20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：()*21N n n n a S n n n -+∈+=.（Ⅰ）求证：数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求S n ，并求S n 的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1112n n S n =-+，1180. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题得21n n n a S n n -+=+，①，1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥ ②，两式相减得1112(1)(1)n n a a n n n n -⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭，即得数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求出11121n n a n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，再利用分组求和裂项相消法求出n S ；分析得到当5n ≥时，1n n S S ->，当4n ≤时，1n n S S -≤，即得n S 的最大值为4S 得解.【详解】解：（Ⅰ）因为21n n n a S n n-+=+，① 1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥， ② 由①-②可得， 当2n ≥时，122122n n n n a a n n n n ----=-+-， 所以122122(1)n n n n a a n n n n --++--=-+-， 所以1222122(1)n n n n a a +n n n n n n --+--=-++-， 所以1222212(11)(1)(1)n n n a a +=+n n n n n n n n n -----=-+-+- 整理得，1112(1)(1)n n a a n n n n-⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭， 所以11(1)112(1)n n a n n a n n-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+-， 又11122a +=，所以1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为首项公比均为12的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)2n n a n n +=+， 所以111112(1)21n n n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以1111111122231n n S n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭L ， 故有1112n n S n =-+， 因为111(1)12(1)(1)2n n n n n a n n n n +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， 令(1)()12n n n f n +=-，则1(1)(2)(1)()2n n n f n f n ++-+-=， 所以(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f <=>>L ，又()10f =，()40f >，()50f <，所以当5n ≥时，0n a <即1n n S S ->，当4n ≤时，0n a ≥即1n n S S -≤，因此n S 的最大值为4111151680S =-=. 【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查分组求和裂项相消法求和，考查公式法求和，考查数列n S 的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2y ax =上一点()0,5M x 到焦点的距离为214，过()1,0P -作两条互相垂直的直线1l 和2l ，其中斜率为()0,k k >1l 与抛物线交于A ，B ，2l 与y 轴交于C ，点Q 满足：,.AP PB QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求抛物线的方程；（2）求三角形PQC 面积的最小值.【答案】（1）2y x =； （2）12【解析】【分析】 （1）根据抛物线定义，()0,5M x 到焦点的距离等于到其准线的距离，求得抛物线方程；（2）应用设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式，将点,Q C 的纵坐标均用k 表示出来，再表示出,PQ PC ，从而表示出三角形的面积，再求最值.【详解】解：（1）抛物线2y ax =化为标准方程为：21x y a=，其准线为14y a =-， 则1215()44a --=，得1a =,故抛物线的方程为2y x =. （2）由题1:(1)l y k x =+,21:(1)l y x k =-+，则1(0,)C k -， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，则2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩，得20x kx k --=， 则12x x k +=，12x x k =-.由AP PB λ=u u u r u u u r ,则1122(1,)(1,)x y x y λ---=+,得12y y λ=-, QA QB λ=u u u r u u u r ,则10102020(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,得1020y y y y λ-=-, 故101220y y y y y y --=-,得120122y y y y y =+ 又221212()y y x x k ==,21212(2)2y y k x x k k +=++=+,则20222k y k k=+,0||PQ ==2222k k k =+,||PC = 又PQC S ∆12PQ PC =⋅⋅2212k k k +=+, 令()g k =2212k k k++，0k > 则2222(1)()(2)k k g k k k --+'=+=22112(22(2)k k k k +---+则()g k在递减，在1()2++∞递增，故当12k +=时，()g k的最小值为12g ⎛+= ⎝⎭12， 故三角形PQC【点睛】本题考查了抛物线定义，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式化简等常用技巧，表示出三角形的面积公式后，表达式较复杂，可利用导数工具求最值. 22.已知函数())0f x a =>有两个不同的极值点. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意R,m ∈存在[),,x e ∈+∞使得()f x m k -≥成立，证明：k < 【答案】（Ⅰ）1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求得'()f x ，令()'0f x =，得到2ln 20a x x --+=，设2()ln 2a g x x x=--+， 利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，列出不等式组，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到()210a g e e=->，把对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立，转化为()()0022f x b f x k -≤≤，化简()0f x == 令()2ln ()x h x e x e x=<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由函数())0f x a =>，则'2ln 2())a x f x x a --+=>， 令()'0f x =，可得2ln 20a x x--+=， 设2()ln 2a g x x x =--+，则'22()a x g x x -=，令()'0g x =，解得2x a =， 列表如下：所以()g x 的极大值为()()21ln 2g a a =-，又因为()2220a g e e =-<， 所以函数()f x 有两个不同的极值点等价于()0(2)0g a g a <⎧⎨>⎩，解得12e a <<， 因此实数a 的取值范围为1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()210a g e e =->， 设()g x 的较大零点为0x ，则()20,x e e∈， 且()0,x e x ∈，()'0f x >；()0,x x ∈+∞，()'0f x <，所以()f x 在()0,e x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，从而()f x 有最大值为()0f x ，又当x e ≥时，()0f x >，故可设函数()f x 的值域为()(0,b f x ⎤⎦，其中0b ≥，由题意：对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立， 等价于()()0022f x b f x k -≤≤， 而()0f x =，且()000022ln 2x a a x x x -=-=，所以()0f x ==20e x e <<， 令()2ln ()x h x e x e x=<<，则'21ln ()0x h x x -=<， 所以()h x 在()2,e e 上单调递减， 所以1()()h x h e e <=，故()0f x < 因此()02f x k ≤<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。