新课标高考数学二轮复习：《空间几何体的表面积和体积》课件

∴V＝12(V 球－V 锥上－V ) 锥下 ＝1243πR3－13πCD2AD＋BD＝130π.
A
例 3、如图，在一个直三棱柱（底面为 A1B1C1）被一个
平面 ABC 所截得的几何体中，A1B1=B1C1=1，
C
∠A1B1 C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，
求此几何体的体积
B A1
C1
B1
【解析】 方法一：根据原几何体的特点，可以分别延长 AA1、
BB1、CC1，将原几何体补为直三棱柱 方法二：不规则几何体还可以通过割补法解决
此题可以过 B 做截面 BDE∥平面 A1B1C1，这 样就将几何体分成了一个三棱柱和一个四棱 锥。
P A
C
B A1
C1 B1
R Q
A
C
D
E
B A1
1．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和． (2)圆柱、圆锥的侧面展开图分别是 矩形 、 扇形 ． (3)若圆柱、圆锥的底面半径为 r，母线长 l，则其表面积为
S 柱＝ 2πr2＋2πrl 、S 锥＝ πr2＋πrl . (4) 球的表面积为 4πR2 .
2．几何体的体积
1
SABS
2
53 3 5 2
SSBC
1 2
1 2
1
SSAC
1 2
10 2
10
S表
5+3 2
5+
10
三棱锥的高 h＝2 ，
V＝13Sh＝13×32×2＝1．
例2 如图所示，在直径 AB＝4 的半圆 O 内作 一个内接直角三角形 ABC，使∠BAC＝30°，将 图中阴影部分，以 AB 为旋转轴旋转 180°形成一 个几何体，求该几何体的表面积及体积．

三个侧面两两垂直 , 且侧棱长均为 3 , 则其外接球的表面积是 _________ .
[学例2] ( 2007 全国卷)一个正四棱
柱的各个顶点在一个直 径为2cm 的球面 上 .如果正四棱柱的底面边 长为1cm , 那 么该棱柱的表面积为 ______ cm .
2
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[例3] 如图, 三棱柱ABC A1 B1C1中,
底面是边长为 a的正三角形, 侧棱长也 为a , 且A1 AB A1 AC 60. (1) 证明 : 三棱锥A1 ABC是三棱锥; ( 2) 证明 : 三棱柱的 侧面BCC1 B1是矩形; ( 3) 求棱柱的侧面积 .
[学例1] ( 2008 福建卷)若三棱锥的
[例2] ABCD中, 点E是AB的中点, 点F是BC的中
点, 将AED, DCF分别沿DE , DF折起, 使 点A, C重合于点A' , 求三棱锥A' EFD的体 积.
如下图, 在边长为2的正方形
A E B F
D E C B
A(A') D
F
[变式] 将棱长为 1的正方体ABCD
A1 B1C1 D1中截去一角B1 A1 BC1 , 求 三棱锥B1 A1 BC1的体积, 并求三棱锥 B1 A1 BC1的高.
1. 正方体的体对角线长为 3cm , 则它 的体积为( A. 4cm
2
) B 8cm
2
112 2 C. cm 72
D . 3 3cm
2
2. 棱长都是1的三棱锥的表面积为 ( A. 3 B. 2 3 C. 3 3
)
D. 4 3
3. 棱长为2的正方体的内切球的表 面积为 ________ .

考 点 探 究 • 挑 战 高 考
答案： 3
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
5．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直 角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是________．
8π 答案： 3
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ . 2 1 ∴S△ABC＝ AB· BC 2 1 ＝ × 2×2＝ 2， 2 1 ∴VEABC＝ S△ ABC· EG 3 1 2 1 ＝ × 2× ＝ . 3 2 3
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱 柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大， 削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半 径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
考点探究•挑战高考
考点突破 几何体的表面积 求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征 几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形， 棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表 面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧 面展开图的面积．
双 基 研 习 • 面 对 高 考
考 点 探 究 • 挑 战 高 考

空间几何体的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl
S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧 面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
A.17 27
B.5 C.10 D.1
9
27
3
(2)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积等于________cm3.
(3)三棱锥 P-ABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱
锥
D-ABE
的体积为
V 1，P-A B C
的体积为
V
2，则VV
1＝________.
2
又∵长方体表面积重叠一部分， ∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填 空题．
2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积； (3)求以三视图为背景的几何体的体积．
[例 2] (1)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( )
2．直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转一
周所得的几何体的体积为( )
A．12π
B．16π
C．9π
D．24π
解析：选 B 以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆

(3)S 圆台表＝____π__(R_2_＋__r_2＋__R_l_＋__r_l)___________________
(R 为下底面圆的半径，r 为上底面圆的半径，l 为圆台的 母线长)．
5．球的表面积公式：S 表面＝___4_π_R__2 _(R 为球的半径)．
[探究] 根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系，你能发现三 者的表面积公式之间的关系吗？
2．棱柱的侧面展开图是由平__行__四__边__形__构成的平面图形；棱 锥的侧面展开图是由_三__角__形_____构成的平面图形；棱台的侧面 展开图是由___梯__形_____________构成的平面图形．
3．多面体的表面积，又称全面积，是多面体的底面积与侧 面积的和，也即多面体各个面的面积的和．
为底面面积，h 为柱体的高)．
1
2．锥体的体积公式：V 锥体＝___3_S_h___________________(S 为底3面．面台积体，的h体为积锥公体式的：高V)台．体＝_____13_(_S_′＋____S′__S_＋__S_)_h___(S′、
S 为上、下底面面积，h 为台体的高)． 4．球的体积公式：V 球＝_4_._43π __R__3 _(R 为球的半径)． [探究] 根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
[答案] B
2
► 题组二 求几何体的体积 【例题演练】
例 1 已知一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图均为 全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么 这个几何体的体积为( )
A．1
1 B.2
1 C.3
1 D.6
[答案] D
例 2 已知一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱 形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的一个 圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从中取出后，则杯 里的水将下降(取π＝3.14)( )

答案：D
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相 切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上， 则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径． 设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 的半径为 R.
由于∠AOB＝90°， 所以 VO ­ABC＝VC ­AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6， 故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球 的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3， 所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3， 故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时， 要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球 的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角 线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据 求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作 出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．

3＝
3 3 π.
索引
考点三 多面体与球的切、接问题
///////
【例3】 (经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 9
为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____2_π___. 解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
个半圆，则此圆锥的体积为( A )
3 A. 3 π
3 B. 3
C. 3π
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
D. 3
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝ห้องสมุดไป่ตู้， 所以圆锥的高为 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3，
所以圆锥的体积为 V＝13πr2h＝13π×12×
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是 作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两 两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接球问题.
图(3)
索引
探究提高
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放 在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解.
索引
【跟踪演练2】 (1)(2021·杭州二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一
图(2)
索引
法三 如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点 N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABEDMN，所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN 的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为 VABE-DMN＝12×2×2×4＝8， VD-CMNF＝131＋2 2×2×2＝2， 所以所求几何体的体积为VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.

[例3] 如图 , 三棱柱 ABC A1 B 1C 1中 , 底面是边长为 a的正三角形 , 侧棱长也 为 a , 且 A1 AB A1 AC 60 .
(1 ) 证明 : 三棱锥 A1 ABC 是三棱锥 ; (2 ) 证明 : 三棱柱的 侧面 BCC 1 B 1是矩形 ; (3 ) 求棱柱的侧面积 .
ABCD中,点E是AB的 中 点,点F是BC的 中
点,将AED,DCF分别沿DE, DF折起,使
点A,C重 合 于 A点',求 三 棱 锥 A'EFD的 体
积.
A
D
A(A')
D
E
E
B
FC B
F
[变式] 将棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中截去一角 B1 A1BC1,求 三棱锥B1 A1BC1的体积,并求三棱锥 B1 A1BC1的高.
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/262022/1/262022/1/261/26/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/262022/1/26January 26, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/262022/1/262022/1/262022/1/26

单的几何体，研究空间几何体的表面积
和体积，应以柱、锥、台、球的表面积
和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、
球2的020/12表/12 面积和体积呢？
2
2020/12/12
3
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
2020/12/12
21
2020/12/12
22
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R3
V锥
1
3
R3
2020/12/12
23
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
S2r(rl)
2020/12/12
6
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
Sr(rl)
2020/12/12
7
思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r，母线长为l，那么圆台的表面 积公式是什么？
17
例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已 知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm， 内孔直径为10mm，，高为10mm，问这堆 螺帽大约有多少个？
V≈2956（mm3） =2.956（cm3）

解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3

R3

V球

1 3
4 3

R3
,V柱
R2
2R

2 R3
2
V球 3 V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22 2
2
1000(cm 2 ) 0.1(m 2 )
15
所以涂100个花盆需油漆：
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．

21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章 立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行 四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正 确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确， 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1­ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章 立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
第八章 立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章 立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的 截面图．

分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R 3a 2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
DБайду номын сангаасA
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
例题讲解
例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积．
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_________.
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
本 课 时 栏 目 开 关
第 1 课时 柱体、锥体、台体的表面积
[学习要求]
1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的
本
求法；
课 时
2．了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表
栏 目

2. 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公
式v=3 Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体 积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分 割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积， 从而得出几何体的体积.
(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面. ① 求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ② 利用“等积性”可求"点到面的距离".
5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积 是
正视图
侧视图
俯视图
解析： 此几何体为一圆锥与圆柱的组合体. 圆柱底面半径为r=a, 高为h₁=2a, 圆锥底面半径为r=a, 高为h₂=a . 故组合体体积为V=πr²h₁+
答案：
慎
KAODIAN
TUPO
JIEJIE
GAO
考点一
多面体的表面积
则三棱锥D-ABC 的体积为
()
A.
B.
C. a3
D.
解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点E, 沿AC折起后依题意得，当
BD=a 时，BE⊥DE, 所以DE⊥平面ABC, 于是三棱锥D-ABC 的高为DE=
a, 所以三棱锥D-ABC 的体积
答案： D
4.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 解析： 正方体的体对角线为球的直径. 答案： 27π
2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应 的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题.
例 3 如图所示，半径为R的半圆 内 的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，
旋转一周得到一几何体，求该几何