2018届高考数学二轮解答题滚动练1专题卷(全国通用)

阶段滚动练1(对应1～3练)(建议时间：60分钟)一、选择题1.已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B 等于( )A.[0，2]B.{0，1，2}C.(－1，2)D.{－1，0，1}答案 B解析 ∵集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{0，1，2}，故选B.2.(2017·山东)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N 等于( )A.(－1，1)B.(－1，2)C.(0，2)D.(1，2) 答案 C解析 ∵M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝{x |0＜x ＜2}∩{x |x ＜2}＝{x |0＜x ＜2}.故选C.3.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1＋3i 2z ＝1－i 3，则||z 等于( )A.12B.22C.24D.216答案 C解析 由题意得，z ＝1－i 3()1＋3i 2＝1＋i －2＋23i ⇒||z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i －2＋23i ＝24，故选C. 4.“1x＞1”是“e x －1＜1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 1x＞1⇔x ∈(0，1)，e x －1＜1⇔x ＜1， 所以为充分不必要条件，故选A.5.(2017·梅州一检)已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＋12x ＞2，命题q ：∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，则下列命题中为真命题的是( ) A.(綈p )∧(綈q ) B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.p ∧q答案 A解析 因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )为真命题，故选A.6.已知z i i －1＝i ＋1，则复数z 在复平面上所对应的点位于( ) A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限答案 B解析 由z i i －1＝i ＋1，则z ＝(i ＋1)(i －1)i ＝－2i ＝2i ， 所以复数z 在复平面上所对应的点位于虚轴上.7.如果复数2－a i 1＋i(a ∈R )为纯虚数，则a 等于( ) A.－2B.0C.1D.2 答案 D解析 2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－a －(2＋a )i 2， 由于复数为纯虚数，故2－a ＝0，a ＝2.8.对任意的实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“－1＜x －y ＜1”是“[x ]＝[y ]”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 取x ＝0.5，y ＝1.2，－1＜x －y ＜1，但不满足“[x ]＝[y ]”，故“－1＜x －y ＜1”不能。

解答题滚动练3
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c，3c－2b sin C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，c＝1，求a和△ABC的面积.
2.某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：
(1)计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s2；(结果精确到小数点后一位)
(2)从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.
3.(2017·巴蜀中学模拟)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF 为矩形，M，N分别是EF，BC的中点，AB＝2AF，∠CBA＝60°.
(1)求证：DM⊥平面MNA；
(2)若三棱锥A－DMN的体积为
3
3，求MN的长.
4.已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝9，M在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，圆M过原点且与C的准线相切.
(1)求C的方程；
(2)点Q()
0，－t(t＞0)，点P(与Q不重合)在直线l：y＝－t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B.求证：∠AQO＝∠BQO(其中O为坐标原点).。

阶段滚动练2(对应1～5练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.(2017·天津)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1，2，4，6}.又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}， 故选B.2.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由“x ≥2且y ≥2”可得“x 2＋y 2≥4”，但“x 2＋y 2≥4”不一定能够得到“x ≥2且y ≥2”，比如“x ＝1，y ＝3”，故选A.3.若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) A.||a >||b B.1a －b >1a C.1a >1b D.a 2>b 2 答案 B解析 两个负数中，最小的其绝对值最大，所以选项A 正确； 函数f (x )＝1x 在(－∞，0)上单调递减，因为a ＜b ＜0，所以f (a )＞f (b )，即1a ＞1b，所以选项C 正确；两个负数，越小的其平方越大，所以选项D 正确；因此选B.4.设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52 D.72答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去). 5.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( ) A.14 B.12 C.1 D.2 答案 C解析 由平面几何知识，得|AC →|＝2，∠BAC ＝60°， 则AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1，故选C.6.复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为( )A.－1B.1C.－75D.75答案 B解析 ∵i (－6＋i )|3－4i|＝－15－65i ，∴－15－⎝⎛⎭⎫－65＝1， 即复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为1.7.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则1(1＋i )x ＋y －3i 的虚部为( ) A.－325i B.－325 C.325i D.325答案 D解析 ∵(x －2)i －y ＝－1＋i ， ∴x ＝3，y ＝1， ∴1(1＋i )x ＋y －3i ＝1(1＋i )4－3i ＝1[](1＋i )22－3i ＝1－4－3i ＝－4－3i (4＋3i )(4－3i )＝－425＋325i ，故选D.8.非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是( ) A.a ∥b B.a ＋b ＝0 C.a ||a ＝b||b D.a ＝b答案 B解析 非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的充要条件为a ，b 反向，由选项，得非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是a ＋b ＝0，故选B.9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( ) A.－1B.－2C.1D.2答案 A解析 由题意，得BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBD →，即2a ＋p b ＝2t a －t b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝2，p ＝－t ，解得p ＝－1，故选A. 10.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 由题意得lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )， 即ab ＝a ＋b ⇒1a ＋1b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，故选B. 11.已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A.[－2，－1] B.[－2，1] C.[1，2] D.[－1，2]答案 D解析 由题意画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，平移直线0＝x －y 过点A (0，1)时，z 有最小值－1；平移直线0＝x －y 过点B (2，0)时，z 有最大值2，所以z ＝x －y 的取值范围是[－1，2].12.设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积.若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( ) A.8 B.9 C.16 D.18 答案 D解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°可得|AB →|·|AC →|＝4， 所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝1，所以x ＋y ＝12，则1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1＋4x y ＋y x ＋4≥2⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x ＝18， 当且仅当4x y ＝yx 时等号成立，故选D.二、填空题13.已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＜x ＜π2，B ＝{x |1＋tan x ＞0}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2 解析 由于tan x ＞－1，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2. 14.(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 方法一 由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12. 由0≤x ≤1，得0≤⎝⎛⎭⎫x －122≤14， 即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1. 方法二 x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy . 因为1＝x ＋y ≥2xy ， 所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.方法三 依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max＝|OA |2＝|OB |2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.15.(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.16.在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________.(填“重心”“垂心”“内心”“外心”) 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线. 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心. 三、解答题17.若当a ∈[1，3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0恒成立，求实数x 的取值范围. 解 设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，则当a ∈[1，3]时f (a )＞0恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2＞0，f (3)＝3x 2＋x －2＞0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，得x ＞2或x ＜－1.∴实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.已知集合A ＝{}x ∈R | 0＜ax ＋1≤5且a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪－12＜x ≤2.(1)若A ＝B ，求实数a 的值；(2)若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B 且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ， ∴⎩⎨⎧－1a ＝－12，4a ＝2⇒a ＝2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，显然A ≠B ， 故A ＝B 时，a ＝2.(2)p 是q 的充分不必要条件⇒A B ， 0＜ax ＋1≤5⇒－1＜ax ≤4，当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ，则 ⎩⎨⎧－1a ＞－12，4a ≤2或⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ＜2，解得a ＞2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，则 ⎩⎨⎧4a ＞－12－1a ≤2⇒a ＜－8.综上，实数a 的取值范围是a >2或a ＜－8.19.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，求在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值.解 设生产产品A 、产品B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，①故z ＝2 100x ＋900y . 二元一次不等式组①等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域.将z ＝2 100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，平移直线y ＝－73x ，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，所以当x ＝60，y ＝100时， 得点M 的坐标为(60，100).z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元.20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即当x ＝1810时，上述不等式中等号成立.故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元.。

专题能力训练5 导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0<a<B.<a<C.a≥D.0<a<4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极大值点,2个极小值点B.2个极大值点,1个极小值点C.3个极大值点,无极小值点D.3个极小值点,无极大值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=.11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于∀t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能力训练5导数及其应用1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且0<y'≤1,当且仅当x=0时等号成立,故在函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象的切线中,x=0处的切线倾斜角最大,其值为,由此可知αmax=.故选D.7.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,又∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成立.故选A.8.A解析设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-ln x1=(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有因为x2<0<x1,所以0<<2.又a=ln x1+-1=-ln-1,令t=,所以0<t<2,a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),则h'(t)=t-1-<0,所以h(t)在区间(0,2)上为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln,所以a∈.故选A.9.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等的实根,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.10.5解析f'(x)=3x2+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,则3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.11.(-2,0)∪(2,+∞)解析令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)==g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0⇔解得x>2或-2<x<0.故不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).12.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是.13.14.①②③解析由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4)也是其增区间,①正确.a[f(1)-f(3)]≥0,即2a(11a-c)≥0,导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的判别式144a2-12ac=12a(12a-c),当a>0时,12a-c>11a-c≥0,判别式为正数,当a<0时,11a-c≤0,12a-c≤a<0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,②正确.注意到f'(2)=c-12a,则③转化为f'(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于x=2是导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故③正确.15.解 (1)因为当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a<x<1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上单调递增.当-1<x<a时,由f'(x)=3x2-1,知①当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以f(x)min=min=min=a-.②当a∈时,f(x)在上递增,在上递增,在(a,1)上递增,所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=16.解 (1)∵f'(x)=a=a ln x,令f'(x)>0,当a>0时,解得x>1;当a<0时,解得0<x<1,∴当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+∞);当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)①∵h(x)=g'(x)=x2-f'(x)=x2-a ln x,∴由题意得h(x)min≥0.∵h'(x)=x-,∴当x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h()=a-a ln,由a-a ln≥0,得ln a≤1,解得0<a≤e.∴实数a的取值范围是(0,e].②由(1)知a=e时,h(x)=x2-eln x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,当x=时等号成立,∴x∈N*时,2eln x<x2,令x=1,2,3,…,n,累加可得2e(ln 1+ln 2+ln 3+…+ln n)<12+22+32+…+n2,即ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).。

解答题滚动练11.(2017届长郡中学模拟)四边形如％如图所示，已知AB=BC=CD=2, AD=2^3.(1)求/cos A~cos。

的值；(2)记△姗与△助的面积分别是S与&,求击+&的最大值.解⑴在△刃及?中，BD=A^+A〃—2AB・AD COS，=16一8也COS A,在△冏％中，BB=BO,CB—2BC,CD COS C=8—8COS C,所以漆cos A—cos C=l.(2)依题意强=£朋•应色比勺=12 —12cosW• 6Z^sin七 =4—4cos/所以 5?+&=12 — 12cos粉+4—4COS2C— 16—4(cos C~\~ 1)2—4cos2f =—Scos2^—8cos 61+12 = —8^cos C+^+14,因为2^ —2V刃V4,所以 8—8cos C= BBW (16 —16).解得一IVcos CVy^ —],所以5?+&W14,当cos C=一§时取等号，即§+戎的最大值为14.2.已知等差数列｛aj的公差为2,前刀项和为&且S, Si,但成等比数列.(1)求数列｛aJ的通项公式；(2)设G+D (a+5)，数列｛如｝的前〃项和为I，求证：T n<-⑴解L.等差数列｛&｝的公差为2,前”项和为，. 〃(刀一1) 2・・ &=刀31+ 言d-—- n n~\~nai....s, &, S成等比数列,1 - 5 -1 -2 +- 1 - 1 -3 +- 1 - 1 - 4+- 1 - 21 +刀.•.&=&・BP （22—2+2ai ）2=ai •（妒—4+4戚，化为（l + ai ）2=ai （3 + ai ）,解得 ai = l.31+（72— 1） d=l+2 （〃一 1） =2/1— 1.⑵证明由⑴可得&=2刀—1,则勿=（&,+ i ）（&+5）（2〃—1 + 1）（2〃—1 + 5厂 〃（〃+2厂 d2刀+3 2 （刀+1）（刀+2）V/?eN*,2刀+3.•.2（〃+1） （〃+2）＞°'3 2 刀+3 3 口口 3...「2（〃+1） （〃+2）3 即综上所述，3. 如图，在三棱柱 ABC-A^G 中，侧面 ACQAyL 底面/WG ZA l AC=60° , AC=2AA l = 4, 点D, £分别是WC 的中点.⑴证明：庞〃平面43C ；（2）若AB=2, ZBAC=60° ,求直线庞与平面ABB.A,所成角的正弦值.⑴证明取花的中点凡连接庭7, EF,... 0是死的中点，EF//AB,ABC —AiBC 是三棱柱，AB// AB,:.EF// AB,:.涉'〃平面AW,〃是的中点,1- 1一刀 +0,DF 〃 A 、C,:.班〃平面A^C.又 EFC DF= F,平面奶'〃平面ABC, :.庞〃平面ABC.(2)解 过点4作AO±AC,垂足为0,连接0B,•..侧面ACGA1底面ABC,:.40_L 平面如...AOLOB, AxOLOC.VZAJC=60° , 04 = 2,0A=\, 0A=y[3,'：AB=2, ZOAB=60° ,由余弦定理，得0^=0A + Aff-20A • ABcosZBAC=3,:.0B=y[3, ZAOB=90° ,OB LAC,分别以站，OC, <21所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

小题提速练(七)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由韦恩图知阴影部分表示的是A ∩(∁U B )，∵A ＝{x ∈N |2x (x －4)＜1}＝{1,2,3}，B ＝{x ∈N |y ＝ln(2－x )}＝{0,1}，∴阴影部分对应的集合是A ∩(∁U B )＝{2,3}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为22＝4.2．若复数a ＋3i1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－2C ．4D ．6 解析：选A.∵a ＋3i 1＋2i ＝a ＋－＋－＝a ＋＋－2a5为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0，解得a ＝－6.3．给出命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.关于以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A ．命题“p ∨q ”为假 B ．命题“p ∧q ”为真 C ．命题“p ∨﹁q ”为假D ．命题“p ∧﹁q ”为真解析：选A.命题p ：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q ：向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a·b ＜0，且不异向共线，－2λ－1＜0，解得λ＞－12，由－λ＋2＝0，解得λ＝2，此时a 与b 异向共线，因此向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)的夹角为钝角的充要条件为λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞且λ≠2，因此是假命题． 4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π解析：选B.几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为2的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R ＝22＋22，R ＝62，所以外接球的表面积为4πR 2＝6π. 5．下面图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )7 8 9 10 116 9 1 3 6 72 9 4 1 58 6 3 1 4图1图2A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.6．已知正数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( )A ．1 B.14 32 C.116D.132解析：选C.根据约束条件画出可行域，把z ＝4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y化成z ＝2－2x －y，直线z 1＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 1最小值是－4，∴z ＝2－2x －y的最小值是2－4＝116.7．已知函数y ＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A ＞0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析：选A.过Q ，P 分别作x 轴的垂线于B ，C ，∵函数的周期T ＝2ππ2＝4，∴MN ＝2，CN ＝1，∵∠PMQ ＝90°，∴PQ ＝2MN ＝4，即PN ＝2，即PC ＝PN 2－NC 2＝4－1＝3，∴A ＝ 3.8．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100D ．10200解析：选B.由题意可得a n ＝n 2cos(n π)＋(n ＋1)2cos[(n ＋1)π]＝(－1)n －1(2n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3－5＋7－9＋11－…＋199－201＝50×(－2)＝－100.9．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵x ≤0时，f (x )＝2x－12x ＋a ，∴f (0)＝20＋a ＝0，解得a ＝－1，故x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1，令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0，综上所述，函数f (x )的零点个数是3个．10．设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率kMA 1·kMA 2＜2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：选B.由题意可得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设M (m ，n )，可得m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2m 2－a 2＝b 2a 2，由题意k MA 1·k MA 2＜2，即为n －0m ＋a ·n －0m －a ＜2，即有b 2a 2＜2，即b 2＜2a 2，c 2－a 2＜2a 2，即c 2＜3a 2，c ＜3a ，即有e ＝ca＜3，由e ＞1，可得1＜e ＜ 3.11．已知△ABC 外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，∠C ＝π3，从圆O 内随机取一个点M ，若点M 取自△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.∵OA →·OB →＝－12，圆的半径为1，∴cos∠AOB ＝－12，又0＜∠AOB ＜π，故∠AOB ＝2π3，又△AOB 为等腰三角形，故AB ＝3，从圆O 内随机取一个点，取自△ABC 内的概率为334π，即S △ABC S 圆＝334π，∴S △ABC ＝334，设BC ＝a ，AC ＝b ，∵C ＝π3，∴12ab sin C ＝334，得ab ＝3①，由AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，得a 2＋b 2－ab ＝3，a 2＋b 2＝6②，联立①②解得a ＝b ＝3，∴△ABC 为等边三角形．12．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )成立，则( ) A ．3f (ln 2)＞2f (ln 3) B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3) C ．3f (ln 2)＜2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 解析：选C.令g (x )＝f xe x ，则g ′(x )＝f x x－f xxe2x＝f x －f xex，因为对任意x ∈R 都有f ′(x )＞f (x )，所以g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，又ln 2＜ln 3，所以g (ln 2)＜g (ln 3)，即feln 2＜feln 3，所以f2＜f3，即3f (ln 2)＜2f (ln 3)，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝________.解析：因为点P (2,2)满足圆(x －1)2＋y 2＝5的方程，所以P 在圆上，又过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ＝2－02－1＝2.答案：214．在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最大值为________．解析：∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC ＝π3－C ，∠ADC ＝2π3，在△ADC 中，根据正弦定理可得ADsin C ＝43sin 2π3＝DCsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋43＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为8＋4 3.答案：8＋4 315．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．解析：由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，可得y ＝±3·1－14＝±32，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设P (m ，n )，则m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝(m ＋1，n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32＝32n ≤332，可得F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案：33216．定义在R 上的函数，对任意实数都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝2，记a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2018＝________.解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3，∴f (x ＋1)≤f (x )＋1，∵f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2，∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1，∴f (x ＋1)－f (x )＝1，∴{a n }是以f (1)为首项，公差为1的等差数列． ∴a 2018＝f (2018)＝f (1)＋(2018－1)×1＝2019. 答案：2019。

全国 II 卷【理数 10 题】已知直三棱柱 C1 1C 1中，C120 ，2 ， C CC 1 1，则异面直线1与 C 1 所成角的余弦值为（）315 10 3A ．B ．C ．D ．2553【答案】 C【考点】 线面角解法二：向量法：取空间向量的一组基底为BA, BC , BB 1 ，则 AB 1 BB 1 BA ，BC 1 BC CC 1 BC BB 1 ，易知 AB 15， BC 12 ，2AB 1 BC 1 (BB 1 BA) (BC BB 1)= BB 1 BC BB 1BA BC BA BB 1 =2 ，1 与 C 1 所成角的余弦值为AB 1 BC 1 2 10，故此题答所以异面直线cos AB 1, BC 1BC 1AB 1 2 55案为 C.解法三： 建系法： 如下图， 以垂直于 BC 的方向为 x 轴， BC 为 y 轴， BB 1 为 z 轴，成立空间直角坐标系，则 B 1 (0,0,1), A( 3, 1,0), BC 1 (0,1,1), AB 1 ( 3,1,1) ，所以异面直线1与C 1 所成角的余弦值cosAB 1 BC 1 1 110，故此题答案为 C.AB 1 BC 12 55【理数 12 题】已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则PA ( PB PC)的最小值是（）A. 23 4D. 1B. C.2 3【答案】 B【考点】平面向量的坐标运算、函数的最值【剖析】平面向量中相关最值问题的求解往常有两种思路：①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,而后依据平面图形的特点直接进行判断；②“数化”,即利用平面向量的坐标运算 ,把问题转变为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,而后利用函数、不等式、方程的相关知识来解决．【分析】解法二：极化恒等式：取BC 的中点为M，则 PB PC 2PM ，于是PA (PB PC) 2PA PM ，根据极化恒等式可得PA PM=1(PA PM )2 (PA PM )21(2PN )2 ( MA)2 PN 2 33，应选 B.4 4 4 4解法三：代数法：如下图，若 PA ( PB PC ) 取最小值，则 PA 与PB PC 反向共线，即点P位于ABC 的中线上，中线长为22 12 = 3 ，设PA x ，则 PB PC =2( 3 x) ，所以PA (PB PC ) PA PB PC x 2( 3 x) 2x2 2 3x ；当x 3 时， PA (PB PC ) 获得最小值，此时，PA (PB PC )= 2 2 ( 3 )232 PA .2 2 2。

基础模拟(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{}x ∈R |0<x <2，N ＝{}x ∈R |x >1，则M ∩(∁R N )＝( )2．(导学号：)命题“若e x ＋x ≤1，则x ≤0”的否命题是( ) A ．若e x ＋x ≤1，则x >0 B ．若e x ＋x >1，则x ≤0 C ．若e x ＋x >1，则x >0 D ．若e x ＋x ≥1，则x ≥03．复数z ＝11＋2i 的虚部为( )A ．－25B ．－2 C.15D ．14．一组数据的平均数是2，方差是3，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．12, 13B ．2, 13C ．2, 3D ．12,35．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2，且a 4＝7，则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n ＋1 D ．3n －26．(导学号：)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≤6，x －y ≤3，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )B ．17 C.17 D ．57．在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直． 其中正确的命题是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④8．(导学号：)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．下图(左)就是阳马与鳖臑的组合体，如果图中鳖臑的三视图如下图(右)所示(小正方形的边长为1)，则该图中阳马的体积为( )A ．4B ．8C ．9D ．129．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于点A ，B ，若AB中点为(1，－12)，且直线AB 的倾斜角为45°，则椭圆方程为( )＋y 25＝1 ＋y 24＝1 C.2x 29＋4y 29＝1 ＋2y 29＝1 10．(导学号：)()x 2－2⎝⎛⎭⎫1x －15的展开式的常数项是( ) A ．8 B ．－8 C ．12 D ．－1211．(导学号：)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为2π，且其图象关于y 轴对称，则( )A ．f (x )在(0，π2)上单调递增B ．f (x )在(π4，3π2)上单调递减C ．f (x )在(0，π2)上单调递减D ．f (x )在(π4，3π2)上单调递增12．函数y ＝－1x的图象向右平移1个单位之后得到的函数图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的橫坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第13题图13．运行如图所示程序框图，若输入n ＝56，则输出结果为________．14．(导学号：)已知平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角为θ，且|b |＝5，|a －b |＝2，则cos θ＝________.15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1，y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线过点(1，－7)，则a ＝________.16．(导学号：)已知公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝12， 数列{a n S n ＋a 2n }也是公比为q 的等比数列，记数列{4a n ＋1}的前n 项和为T n ，若不等式12k4＋n －T n≥2n －7对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(导学号：)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(Ⅰ)求b 的值； (Ⅱ)求sin C 的值．18.(导学号：)(12分)东海学校从参加2016年迎新百科知识竞赛的同学中，选取60名同学，将他们的成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题.(Ⅰ)求分数在[)70，80内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[)40，70记0分，在[]70，100记1分，用Χ表示抽取结束后的总记分，求Χ的分布列和数学期望．19.(导学号：)(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面所成角为60°，AA 1＝2AC ＝4，AB ＝BC .(Ⅰ)已知点D 满足AD →＝AB →＋AC →，在直线BB 1上是否存在点P ，使得DP ∥平面A 1BC ？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，求二面角A 1－BC －B 1的余弦值．20.(导学号：)(12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点N ，过点N 作圆M ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为P 、Q ，且|PQ |＝423.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)过抛物线的焦点F 作斜率为k 1的直线与抛物线交于A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标均不为2，连接AM ，BM 并延长分别交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为k 2，问k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21.(导学号：)(12分)已知函数f (x )＝x －ax－2ln x ，a ∈R .(Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)<x 2－1.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(导学号：)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (Ⅰ)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(Ⅱ)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．23．(导学号：)[选修4－5：不等式选讲](10分) 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围．基础模拟(一)1．C 易知∁R N ＝{x ∈R |x ≤1}，又M ＝{x ∈R |0<x <2}，所以M ∩(∁R N )＝{}x ∈R |0<x ≤1.2．C 否命题是条件与结论都要改变，故所求否命题是“若e x ＋x >1，则x >0”．3．A 11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，则复数z 的虚部为－25.4．D 根据题意，平均数增加10，方差不变，则所得新数据的平均数和方差分别是12,3. 5．A ∵a 4＝S 4－S 3＝16A －9A ＝7A ＝7，∴A ＝1，∴a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n >1)，又a 1＝1＝2×1－1，符合上式，∴a n ＝2n － 1. 6．B 画出可行域，代入端点值可得最大值为17.7．D ①平行于同一个平面的两条直线有可能是平行直线、相交直线、异面直线，故①错误；②是正确的；③不共线的三个点分布在平面β的上下两边，则α与β相交，故③错误；④“过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直”是正确的，假如有两个平面与平面α垂直，那么这条斜线必与平面α垂直，矛盾．8．B 由题意及三视图可知，该几何体的直观图如图所示，其中AB ⊥平面BCD ，故体积为V ＝13×(12×3×2)×4＝4，易知阳马的体积为鳖臑的2倍，所以阳马的体积为8.9．C ∵12c －1＝1，∴c ＝32，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，2a 2＋－1b 2＝0，∴a2＝92，b 2＝94. 10．B C 25(－1)3－2C 05(－1)5＝－8.11．C f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π6)，因为f (x )的最小正周期为2π，所以2πω＝2π，解得ω＝1，又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )为偶函数，所以φ＋π6＝k π＋π2(k ∈z )，所以φ＝k π＋π3(k ∈z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos x ，所以f (x )在(0，π2)上单调递减．12．D 函数y ＝－1x 的图象按向量a ＝()1，0平移之后得到的函数y 1＝11－x，因为函数y 1＝11－x与y 2＝2sinπx 有公共的对称中心()1，0，作出两个函数的图象如下图：当1<x ≤4时，y 1<0，而函数y 2＝2sinπx 在()1，4上出现个周期的图象，在⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫52，72上是减函数，在⎝⎛⎭⎫32，52，⎝⎛⎭⎫72，4上是增函数，所以函数y 1＝11－x在()1，4上函数值为负数， 且与函数y 2＝2sinπx 的图象有4个交点E ，F ，G ，H .相应地，函数y 1＝11－x 在()－2，1上函数值为正数，且与函数y 2＝2sinπx 的图象有4个交点A ，B ，C ，D ，且x A ＋x H ＝x B ＋x G ＝x C ＋x F ＝x D＋x E ＝2，故所求的橫坐标之和等于8.13．6 S ＝1，i ＝2，S ＝4，i ＝3，S ＝11，i ＝4，S ＝26，i ＝5，S ＝57，i ＝6，故填6. |a －b |2＝|a |2＋|b |2－2ab ＝(2)2＝2，∴a·b ＝4，∴cos θ＝45×5＝45. 15．－13 若x ＜0，则－x >0 ∴f (－x )＝－x 3－ax ＋1 又∵f (x )为偶函数∴f (x )＝－x 3＋ax ＋1，x <0又∵y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线过点(1，－7)． ∴f (－1)＝1－a －1＝－a ，∴切点为(－1，－a ) f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(－1)＝3＋a ， ∴切线斜率为3＋a∴切线为y ＋a ＝(3＋a )(x ＋1) 代入(1，－7)得a ＝－13.16．[132，＋∞) a 1＝12，a 2＝q 2，∵a 2S 2＋a 22＝(a 1S 1＋a 21)q ，化简得q ＝12，则a n ＝(12)n,4a n＋1＝4(12)n ＋1，T n ＝4×12[1－(12)n ]1－12＋n ＝4＋n －42n .由不等式12k4＋n －T n≥2n －7恒成立，得3k ≥2n －72n 恒成立，设d n ＝2n －72n ，由d n ＋1－d n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝－2n ＋92n ＋1，∴当n ≤4时，d n＋1>d n ，当n ≥5时，d n ＋1<d n ，而d 4＝116，d 5＝332，∴d 4<d 5，∴3k ≥332，∴k ≥132.17．解：(Ⅰ)由余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝35，即22＋52－b 22×2×5＝35，解得b ＝17.5分(Ⅱ)由cos B ＝35得sin B ＝45.7分由正弦定理，sin C c ＝sin B b ，即sin C 5＝4517，解得sin C ＝41717.12分18．解：(Ⅰ)设分数在[)70，80内的频率为x . 根据频率分布直方图，则错误!×10＋x ＝1，可得x ＝0.3.2分 所以频率分布直方图如图所示．4分 (Ⅱ)学生成绩在[)40，70的有×60＝24人，在[]70，100的有×60＝36人，并且X 的可能取值是0,1,分P (X ＝0)＝C 224C 260＝46295，P (X ＝1)＝C 124C 136C 260＝144295，P (X ＝2)＝C 236C 260＝105295，9分故X 的分布列为10分故X 的数学期望E (X )＝0×46295＋1×144295＋2×105295＝354295.12分 19．解：(Ⅰ)由点D 满足AD →＝AB →＋AC →，可知点D 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的顶点，作平行四边形ABCD ，连接DB 1，则AB 綊分又三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 綊A 1B 1， 则A 1B 1綊CD ，3分∴四边形A 1B 1DC 为平行四边形， ∴A 1C ∥B 1D ，又B 1D ⊄平面A 1BC ， ∴DB 1∥平面A 1BC ，即在直线BB 1上存在点P (即B 1)满足DP ∥平面分 (Ⅱ)连接A 1C ，作CO ⊥A 1B 于O ，在平面ACC 1A 1内作A 1C ′⊥AC ，垂足为C ′，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1C ′⊥平面ABC ， ∴∠A 1AC ′是AA 1与底面所成的角，∠A 1AC ′＝60°，∴AA 1＝2AC ′， 又AA 1＝2AC ，∴C 与C ′重合， ∴A 1C ⊥平面分而AB ⊂平面ABC ，∴A 1C ⊥AB .又平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，CO ⊥A 1B ， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1，∴CO ⊥AB ，又CO ∩A 1C ＝C ， ∴AB ⊥平面A 1BC ，∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是以斜边AC ＝2的等腰直角三角形.7分 以AC 的中点M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，则B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,1，23)，C 1(0,3，23)．设BC 的中点为E ，则E (12，12，0)，则ME →＝(12，12，0)，即为平面A 1BC 的一个法向量.9分 又CB →＝(1，－1,0)，CC 1→＝(0,2,23)，设平面C 1BC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，x －y ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－3z ，x ＝y ，可取n ＝(3，3，－1)，11分则cos 〈n ，ME →〉＝n ·ME →|n ||ME →|＝32＋3212×7＝427，即二面角A 1－BC －B 1的余弦值为427.12分20．解：(Ⅰ)由已知得N (－p2，0)，M (2,0)．设PQ 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|PR |＝223.于是|MR |＝|PM |2－|PR |2＝13.由△PNM ∽△RPM 得|PM ||RM |＝|NM ||PM |，∴|NM |＝3，即2＋p2＝3，p ＝2.故抛物线的方程为y 2＝分(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 21－y 224＝4y 1＋y 2，同理k 2＝4y 3＋y 4.设AC 所在直线的方程为x ＝ty ＋2，与y 2＝4x 联立，得y 2－4ty －8＝0，所以y 1y 3＝－8，同理y 2y 4＝－8，所以k 2＝4－8y 1＋－8y 2＝(－12)·y 1y 2y 1＋y 2.设AB 所在直线的方程x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4，所以k 2＝(－12)·y 1y 2y 1＋y 2＝2y 1＋y 2，所以k 1k 2＝2，即k 1k 2为定值分21．(Ⅰ)解： 函数f (x )＝x －a x －2ln x 的定义域为()0，＋∞，f ′(x )＝1＋a x 2－2x ＝x 2－2x ＋ax 2，1分令f ′(x )＝0，得x 2－2x ＋a ＝0， 其判别式Δ＝4－4a ，①当Δ≤0，即a ≥1时，x 2－2x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，此时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 2分②当Δ>0，即a <1时，方程x 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a >1，3分若a ≤0，则x 1≤0，则x ∈(0，x 2)时，f ′(x )<0，x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0， 此时，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增；4分若a >0，则x 1>0，则x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，此时，f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.5分 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，函数f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增；当a ≥1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，等价于方程x 2－2x ＋a ＝0在(0，＋∞)有两不等实根，故0<a <分由(Ⅰ)得，x 2＝1＋1－a ，且1<x 2<2，a ＝－x 22＋2x 2.f (x 2)－x 2＋1＝x 2－－x 22＋2x 2x 2－2ln x 2－x 2＋1＝x 2－2ln x 2－1，8分令g (t )＝t －2ln t －1,1<t <2，则g ′(t )＝1－2t ＝t －2t.9分由于1<t <2，则g ′(t )<0，故g (t )在(1,2)上单调递减． 故g (t )<g (1)＝1－2ln1－1＝分所以f (x 2)－x 2＋1＝g (x 2)<0.所以f (x 2)<x 2－分22．解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0； 曲线C 的直角坐标系方程为 ⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝分因为圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离为d ＝||522＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离.5分(Ⅱ)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，7分则x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈[]－2，2.10分 23．解：(Ⅰ)当x <－2时，f (x )＝||2x －1－||x ＋2＝1－2x ＋x ＋2＝－x ＋3， 由f (x )>0，即－x ＋3>0，解得x <3. 又x <－2，所以x <－2；当－2≤x ≤12时，f (x )＝||2x －1－||x ＋2＝1－2x －x －2＝－3x －1，由f (x )>0，即－3x －1>0，解得x <－13.又－2≤x ≤12，所以－2≤x <－13；当x >12时，f (x )＝||2x －1－||x ＋2＝2x －1－x －2＝x －3，由f (x )>0，即x －3>0，解得x >3.又x >12，所以x >分百度文库- 让每个人平等地提升自我11 综上，不等式f(x)>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪()3，＋∞.5分(Ⅱ)f(x)＝||2x－1－||x＋2＝⎩⎨⎧－x＋3，x<－2，－3x－1，－2≤x≤12，x－3，x>12.7分所以f(x)min＝f⎝⎛⎭⎫12＝－52.8分因为∃x0∈R，使得f()x0＋2m2<4m，所以4m－2m2>f(x)min＝－52，整理得4m2－8m－5<0，解得－12<m<52. 因此，实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，52.10分。

解答题滚动练71.(2017·北京海淀区模拟)股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国.2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心.最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： (1)投资股市：(2)购买基金：(1)当p ＝12时，求q 的值；(2)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围； (3)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.解 (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1，又因为p ＝12，所以q ＝16.(2)由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得q ＜38，因为p ＋13＋q ＝1，所以q ＝23－p ＜38，解得p ＞724，又因为q ＞0，所以p ＜23，所以724＜p ＜23.(3)记事件A 为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”“不赔不赚”“亏损”，事件A 表示事件“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，则一年后张师傅和李师傅购买基金的所有可能的投资结果有3×3＝9(种)，它们是(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(b ，y )，(b ，z )，(c ，x )，(c ，y )，(c ，z )，其中事件A 的结果有5种，它们是(a ，x )，(a ，y )，(a ，z )，(b ，x )，(c ，x ). 因此一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率P (A )＝59.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＋a 8＝－10，S 10＝－35. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和T n .解 (1)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝－5，2a 1＋9d ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，所以a n ＝1－(n －1)＝2－n . (2)因为a n 2n －1＝12n －2－n ·12n －1，所以T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－⎝⎛⎭⎫1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1， 令S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2，S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，则T n ＝S n －S n ′，因为S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝4－12n －2， S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，① 所以12S n ′＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ·12n ，②由①－②，得12S n ′＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n ·12n ＝1－12n1－12－n ·12n ＝2－12n －1－n ·12n ， 所以S n ′＝4－12n －2－n ·12n －1，因此T n ＝S n －S n ′＝n2n －1.3.过点C (2，2)作一直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，点P 是抛物线y 2＝4x 上到直线l ：y ＝x ＋2的距离最小的点，直线AP 与直线l 交于点Q .(1)求点P 的坐标；(2)求证：直线BQ 平行于抛物线的对称轴. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则y 20＝4x 0， 所以点P 到直线l 的距离d ＝||x 0－y 0＋22＝⎪⎪⎪⎪y 204－y 0＋22＝||(y 0－2)2＋442≥22. 当且仅当y 0＝2时等号成立，此时P 点坐标为(1，2). (2)证明 设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，显然y 1≠2.当y 1＝－2时，A 点坐标为(1，－2)，直线AP 的方程为x ＝1； 当y 1≠－2时，直线AP 的方程为y －2＝y 1－2y 214－1(x －1)，化简得4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.综上，直线AP 的方程为4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.与直线l 的方程y ＝x ＋2联立，可得点Q 的纵坐标为y Q ＝2y 1－8y 1－2.当y 21＝8时，直线AC 的方程为x ＝2，可得B 点的纵坐标为y B ＝－y 1. 此时y Q ＝2y 1－8y 1－2＝2－4y 1－2＝2－4()y 1＋2y 21－4＝－y 1，即知BQ ∥x 轴，当y 21≠8时，直线AC 的方程为y －2＝y 1－2y 214－2(x －2)， 化简得(4y 1－8)x －(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x ，可得(y 1－2)y 2－(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，所以点B 的纵坐标为y B ＝y 21－8y 1－2－y 1＝2y 1－8y 1－2.从而可得BQ ∥x 轴， 所以BQ ∥x 轴.4.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x ，其中a ∈R . (1)当a ＞0时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －1＝2x 2－x ＋a x，设g (x )＝2x 2－x ＋a ，Δ＝1－8a .①当a ≥18时，Δ≤0，g (x )≥0成立，故f ′(x )≥0成立，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0＜a ＜18时，Δ＞0，令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a 4.显然x 2＞x 1＞0，当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， 综上，当a ≥18时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜18时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4，1＋1－8a 4上为减函数.(2)显然f (1)＝0，由x ≥1可知，当a ≥0时，a ln x ≥0，x 2－x ≥0，故f (x )≥0成立； 当a ＜0时，Δ＝1－8a ＞0.令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a4.显然x 1＜0，x 2＞0，当x ∈(0，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；若－1≤a ＜0，则x 2≤1，当x ≥1时，f (x )为增函数，故f (x )≥f (1)＝0成立； 若a ＜－1，则x 2＞1，由f (x )在(0，x 2)上为减函数可知， 当x ∈(1，x 2)时，f (x )为减函数， f (x )＜f (1)＝0与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是[－1，＋∞).。

高考大题滚动练高考大题滚动练(一)1．(2017·江苏徐州信息卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，∠APB ＝90°，BP ＝BC ，M 为PC 的中点．求证：(1)AP ∥平面BDM ；(2)BM ⊥平面ACP .证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．因为M 为PC 的中点，所以AP ∥OM .又因为AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以直线AP ∥平面BDM .(2)因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP .又因为平面ABP ⊥平面BCP ，平面ABP ∩平面BCP ＝BP ，AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP .又因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM .因为BP ＝BC ，M 为PC 的中点，所以BM ⊥CP .又因为AP ∩CP ＝P ，AP ，CP ⊂平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP .2．(2017·江苏镇江中学期末)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )； (3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围．(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0，所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1，从而g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12. (2)证明 设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)， 则h ′(x )＝ln x ＋1－x .设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0，因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减， 即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立．(3)解 设函数H (x )＝x ln x －λ(x 2－1)，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立．又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减． 设r (x )＝ln x ＋1x ，则r ′(x )＝－ln x x 2≤0， 所以r (x )max ＝r (1)＝1，即1≤2λ⇒λ≥12，符合题意； 当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增．于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0<λ<12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ， 则q ′(x )＝1x －2λ＝0⇒x ＝12λ>1. 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x－2λ>0， 此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx >H ′(1)＝1－2λ>0，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增． 于是当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12λ时，H (x )>0成立，不符合题意． 综上所述，实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 3．(2017·江苏四市联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵A 对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4)，求矩阵A .解 设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧Ae ＝6e ，A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤66，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6，c ＋d ＝6，a ＋2b ＝8，c ＋2d ＝4，解方程组得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 28 －2. 4．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－2＝0，直线l 与圆C 相交于点A ，B .(1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段AB 的长度．解 (1)x 2＋y 2－4y －2＝0.(2)直线l 的普通方程为x －y ＋4＝0，又圆心C (0,2)，半径r ＝6，∴C 到l 的距离为|2|2＝2， ∴AB ＝26－2＝4.。

高考大题滚动练(四)1．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B . (1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两个最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解 (1)∵sin 2C ＝2sin A sin B ， ∴由正弦定理得c 2＝2ab ，由余弦定理得a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ＝c 2(1＋cos C )．① 又a 2＋b 2＝6ab cos C ＝3c 2cos C ，② 由①②得1＋cos C ＝3cos C ，∴cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3.(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， ∵f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π， ∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f (A )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3. ∵在锐角△ABC 中，A ＋C >π2，∴A >π6，∴π6＜A ＜π2，∴0＜2A －π3＜2π3， ∴0＜sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3≤1，∴0＜f (A )≤ 3. 2．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点、上顶点分别为A ，B ，坐标原点到直线AB 的距离为433，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP (图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形，求直线l 的方程．解 (1)直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，坐标原点到直线AB 的距离为433＝ab a 2＋b 2⇒a 2b 2a 2＋b 2＝163， 又a ＝2b ，解得a ＝4，b ＝22， 故椭圆的方程为x 216＋y 28＝1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F 1(－22，0)， 易知直线l 的斜率不为0， 故可设直线l ：x ＝my －22，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为四边形MONP 为平行四边形，所以 OP →＝OM →＋ON →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)⇒P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，联立⎩⎨⎧x ＝my －22，x 2＋2y 2－16＝0⇒(m 2＋2)y 2－42my －8＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64(m 2＋1)>0，y 1＋y 2＝42mm 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－42，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－82m 2＋2，y 1＋y 2＝42mm 2＋2，因为点P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)在椭圆上，所以 (x 1＋x 2)2＋2(y 1＋y 2)2＝16⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫－82m 2＋22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫42m m 2＋22＝16⇒m ＝±2， 那么直线l 的方程为x ±2y ＋22＝0.3．(2017·江苏泰州中学质检)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，求矩阵A 和A 的逆矩阵． 解 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6. 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵是A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －12－13 12.4．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π2，⎝⎛⎭⎫22，3π4，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋r cos α，y ＝r sin α(α为参数)．(1)求直线AB 的直角坐标方程；(2)若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求正实数r 的值． 解 (1)A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，3π4的直角坐标为A (0,3)，B (－2，2)， 所以直线AB 的直角坐标方程为x －2y ＋6＝0.(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋r cos α，y ＝r sin α化为普通方程为(x －4)2＋y 2＝r 2，表示圆．若直线AB 和圆C 有且只有一个公共点，则直线AB 和圆C 相切，所以r ＝|4＋6|5＝2 5.。

阶段滚动检测(二) 专题一~专题三 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ≥2，n ∈N *，即a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，所以必要性成立．故选B.3．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (log 28)＝( )A ．3B.18C ．－2D ．2解析：选D ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 28)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)．又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (log 28)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.4．(2018届高三·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3解析：选D ∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3， ∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.选D.6．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b，则A ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.π3或2π3解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π3，故选B.7．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.8．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ―→－BA ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC ―→＋1λBA ―→＝12BC ―→2－1λBA ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B. 9.已知函数f (x )＝exx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝exx，则g ′(x )＝x －xx 2，则g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝exx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e，故选A.10．(2017·沈阳二中模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0且a ≠1)，f 1g 1＋f －1g －1＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x>0，知f xg x在R 上是增函数，即f xg x ＝a x为增函数，所以a >1.又由f 1g 1＋f －1g －1＝a ＋1a ＝52，得a ＝2或a ＝12(舍)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n gn 的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2>62，即2n>32，得n >5，所以n 的最小值为6.故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．(2017·杭州模拟)若2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：由已知条件，2sin α＝5＋cos α，将两边平方，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可求得sin α＝255，cos α＝－55，∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－2－11＋－＝3.答案：2553 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， x ≤－1，x －x |－，x >－1，则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为________．解析：f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝2，f (f (－2))＝f (2)＝0.当x ≤－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥2，解得x ≤－2；当x >－1时，f (x )＝(x －2)(|x |－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －－x －，－1<x ≤0，x －x －，x >0.当－1<x ≤0时，由(x －2)(－x －1)≥2，解得x ＝0，当x >0时，由(x －2)·(x －1)≥2，解得x ≥3.综上，x 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)．答案：0 (－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b ＝6，△ABC 的面积为3＋32，则c ＝_______，B ＝________.解析：由题意得△ABC 的面积等于12bc sin A ＝62c ×22＝3＋32，解得c ＝3＋1，则由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(6)2＋(1＋3)2－2×6×(1＋3)×22＝4，解得a ＝2，则由正弦定理得b sin B ＝asin A，即sin B ＝b sin A a ＝32，又因为b <c ，所以B ＝π3.答案：3＋1π314．(2017·萧山中学模拟)设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：因为a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2 2n －115．已知△ABC 的面积是4，∠BAC ＝120°.点P 满足BP ―→＝3PC ―→，过点P 作边AB ，AC 所在直线的垂线，垂足分别是M ，N ，则PM ―→·PN ―→＝________.解析：不妨设△ABC 是等腰三角形，因为∠BAC ＝120°，则B ＝C ＝30°，b ＝c ，S △ABC ＝12bc sinA ＝34b 2＝4，b 2＝1633，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16 3.又BP ―→＝3PC ―→，则|BP ―→|＝3a 4，|PC ―→|＝a 4，则|PM ―→|＝|BP ―→|sin B ＝3a 8，|PN ―→|＝|PC ―→|sin C ＝a 8，∠MPN ＝60°，所以PM ―→·PN ―→＝|PM ―→||PN ―→|·cos 60°＝3a 8×a 8×12＝3a 2128＝3128×163＝338.答案：33816．(2017·嘉兴中学模拟)已知a >0，b >0，且满足3a ＋b ＝a 2＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解析：由3a ＋b ＝a 2＋ab 得显然a ≠1，所以b ＝3a －a2a －1，又因为a >0，b >0，所以(a －1)(3a－a 2)>0，即a (a －1)·(a －3)<0,1<a <3，所以a －1>0，则2a ＋b ＝2a ＋3a －a 2a －1＝2a 2－2a ＋3a －a2a －1＝a 2＋a a －1＝a －1＋2a －1＋3≥2a －2a －1＋3＝22＋3，当且仅当a －1＝2a －1，即a ＝1＋2时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为22＋3.答案：22＋317．(2017·湖南岳阳一中模拟)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ，②①－②得2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ，解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，其公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )(x ∈R)． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求函数f (x )的最大值． 解：(1)∵f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是3. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cosB ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ， ∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cosA sinB ＝sinC ，∵sin C ≠0，∴54cos B ＝1，即cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23，又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S＝12ac sin B＝12×5×10×35＝15.20．(本小题满分15分)已知f(x)＝x－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝ln xx，其中e是自然对数的底数．(1)判断f(x)的单调性并求其极值；(2)求证：f(x)>g(x)＋12 .解：(1)∵f′(x)＝1－1x＝x－1x，x∈(0，e]，∴当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当1<x≤e时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1，无极大值．(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12，则h′(x)＝1－ln xx2，当0<x≤e时，h′(x)≥0，h(x)在(0，e]上单调递增，∴h(x)max＝h(e)＝1e＋12<1＝f(x)min.∴f(x)>g(x)＋12 .21．(本小题满分15分)已知数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1－2S n.(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)设函数f(x)＝，b n＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a n)，求T n＝1b1＋1b2＋1b3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n}的前n项和S n满足a n＝1－2S n.∴a1＝1－2a1，解得a1＝13 .n≥2时，a n－1＝1－2S n－1，可得a n－a n－1＝－2a n.∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n 2 017＋a n (n ∈N *)．(1)求证：a n ＋1>a n; (2)求证：a 2 018<1；(3)若a k >1，求正整数k 的最小值．解：(1)由a n ＋1－a n ＝a 2n2 017≥0，得a n ＋1≥a n ，因为a 1＝12，所以a n ≥12，因此a n ＋1－a n ＝a 2n2 017>0，所以a n ＋1>a n .(2)由已知得1a n ＋1＝2 017a na n ＋2 017＝1a n －1a n ＋2 017，所以1a n＋2 017＝1a n－1a n＋1，由1a1＋2 017＝1a1－1a2，1a2＋2 017＝1a2－1a3，…，1a n－1＋2 017＝1a n－1－1a n，累加可得1a1－1a n＝1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a n－1＋2 017.当n＝2 018时，由(1)得12＝a1<a2<a3<…<a2 017，所以1a1－1a2 017＋1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a2 017＋2 017<2 017×1a1＋2 017<1.所以a2 018<1.(3)由(2)得12＝a1<a2<a3<…<a2 018<1，所以1a1－1a2 019＝1a1＋2 017＋1a2＋2 017＋…＋1a2 018＋2 017>2 018×11＋2 017＝1.所以a2 018<1<a2 019，又因为a n＋1>a n，所以k的最小值为2 019.。

解答题滚动练解答题滚动练11.(2017·太原三模)已知m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 3，cos x 3，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，cos x 3·f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若a ， b ， c 分别是△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边，且a ＝2，(2a －b )cos C ＝c cos B ，f (A )＝32，求c . 解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 3cos x 3＋cos 2x 3＝32sin 2x 3＋12⎝⎛⎭⎫cos 2x 3＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π6＋12， ∴f (x )的最小正周期为3π，令－π2＋2k π≤2x 3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 则－π＋3k π≤x ≤π2＋3k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π＋3k π，π2＋3k π(k ∈Z ). (2)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin A ，∵0＜A ＜π，∴sin A ＞0，∴ cos C ＝12， ∵0＜C ＜π，∴ C ＝π3， ∵f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A 3＋π6＋12＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A 3＋π6＝1，∴2A 3＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴A ＝π2＋3k π，k ∈Z ，又0＜A ＜π， ∴A ＝π2， ∴c ＝a sin C ＝2sin π3＝ 3.2.已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝13的等比数列.设b n ＝213log n a －1(n ∈N *). (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)证明 由已知得a n ＝13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n . b n ＝2131log ()3n－1＝2n －1，b 1＝1，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解 由(1)知，b 2n ＝4n －1，则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列.c n ＝a n ＋b 2n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋4n －1，则T n ＝13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ＋3＋7＋…＋(4n －1)， 即T n ＝13·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2，即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *). 3.如图(1)，五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△P AD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，设AB ＝1，求四棱锥P －ABCD 的体积. (1)证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN ∥CD ，MN ＝12CD ， 又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以MN ∥AB ，且MN ＝AB ， 则四边形ABMN 为平行四边形，所以AN ∥BM .又BM ⊥平面PCD ，∴AN ⊥平面PCD ，又AN ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面PCD .(2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，∵AN ⊥平面PCD ，∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点，可得△P AD 为等边三角形，∴∠PDA ＝60°.又∠EDC ＝150°，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD .∵PO ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD .∴PO 是四棱锥P －ABCD 的高.∵AB ∥CD ，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，由(1)可得∠PDC ＝90°，∴tan ∠PCD ＝PD CD ＝12， ∴CD ＝2PD ，由AB ＝1，可知CD ＝2，P A ＝AD ＝AB ＝1，则V 四棱锥P －ABCD ＝13PO ·S 直角梯形ABCD ＝34. 4.已知函数f (x )＝e x －mx 2－2x .(1)若m ＝0，讨论f (x )的单调性；(2)若m ＜e 2－1，证明：当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＞e 2－1. (1)解 当m ＝0时，f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.易知f (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，f (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增.(2)证明 f ′(x )＝e x －2mx －2，(f ′(x ))′＝e x －2m ＞e x －2·e －22＝e x －(e －2).当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1＞e －2，故(f ′(x ))′＞0，故f ′(x )单调递增.又f ′(0)＝1－2＝－1＜0，f ′(1)＝e －2m －2＞e －2·⎝⎛⎭⎫e 2－1－2＝0， 故存在唯一的x 0∈(0，1)，使得f ′(x 0)＝0，即0e x －2mx 0－2＝0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，故f (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )单调递增.故f (x )min ＝f (x 0)＝0e x －mx 20－2x 0.因为x ＝x 0是方程0e x －2mx 0－2＝0的根，故m ＝0e x －22x 0. 故f (x )min ＝0e x －0e x －22x 0x 20－2x 0＝0e x －12x 00e x －x 0. 令g (x )＝e x －12x e x －x ，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝12e x －12x e x －1，(g ′(x ))′＝－12x e x ＜0. 故g ′(x )在(0，1)上单调递减，故g ′(x )＜g ′(0)＝－12＜0， 故g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )＞g (1)＝e 2－1，故f (x )＞e 2－1.。