《电磁场与电磁波基础》刘岚_课后习题解答(第五章)

电磁场与电磁波课后习题及答案习题解答如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为y?)?a(y,?) 0①?(0,) 0②?(x,0?③?(x,b)?U0 根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为y ?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin()aa b o U0 条件③，有 a 题图U0??Ansinh(? ax n?1n?bn?x)sin()aa sin(两边同乘以n?x)a，并从0到a对x积分，得到a2U0n?xAn?sin()dx?asinh(n?ba)?a04U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba)2U0?(1?cosn?) ??n?2,4,6,n?sinh(n?ba)?0，?(x,y)?故得到槽内的电位分布4U01?,sinh?n?1,3,5nn?(ban?ysinh()a?nx)sin(a ) 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片y?d到y?b(???x??)。

上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。

y U0解应用叠加原理，设板间的电位为?(x,y)??1(x,y)??2(x,y) 其中，boxydxy oxy 题图?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位，即?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：①?2(x,0)??2(x,b)?0②?2(x,y)?0(x??) U0?U?y??0b?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y ?U0y?b?d③(0?y?d)(d?y?b) ??xn?y?nb?2(x,y)?? Ansin()e?(x,y)的通解为bn?1根据条件①和②，可设 2 U0?U?y?n?y??0bAnsin()???bn?1?U0y?U0 y?b?d条件③有sin(两边同乘以d(0?y?d)(d?y?b) n?y)b，并从0到b 对y积分，得到b2U2Uyn?y11n?yAn?0?(1?)sin()dy?0?(?) ysin()dy?2U02bsin(n?d)b0bbbddbb(n?)db ?xU02bU0?1n?dn?y?nby?sin()sin()e 2?2?(x,y)?bd?bbn?1n故得到求在上题的解中，除开定出边缘电容。

电磁场与电磁波部分课后习题解答CH11.2给定三个矢量A ，B ，C：A =x a+2y a -3z a B= -4y a +z aC =5x a-2z a求：⑴矢量A的单位矢量A a ；⑵矢量A 和B的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ⨯B⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B）·C ；⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：⑴A a =A A=（x a +2y a -3z a ）⑵cos ABθ=A ·B /A BAB θ=135.5o⑶A ·B =-11, A ⨯B=-10x a -y a -4z a⑷A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B）·C =-42⑸A ⨯（B ⨯C）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r) =x a（-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)⑵验证散度定理。

电磁场与电磁波课后习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z+-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由 c o s AB θ=8==A B A B ，得 1c o s AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ==A B B （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

第五章 恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。

但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。

说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。

讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。

例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。

在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。

重要公式磁感应强度定义：根据运动电荷受力： B v F ⨯=q根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅ll B 0d μ⎰=⋅SS B 0d微分形式：J B 0 μ=⨯∇0=⋅∇B已知电流分布求解电场强度：1，A B ⨯∇=V V ''-'=⎰'d )(4)( 0 r r r J r A πμ2，V V ''-'-⨯'=⎰'d )()( 4)(30 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。

3，I ⎰=⋅ll B 0d μ安培环路定律。

面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为S ''-'=⎰'d )(4)(0 r r r J r A S S πμS ''-'-⨯'=⎰'d )()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为⎰''-'=l r r l r A d 4)(0I πμ⎰''-'-⨯'=l r r r r l r B 30 )(d 4)(I πμ矢量磁位满足的微分方程：J A 0 2μ-=∇无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d⎰=⋅SS B 0d微分形式：J H =⨯∇ 0=⋅∇B磁性能均匀线性各向同性的媒质：场方程积分形式：⎰=⋅lI d μl B⎰=⋅BS H 0d场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H矢量磁位微分方程：J A 2μ-=∇矢量磁位微分方程的解： V V ''-'=⎰'d )(4)(r r r J r A πμ 恒定磁场边界条件：1，t t H H 21=。

第一章 矢量场1.1 z y x C z y x B z y xA ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f)()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+==ρρ( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρρ (e)z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρρρ (f)19)(-=⋅⨯C B A ρρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρπϕ; ρB z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) B A ρρ+解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπρρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρρρ 1.3 ρA r=+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρA B +解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯rA B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρB x y z =+-α∃∃∃3 当ρρA B ⊥时，求α。

解：当ρρA B ⊥时，ρρA B ⋅=0, 由此得 5-=α1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρF x y z xF x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

习题五5-1 一圆柱形铝管，外半径为32 mm ，管壁厚6 mm ，求单位长度的电阻。

解：铝管的内半径为26mm ，设流过铝管的电流为I ，则： 662222211034810)2632()(⨯=⨯-=-=-πππI IR R IJ6/10348I E J σπσ==⨯13349.5103486103486-=⨯=⨯⨯=⋅=σπσπσII I d E R （Ω）5-2 一长为l m 的导体，电阻率为σ,导体各处的横截面相似，一端的面积为A m 2,另一端面的面积为kA m 2，求两端面间的电阻。

5-2.解：（此题应为导体各处的横截面相似且呈线性关系）。

z设流入导体的电流为I ，则设任一截面面积为()z S ，由⎩⎨⎧==kA l S A S )()0(得： ⎪⎩⎪⎨⎧-==A l k a A b 1则：AAz lk z S +-=1)(σE z S IJ ==)(σ⋅=∴)(z S I Ek Ak Il A z A lk dz I dz E U ln )1()1(11⋅-=+⋅-⋅=⋅=⎰⎰σσAk k l IU R ⋅-⋅==∴σ)1(ln5-3解：σb lU本题所求电感为跨接在内外导体间的r ar E E ˆ)(=r arl I J ˆ2π=E Jσ= r alr IE ˆ2σπ=ab lI dr lr I l d E U babaln22πσσπ==⋅=⎰⎰ab UI G ln 2πσ==球冠面积⎰⎰-==πθθπϕθθ20220)cos 1(2sin r d d r Sr a r E E ˆ)(= r r a r Ia S I J ˆ)c o s 1(2ˆ2θπ-== σS J E = ⎰⎰-=⋅-=21)cos 1(22r r dr r Il d E U σθπ2112)cos 1(2r r r r IU R θπσ--==5-5.解：设电容器板内的D 为0D ，则：d 1=1.0mm d 2=2.0mmd 3=2.5mm1r ε2r ε3r ε方法一：（1） n n D D 10=⎰⋅=⋅=Sn n S D dS D Q 11101111r n n d D d E U εε⋅=⋅=F d S UQ C r 93911011096.71013103613.0---⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅==∴πεε（2）同理 F C 921031.5-⨯=（3）同理 F C 931037.6-⨯= F C C C C 93211012.21111-⨯=++=∴方法二：由介质边界条件nn n n D D D D 0321===⎰⎰⎰⎰++=⋅-=12132321d d d d d n n n dzE dz E dz E l d E Udz D dz D d d d r nd r n⎰⎰++=1212102001εεεεdz D d d d d rn⎰+++3122303εε)(3213210rrrond d d D εεεε++=SD ds D Q n 01=⋅=⎰ UQ C =5-6 解：设内导体单位长度带电量为Q ，E 、D只有r 方向分量，电荷将均匀分布在导体表面上，⎰⎰=⋅+⋅QS d D S d D 2211Q r E r E =+-12110)2(θεθπε 在介质与空气的分界面上t t E E 21=且没有ϕ方向分量，即 21E E E == rQE 1)2(110⋅+-=∴εθθπε)l n ()2(110abQdr E U ba⋅+-=⋅=∴⎰εθθπε[])l n (/)2(110abU QC εθθπε+-==∴5-7l设电轴的位置偏离轴心c mm a 85.68= mm h 53.8= M 点N 点的电位相等 120ln 2R R l περφ=ca c a h l M +-+=2ln20περφ ca c a h l N ---=2ln20περφ由此可得出ca c a h ca c a h ---=+-+22 所以c 满足0222=+-a hc c可求出0003.0=c 1）由于a h >>，求解导体电位时a 可以忽略。

5.3设y=0为两种磁介质的分界面，y<0为媒质1，其磁导率为1μ，y>0为媒质2，其磁导率为2μ，分界面上有电流密度s x J 2a A/m =分布的面电流，已知媒质1中磁场强度为123/x y z H a a a A m =++ 求媒质2中磁场强度2H 解：mA a a a H a n J H H n z y x y S /52)(2121212++=-==-⨯μμ其中则由到媒质设电磁波由媒质5.6已知在空气中，电场强度矢量为90.1sin(10)cos(610)/y E a x t z V m ππβ=⨯-求磁场强度H 和相位常数β 解：3939,0.2310sin(10)cos(61054.41)0.1310cos(10)sin(61054.14)20/x z E jwB B HH a x t z a x t z rad mμππππηωμεωνπ--∇⨯=-==-⨯⨯--⨯⨯-==÷=由得相位常数：5.7自由空间中，已知电场强度矢量为4cos()3cos()x y E a t z a t z ωβωβ=-+-求（1）磁场强度的复数表达式（2）坡印廷矢量的瞬时表达式（3）平均坡印廷矢量 解: (1)m/4)e a 3a (120113e a e 4a zj -y x z-j y z -j x )(V B H B j E E z βββπμω-==-=⨯∇+=得由 (2)z)-t (cos 245a H E S z)-t 4)cos(a 3a (1201z)-t 3cos(a z)-t cos(4a 2z y x ),(y x )t ,(βωπβωπβωβω=⨯=-=+=所以t z z H E w/m 2(3)()[]ππ485)43()34(120121HE Re 21S av zy x y x a a a a a =-⨯+=⨯=*5.9 将下列复数形式的场矢量变换成瞬时表达式，或作用反的变换 （1）43j z j z x y Ea e a je ββ--=+()()2(,)4Re[]3Re[]4cos()3cos()24cos()3sin()j t z j t z z t x y x y x y E a ea ea t z a t z a t z a t z πωβωβπωβωβωβωβ-+-=+=-+-+=---（2）4sin()sin()cos()cos()x z Ea x t z a x t z a aππωβωβ=-+-(,)()()2()2()4sin()cos()cos()cos()24sin()Re[]cos()Re[]4sin()cos()4sin()cos()z t x z j t z j t z x z j z j zz x z j z j zx z E a x t z a x t z a a a x e a x e a aE a x ea x e aaa j x e a x e a aπωβωβπββββπππωβωβππππππ--------=--+-=+=+=-+（3）cos()2sin()x y E a t z a t z ωβωβ=-+-(,)()()2()cos()2cos()2Re[]2Re[]2z t x y j t z j t z x y j z j zz x y E a t z a t z a ea eE a e a je πωβωβββπωβωβ-----=-+--=+=-（4）sin 3cos(cos )jkz y x Ea j k e θθ-=(sin )2()(sin )2(,)3cos(cos )3cos(cos )Re[]3cos(cos )cos(sin )23cos(cos )sin(sin )j kz z y x j t kz z t y x y x y x E a k eE a k ea k t kz a k t kz πθπωθθθπθωθθωθ---+===-+=--（5）2sin()y Ea t z ωβϕ=-+(,)()()()2cos()22Re[]2z t y j t z y j z z y E a t z a j e E a je ωβφβφπωβφ-+-+=-+-=-=-5.12 对于线性，均匀和各向同性导电媒质，设媒质的介电常数为，磁导率为电导率为，试证明无源区域中时谐电磁场所满足的波动方程为2222E jw E k E H jw H k Hμσμσ∇=-∇=-式中22k w με=解:H k H j H HH j H H Hj H H H E HH H E j E H Ej E D j J H2222220)j ()()(j )()(-=∇-=∇∴=⋅∇-⋅+=∇-⋅∇∇-=⨯∇⨯∇⨯∇+∇=⋅∇∇+⨯∇=⨯∇⨯∇+=+=⨯∇ωμσμεωωμσωμωεσωμωεσωεσω即代入上式将E k E j E 22:-=∇ωμσ同理5.15设电场强度和磁场强度分别为cos()cos()o e o m E E t H H t ωφωφ=+=+求其平均坡印廷矢量。

五章习题解答真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题图所示，求三角形回路内的磁通。

解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场02I rφμπ=B e 穿过三角形回路面积的磁通为d S ψ==⎰B S 32320002[d ]d d 2d b d b z ddII zz x x x xμμππ=⎰ 由题图可知，()tan63z x d π=-=，故得到320d 3d b d x d x x ψπ-==⎰03[23I b b μπ 通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题图所示。

计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。

解 将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。

由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

dbIz题 图d S由安培环路定律d CI μ⋅=⎰B l ，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222b b b b b b r b b r b r J r B J r μμ⎧⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪>⎪⎩ 电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ⎧-⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪->⎪⎩这里a r 和b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。

将a B 和b B 叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：22222b a ba b a r r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ ()b r b > 圆柱内的空腔外：2022b a a a r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (,)b a r b r a <> 空腔内： ()0022b a B J r r J d μμ=⨯-=⨯ ()a r a < 式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。

习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为d ，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。

导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q ，位于和原电荷对称的位置。

当电荷Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为2)2(042x Q F επ-=静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力2)2(042x Q f επ=在移动过程中，外力f 所作的功为d Q d dx dx Q dx f 016220162επεπ=⎰∞⎰∞= 当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq8/2επ。

也可以用静电能计算。

在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：d Q d Q Q d Q Q q q W 082)2(04)(21)2(042122211121επεπεπϕϕ-=-+-=+= 移动点电荷Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。

因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为dq8/2επ。

5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。

解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。

在（-a ，d ）处，镜像电荷为-q ，在（错误！链接无效。

镜像电荷为q ，在（a ，-d ）处，镜像电荷为-q 。

5．3 证明：一个点电荷q 和一个带有电 荷Q 、半径为R 的导体球之间的作用力为]2)22(2[04R D DRq D D qR Q q F --+=επ其中D 是q 到球心的距离（D ＞R ）。

证明：使用镜像法分析。

由于导体球不接地，本身又带电Q ，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。

在距离球心b=R 2/D 处，镜像电荷为q ＇= -Rq/D ；在球心处，镜像电荷为D Rq Q q Q q /2+='-=。

《电磁场与电磁波基础教程》（符果行编著）习题解答第1章1.1 解：（1）==A =B==C（2）)))23452A x y zB y zC x z ==+-+=-，，；A a a a a a -a a a a a A（3）()()+2431223x y z x y z =+-+-+=--+=，；A B a a a a a a A B （4）()()23411x y z y z ⋅=+-⋅-+=-；A B a a a a a （5）()()234104x y z y z x y z ⨯=+-⋅-+=---；A B a a a a a a a a （6）()()()1045242x y z x z ⨯⋅=-++⋅-=-；A B C a a a a a（7）()()()x 2104522405x y z x z y ⨯⨯=-++⨯-=-+A B C a a a a a a a a 。

1.2解：cos 68.56θθ⋅===︒；A B A BA 在B 上的投影cos 1.37B A A θ===；B 在A 上的投影cos 3.21A B B θ===。

1.3 解：()()()()()()()4264280⋅=-++-=正交A B 。

1.4 解：1110x x y y z z x y y z z y ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；；a a a a a a a a a a a a0x x y y z z ⨯=⨯=⨯=；a a a a a a x y z y z x z x y ⨯=⨯=⨯=；，a a a a a a a a a 。

1.5 解：（1）111000z z z z ρρϕϕρϕϕρ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；，，a a a a a a a a a a a a ；000z z z z z ρρϕϕρϕϕρρϕ⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，，；，，a a a a a a a a a a a a a a a 。

第5章 时变电磁场点评： 1、5-3题1681232100.8910 2.538.8541010d dm J J ---⨯==⨯⨯⨯⨯，这里原答案代入有误！ 2、5-11题分清若(,)cos20cos()x y y t x t k y ω=-H e ，则*21Re()60cos 202av y x π=⨯=S E H e ，若(,)2cos20cos()x y y t x t k y ω=-H e ，则*21Re()120cos 202av y x π=⨯=S E H e ，我手中教材为第一种情况。

3、千万不要想当然或者自己创造算符，例如对矢量取散度运算，以下表述均错误：A ⋅∇，A ⋅∇，A ∇⋅4、矢量书写一定引起重视，和标量书写要分清5、请务必杜绝抄袭！！！！5-1、已知真空平板电容器的极板面积为S ，间距为d ，当外加电压t U U ωsin 0=时，计算电容器中的位移电流，证明它等于导线中的传导电流。

解：在电容器中电场为t dU E ωsin 0=，则 t dU t D J d ωωεcos 00=∂∂=所以产生的位移电流为t dSU S J I d d ωωεcos 00==真空平板电容器的电容为dSC 0ε=，所带电荷量为t CU CU Q ωsin 0==，则传导电流为t dSU t CU dt dQI ωωεωωcos cos 000===可见，位移电流与传导电流相等。

5-3、当电场0cos x E tV m ω=E e ，1000rad ω=时，计算下列媒质中传导电流密度与位移电流密度的振幅之比：⑴ 铜75.710,1r S m σε=⨯=；⑵ 蒸馏水4210S m σ-=⨯，80r ε=；⑶ 聚苯乙烯16210, 2.53r S m σε-=⨯=。

解：20cos x E E t A m σσω==J e2000sin d r x r E t A m tεεεεωω∂==-∂EJ e 所以，传导电流密度与位移电流密度的振幅之比为0000d dm r r J E J E σσεεωεεω== ⑴ 铜：75.710,1r S m σε=⨯=，故得7161235.7100.64108.8541010d dm J J -⨯==⨯⨯⨯ ⑵ 蒸馏水：4210,80r S m σε-=⨯=，故得431232100.2810808.8541010d dm J J --⨯==⨯⨯⨯⨯ ⑶ 聚苯乙烯：16210, 2.53r S m σε-=⨯=，故得1681232100.89102.538.8541010d dm J J ---⨯==⨯⨯⨯⨯5-7、利用麦克斯韦方程证明：通过任意闭合曲面的传导电流与位移电流之和等于零。

5.1真空中直线长电流/的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。

解根据安培环路泄理，得到长直导线的电流/产生的磁场题5.1图穿过三角形回路而积的磁通为由题5.1图可知，z = （x —〃）tan? = V，故得到5.2通过电流密度为丿的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。

计算各部分的磁感应强度并证明腔内的磁场是均匀的。

解将空腔中视为同时存在丿和_丿的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为丿、均匀分布在半径为力的圆柱内，另一个电流密度为均匀分布在半径为&的圆柱内。

由安培环路左律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路左律= 可得到电流密度为丿.均匀分布在半径为b的圆柱内的电題5.2图流产生的磁场为B b=\ 电流密度为、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为这里□和◎分别是点°。

和⑷到场点p的位宜矢量。

将和〃$叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：B=^Jx(D圆柱内的空腔外：B = ^-Jx^r.-^r a | (r h<b, r a >a)空腔内：B = =(為va)式中d是点和5到点S的位苣矢量。

由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

5.3下而的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。

(1)H =e r ar , B = (圆柱坐标)(2)H =5(-©) + 匕处，B =卜』(3)H =e x ax-e^ay, B = “)H(4)H = e0ar , B = (球坐标系)解根据恒泄磁场的基本性质，满足V 5 = 0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则, 不是磁场的场矢量。

若是磁场的场矢量，则可由j = VxH求出源分布。

< 1)在圆柱坐标中V B = - — (rB r) = -—(ar2) = 2a^0r dr 1 r dr该矢量不是磁场的场矢量。

电磁场与电磁波课后习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z+-===-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11（4）由 c o s AB θ=8==A B A B ，得 1c o s AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ==A B B （6）⨯=A C 123502xy z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。

（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。

习题1.1 已知z y x B z y x A ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2-+=-+=，求:(a) A 和B 的大小（模）； (b) A 和B 的单位矢量；(c)B A⋅；(d)B A⨯；(e)A 和B 之间的夹角；(f) A 在B 上的投影。

解：(a) A 和B 的大小74.314132222222==++=++==z y x A A A A A45.26211222222==++=++==z y x B B B B B(b) A 和B 的单位矢量z y x z y x A A aˆ267.0ˆ802.0ˆ535.0)ˆˆ3ˆ2(74.31ˆ-+=-+==z y x z y x B B bˆ816.0ˆ408.0ˆ408.0)ˆ2ˆˆ(45.21ˆ-+=-+==(c)A B ⋅7232=++=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A(d) B A ⨯ z y x zyxB B B A A A z y xB A zyxz y xˆˆ3ˆ5211132ˆˆˆˆˆˆ-+-=--==⨯(e)A 和B 之间的夹角α根据αcos AB B A =⋅得764.0163.97cos ==⋅=AB B A α 019.40=α (f) A 在B 上的投影86.245.27ˆ==⋅=⋅B B A bA1.2如果矢量A 、B 和C 在同一平面，证明A ·(B ⨯C )=0。

证明：设矢量A 、B 和C 所在平面为xy 平面y A x A A y x ˆˆ+=y B xB B y x ˆˆ+=y C xC C y x ˆˆ+=z C B C B y C B C B x C B C B C C C B B B zy xC B x y y x z x x z y z z y zyxz y xˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆ-+-+-==⨯zC B C B x y y x ˆ)(-= 0ˆˆ)(0)(=⋅-⨯=⨯⋅z zC B C B C B A x y y x1.3已知A =ααsin ˆcos ˆy x+、B ββsin ˆcos ˆy x -=和C ββsin ˆcos ˆy x +=，证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。