【推荐】2017-2018学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n3．（5分）若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣4．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A．x﹣y++2=0 B．x+y++2=0 C．x﹣y+﹣2=0 D．x﹣y﹣+2=06．（5分）已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3），则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A 可以是（）A．（﹣∞，0）B．[1，2） C．（﹣1，5]D．[4，6]9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+4810．（5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．812．（5分）已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为．14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a=．15．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f （）=．16．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18．（12分）已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．22．（12分）已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={1，2，3}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={1，2}．故选：B．2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误．故选C．3．（5分）若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【解答】解：联立y=3x，x+y=4，，解得，∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故选：B．4．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故选C．5．（5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A．x﹣y++2=0 B．x+y++2=0 C．x﹣y+﹣2=0 D．x﹣y﹣+2=0【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b．圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）．因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b上，所以﹣2=﹣+b，解得b=﹣2，故所求直线方程为x﹣y+﹣2=0．故选C．6．（5分）已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3），则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：函数f（x）=，则a=f（log3）=1﹣log3=1+log32＞1，b=f（2）=f（）=2∈（0，1），c=f（3）=2∈（0，1），由y=2x在R上递增，﹣＜﹣，可得2＜2，则c＜b＜a，故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即为的最大值．同理，的最小值为﹣1，故选B．8．（5分）已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0）B．[1，2） C．（﹣1，5]D．[4，6]【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=（a∈A），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．当a＜0时，函数y=在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．当1≤a＜2时，函数y=在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．当4≤a≤6时，函数y=在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：=8π，四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8π+16，故选：B10．（5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，∴BO==，EO==，∴该几何体的外接球的半径R=，∴该几何体的外接球的体积：V==1125．故选：A．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．12．（5分）已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），∵F（3，﹣1），∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为22（2x﹣1）＞2x+4，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以实数x的取值范围是（2，+∞）．故选：（2，+∞）．14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，∴，解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）．故答案为：﹣2．15．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f （）=7．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（﹣x）=+=+=2，∴f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=2×3+=7．故答案为：7．16．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．【解答】解：（1）k BC==﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为．则BC边上的高所在的直线方程为：y﹣4=（x﹣2），化为：3x﹣4y+10=0．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．∵D是AC的中点，∴D．点D到直线BC的距离d==．又|BC|==5，∴S===．△DBC18．（12分）已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解得1≤x≤3，函数的定义域为：[1，3]．（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=﹣1×5=﹣5，g（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，当x∈A时，即x∈[1，3]时，x=2函数取得最小值：y=﹣9，x=1或3时，函数取得最大值：﹣8．函数g（x）的值域[﹣9，﹣8]．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，∵在△ABC中，N为AB中点，D为BC中点，∴DN∥AC，∵DN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴DN∥平面ACC1A1，∵在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，∴EN∥平面ACC1A1，又DN⊂平面DEN，EN⊂平面DEN，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，∵DE⊂平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，∴MP=AB，∵A1E=EP，A1M=EP，∴∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，∴由DP⊥平面ABB1A1，EP⊂平面ABB1A1，得DP⊥EP，设直线三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为a，则在Rt△DPE中，DP=，EP=A1M=a，∴tan∠DEP==．∴直线DE与直线A1M所成角的正切值为．20．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0，令t=3x，则t﹣﹣=0，即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函数g（x）的零点是1；（2）∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函数也是增函数，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC与平面ABCD所成角为45°∴AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解：CD=，可得AC=3，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=．=××3××d=d．设点B的平面PCD的距离为d，则V B﹣PCD=×3×sin150°=．在△BCD中，∠BCD=150°，∴S△BCD=××3=，∴V P﹣BCD=V P﹣BCD，∴d=，解得d=，∵V B﹣PCD即点B到平面PCD的距离为．22．（12分）已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．【解答】解：（1）由题意，设C1（a，1﹣a），则∵过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，∴=，∴（a﹣2）（a﹣62）=0∵半径小于5，∴a=2，此时圆C1的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，∵C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9；（2）设P（a，2a﹣6），圆C2的半径r=2，∴四边形PCC 2D面积S=2==3|PD|，|PD|==，∴a=3时，|PD|min=，此时面积最小为3，P（3，0）．∵C，D在以PC2为直径的圆上，∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，∵圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．。

洛阳市2017—2018学年第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|31,1,0,1A x x B =-<<=-，则A B =A. {}2,1,0,1--B. {}2,1,0--C. {}1,0,1-D. {}1,0-2.已知()2214f x x +=，则()3f -= A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又是上()0,+∞的减函数的是 A. 1y x= B. x y e -= C. 21y x =-+ D.lg y x = 4.已知集合{}2|210M x R ax x =∈+-=，若M 中只有一个元素，则a 的值是A. 0B. -1C. 0或-1D.0或1 5.函数()()22log 3f x x =+的定义域是 A. ()3,2- B. [)3,2- C. (]3,2- D.[]3,2-6.方程3log 3x x +=的解是0x ，若()0,1,x n n n N ∈+∈，则n =A. 0B. 1C. 2D. 37.若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是A.(],2-∞B. [)2,+∞C. [)4,+∞D. (],4-∞8.已知()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22f f -+=的值为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 39.函数()2xx f x x⋅=的图象大致为10.已知23x y a ==，且112x y+=，则a 的值为A. 36B. 6C.11.已知4213332,4,25a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D.c a b <<12.若对任意(],1x ∈-∞-，都有()3121x m -<成立，则m 的范围是 A. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(),1-∞D.(],1-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()f x 的图象过点()4,2，则18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .14.已知函数()()1log 23a f x x =+-（0a >且1a ≠）恒过定点(),m n ，则m n += .15.计算：711log 221lg lg 2510074-+⎛⎫-÷+= ⎪⎝⎭ . 16.已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，若()f x 在区间[]4,t -上的值域为[]4,4-，则实数t 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设全集U R =，集合{}25371|24,|22x x A x x B x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， （1）求(),U A B C A B ；（2）若集合{}|20C x x a =+>，且BC C =，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）如图所示，定义域为(],2-∞上的函数()y f x =是由一条射线及抛物线的一部分组成，利用该图提供的信息解决下面几个问题.（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()f x a =有三个不同解，求a 的取值范围；（3）若()98f x =，求x 的取值集合.19.（本题满分12分）设函数()223,.f x x x a x R =--+∈ （1）王鹏同学认为，无论a 为何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明理由；（2）若()f x 是偶函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间.20.（本题满分12分）某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表如下：为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可选择二次函数2y px qx r =++（,,p q r 为常数且0p ≠），或函数x y a b c =⋅+（,,a b c 为常数）.已知4月份的产量为1.37万件，请问用以上那个函数作为模拟函数较好，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()21ax b f x x +=+是()1,1-上的奇函数，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；（3）若实数t 满足()()10f t f t ++>，求t 的取值范围.22.（本题满分12分）对于函数()f x ，若存在一个实数a 使得()()f a x f a x +=-，我们就称()y f x =关于直线x a =对称，已知()()2112.x x f x x x m e e --=-++（1）证明()f x 关于1x =对称，并据此求()1291112191101010101010f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； （2）若()f x 只有一个零点，求m 的值.。

2017-2018 洛阳市高一第一学期期末考试数学试卷1、【答案】 C【分析】会合 N 表示的全部的奇数集，且是从 1 开始的。

因此 P M N {1,3} ,其子集个数 为 22 4 个，即 {1},{3},{ 1,3},2、【答案】 B【分析】圆心为（ 1，2），半径为 1 的圆的标准方程为 ( x 1)2 ( y 2) 2 1 ，化为一般方程为 x 2 y 2 2x 4 y 4 0 ，对照所给的一般方程，能够得出a 2,b 4,c 4 。

应选 B 。

3、【答案】 D2 3 1 1【分析】 a 0 a 1 b 2 1 c l o g 1 e 08 2因此 b a c4、【答案】 A【分析】∵ 圆锥的轴截面为边长为 2 的正三角形∴ 圆锥的母线长为 2，且底面圆的直径为 2，即半径为 1。

∴ 圆锥的侧面积为 S 侧 1 Cl1 2 2 2 ，圆锥的底面积为 S 底 12 圆锥的表面积为 3 22 ∴ 。

5、【答案】 C【分析】 A 选项： , 可能是平行或许订交B 选项： n 与 订交或平行或 nC 选项：面面平行的判判定理推论：垂直于同向来线的两个平面平行。

D 选项：也可能是 n6、【答案】 A【分析】∵ 点 (x 0 , y 0 ) 在 x 2y 2 r 2 上， ∴ x 02 y 02 r 2 圆心 (0,0) 到直线 x 0 x y 0 yr 2 的距离为 d r 2 y 02 r 2 rx 02 r ∴ 直线与圆相切。

7、【答案】 D【分析】∵ f (x) 是定义在 R 上的偶函数。

∴ f ( x) f (x) 当 x 0时， x 0 ， f ( x) ( x)2 2( x) x 2 2x ，即 f (x) x 2 2x 。

∴f ( x) 的分析式为 f (x) x 2 2x x 0 0 x 22x x 。

且 f (0) 0 ∵ x 0 ① 或 x 0 ② x f ( x) 0 ∴2 2x 0 x 2 2x 0x 解不等式组①得： x 2解不等式组②得： 2 x 0 ∴ x 的取值范围是 x 2 或 2 x 0 。

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合M={0,1,2,3,4}，N={x |x =2n -1，n ∈N}，P=M ∩N ，则P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、方程x 2+y 2-ax +by +c=0表示圆心为（1，2）,半径为1的圆，则a ，b ，c 的值依次为（）A.-2、-4、4 B.2、-4、4 C.2、-4、-4 D.-2、4、-43、若a =2-3，b =21π，c =e 21log ,则有()A.a ＞b ＞c B .c ＞a ＞b C.b ＞c ＞a D.b ＞a ＞c4、若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积为（）A:3πB:2πC:π3D:π5、已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（）A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αC.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，α∥β，则n ∥β6、若M(x 0，y 0)为圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）上的一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与该圆的位置关系是（）A:相切B:相交C:相离D:相切或相交A.[-1，2]B.(-∞，-2]∪[2，+∞）C.(-∞，-2]∪[0，2]D.[-2，0]∪[2，+∞）8、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2B.32C.4D.349、数学家欧拉在1765年首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(0,0)，B(2，0)，C(3,3)，且AC=BC,则△ABC 的欧拉线的方程为()A.0323=--y B.0323=--y x C.023=--y D.023=--y x 10、已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1731)(2x ax x ax x x f 若存在x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2，使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是（）A:[3，+∞)B:(3，+∞)C:(-∞,3)D:(-∞,3]11、直线02=--k y kx 与曲线21x y -=交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当△OMN 的面积取最大值时，k 等于（）A.（3e ，2e ）B.（2e ，e ）C.（e ，1）D.（1，e ）二、填空题13、已知f （2x ）=2x 2-1，则f （1）=。

河南省洛阳市2017-2018学年上学期期末高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A． x﹣y++2=0 B． x+y++2=0 C． x﹣y+﹣2=0 D． x﹣y﹣+2=0），b=f（2），c=f（3），则（）6．已知函数f（x）=，若a=f（log3A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4π+8B ．8π+16C ．16π+16D ．16π+4810．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A ，B ，C ，D 在同一平面上，ABCD 是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．1125π B ．3375π C ．450π D ．900π11．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）=f （4﹣x ），且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0，则满足f （2﹣x ）=f （）的所有x 的和为（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．﹣8D ．812．已知点P （t ，t ﹣1），t ∈R ，点E 是圆x 2+y 2=上的动点，点F 是圆（x ﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．满足42x ﹣1＞（）﹣x ﹣4的实数x 的取值范围为 ．14．已知直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，若l 1∥l 2，则实数a= ．15．若函数f （x ）=，则f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）= ．16．方程=ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点分别为A （2，4），B （1，﹣3），C （﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．22．已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．河南省洛阳市2017-2018学年上学期期末高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={0，1，2}．故选：A．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误．故选C．3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【考点】两条直线的交点坐标．【分析】联立y=3x，x+y=4，解得（x，y），由于三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，把点代入ax+y+1=0，即可解得a的值．【解答】解：联立y=3x，x+y=4，，解得，∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故选：B．4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设C在平面xoy上的射影为D，则可得OA⊥平面ACD，故∠CAD为所求二面角的平面角．【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故选C．5．已知倾斜角60°为的直线l 平分圆：x 2+y 2+2x+4y ﹣4=0，则直线l 的方程为（ ）A ．x ﹣y++2=0B ．x+y++2=0 C ．x ﹣y+﹣2=0 D ．x ﹣y ﹣+2=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b ，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b ．圆：x 2+y 2+2x+4y ﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）．因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b 上，所以﹣2=﹣+b ，解得b=﹣2，故所求直线方程为x ﹣y+﹣2=0．故选C ．6．已知函数f （x ）=，若a=f （log 3），b=f （2），c=f （3），则（ ）A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数运用对数函数的单调性求出a ＞1，运用指数函数的单调性，判断0＜c ＜b ＜1，进而得到a ，b ，c 的大小．【解答】解：函数f （x ）=，则a=f （log 3）=1﹣log 3=1+log 32＞1，b=f （2）=f （）=2∈（0，1），c=f （3）=2∈（0，1），由y=2x 在R 上递增，﹣＜﹣，可得2＜2，则c ＜b ＜a ， 故选：D ．7．如果实数x ，y 满足（x ﹣2）2+y 2=2，则的范围是（ ） A ．（﹣1，1） B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设=k，求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，由数形结合法，易得答案．【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即为的最大值．同理，的最小值为﹣1，故选B．8．已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（x）在区间（0，1]上是减函数，对a进行讨论，依次考查各选项即可得结论．【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=（a∈A），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．当a＜0时，函数y=在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．当1≤a＜2时，函数y=在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．当4≤a≤6时，函数y=在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，分别计算体积可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为： =8π，四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8π+16，故选：B10．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该几何体是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，从而求出该几何体的外接球的半径R=，由此能求出该几何体的外接球的体积．【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD 是正方形，边长为15，∴BO==，EO==，∴该几何体的外接球的半径R=，∴该几何体的外接球的体积：V==1125．故选：A ．11．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）=f （4﹣x ），且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0，则满足f （2﹣x ）=f （）的所有x 的和为（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．﹣8D ．8【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】确定f （x ）在（2，+∞）上递增，函数关于x=2对称，利用f （2﹣x ）=f （），可得2﹣x=，或2﹣x+=4，即x 2+5x+3=0或x 2+3x ﹣3=0，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：∵对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0， ∴f （x ）在（2，+∞）上递增， 又∵f （x ）=f （4﹣x ）， ∴f （2﹣x ）=f （2+x ）， 即函数关于x=2对称，∵f （2﹣x ）=f （），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．12．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），由此可得|PF|﹣|PE|的最大值．【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），∵F（3，﹣1），∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为（2，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】根据指数函数的定义和性质，把不等式化为2（2x﹣1）＞x+4，求出解集即可．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为22（2x﹣1）＞2x+4，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以实数x的取值范围是（2，+∞）．故选：（2，+∞）．14．已知直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，若l 1∥l 2，则实数a= ﹣2 ． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，∴，解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）． 故答案为：﹣2．15．若函数f （x ）=，则f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）= 7 ．【考点】函数的值．【分析】先求出f （x ）+f （﹣x ）=2，由此能求出f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f（1）+f （）+f （）的值．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （x ）+f （﹣x ）=+=+=2，∴f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）=2×3+=7．故答案为：7．16．方程=ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 [0，） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f （x ）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，结合图象可得结论．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．【考点】点到直线的距离公式．【分析】（1）k=﹣，可得BC边上的高所在的直线的斜率为．利用点斜式可得BC边上的BC高所在的直线方程．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．可得AC的中点D．利用点D到直线BC的距离d．又|BC|，可得S=．△DBC==﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为．【解答】解：（1）kBC则BC边上的高所在的直线方程为：y﹣4=（x﹣2），化为：3x﹣4y+10=0．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．∵D是AC的中点，∴D．点D到直线BC的距离d==．又|BC|==5，∴S△DBC===．18．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．【考点】二次函数的性质；函数的定义域及其求法；函数零点的判定定理．【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式组求解即可．（2）利用函数的零点求出a，通过函数的对称轴，求解函数的值域即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解得1≤x≤3，函数的定义域为：[1，3]．（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=﹣1×5=﹣5，g（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，当x∈A时，即x∈[1，3]时，x=2函数取得最小值：y=﹣9，x=1或3时，函数取得最大值：﹣8．函数g（x）的值域[﹣9，﹣8]．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB中点N，连结EN，DN，则DN∥AC，从而DN∥平面ACC1A1，再求出EN∥平面ACC1A1，从而平面DEN∥平面ACC1A1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．（2）作DP⊥AB于P，推导出∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，由此能求出直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，∵在△ABC中，N为AB中点，D为BC中点，∴DN∥AC，∵DN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴DN∥平面ACC1A1，∵在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，∴EN∥平面ACC1A1，又DN⊂平面DEN，EN⊂平面DEN，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，∵DE⊂平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，∴MP=AB，∵A1E=EP，A1M=EP，∴∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，∴由DP⊥平面ABB1A1，EP⊂平面ABB1A1，得DP⊥EP，设直线三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为a，则在Rt△DPE中，DP=，EP=A1M=a，∴tan∠DEP==．∴直线DE与直线AM所成角的正切值为．120．已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，从而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函数的零点即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性，问题转化为t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0，令t=3x，则t﹣﹣=0，即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函数g（x）的零点是1；（2）∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函数也是增函数，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．（2）设点B的平面PCD的距离为d，利用VB﹣PCD =VP﹣BCD即可得出．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC与平面ABCD所成角为45°∴AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解：CD=，可得AC=3，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=．设点B 的平面PCD 的距离为d ，则V B ﹣PCD =××3××d=d ．在△BCD 中，∠BCD=150°，∴S △BCD =×3×sin150°=．∴V P ﹣BCD =××3=，∵V B ﹣PCD =V P ﹣BCD ，∴d=，解得d=，即点B 到平面PCD 的距离为．22．已知圆心在直线x+y ﹣1=0上且过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称，求圆C 2的方程；（2）过直线y=2x ﹣6上一点P 作圆C 2的切线PC ，PD ，切点为C ，D ，当四边形PCC 2D 面积最小时，求直线CD 的方程． 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，=，求出圆心与半径，可得圆C 1的方程，利用C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称，即可求圆C 2的方程；（2）求出四边形PCC 2D 面积最小值，可得以PC 2为直径的圆的方程，即可求直线CD 的方程． 【解答】解：（1）由题意，设C 1（a ，1﹣a ），则 ∵过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，∴=，∴（a ﹣2）（a ﹣62）=0 ∵半径小于5，∴a=2，此时圆C 1的方程为（x ﹣2）2+（y+1）2=9， ∵C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称， ∴圆C 2的方程为（x+1）2+（y ﹣2）2=9； （2）设P （a ，2a ﹣6），圆C 2的半径r=2，∴四边形PCC 2D 面积S=2==3|PD|，|PD|==，=，此时面积最小为3，P（3，0）．∴a=3时，|PD|min为直径的圆上，∵C，D在以PC2∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，∵圆C2∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．。

2017-2018学年河南省洛阳市孟津一中高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数z满足，则=（）（）A．1 B．2 C．D．2．=（）A．B．C．D．3．“m=2”是“log a2+log2a≥m（a＞1）恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知等比数列{a n}的公比为4，且a1+a2=20，设b n=log2a n，则b2+b4+b6+…+b2n等于（）A．n2+n B．2n2+n C．2（n2+n）D．4（n2+n）5．为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙三人中有2人被选中的概率是（）A．B．C．D．6．为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为（）A．0.24 B．0.38 C．0.62 D．0.767．设F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为（）A．B．2 C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．9．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，，，则过点C，以A、H为两焦点的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知底面为正方形的四棱锥O﹣ABCD，各侧棱长都为，底面面积为16，以O为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O﹣ABCD相交部分的体积是（）A． B． C．D．12．已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量和均为单位向量，且（+）2=1，则与夹角为______．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是______．15．平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x，对称的区域为E，则区域D和E中距离最近两点的距离为______．16．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，=（n∈N*），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2016的值a n+2为______．三．解答题：（本大题共5小题，共70）17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整．能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．（2）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．20．抛物线D以双曲线C：8y2﹣8x2=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．（1）求抛物线D的标准方程；（2）过直线l：y=x﹣1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB 过定点Q，并求出Q的坐标；（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN| 21．设函数f（x）=alnx+b（x2﹣3x+2），其中a，b∈R．（I）若a=b，讨论f（x）极值（用a表示）；（Ⅱ）当a=1，b=，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x1，x2（x1≠x2）满足g（x1）=g（x2）且x1+x2=2x0，证明：g′（x0）≠0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若=，=，求的值；（Ⅱ）若EF∥CD，证明：EF2=FA•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左焦点F．（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数，且f（x）≥t恒成立．（1）求实数t的最大值；（2）当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数z满足，则=（）（）A．1 B．2 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用=|z|2得答案．【解答】解：∵=，∴=．故选：B．2．=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：==tan60°=，故选：B．3．“m=2”是“log a2+log2a≥m（a＞1）恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＞1，可得log a2，log2a＞0，利用基本不等式的性质log a2+log2a≥2．利用log a2+log2a ≥m（a＞1）恒成立，可得m的取值范围，即可判断出结论．【解答】解：∵a＞1，∴log a2，log2a＞0，∴log a2+log2a≥2．∵log a2+log2a≥m（a＞1）恒成立，∴m≤2．∴“m=2”是“log a2+log2a≥m（a＞1）恒成立”的充分不必要条件，故选：A．4．已知等比数列{a n}的公比为4，且a1+a2=20，设b n=log2a n，则b2+b4+b6+…+b2n等于（）A．n2+n B．2n2+n C．2（n2+n）D．4（n2+n）【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的公比为4，且a1+a2=20，∴a1（1+4）=20，解得a1=4．∴a n=4n．设b n=log2a n=2n，∴b2n=4n．则b2+b4+b6+…+b2n==2n2+2n．故选：C．5．为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙三人中有2人被选中的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】用列举法列举从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名的情况，可得其情况数目，从中查找可得甲、乙、丙中2个被选中的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案【解答】解：从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊）10种情况，其中甲、乙、丙中2个被选中包含其中的三种情况．所以则甲、乙、丙中2个被选中的概率为．故选A．6．为调查高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，如图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是3800，则身高在170cm以下的频率为（）A．0.24 B．0.38 C．0.62 D．0.76【考点】程序框图．【分析】本题考查循环结构，由图可以得出，此循环结构的功能是统计出身高不小于170cm 的学生人数，由此即可解出身高在170cm以下的学生人数，然后求解频率，选出正确选项．【解答】解：由图知输出的人数的值是身高不小于170cm的学生人数，由于统计总人数是5000，又输出的S=3800，故身高在170cm以下的学生人数是5000﹣3800．身高在170cm以下的频率是：=0.24故选：A．7．设F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；从而求出|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；再出和即可．【解答】解：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；故（|F1P|+|F2P|）2=2（|F1P|2+|F2P|2）﹣（|F1P|﹣|F2P|）2=2×8﹣4=12；故|F1P|+|F2P|=2；则|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；故则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为+==；故选D．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．9．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．【分析】将函数向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积．【解答】解：将函数向右平移个单位，得到函数=sin（2x+π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与，，x轴围成的图形面积：﹣+（﹣sinx）d x=﹣cosx+cosx=+1=故选B10．在△ABC中，，，则过点C，以A、H为两焦点的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知中在△ABC中，，H在BC边上，我们根据向量垂直的数量积为0，及二倍角的正切公式，易得△ABC是一个顶角正切为的等腰三角形，AH为腰上高，由此设出各边的长度，然后根据椭圆的性质及椭圆离心率的定义，即可求出答案．【解答】解：由已知中可得：AH为BC边上的高又由可得：CA=CB又由，可得tanC=令AH=4X，则CH=3X，AC=BC=5X，BH=2X，则过点C，以A、H为两焦点的椭圆中2a=5x+3x=8x，2c=4x则过点B以A、H为两焦点的椭圆的离心率e===故选A11．已知底面为正方形的四棱锥O﹣ABCD，各侧棱长都为，底面面积为16，以O为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O﹣ABCD相交部分的体积是（）A． B． C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】分析可知，四棱锥O﹣ABCD实质是一个正方体的，且球在正方体的内部【解答】解：∵连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，∴四棱锥O﹣ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，各侧棱长均为2，以O为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体；而以O为球心，1为半径的球正好在正方体的内部；则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的；因此以O为球心，1为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是V=××π×23=，故选：C．12．已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】先求f′（x）=，根据x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，则可判断导数分子的符号，因此可判断导数的符号，由此得到g（k），则利用分离常数的方法求结论中a的范围，此时只需求出关于k的函数的最值即可．【解答】解：由已知f′（x）=，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，所以﹣ [4x2﹣4kx﹣1﹣3]恒成立，故f′（x）＞0在[x1，x2]恒成立，故f（x）在定义域内是增函数，所以g（k）=f（x）max﹣f（x）min=f（x2）﹣f（x1）=①，又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，所以，代入①式化简后得：g（k）=，由对任意k∈R，恒成立得：，结合k2≥0，所以，故a的取值范围是a．故选A．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量和均为单位向量，且（+）2=1，则与夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接展开（+）2=1，得到•=，再由数量积公式求得与夹角．【解答】解：设和的夹角为θ，∵（+）2=1，且和是单位向量，∴•=，则，即cos，又∵θ∈[0，π]，∴θ=．故答案为：．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是60．【考点】二项式定理．【分析】根据题意，（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；=C66﹣r•（2x）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•26﹣r•C66﹣r•，（2x﹣）6的展开式为为T r+1令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60．故答案为：60．15．平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x，对称的区域为E，则区域D和E中距离最近两点的距离为．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；两点间的距离公式．【分析】先根据条件画出可行域，作出区域D关于直线y=2x对称的区域，再利用几何意义求最值，只需求出点A到直线y=2x的距离的两倍，从而得最近两点的距离．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图，作出区域D关于直线y=2x对称的区域，它们呈蝴蝶形，由图可知，可行域内点A（﹣2，2）到A′的距离最小，最小值为A到直线y=2x的距离的两倍∴最小值=2××2=．故填：．16．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，=（n∈N*），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2016的值a n+2为7255．【考点】数列的求和．=（n∈N*），可得【分析】①当0＜a＜2时，a1=a（a＞0），a2=1，a n+2a3==，…，可知：a n=a n，数列{a n}是周期为5的周期数列．即可得出．②+5当2≤a时，同理可得．=（n∈N*），【解答】解：①当0＜a＜2时，a1=a（a＞0），a2=1，a n+2可得a3==，同理可得：a4=，a5=4，a6=a，a7=1，…，=a n，数列{a n}是周期为5的周期数列．可知：a n+5∴a2015=a5=4=4a，解得a=1．∴S2016=5（1+1+4+8+4）+1=7255．=（n∈N*），②当2≤a时，a1=a（a＞0），a2=1，a n+2可得a3==≤2，同理可得：a4=4，a5=2a≥4，a6=a＞2，a7=1，…，=a n，数列{a n}是周期为5的周期数列．可知：a n+5∴a2015=a5=2a=4a，解得a=0，舍去．综上可得：S2016=7255．故答案为：7255．三．解答题：（本大题共5小题，共70）17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（Ⅱ）由于△BCD面积为，得到•BC•BD•sin =，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos，再由DA=DC，即可得到边AB的长．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得sin∠BDC==，则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=．又由DA=DC，则∠A=．（Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则•BC•BD•sin=，解得BD=．再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos=1+﹣2××=，故CD=，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．18．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．（2）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）根据分层抽样原理求出常喝碳酸饮料且肥胖的学生数x，填写列联表，计算观测值，对照数表得出概率结论；（2）求出ξ可能取值以及对应的概率值，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x人，则=，解得x=6；由已知数据可得k=≈8.523＞7.879，因此在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；…．（2）由题意知ξ可能取值为0，1，2，3，则有，，，；∴ξ的数学期望为．…．19．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明BP⊥平面ABCD，以B为原点建立坐标系，则为平面ABCD的法向量，求出，的坐标，通过计算=0得出，从而有EM∥平面ABCD；（II）假设存在点N符合条件，设，求出和平面PCD的法向量的坐标，令|cos＜＞|=解出λ，根据λ的值得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB，∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，），∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∵=﹣1×0+0×2+=0，∴⊥．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．理由如下：∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则．∴．令y=1，得=（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴==（2λ，2﹣2λ，λ）．∴cos＜＞===．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）．∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．20．抛物线D以双曲线C：8y2﹣8x2=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．（1）求抛物线D的标准方程；（2）过直线l：y=x﹣1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB 过定点Q，并求出Q的坐标；（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【分析】（1）由题意，求出c值，从而得出，最后写出抛物线D的标准方程；（2）先设出切点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x0，x0﹣1），代入两条切线方程，得x0﹣1=x0x1﹣y1．x0﹣1=x0x2﹣y2．故直线AB的方程为x0﹣1=x0x﹣y，过定点（1，1）（3）先写出直线PQ的方程y=（x﹣1）+1，代入抛物线方程，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x3，y3），N（x4，y4），要证=，只需证明，即2x3x4﹣（1+x0）（x3+x4）+2x0=0，最后利用韦达定理将x3+x4和x3x4代入即可得证．【解答】解：（1）由题意，c2=．所以，抛物线D的标准方程为x2=2y．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，x0﹣1），由抛物线D在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣y1．…而A点处的切线过点P（x0，x0﹣1），所以x0﹣1=x1x0﹣y1，即（x1﹣1）x0+1﹣y1=0．同理，（x2﹣1）x0+1﹣y2=0．可见，点A，B在直线（x﹣1）x0+1﹣y=0上．令x﹣1=0，1﹣y=0，解得x=y=1所以，直线AB过定点Q（1，1）…（3）设P（x0，x0﹣1），M（x3，y3），N（x4，y4），直线PQ的方程为y=．由，消去y，得x2﹣=0．由韦达定理，x3+x4=．…而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|⇔…将x3+x4=代入方程（*）的左边，得（*）的左边=﹣==0．因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．…21．设函数f（x）=alnx+b（x2﹣3x+2），其中a，b∈R．（I）若a=b，讨论f（x）极值（用a表示）；（Ⅱ）当a=1，b=，函数g（x）=2f（x）﹣（λ+3）x+2，若x1，x2（x1≠x2）满足g（x1）=g（x2）且x1+x2=2x0，证明：g′（x0）≠0．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，假设结论不成立，得到ln=，令t=，构造函数u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵a=b∴f（x）=alnx+a（x2﹣3x+2）∴f′（x）=+a（2x﹣3），∴f′（x）=+a（2x﹣3）=，①当a=0时，f（x）=0，所以函数f（x）无极值；②当a＞0时，f（x）在（0，）和（1，+∞）单调递增，在（，1）单调递减，∴f（x）的极大值为f（）=﹣aln2+a，f（x）的极小值为f（1）=0；③当a＜0时，f（x）在（0，）和（1，+∞）单调递减，在（，1）单调递增，∴f（x）的极小值为f（）=﹣aln2+a，f（x）的极大值为f（1）=0；综上所述：当a=0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）的极大值为﹣alna，函数f（x）的极小值为0；当a＜0时，函数f（x）的极小值为﹣alna，函数f（x）的极大值为0．…（Ⅱ）g（x）=2lnx﹣x2﹣λx，g′（x）=﹣2x﹣λ，假设结论不成立，则有，由①，得，∴，由③，得，∴，即ln=．④令t=，不妨设x1＜x2，u（t）=lnt﹣（0＜t＜1），则u′（t）=＞0，∴u（t）在0＜t＜1上增函数，u（t）＜u（1）=0，∴④式不成立，与假设矛盾．∴g′（x0）≠0．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若=，=，求的值；（Ⅱ）若EF∥CD，证明：EF2=FA•FB．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由四点共圆得∠EDC=∠EBF，从而△CED∽△AEB，由此能求出的值．（Ⅱ）由平行线性质得∠FEA=∠EDC，由四点共圆得∠EDC=∠EBF，从而△FAE∽△FEB，由此能证明EF2=FA•FB．【解答】（Ⅰ）解：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，又∵∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴，∵，∴．…（Ⅱ）证明：∵EF∥CD，∴∠FEA=∠EDC，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EBF，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴，∴EF2=FA•FB…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左焦点F．（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用cos2φ+sin2φ=1将椭圆C的参数方程化为普通方程，可得a，b，c，可得点F的坐标，l是经过点（m，0）的直线，可得m．（2）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得（3cos2α+4sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0，利用|FA|•|FB|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得：所以，则点F的坐标为（﹣1，0），l是经过点（m，0）的直线，故m=﹣1．…（2）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得（3cos2α+4sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0 设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2则|FA|•|FB|=|t1t2|==，当sinα=0，|FA|•|FB|取最大值3当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数，且f（x）≥t恒成立．（1）求实数t的最大值；（2）当t取最大值时，求不等式|x+t|+|x﹣2|≥5的解集．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论．（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=+=（+）（sin2x+cos2x）=（5++）≥（5+2）=（5+2）=（5+4）=1，当且仅当=，即时等号成立，若f（x）≥t恒成立，∴t≤1，即t的最大值为1．（2）由题，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则由|x+1|+|x﹣2|≥5得，当x＜﹣1，得1﹣2x≥5得2x≤﹣4，即x≤﹣2，此时x≤﹣2，当﹣1≤x≤2得3≥5，此时不等式不成立，当x＞2时，得2x﹣1≥5，即x≥3，综上x≤﹣2或x≥3，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣2016年9月27日。

某某省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值X围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。

河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=，B=，则A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.4.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．考点：空间直线和平面的位置关系．5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有（）A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．【详解】如图，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由题意得，解此不等式求得半径r的取值范围.【详解】由圆的方程可知圆心为，圆心到直线的距离因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，绝对值不等式的解法，属于中档题.7.已知定义在上的函数满足，，则（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.【详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,代入欧拉线方程得：①AB的中点为，，所以AB的中垂线方程为联立，解得所以三角形ABC的外心为，则，化简得：②联立①②得：或，当时，B,C重合，舍去，所以顶点C的坐标是故选A.【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】要使切线长最小，则直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，求出后再利用勾股定理求得切线长的最小值.【详解】要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值为圆心到直线的距离d，由点到直线的距离可得根据勾股定理知切线长的最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，勾股定理，属于中档题.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．考点：1、新定义；2、函数的图象．第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________. 【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以，，，所以故该点到原点的距离为，故填.【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题. 15.函数的单调递增区间是_________。

河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末数学测试★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A=，B=，则A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：若A．若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B．若，，则，显然成立；C．若，，则或故C错误；D．若，，则或或与相交.考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系.视频5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．【详解】如图，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了四面体的结构与特征，考查了线面的垂直关系，属于基础题.6.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A. (4,6)B.C.D.【答案】A【解析】因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5,所以要使圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,r须满足.7.已知定义在上的函数满足，，则（ )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0 ①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．联立，解得．∴△ABC的外心为（﹣1，1）．则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．故选：A．【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.考点：分段函数的最值.【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.11.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为M，过点M做圆的切线，切线长最短，先求圆心到直线的距离，圆的半径为1，则切线长的最小值为，选B.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．考点：1、新定义；2、函数的图象．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______．【答案】【答案】【解析】【分析】设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离．【详解】设该点的坐标是（x，y，z），∵该点到三个坐标轴的距离都是1，∴x2+y2＝1，x2+z2＝1，y2+z2＝1，∴x2+y2+z2，∴该点到原点的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题．15.函数的单调递增区间是______．【答案】（4，+∞）【解析】由得，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调区间是，答案为.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.16.如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.【答案】【解析】试题分析:利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．考点：直线与平面垂直的性质．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知：，：，分别求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交．【答案】（1）；（2）-1；（3）3；（4）且.【解析】【分析】（1）若l1和l2垂直，则m﹣2+3m＝0（2）若l1和l2平行，则（3）若l1和l2重合，则（4）若l1和l2相交，则由（2）（3）的情况去掉即可【详解】若和垂直，则,若和平行，则,,若和重合，则，若和相交，则由可知且【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示18.有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．【答案】.【解析】【分析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得y E＝2．根据S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB即可得出．【详解】∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）．l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）．两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即y E＝2．∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB|BC|•y E|OA|•|OB|（a21）×2（2﹣a）×（2）＝a2﹣a+3＝（a）2，当a时取等号．∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．【点睛】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在圆锥中，已知PO=，圆O的直径AB=2，C是弧AB的中点，D为AC的中点．（1）求异面直线PD和BC所成的角的正切值；（2）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（1）2；（2）【解析】试题分析：（1）异面直线所成的角，往往通过平移转化到一个三角形内求解．本题转化到直角三角形PDO中求解．（2）直线与平面所成的角，应先作出直线在平面内的射影，则斜线与射影所成的角即为所求．本题过点O向平面PAC作垂线，则即为直线与平面所成的角，进而求出其正弦值．试题解析：（1）O，D分别是AB和AC的中点OD//BC异面直线PD和BC所成的角为∠PDO在△ABC中，的中点又（2）因为又所以又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在在考点：异面直线所成的角、斜线与平面所成的角．20.已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上的最大值为3，求的值.【答案】(1)；（2）或.【解析】试题分析：（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.试题解析：（1）由.（2）化简得，当，即时，；当，即时，，，（舍）；当，即时，，综上，或.21.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.22.已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．求动圆圆心M的轨迹C的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（）（2）故不存在以为直径的圆恰好过点【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以MN为直径的圆过点A．试题解析：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得显然.设，，则，，而若以为直径的圆过点，则，∴由此得∴，即.解得>-2故不存在以为直径的圆过点点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力.。

XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1、已知全集$U=\mathbb{R}$，集合$A=\{x|y=\pi x\}$，则$C_UA=$ $\{x|x\notin A\}$2、函数$f(x)=x^{-1}$在$(-\infty,0)$内的零点为$x=-1$3、关于$x$的方程$2^x=3$的解集为$\{\log_2 3\}$4、函数$f(x)=\dfrac{1}{x+a}$为奇函数，则实数$a$的值为$0$5、集合$A=\{x|x<a\},B=\{x|x<1\}$，若$A\subseteq B$，则实数$a$的取值范围为$a\leq 1$6、比较两数大小: $2^{e^{5031}}$ $>$ $e^{2^{5031}}$7、函数$y=f(x)$的定义域为$(0,1)$，则函数$y=f(2x)$的定义域为$(0,\dfrac{1}{2})$8、幂函数$y=x^{-2}$的单调递减区间为$(0,+\infty)$9、函数$y=f(x)$过定点$(0,2)$，则函数$y=f(x-2)$过定点$(2,2)$10、不等式$|x|-a\geq 0$ 对任意$x\in[-1,2]$恒成立，则实数$a$的最大值为$a=2$11、若函数$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$，则$f(x)-f(2-x)=\dfrac{4x-10}{x-2}$12、方程$f(x+2018)+f(\dfrac{e-|2-x|}{x-2x-1})-a=0$在$(-\infty,5)$内有两个零点，则实数$a$的取值范围为$a\in(-\infty,4)$二、选择题(每题3分,共12分)13.四个说法中,与“不经冬寒,不知春暖”意义相同的是() C.若知春暖，必经冬寒14、已知实数$x>y$，下列不等式中一定成立的是() B。

2017-2018学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0} 2．（5分）已知f（2x+1）=4x2，则f（﹣3）=（）A．36 B．16 C．4 D．﹣163．（5分）下列函数，既有偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（）A．B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．（5分）已知集合M={x∈R|ax2+2x﹣1=0}，若M中只有一个元素，则a的值是（）A．﹣1 B．0或﹣1 C．1 D．0或15．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2]6．（5分）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）若函数f（x）=2x2﹣ax+5在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]8．（5分）已知，则f（﹣2）+f（2）的值为（）A．6 B．5 C．4 D．39．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知2x=3y=a，则，则a值为（）A．36 B．6 C．D．11．（5分）已知a=2，b=4，c=25，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b12．（5分）若对于任意x∈（﹣∞，﹣1]，都有（3m﹣1）2x＜1成立，则m的范围是（）A．B．C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，2），则=．14．（5分）已知函数f（x）=1+log a（2x﹣3）（a＞0且a≠0）恒过定点（m，n），则m+n=．15．（5分）计算=．16．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当时x＞0，f（x）=4x﹣x2．若f（x）在区间[﹣4，t]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设全集U=R，集合．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，且B∪C=C，求a的取值范围．18．（12分）如图所示，定义域为（﹣∞，2]上的函数y=f（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成．利用该图提供的信息解决下面几个问题．（1）求f（x）的解析式；（2）若x关于的方程f（x）=a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若，求x的取值集合．19．（12分）设函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|+3，x∈R．（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f（x）都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若f（x）是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f（x）的图象并指出其单调递增区间．20．（12分）某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r（p，q，r 为常数，且p≠0）或函数y=ab x+c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．21．（12分）已知函数是（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）若实数t满足f（t﹣1）+f（t）＞0，求t的取值范围．22．（12分）对于函数f（x），若存在一个实数a使得f（a+x）=f（a﹣x），我们就称y=f（x）关于直线x=a对称．已知f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+e x﹣1）．（1）证明f（x）关于x=1对称，并据此求：的值；（2）若f（x）只有一个零点，求m的值．2017-2018学年河南省洛阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}【解答】解：集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0}．故选：D．2．（5分）已知f（2x+1）=4x2，则f（﹣3）=（）A．36 B．16 C．4 D．﹣16【解答】解：∵f（2x+1）=4x2，设2x+1=t，则x=，∴f（t）=4×（）2=（t﹣1）2，∴f（﹣3）=（﹣3﹣1）2=16．故选：B．3．（5分）下列函数，既有偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（）A．B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B、y=e﹣x=（）x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C、y=﹣x2+1为二次函数，其对称轴为y轴且开口向下，则其既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数，符合题意；对于D、y=lg|x|，有f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|，是偶函数，在（0，+∞）上，y=lgx为增函数，不符合题意；故选：C．4．（5分）已知集合M={x∈R|ax2+2x﹣1=0}，若M中只有一个元素，则a的值是（）A．﹣1 B．0或﹣1 C．1 D．0或1【解答】解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程ax2+2x+1=0只有一个解；（1）当a=0时，方程化为2x+1=0，只有一个解；（2）当a≠0时，若ax2+2x+1=0只有一个解，只需△=4﹣4a=0，即a=1；综上所述，可知a的值为a=0或a=1．故选：D．5．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2]【解答】解：由，解得﹣3＜x＜2．∴函数的定义域是（﹣3，2）．故选：A．6．（5分）方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈（n，n+1），n∈N，则n=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：方程x+log3x=3的解为x0，就是方程log3x=3﹣x的解为x0，在同一坐标系中做出y=log3x和y=3﹣x的图象，如图，观察可知图象的交点在（2，3）内，所以n=2．故选：C．7．（5分）若函数f（x）=2x2﹣ax+5在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【解答】解：函数f（x）=2x2﹣ax+5的单调增区间为[，+∞），又函数f（x）=2x2﹣ax+5在区间[1，+∞）上为单调递增函数，知[1，+∞）是单调增区间的子区间，∴≤1，则a的取值范围是a≤4．故选：D．8．（5分）已知，则f（﹣2）+f（2）的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵，∴f（﹣2）=1+log24=3，f（2）=22﹣1=2，∴f（﹣2）+f（2）=5．故选：B．9．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设函数h（x）=是奇函数，g（x）=2x，为非奇非偶函数，所以函数为非奇非偶函数，所以图象不关于原点对称，所以排除A，C．当x＞0时，h（x）=1，所以此时f（x）=2x，为递增的指数函数，所以排除D，故选：B．10．（5分）已知2x=3y=a，则，则a值为（）A．36 B．6 C．D．【解答】解：根据题意，2x=3y=a，则有x=log2a，y=log3a，则=log a2，=log a3，若，即log a2+log a3=log a6=2，则a=；故选：D．11．（5分）已知a=2，b=4，c=25，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由a=2=b=4=根据指数函数的单调性，∴a＞b．a=2=，c=25，∴a＜c，可得：b＜a＜c．故选：A．12．（5分）若对于任意x∈（﹣∞，﹣1]，都有（3m﹣1）2x＜1成立，则m的范围是（）A．B．C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：∵x∈（﹣∞，﹣1]，∴2x∈（0，]，不等式（3m﹣1）2x＜1恒成立，即3m﹣1＜恒成立，由2x∈（0，]，得∈[2，+∞）．∴3m﹣1＜2，即m＜1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，2），则=．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，其图象过点（4，2），∴4α=2α=，∴f（x）==；∴==．故选：．14．（5分）已知函数f（x）=1+log a（2x﹣3）（a＞0且a≠0）恒过定点（m，n），则m+n=3．【解答】解：令2x﹣3=1，解得：x=2，故f（2）=1+0=1，故m=2，n=1，故m+n=3，故答案为：3．15．（5分）计算=﹣6．【解答】解：=÷+7×=﹣2×10+7×2=﹣6．故答案为：﹣6．16．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当时x＞0，f（x）=4x﹣x2．若f（x）在区间[﹣4，t]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[2，2+2] ．【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），则f（x）=4x+x2，x＜0，则函数f（x）=，则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4，当x=2时，f（x）=4，令f（x）=4x﹣x2=﹣4，解得x=2+2，（负值舍掉），若函数f（x）在区间[﹣4，t]上的值域为[﹣4，4]，则2≤t≤2+，即实数t的取值范围是[2，2+2]，故答案为：[2，2+2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设全集U=R，集合．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，且B∪C=C，求a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合．由得3x﹣7≥8﹣2x，∴x≥3，从而B={x|x≥3}，∴A∪B={x|2≤x＜4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}，（C U A）∩B={x|x＜2x≥4}∩{x|x≥3}={x|x≥4}（2）集合C={x|2x+a＞0}，化简得，∵B∪C=C，∴B⊆C从而，解得a＞﹣6．∴a的取值范围是（﹣6，+∞）．18．（12分）如图所示，定义域为（﹣∞，2]上的函数y=f（x）是由一条射线及抛物线的一部分组成．利用该图提供的信息解决下面几个问题．（1）求f（x）的解析式；（2）若x关于的方程f（x）=a有三个不同解，求a的取值范围；（3）若，求x的取值集合．【解答】解：（1）由图知当x≤0时，f（x）为一次函数，且过点（0，2）和（﹣2，0）设f（x）=kx+m（k≠0），则，解得，∴f（x）=x+2．当x∈（0，2]时，f（x）是二次函数，且过点（1，0），（2，0），（0，3）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则，解得，∴f（x）=x2﹣x+3．综上，．（2）当0＜x≤2时，f（x）的最小值为f（）=﹣，∴当﹣＜a≤0时，f（x）=a有三解．（3）当x≤0时，令x+2=，解得x=﹣．当0＜x≤2时，令，解得或（舍去）．综上所述，x的取值集合是．19．（12分）设函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|+3，x∈R．（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f（x）都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若f（x）是偶函数，求a的值；（3）在（2）的情况下，画出y=f（x）的图象并指出其单调递增区间．【解答】解：（1）我同意王鹏同学的看法，理由如下f（a）=a2+3，f（﹣a）=a2﹣4|a|+3若f（x）为奇函数，则有f（a）+f（﹣a）=0∴a2﹣2|a|+3=0显然a2﹣2|a|+3=0无解，所以f（x）不可能是奇函数（2）若f（x）为偶函数，则有f（a）=f（﹣a）∴2|a|=0从而a=0，此时f（x）=x2﹣2|x|+3，是偶函数．（3）由（2）知f（x）=x2﹣2|x|+3，其图象如图所示其单调递增区间是（﹣1，0）和（1，+∞）．20．（12分）某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可选择二次函数y=px2+qx+r（p，q，r 为常数，且p≠0）或函数y=ab x+c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．【解答】解：若选择二次函数模型f（x）=px2+qx+r，则，解得，∴f（x）=﹣0.05x2+0.35x+0.7，∴f（4）=1.3，若选择函数模型g（x）=ab x+c，则，解得，∴g（x）=﹣0.8×0.5x+1.4∴g（4）=1.35显然g（4）更接近于1.37，故选用y=﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数更好．21．（12分）已知函数是（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）若实数t满足f（t﹣1）+f（t）＞0，求t的取值范围．【解答】解：（1）由已知得解得∴；（2）f（x）在（﹣1，1）上递增．理由如下：任取x1，x2∈（﹣1，1），且则x1＞x2，则=∵x1，x2∈（﹣1，1）∴1﹣x1x2＞0，又x1＞x2∴f（x1）﹣f（x2）＞0，从而f（x1）＞f（x2）即f（x）在（﹣1，1）上递增．（3）f（t﹣1）+f（t）＞0可化为f（t﹣1）＞﹣f（t）=f（﹣t），∴．22．（12分）对于函数f（x），若存在一个实数a使得f（a+x）=f（a﹣x），我们就称y=f（x）关于直线x=a对称．已知f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+e x﹣1）．（1）证明f（x）关于x=1对称，并据此求：的值；（2）若f（x）只有一个零点，求m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+m（e﹣x+1+e x﹣1），∴f（1+x）=（1+x）2+2（1+x）+m（e﹣（1+x）+1+e1+x﹣1），=x2﹣1+m（e﹣x+e x），f（1﹣x）=（1﹣x）2+2（1﹣x）+m（e﹣（1﹣x）+1+e1﹣x﹣1），=x2﹣1+m（e x+e﹣x），从而有f（1+x）=f（1﹣x），即f（x）关于x=1对称，那么，∴=f（1）=2m﹣1；（2）由（1）知y=f（x）关于x=1对称，且f（x）只有一个零点，则这个零点一点就是x=1，∴f（1）=0，即2m﹣1=0，∴m=当时，x=1时，f（x）=0，x≠1时，f（x）＞0故时，只有一个零点，符合题意．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。