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春季高考立体几何部分知识点梳理及历年试题一.线面之间空间关系及证明方法A.线//线的证明方法1.将两条直线放到一个平面内（或者转移到同一平面内）利用平行四边形或者三角形的中位线来证明2. 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.（线//面→线//线）3. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

（面//面→线//线）4.垂直于同一个平面的两条直线平行。

B.线⊥线的证明方法1.异面直线平移到一个平面内证明垂直2. 一条直线垂直于一个平面,则这条直线与平面内任意直线垂直.（线⊥面→线⊥线）C.线//面的证明方法1. 平面外一直线与平面内一直线平行,则该直线与此平面平行. （线//线→线//面）2. 如果两个平面平行,那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面（面//面→线//面）D. 线⊥面的证明方法1.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线⊥线→线⊥面）2. 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（面⊥面→线⊥面）E. 面//面的证明方法1.一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两平面平行（线//面→面//面）2. 如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行（线//线→面//面）3.垂直于同一条直线的两个平面平行。

4.平行于同一个平面的两个平面平行。

F. 面⊥面的证明方法1. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直（线⊥面→面⊥面）二.各几何体的体积公式柱体（圆柱，棱柱）V=s h 其中s 为底面积，h 为高∙椎体（圆柱，棱柱）V= 其中s 为底面积，h 为高13s ∙ℎ球体 体积V= 表面积S=443πr 3πr22012年春考真题23.已知空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，给出下列四个命题：1.AC 与BD 是相交直线2.AB//DC3.四边形EFGH 是平行四边形4.EH//平面BCD 其中真命题的个数是A. 4B.3C.2D.1解析：如图AC 与BD 没有相交，是异面直线。

高中立体几何 (全一册)第一章直线和平面第三单元空间直线和平面一、教法建议【抛砖引玉】本单元主要研究空间直线与平面的位置关系，是立体几何基础中的支柱．通过研究空间直线与平面位置关系的判定和性质，用以解决立体几何中的计算和证明问题．空间直线和平面的位置关系共分为两类：一是直线在平面内，如果一条直线上有不同的两点落在同一个平面内，那么整条直线就落这个平面内．此时直线这个点集是平面点集的真子集；二是直线在平面外，直线在平面外又分为两种情况：直线与平面平行，这里有平行的定义、平行的判定和平行的性质；还有直线与平面相交，当直线与平面有且仅有一个交点时，直线就与平面相交，相交时又有两种不同的位置关系，第一是直线与平面垂直，垂直的定义、垂直的判定和垂直的性质，同时提出了立体几何中最重要的定理──三垂线定理及其逆定理，为后续知识的学习奠定坚实的基础；第二是直线与平面斜交，有直线在平面内的射影和直线与平面所成角的概念．本单元的重点之一是研究直线与平面的平行．平行的定义是直线与平面没有公共点；如何判定直线与平面的平行呢？如果平面外的一条直线和这个平面内的某一条直线平行，那么这条直线就平行于这个平面．这就是判定定理，简称为“线线平行，线面平行”．直线和平面平行以后又有些什么性质呢？当直线a平行于平面α以后是否有平面内任何一条直线都平行于直线a呢?结论是否定的，我们有如下的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面与已知平面相交，那么这条直线就和交线平行．这是直线与平面平行的性质定理，简称为“线面平行，线线平行．”这两种简称都要在理解原定理的意思中说出各个线和面的意义．本单元重点之二是研究直线与平面的垂直．垂直的定义要求很高，一条直线如果垂直于一个平面内的任何一条直线，那么称这条直线垂直于这个平面．有了这个要求很高的定义以后，判定就变行相对宽松一些，如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么称这条直线垂直于已知平面．注意它的证明纯粹应用平面几何中等腰三角形的性质和判定．此外，还有两条平行直线与平面垂直的判定和性质的两个定理．平面的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的锐角，特别地当直线垂直于平面时，直线与平面成直角；当直线平行于平面时，直线与平面成零角．因此，设Q是直线l与平面α所成的角时，角θ的取值范围是θ∈[0，2 ]．本单元的重点之三是三垂线定理及其逆定理，它们都是研究直线与直线关系的．在研究空间图形时，常常利用它们把某些空间图形的计算问题转化为平面图形的计算问题，证明问题也的这样，所以三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要支柱．这两个定理的证明仅仅用到直线与平面垂直的判定和定义，是不难掌握的，同学们在学习过程中应特别注意的是搞清三垂线定理及其逆定理的区别，应用定理时，说清究竟是用三垂线定理，还是三垂线定理的逆定理．【指点迷津】本单元的知识，既重要，又难学．教师对学生的指导必须在给学生认真讲清概念关键的同时，用模型给学生摆清各种直线和平面的位置关系，解决好使学生建立空间概念的问题．在教学过程中使学生的空间想象能力逐步得到培养；同时还要学会把空间想象出来的线面关系在二维平面上表示出来．在纸面上画出来．也就是要做到：第一，直线与平面的位置要想得出，能理解，会比划；第二是把想象出的位置关系画到平面上．这是有一定难度的．因为平面几何研究的是二维的平面图形的性质，学生从初中升入高一，本来就对想象三维空间的线面关系感到困难，又要把想象出来的三维线面关系重新表示到二维纸面上来，画好图，画得直观、生动，关键是符合科学性，而且看到图又要能想象出位置关系，而这个过程是必须要过的，而且一定要过好，这就叫做空间想象能力的培养．二、学海导航【思维基础】学习本单元的知识，主要抓住空间直线与平面的平行、斜交和垂直三种主要位置关系．每一种位置关系都要搞清一系列问题．例如，怎样定义直线与平面平行？如何判定直线与平面平行，有几种方法？直线与平面平行以后，有些什么性质？又例如，怎样定义直线与平面的垂直？如何判定直线与平面垂直，有几种方法？直线与平面垂直以后，又有些什么性质？都必须通过整理，弄懂弄通，运用自如，才真掌握了这些知识；还比如，平面的斜线中有一个斜线长和射影长的定理，这是必须注意定理的条件、前提，必须是以平面外一点出发的诸多斜线和一条垂线，如果遗忘这个条件，结论虽然是不对的．所以要求同学们认真地阅读理解定理中的原文原句，正确地掌握其内在含意．试完成以下各题：1．直线和平面平行的充要条件是这条直线和平面内的（）（A）一条直线不相交（B）两条直线不相交（C）任意一条直线都不相交（D）无数条直线不相交2．设a、b是两条异面直线，下列命题中，正确的是（）（A）有且仅有一条直线与a、b都垂直（B）有一个平面与a、b都垂直（C）过直线a有且仅有一个平面与b平行（D）过空间任何一点必可作一条直线与a、b都相交3．正方体AB CD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和AB的中点，则EF与对角面AA1C1C 所成的角是（）（A）300 （B）450（C）600（D）15004．设P是△AB C所在平面外一点，则点P在此三角形所在平面内的射影是△AB C的垂心的主要条件是（）（A）P A=P B=PC （B）P A⊥B C且P B⊥A C（C）点P到△AB C三边的距离相等（D）P A、P B、PC与△AB C所在平面所成的角相等5．已知△AB C 在平面α的同侧，顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别是11、7、3，G 是△AB C 的重心，则G 到平面α的距离等于 ．6．已知长方体AB CD —A ′B ′C ′D ′中，AA ′=5，AB =12，那么直线B ′C ′′与平面A ′B CD ′的距离等于 ．7．在长方体AB CD —A 1B 1C 1D 1中，AB =6，A D=8，AA 1=3.6，A E 与低面对角线B 1D 1垂直于点E ．（1）求证 A 1E B 1D 1；（2）求 A E 的长．【学法指要】例1．四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多的是 （ ）(A )1个(B )2个 (C)3个 (D)4个 解：如图，当四棱锥P —AB CD 的侧棱P A 垂直于底面AB CD 时，P A ⊥AB ，P A ⊥A D ，△P AB 和△P A D 都是直角三角形；当底面AB CD 是矩形时，∵B C ⊥AB ，由三垂线定理知B C ⊥P B ，∴△P B C 也是直角三角形，同理△PCD 也是直角三角形，因此侧面中直角三角形的个数最多是4个，选（D ）．例如2．等腰直角三角形△AB C 中，AB =A C=1，P A ⊥平面AB C ，且P B =2．求P A 与平面P B C 所成角的正弦值． ( )解：如图，在AB C 中作A C ⊥B C 于D ，则D 是B C 中点，且A D=22，又因为P A =2，PD=412322+=， ∵A D ⊥B C ，由三垂线定理知PD ⊥B C ，∴B C ⊥平面P A D ，平面P A D ⊥平面P B C ， 过A 作A O ⊥PD 于O ，则A O ⊥平面P B C ．∠A PO=θ就是P A 与平面P B C 所成的角，在Rt △P A D 中，A O=PA AD PD ⋅=23， ∴sin θ=AO PA =13．即P A 与平面P B C 所成角的正弦值等于13． 例3．异面直线a 、b 分别与平面α平行，且a 、b 到平面α的距离相等，A 是直线a 上任意一点,B 是直线b 一的任意一点，求证线段AB 被平面α平分．证明：设CD 是异面直线a 、b 的公垂线段，CD 交平面α于点O ，则CO=DO ，如图，过D 作直线a ′∥a ，则相交直线a ′与b 确定的平面与平面α平行．过点A 作A ′A ⊥直线a ′，交直线a ′于点A ′，则AA ′⊥面α，设AA ′交平面α于点M ，则由于异面直线a 、b 到平面α的距离相等,所以A M=M A ′，即M 是AA ′的中点，又设AB 交平面α于点P ，连MP 、A ′B ． 由于相交直线a ′与b 所确定的平面与平面α平行，这两个平行平面被平面AA ′B 所截，截得的交线MP 与A ′B 平行，由M 是AA ′的中点，知PM 是△AA ′B 的中位线，故P 是AB 的中点，即线段AB 被平面α平分．例4．在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后记为G ，那么在四面体S-EFG 中必有 （ ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面（B ）SD ⊥△EFG 所在平面（C ）GF ⊥△SEF 所在平面（D ）GD ⊥△SEF 所在平面解：由于在平面图形SG 1G 2G 3中，SG 1⊥G 1G 2，SG 3⊥G 2G 3，所以折成四面休SGEF 中，∠SGE=∠SGF=Rt ∠，GE 、GF 、相交于点G ，因此SG ⊥△EFG 所在平面．故应选（A ）例5．已知∠BA C 在平面α内，P A 是平面α的斜线，若∠P AB =∠P A C=∠BA C=600，P A =a ．求点P 到坪面α的距离．解：过点P 作PO 平面α，∵∠P A C=∠P AB ，∴A O 平分∠BA C ，在平面α内，作OC ⊥A C于点C ，连PC ，由三垂线定理知PC ⊥A C ．又∵∠P A C=600，P A =a ，∴A C=a 2∴A O=AC a cos30330= 在Rt △P A O 中，PO=PA AO a a a 22221363-=-= 故点P 到平面α的距离为63a ． 例6．如图，AB CD 是边长为2a 的正方形，M 、N 分别是AB 、A D 的中点，PC ⊥平面AB CD ，PC=a ．（1）求证：B D ∥平面PMN ；（2）求点B 到平面PMN 的距离．解：（1）∵M 、N 分别是正方形AB CD 的边AB 、A D 的中点，∴MN ∥B D ，MN ∈平面PMN ，∴B D ∥平面PMN ．（2）∵AB CD 是正方形，∴B D ⊥A C ，MN ∥B D∴MN ⊥A C又∵PC ⊥平面AB CD ，MN ⊂平面AB CD ，∴MN ⊥PC ．又PC ∩A C=点C ．∴MN ⊥平面EPC ．在平面EPC 内，作O H ⊥PE 于点H ，则MN ⊥O H ，∴O H ⊥平面PMN ，由于B D ∥平面PMN ，所以O H 的长就是点B 到平面PMN 的距离．在Rt △PCE 中，PC= a ，EC=（）∴PE=222a ，又EO=22a ∵△E H O ∽△ECP ，∴O H ：PC=EO ：PE ， ∴O H =PC EO PE a ⋅=1111． 故点B 到平面PMN 的距离为1111a ． 例7．如图，A D 是△AB C 中B C 边上的高，在A D 上取一点E ，使A E=12ED ，过E作直线MN 平行于B C ，交AB 于M ，交A C 于N ，现将△A MN 沿MN 折过去，此时点A 到了A ′的位置，如果∠A ′ED=600，求证：E A ′⊥平面A ′B C ．证明：连结A ′B 、A ′C 、A ′D ，∵A E=12ED ，A ′E=A E ， ∴A ′E=12ED ，∠A ′ED=600， 在A ′ED 中，由余弦定理求得A ′D =32ED ． ∴E A ′D=900，即E ′A ⊥A ′D ．又A D ⊥B C ，MN ∥B C ，∴MN ⊥A D ．即MN ⊥A ′E ，MN ⊥ED ．因此MN ⊥平面E A ′D ，即B C ⊥平面E A ′D ．E A ′⊂平面E A ′D∴E A ′⊥B C ，E A ′⊥A ′D ，A ′D ∩B C=点C∴E A ′⊥平面A ′B C评注：通常是知道位置关系，如平行，垂直等来进行计算，这里的关键在于利用A E=12ED 和∠A ED=600这两个数量关系来推断E A ′⊥A ′D ，这个位置关系，同学们应该学会．例8．已知平面α、β相交于直线PQ ，线段O A 、O B 分别垂直于平面α、β，其中A 、B 为垂足．求证：（1）PQ ⊥平面A O B（2）PQ ⊥AB ．证明：（1）∵O A ⊥平面α⇒ O A ⊥PQPQ ⊥平面αO B ⊥平面β ⇒ PQ ⊥平面A O B⇒ O B PQPQ ⊂平面βO A ∩O B =点O（2）∵PQ ⊥平面A O BPQ ⊥ABAB ⊂平面A O B评注：同学们在推理论证的学习达到一定的熟练程度的时候，可以学习运用推出符号“⇒”来进行论证，这样的证明因果关系清晰，简洁明了．但是应注意两点，第一是条件必须具备齐全，然后直接运用定理便可推出；第二是必须按序一步一步地推得，不能把条件全部罗列，一个推出符号“⇒”就得到最后结论，这是不对的，请同学们学习时注意．例9．如图，地平面上有一竖直的旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一条基线AB ，AB =20米，在A 点处测得点P 的仰角为∠O A P=300，在B 点处测得点P 的仰角为∠O B P=450，又测得∠A O B =600．求旗杆的高（结果可以保留根号）．解：设旗杆的高OP =h ，在Rt △P A O 中，∴∠P A O=300，∴A O=3h ，在Rt △P B O 中，∵∠P B O=450，∴B O=h ，在△A O B 中，∠A O B =600，由余弦定理知AB 2=A O 2+B O 2-2A O ·B O cos600,∴400=3h 2+h 2-23·h 212 ∴(4-3)h 2=400.H =2043-(米)．答：旗杆的高度为h =2043-米．例10．在四面体AB CD 中，已知棱AB ⊥CD ，棱A C ⊥B D ．求证棱A D ⊥B C ．证明：设顶点A 在平面B CD 内的射影为O ，即 A O ⊥平面B CD 于点O ，则因为AB ⊥CD ，由三垂线逆定理知B O ⊥CD ，同理CO ⊥B D ． 因此O 时△B CD 的垂心，连DO ，则DO ⊥B C ，由三垂线定理知A D ⊥B C ．评注：应用三垂线定理时，正定理和逆定理不能搞错．已知平面内的直线与斜线在这个平面内的射影垂直，得到平面内的直线与斜线垂直是三垂线定理．反之，已知平面内的直线与平面的斜线垂直，推得这条直线和斜线在已知平面内的射影也垂直，是三垂线定理的逆定理．例11．已知Rt △AB C 的斜边AB 在平面α内，两直角边A C 、B C 与平面α分别成θ1和θ2角，若平面AB C 与平面α成二面角为．求证：sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2φ证明：设直角顶点C 在平面α内的射影为O ，连结A O 、B O ，则∠C A O=θ1，∠C B O=θ2．设CO=h ，则sin θ1=h AC, sin θ2=h BC在平面AB C 中，作CD ⊥AB 于D ，连结OD ，由三垂线逆定理知OD ⊥AB 且∠CDO=φ就是平面AB C 与平面α所成二面角的平面角，而且sin φ=h CD∵sin 2θ1+sin 2θ2 =h AC h BC h AC BC AC BC 22222222+=⋅+⋅ =h AB AC BC 2222⋅⋅ 在Rt △AB C 中，∵CD ·AB =A C ·B C ，∴⋅⋅AB AC BC =1CD． ∴sin 2θ1+sin 2θ2=h AB AC BC 2222⋅⋅=h CD22=sin 2φ． 故有结论成立．例12．平面M 的一条斜线与平面M 所成的角为α，该平面内过斜足的一条直线与斜线在平面内的射影所成的角为β，与斜线所成的角为γ．求证：cos γ=cos α·cos β．证明：如图，PO 是平面M 的垂线，P A 是平面M 的斜线，O A 就是斜线P A 在平面M 内的射影，∠P A O=α就是斜线P A 与平面M 所成的角．AB 是平面M 内过斜足A 的直线，它与射影O A 所成的角为，即∠O AB=β，AB 与斜线P A 所成的角为γ，所以∠P AB =γ．在平面M 内，作O B ⊥AB 于点B ．连结P B ，则由三垂线定理知P B ⊥AB ，因此，在Rt△P A O ，Rt △A O B 和Rt △P B O 中，有cos α=OA PA ，cos β=AB OA ，cos γ=AB PA因此有 cos γ=cos α·cos β．例13．已知三棱锥P —AB C 的三条侧棱P A 、P B 、PC 两两互相垂直．(1)求证点P 在平面AB C 内的射影G 是△AB C 的垂心；(2)求证△A P B 、△B PC 、△CP A 的面积平方和等于△AB C 面积的平方；(3)设二面角P —AB —C 、P —B C —A 、P —C A —B分别为α、β、γ，求证cos α·cos β·cos γ≤39 证明：（1）P A ⊥P BP A ⊥PC ⇒P A ⊥平面PB C⇒ P A ⊥B C ⇒A G ⊥B CP B ∩P B =点P PC ⊂平面P B C A G 是P A 的射影同理 B G ⊥A C ，CG ⊥AB 所以G 是△AB C 的垂心．（2）延长A G 交B C 于H ，连结P H ，∵P A ⊥平面P B C ，P H ∈平面P B C ，∴P A ⊥P H 即∠A P H =900．在Rt △P AH 中，P H 2=AH ·G H ．∴（S △B PC ）2=14B C 2·P H 2=14B C 2·AH ·G H =（12B C ·AH ）（12B C ·G H ）=S △AB C ·S △G B C ． 同理（S △A P B ）2=S △AB C ·S △GBC ，（S △CP A ）2=S △AB C ·S △GC A ，将三式相加，便得（S △B PC ）2+（S △CP A ）2+（S △A P B ）2=（S △AB C ）2(3)∵cos=S S GAB PAB ∆∆，cos=S S GBC PBC ∆∆，cos=S S GCA PCA∆∆， ∴cos 2+cos 2+cos 2=1 ∵cos cos cos (cos cos cos )22232221313αβγαβγ⋅⋅≤++= ∴cos cos cos 222127αβγ⋅⋅≤ ∵α、β、γ为锐角．∴cos cos cos αβγ⋅⋅≤39【思维扩散】空间的直线与平面是立体几何第一章的重点．每种位置关系展开都有一系列判定定理和性质定理，学习过程中对定理的条件，定理应用的适用范围必须作周密的考虑和判定，不能一概而论，肓目应用．看下面的两个命题：命题1．已知平面α∩平面β=直线l ，直线b ∥平面α，直线b ∥平面β，则直线∥b ．命题2．已知P A 是平面α的斜线，PO 是平面α的垂线，如果直线l 垂直于斜线P A ，那么直线l 一定垂直于其射影PO ．命题1中的结论显然是正确的，可以这样来证明：过直线b 作平面γ，设γ∩β=直线a ，则因为直线b ∥平面β，所以直线b ∥直线a ，又因为直线b ∥平面α，直线a 在平面α外，所以，直线a ∥平面α，平面β是经过a 且与平面α相交于直线l 的平面，所以直线a ∥直线l ，由三线平行公理知直线b ∥直线l ．命题2中的结论显然是错误的．平面α的垂线，斜线摆好以后，三垂线定理说的是“平面α内”的直线l ，这个条件省略以后，命题就可能是不正确的．因为垂直于斜线P A 的直线许多种不同的位置，只要在垂直于P A 的 平面内的直线都垂直于P A ，但显然不能都与射影O A 垂直．思想问题首先应该严格按照命题的条件，题目的已知，其次是在允许范围内多方位、多角度地思考问题，可以为我们创造性思维的培养奠定坚实的基础．三、智能显示【心中有数】本单元直线与平面的位置关系是立体几何第一章线面关系的重点，主要是空间直线与平面平行、空间直线与平面垂直及空间直线与平面斜交三种位置关系，每种位置关系都有定义、判定、性质等一整套理论，必须熟练地掌握，正确地使用．【动脑动手】解答下列一组题目，以检查学习效果：1．已知直线a 、b 和平面α，以下四个命题中，①a ∥b②a ⊥α ⇒b ⊥α⇒ a ∥b a ⊥αb ⊥α ③a ⊥α④a ∥α ⇒ b ∥α⇒ b ⊥α a ⊥ba ⊥b 其中正确命题是(A ) ①、②（B ）①、②、③ (C) ②、③、④ （D ）①、②、④2．已知直线m 、n 和平面，则α⊥β的一个充分条件是（A ）m ⊥n ，m ∥α，n ∥β（B ）m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α（C ）m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β（Ｄ）m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β3．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面内（A ）不存在与l 平行的直线（B）不存在与l垂直的直线（C）与l垂直的直线只有一条（Ｄ）与l平行的直线无数多条4．在下列命题中，偶命题是（）（A）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，过a且与b垂直（B）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，过a且与b垂直（C）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，与a、b所成的角相等（Ｄ）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，与a、b的距离相等5．如图，点P是三棱锥S—AB C的面S B C内一点．（1）过P作PQ∥平面AB C；（2）过（1）中得到的PQ作平面α∥平面AB C；（3）在面AB C内求一点R，使PR∥平面S AB，且R到A C和B C的距离相等．6．已知M、N是棱长为a的正方体AB CD—A1B1C1D1中棱A1B1和A1D1的中点．（1）求证B D∥平面A MN；（2）求点B到平面A MN的距离．【创新园地】正四棱柱AB CD—A1B1C1D1中，AB=a，AA1=b (b＞a)，A M⊥A1B，交B1B于点M．（1）求证：B D1⊥平面M A C；（2）求点B到平面M A C的距离．证明：（1）D1A1是平面AA1B1B的垂线，B D1是平面AA1B1B的斜线，A1B是斜线B D1在平面AA1B1B内的射影，A M是平面AA1B1B内的一条直线，因为A M⊥A1B，由三垂线定理知B D1⊥A M；又D1B⊥A C，A C∩A M=点A，所以B D1⊥平面M A C．（2）解法（一），作对角面BB1D1D，交A C于O，连OM，则OM就是对角面BB1D1D 与平面M A C的交线，∵A C⊥平面BB1D1D，∴平面A MC⊥平面BB1D1D，在平BB1D1D内，作BH⊥OM于点H则BH就是点B到平面M A C的距离．∵AB=a，AA1=b，Rt△AB M∽Rt△A1AB，∴BMABABAA=1，∴B M=ab2．又∵B O=22a，∴MO=BM BOaba b2222242+=+．因此BH=BM BOMOa a ba b⋅=++2222222．解法（二）：∵AB=a, AA1=b，同理求得B M=ab2．因为AB C的面积为12a2，所以三棱锥M—AB C的体积是V SH a a b a b==⋅⋅=1313126224． 另一方面，因为B O=a 22a ，MO=2222b a b a +， 所以A MC 的面积为 S A MC=12A C ·MO=22222b a ba +． 设B 到平面A MC 的距离为x ，则三棱锥M —AB C 的体积又可以这样计算：x S V A M C ⋅=∆31 所以 ba b a b a x 622314222=+⋅ 即 x =2222222ba b a a ++ 因此点B 到平面A MC 的距离为2222222b a b a a ++． 评析：求点到平面的距离，方法很多，可能直接作出这个距离来求，一般要用到平面与平面的垂直．因为两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．点到平面的距离就可以求出来了．另一种方法是不作出距离，而是利用体积法换法，直接求出点到平面的距离．（本单元完）【思维基础】答案：1．C ；2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．7；6．1360； 7．A E=6．【动脑动手】答案：1．A ；2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．略； 6．a 32．四、同 步 题 库A 组（一）选择题1.下面说法中，正确的是（ ）（A ）若一条直线与一个平面不相交，则这条直线和这个面平行；（B ）若一条直线与一个平面内任何一条直线都不相交，则此直线与这个平面平行； （A ） 若直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与平面平行；（B ） 若直线与平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行.2.直线与平面垂直是指（ ）（A ） 直线与平面只有一个公共点；（B ） 直线与平面内的两条直线都垂直；（C ）直线与平面内无数条直线都垂直； （D ）直线与平面成90°角.3.和一个平面成等角的两条直线的位置关系（ ）（A ）平行； （B ）相交； （C ）异面； （D ）以上都可能 4.P 是△ABC 所在平面外一点，若PA=PB=PC ，则P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的（ ）（A ）外心； （B ）内心； （C ）垂心； （D ）重心 5.下列命题中正确的是（ ） （A ）⎩⎨⎧⊥⇒⊥b a a b a α//； （B ）⎩⎨⎧⇒⊥⊥b a a b a //α（C ）⎩⎨⎧⇒⊥⊥αα//a b a a （D ） ⎩⎨⎧⊥⇒⊥ααb ba a //6.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，PA ⊥D 面ABC ，图中共有直角三角形有（ ）7.直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角项点C 在α上的射影为C′，△ABC′是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形；（C ）钝角三角形 （D ）锐角或钝角三角形8.在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，则P 到对角线BD 的距离是（ ）（A ）2921； （B ）513； （C ）517； （D ）119519.长方体的一条对角线与各个面所成的角为α、β、γ，则下列等式正确的是（ ） （A ）sin2α+sin2β+sin2γ=32； (B)cos2α+cos2β+cos2γ=1 (C) sin2α+sin2β+sin2γ=2； (D)cos2α+cos2β+cos2γ=210.对两条异面直线在同一平面内的射影，下列说法中正确的是（ ）（A ）不可能是两点； （B ）不可能是一直线和一点（C ）不可能是两平行线； （D ）不可能是两相交直线 （二）填空题1.a ∥b,b ⊂a,则直线a 、b 的位置关系是 .2.已知点A 和直线l ，A ∉l,则过点A 与直线l 平行的直线有 条；过点A 与直线l 垂直的直线有 条；过点A 作与直线l 平行的平面有 个；过点A 作与直线l 垂直的平面有 个.3.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点A 到C 1D 的距离为 ；点A 到B 1C 的距离为 ；点A 到平面BB 1D 1D 的距离为 ；AA 1到平面BB 1D 1D 的距离是 ，AA 1与BD 1的距离是 .4.若PO ⊥平面AOB ，∠AOB=90°，AB=a ，∠PAO=∠PBO=α，C 是AB 的中点，则PC= .5.l 是平面α内直线，A 是α外一点，设A 到α的距离为d 1,A 到l 的距离为d 2,则d 1 d 2.6.AB ∥平面α,AA′⊥α于A′，BB′是α的斜线，B′是斜足，若AA′=9，BB′=36，则BB′与α所成角为 .7. ∠XOY=60°在平面α内，OA=α是α的斜线，∠AOX=∠AOY=45°，则点A 到α的距离是 .8.如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是 .9.△ABC 的面积为S ，BC α，点A 到面平α的距离等于点A 到BC 的距离的53，则△ABC 在α上的射影的图形面积是 .10.点P 到平面α的垂线段PO=12cm ，斜线段PA 、PB 分别为13cm 和20cm ，则A ，B 两点的最大距离是 .最小距离是 .(三)解答题1.已知P 是□ABCD 所在平面外一点，M 是PD 的中点（如图），求证：PB ∥平面MAC.2.已知直线l ∥平面α，l ∥平面β，且α β=m ，（如图）.求证：l ∥m.3.在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，求证：BD ⊥AC.4. 如图，线段AB=α，在平面α内，CA ⊥α，BD 与α所成角为30°，BD ⊥AB ，C 、D 在α同侧CA=BD=b ，求：（1）CD 的长； （2）直线CD 与α所成角的正切值.5.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=2，BC=CA=AA 1=1，A 1在底面ABC 上的射影是O 点.（1）O 与B 能否重合？试证明你的结论；（2）若O 在AC 上.求BB 1与侧面AC 1的距离.B 组（一）选择题1.下列四个命题中 （1）若a ∥α，b ∥α, 则a ∥b ；（2）若a ∥b, a ∥α,则b ∥α； （3）若a ∥α,则a 平行于α内的任意直线；（4）若a 平行于α内的无数条直线，则a ∥α.其中正确的命题个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3 2.下列命题中正确的是（ ） （A ）若a ⊥α,b ⊥α,c ⊥α,则直线α平行于过直线b 、c 的平面；（B ） 若a ∥α,b ∥α,且a 、b 到平面α的距离不相等. 则a 、b 是异面直线； （C ） 若a ∥α, b ∥α,且a 、b 到平面α的距离相等，则a 、b 相交或平行；（D ）若a ∥α, b ∥α，且a 、b 到平面α的距离相等，则与a 、b 都相交的直线在平面α外.3.在同一平面α的射影等长的两条线段是（ ） （A ）如果有一公共端点，则它们必等长；（B ） 如果等长，则它们必有公共点；（C ）如果平行，则它们必等长； （D ）如果等长，则它们必平行.4.与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面有（ ）（A ）4个； （B ）5个； （C ）6个； （D ）7个5.AB 是⊙O 的直径，SA 垂直于⊙O 所在的平面M ，平面M 内有一动点P ，使PB ⊥PS ，则P 的位置（ ） （A ）⊙O 外； （B ）⊙O 上； （C ）⊙O 内； （D ）不能确定6.如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 中点. 现沿SE 、SF ，及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合，记作G 则（A ）SG ⊥FEG ； （B ）SD ⊥面EFG ； （C ）GF ⊥面SEF ； （D ）GD ⊥面SEF7.直角△ABC 的两直角边BC=3，AC=4，PC ⊥面ABC ，且PC=59，则P 到斜边AB 的距离是（ ） （A ）3； （B ）4； （C ）15； （D ）428.斜线AB 与平面M 成θ角，BC M ，AA′⊥M ，A′是垂足，若∠ABC=α，∠A ′BC=β，则（ ） （A ）sinα=sinθsinβ; (B) sinβ=sinθsinα(C) cosα=cosθcosβ; (D) cosβ=cosθcosα（二）填空题1.将矩形ABCD沿着平行于BC的线段EF折起，连结AB和CD（如图），则AB与EF 所成角等于，BC与AE所成角等于，点A到BC的距离等于线段的长，若AE=EB=4cm，∠AEB=120°，则AD与BC的距离等于. AD与平面BCFE的距离等于, EF到平面BD的距离等于.2.Rt△ABC，∠C=90°，CA=12，BC=5，BC 平面αA到α的距离是10，则△ABC的垂心、内心到α的距离分别为.3.过平面α外一点引两条斜线，它们与α所成角分别是30°，45°，且它们在α内的射影互相垂直，则这两条线夹角的余弦值为.4.P是等腰梯形ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD，若P在面ABCD的射影P′在梯形ABCD 外，则应满足.5.AC是平面α内的一条射线，P为α外一点，PA=2，P到α的距离为1，设∠PAC=θ，m=tgθ，则m的取值范围是.(三)解答题1.如图，两个全等正方形ABCD和ABEF，所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，求证：MN∥平面BCE.2.已知AB是异面直线a、b公垂线，AB=2cm，a、b所成角为30°，在直线a上取一点P 使PA=4cm，求P到直线b的距离.3.空间四边形ABCD中，△ ABC是正三角形，AD⊥面ABC，H是A在面BCD上的射影. 求证：H不可能是△BCD的垂心.4.如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，过点A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，（1）求证：PB⊥平面AEF.(2)若AP=AB=2，试用tgθ(θ是∠BPC)表示△AEF 的面积.当tgθ取何值时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？C 组（一）选择题1.在空间中，给出如下命题 （1）垂直于同一直线的两直线平行；（2） 平行于同一平面的两直线平行；（3）与同一平面成等角的两直线平行； （4） 与同一平面内的射影是两条平行线的两直线平行，其中真命题的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3.2.从平面外一点向平面引垂线和若干斜线，若斜线与平面所成的角相等，则（ ）（A ）斜足一定是正多边形的顶点； （B ）垂足是斜足为顶点的多边形的内心；（C ）垂足是斜足为顶点的多边形的外心； （D ）垂足是斜足为顶点的多边形的垂心.3.如图，PC ⊥面α，垂足为C ，AB α，CB ⊥AB ，垂足为B ，则线段PA 、PB 的大小关系是（ ）（A ）PA<PC<PB; (B) PC>PB>PA;(C) PA<PB<PC; (D) PB>PA>PC.4.若a ∥α，且a 和α的距离为d ，则平面α内（ ）（A ）有且只有一条直线与l 的距离为d ； （B ）所有直线与l 的距离都等于d ；（C ） 有无数条直线与l 的距离都等于d ； （D ）所有直线与l 的距离都不等于d.5.线段AB 两端点到平面α的距离分别是6cm 和10cm ，则它的中点到α的距离是（ ） （A ）6cm; (B)8cm; (C)2cm; (D)8cm 或2cm6.异面直线a 、b 互相垂直，它们与平面β都相交，若α与β所成角为38°，则b 与β所成角大小（）（A）一定是52°；（B）最大是52°；（C）最小是52°；（D）可以是0°90°中的任意角度（二）填空题7.直线与平面所成的角α的取值范围.8.若P是△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则P在△ABC内的射影是△ABC的.9.直线EF平行于平面α内的两直线AB、CD，EF与α的距离为15，与AB的距离是17，又AB与CD间的距离是28，则EF和CD的距离是.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是.(第10题)(三)解答题11.如图，已知AB和CD是异面直线，AB⊥平面α于B，CD⊥平面β于D，且AC是AB 和CD的公垂线，α β=l.求证：AC∥l12.PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD.（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.(第11题) (第13题)13.如图，正方体，ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O、O1分别是ABCD与A1B1C1D1的中心；（1）求证：OD1∥平面A1C1B1.（2）求D1O与平面A1C1B的距离；（3）求BD 与平面A 1C 1B 所成角.答案与提示同步题库A 组（一）选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.D 10.A (二)填空题 1.异面成平行2.1； 无数； 无数；13.a; a; a a a 22;22;22. 4.α2212tg a+; 5．≤； 6．60° 7．a 338. 平行或相交 9．S 5410．21cm; 11cm (三)解答题 1．（略） 2．（略） 3．（略）4．（1）CD=22b a +； （2）2234ba b +5．（1）不垂直，（2）BB 1与侧面AC 1的距离即为BC 长即BC=1.B 组（一）选择题 1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C(二)填空题1. 90°; 90°; AB;43cm; 23cm; 2cm.2.310cm; 35cm 3.42 4.∠ABD>90°(或∠ACD=90°) 5.m≥33。

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE AC．则动点P的轨迹与△SCD组⊥成的相关图形最有可能的是( )D DA．B．C．解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C中P点所在的轨⊥迹与CD平行，它与CF成角，显然不满足PE AC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角π4⊥为锐角，显然也不满足PE AC．⊥评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．1ACC1AE1AA1A1(1)(2)(3)(4)若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．A【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ．A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =，点P 到直13线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ．π6【例4】(04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )BAB CD 【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是()A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴=AD PA CBPB ∴PB =2PA在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0)∴P 的轨迹是(B)1AA 3A立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以⊥PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为A D 11（A ）．A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体中，过P 作PF AD ，过F 作FE A 1D 1，垂足分别为F 、E ，ABCD A B C D -1111⊥⊥连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为__________． 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1面ACB 1，所以满足BD 1AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及⊥⊥其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________． 答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是：（D ）∆A A A AB C B C B C B C A B C D简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在的内角∠ABC 平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在的内角平分线与AB 之间的区域∠ABC 内．只能选D ．10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD A B C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．12．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是 ．PM MQ =2提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．14．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（ ）l 29A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面内的射影是O ，则OP 是、的公垂线，OP=4．在βαβ点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为面PAB ，面PAB ，所以AD//BC ，且．⊥AD ⊥BC ︒=∠=∠90CBP DAP 又，8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为，且PC 在内的射影为BC ，所以，即．所以点C 的轨迹是PC AC ⊥αBC AC ⊥︒=∠90ACB 以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线1111D C B A ABCD -1BC BC 与直线的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）11D C A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到的距离即为P 到的距离，所以在面内，P 到定点11D C 1C 1BC 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．1C 19．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作于E 、于F ，连结EF ，易知AD PE ⊥11D A PF ⊥建议收藏下载本文，以便随时学习！1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作于N ，则．依题意，CD PN ⊥|1y ||PN |-=|PN ||PF |=故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线 ．a 21．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）M N ，BP x =MN y =()y f x=ABCD MN P A 1B 1C 1D 1分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．22．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面上，直线、为平面内过MN 的中α'a 'b α点O 分别平行于a 、b 的直线，于，于，则，且P 也为的中点．'a 'AA ⊥'A 'b 'BB ⊥'B P 'B 'A AB =⋂'B 'A 由已知MN=2，AB=4，易知得．,2AP ,1'AA ==32'B 'A =则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P 的轨迹．现以32'B 'A 'A 'B 'a 'b 的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．'OB 'A ∠图6设，，)y ,x (P n |'OB |,m |'OA |==则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A -)n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++-消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为．1y 9x 22=+点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ）A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ A D 11）A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是（ ∆）A A AB C B C B C B CA B C D7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（l 29）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线13．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）M N ，BP x =MN y =()y f x =ABCD MN P A 1B 1C 1D 114．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD AB C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是．PM MQ =219．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。

一、用符号语言和图形语言表示1.线而平行的判定定理：如果不在一个平而内的一条直线和平而内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.3.平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.4.平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.5.平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.6.面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.1、正方体ABC D-A.B, G 2中，E为DD］的中点。

求证：剧，〃平面ACE。

2、在正方体ABCD —中，E、F分别为BC、GD〕的中点。

求证:EF〃平面BB】D]D。

3、已知三棱柱ABC-A^Q中，D为线段A©中点。

求证：BC X//平面AB】D5.已知，如图P是平行四边形ABCD外一点同M, N分别是PC, AB的中点。

求证：MN//平面PADc如图，在三棱锥V.ABC中, VA=VGAB=BGK 是AC 的中点。

求证：AC1YWVKB.2、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，。

是对角线AC 与BD的交点，且PA=PC , PB=PD.求证：PCLL平面ABCD练习4已知：〃_L平面P/M', PB=PC, M是BC的中点，求证：HCLAM.练习2、在正方体AC〔中,0为下底面的中心,(1) 求证：AC±©DiBiBD(2) 求证：AC±D1OCA练习3在三棱锥P-ABC 中，PA_L 平面 ABC, AB±BC, PA=AB, D 为PB 的中点, 求证：AD_LPC ・练习8如图，在八ABC 中，匕ABC=9()0,PAJ ＞平面ABC,AF±PC J F,AE±PB J E.求证：EF±PC【思考】已知三棱锥A-BCI ）的各棱K 都为2, 求直线AB 与平面BCD 所成角的大小。

1、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1。

求证:（1）AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D，E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A 1C1⊥A1B1.求证：（1）直线DE∥平面A1C1 F；(2)平面B1D E⊥平面A1C1F。

3、如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E,F ，P,Q,M,N 分别是棱AB ，AD,DD 1,BB 1,A 1B 1，A 1D 1的中点。

求证:(1)直线BC 1∥平面EFPQ; （2）直线AC 1⊥平面PQMN 。

4、如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD,EF 的中点。

(1)求证：BE∥平面DMF; (2）求证:平面BDE∥平面MNG 。

中点, 5、如图，在三棱柱111ABC A B C -中,D 是AC 的于点E ．1A D ⊥平面ABC ,=AB BC ，平面1BB D 与棱11AC 交（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥;（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ； (Ⅲ）求证:1B B DE ∥．EABCB 1C 1A 1D6、如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD,BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A,D不重合）分别在棱AD，BD上,且EF⊥AD。

求证:（1)EF∥平面ABC;（2)AD⊥AC。

7、如图①所示，已知直角△ABC,其中∠ABC=90°,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将△ADE 翻折，使得A与平面ABC外一点P重合，得到如图②所示的几何体.(1)证明:平面PBD⊥平面BCED；（2）记平面PDE与平面PBC的交线为l，探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.8、如图,四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.（1）证明:平面AEC⊥平面BED；（2)若∠ABC=120°,AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.9、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD。

P H M N G EC 'B'D 'CDFA'AB图1立体几何中的若干实用小结论1、三个平面两两相交，其三条交线要么共点，要么互相平行.2、 设E ，F ，G 分别是正方体D C B A ABCD ''''-的棱AD ，AB ，B B '的中点，则该正方体过E ，F ，G 三点的截面为正六边形.3、 一个四面体有两组对棱互相垂直，则其第三组对棱也互相垂直，且这时每一个顶点在对面三角形所在平面内的射影，都是该三角形的垂心；反之也成立.（特别地，正四面体的三组对棱都互相垂直，且每一个顶点在对面正三角形所在平面内的射影，都是该正三角形的中心）.4、过空间任意一点P ，与两条异面直线a ，b 都平行的平面有0个或1个.5、与两条异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 不一定是异面直线（注：异面或相交）. 7、平行六面体有12条棱，12条面对角线，4条体对角线. 在这28条直线中，平行直线有 24对，相交直线有180对，异面直线有174对.8、若异面直线AB 与CD 所成的角θ，过点P 的直线l 与直线AB 与CD 所成的角都为γ， 则当2θγ=时直线l 只有一条；当22θπγθ-<< 时直线l 只有两条；当2θπγ-=时时直线l 只有三条；当22πγθπ<<-时 时直线l 只有四条；9、任意一个四面体PABC 都可补成一个平行六面体B P A C ADB C ''-'，且四面体PABC 的体积等于对应平行六面体B P A C ADB C ''-'的体积的三分之一.（特别地，①任意一个正四面体都可补成一个正方体；②任意一个三组对棱分别相等的四面体都可补成一个长方体③若四面体PABC 满足PB PA ⊥，PC PB ⊥，PA PC ⊥，则该四面体可补成一个长方体B P A C ADB C ''-'，如图3所示.A'C'P'C BAPB'图310、设正四面体的棱长为a ，表面积为S ，体积为V ，相邻两个面所成二面角为α，内切球半径为r ，外接球半径为R ，高为h 则有：① 23a S =；② 3122a V =； ③ 31cos =α，322sin =α，22tan =α；④ a r 126=；⑤ a R 46=；⑥ a h 36=，r h 4=，r R 3= 且球心在高线上分高线长为3：1即R 与r .11、任意一个四面体都有一个内切球和一个外接球.（特别地正三棱锥侧棱为b ,底面边长为a ,内切球半径为r ，外接球半径为R ，高为h 则有：h b R 22=，表S Vr 3=；12、最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）13、特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于 球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离 等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×） （各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.Or14、向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ∙.②.异面直线间的距离 nn CD d ∙=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).④.利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.（5）证直线和平面平行定理：已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.α▲nBCAαβ▲n 2n 1αCED AB。

立体几何公式大全一、空间向量的基础公式：二、求角和距离公式：补：若是锐角，也是锐角，则θ1θ.1180θθ=-点P 到平面的距离d:α注：1、直线//平面，求直线l α与平面的距离 d:只要在l α上取一点P 仍然用此公式；l 2、平面//平面，求平面βα与平面的距离 d:只要αβ在平面上取一点P 仍然用β此公式；AP n d n⋅=注：点A 为平面上的任意α一点，为平面的法向量n αJP71/例2三、求法向量步骤：（1）设法向量，利用法向量与平面上的两相交直线方向向量垂直数(,,)n x y z =n 量积为0建立两个方程；（2）求出x 等于多少z, y 等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量；n或者求出x 等于多少y, z 等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量；n或者求出y 等于多少x, z 等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量；n（3）把所求的法向量代入方程组检验！n四、法向量的在证明题中用处:n(1)线面平行：：参见JP65/例2l l n α⊄⊥平面且⇔//l α平面（证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可）(2)面面平行：：参见JP65/例212//n n⇔//αβ平面平面（证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可）(3)线面垂直：：//l n l α⇔⊥平面（证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可）(4)面面垂直：：参见JP65/例312n n ⊥⇔αβ⊥平面平面（证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可）（整理不易，望同学们好好珍惜利用！）。

（完整）高中文科数学立体几何部分整理.doc立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。

（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” .（ 2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.直观图：3.1 直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox 、 Oy ，（即取 xoy 90 ）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴 o ' x ',o ' y' ，取 x ' o ' y' 45 (or 135 ) ，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。

结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍 .4解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1 所示 A ，B ， C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（）HA G ABBB侧视BBBCCIEDEDEEEEA ．B ．C ．D ．立体几何解：在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A（二）立体几何1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

2. 简单几何体知识网络 简单几何体结构简图画龙点晴概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。

两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为:斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性质：(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.公式棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C与高的乘积, 即, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C1与侧棱长的乘积,即, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.[活用实例][例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=，(1)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的表面积.[题解](1) 如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON. ∴点O在∠BAD的平分线上.(2),侧面AB1和侧面DC1的面积都等于4=6,侧面AD1和侧面BC1的面积都等于5=7.5,又ABAD，两底面面积都等于4=20，平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2] 如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作.(1)判定直线A1C1和的位置关系,并加以证明;(2)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线的距离.[题解](1)根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有∥A1C1.(2)解法一:过点A1作A1E⊥于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又 在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又∥A1C1, ∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,从而AE=BD=在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,故点A1到直线的距离为.解法二:同解法一得∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,, 以下同解法一.[例3] 如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[题解](1)∵A1B1C1-ABC是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.又平面DBC1, DE平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.(2)作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角.设AC=1, 则DC=∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,CF=取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC. 在Rt△BEF中,AC=1,又BF=BC-FC=, GF=,, 即EF=.∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.概念棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.棱锥的分类: 按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的表示法: 棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示.例如,棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(2)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；(3)棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。

立体几何第一章 空间直线与平面一、平面及其基本性质1、平面的概念（不定义概念） ①平面是：“平”的，无厚度，无边界，在空间无限延伸的。

②平面的表示1）用一个大写字母表示：平面M 、平面N 、… 2）用一个小写字母表示：平面α、平面β、… 3）根据图形用多个大写字母表示：平面ABCD 、…（说明：平面的表示一般都要写平面ㄨㄨ，只有用一个小写字母表示时才可以省去 “平面”二字，但是在意思不明时不能省） ③平面的画法平面一般都画成平行四边形。

④点、线、面的关系及表示点都是用一个大写字母表示，线用一个小写字母表示或用两个大写字母表示（线上的两点） 点A 在线a 上，表示为：“A ∈a ”，点B 不在线a 上，表示为：“B ∉a ”； 点A 在面α上，表示为：“A ∈α”，点B 不在面α上，表示为：“B ∉α”；线a 在面α上，表示为：“a ⊂α”，线b 不在面α上，表示为：“b ⊄α”。

点———元素；线、面———集合。

点没有大小，线没有粗细，面没有厚度。

2、平面的基本性质公理1：若直线l 上有两点A 、B 在平面α上，则直线l 就在平面α上。

用符号语言表达为：若A ∈l , l B ∈且αα∈∈、B A ，则α⊂l 。

直线l 与平面α的关系有∶①线在面上，有无数个公共点，即α⊂l ；②线在面外： 没有公共点，即平行，记作：α l有且仅有一个公共点，即相交，记作：A l =α 注意：直线不在平面上有两种：①平行（无公共点） ②相交（一个公共点）αβγ·A·B·A·B b aαα图形：lll表示：α⊂l α l A l =⋂α线在面上 线在面外公理2：若两个不同的平面α、β有一个公共点A ，则它们就有过这点的一条直线。

用符号语言表达为：若βα ∈A ，则l =βα ，且A l ∈。

两个不同平面有公共点就有公共直线 没有公共点就平行，若φβα= ，则α∥β。