初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第15讲 统计的思想方法

初中数学竞赛中的思维方法
初中数学竞赛中的思维方法可以包括以下几点：
1. 归纳法：通过观察数列或图形的规律，总结出规律的特点，然后运用归纳的结论解决问题。

2. 反证法：通过假设与题目条件相反的情况，并推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

3. 递推法：通过观察规律，找到每个数或对象与前一数或对象的关系，进行递推，得到结果。

4. 分类讨论法：将问题按不同情况分类讨论，分别对每种情况进行独立的分析与解决。

5. 可视化方法：将问题抽象成几何图形，通过图形上的特点进行分析与推导。

6. 矛盾法：通过假设与题目条件相反的情况，并通过逻辑推理得出矛盾的结论，从而推导得到问题的解答。

7. 数学模型：将问题抽象成数学模型，通过建立方程或不等式等数学关系，解决问题。

8. 假设法：通过假设问题中未知条件，结合已知条件进行分析和求解。

9. 数学思维工具的应用：例如奇偶性、数的性质、质因数分解等常用工具的运用。

以上是初中数学竞赛中常用的思维方法，通过熟练运用这些方法可以提高解题效率和准确性，培养数学思维能力。

初中数学竞赛中的思维方法数学竞赛作为一项考验学生数学思维和解题能力的活动，需要学生掌握多种思维方法。

在初中数学竞赛中，以下几种思维方法尤为重要：一、归纳思维归纳思维是指从一系列具体事实中概括出一般原理的思维方式。

在数学竞赛中，归纳思维常常用于探究数学规律和性质。

例如，通过观察一组数列，归纳出数列的通项公式；或者通过比较几个图形的性质，归纳出一般图形的性质。

二、演绎思维演绎思维是指从一般原理推导出特殊情况的思维方式。

在数学竞赛中，演绎思维常常用于证明题和推理题。

例如，利用已知定理和性质推导出一个新的定理或性质；或者通过逻辑推理，证明一个数学命题的正确性。

三、类比思维类比思维是指根据两个或多个事物的某些属性相似，推出其他属性也可能相似的思维方式。

在数学竞赛中，类比思维常常用于解决几何、代数和概率问题。

例如，通过比较相似三角形的性质，推出另一个相似三角形的性质；或者通过比较两个函数的图像，推断出它们的其他性质。

四、联想思维联想思维是指根据事物的特征或属性，联想到其他相关事物的思维方式。

在数学竞赛中，联想思维常常用于寻找解题思路。

例如，通过观察一个图形的形状，联想到与该图形相关的定理或公式；或者通过分析一个函数的性质，联想到与该函数相关的数学概念和方法。

五、逆向思维逆向思维是指从问题的反面或另一个角度来思考问题的思维方式。

在数学竞赛中，逆向思维常常用于解决一些常规方法难以解决的问题。

例如，通过反证法证明一个命题的错误；或者通过尝试反例来推翻一个错误的命题。

六、创新思维创新思维是指突破传统思维方式，提出新观念、新方法的思维方式。

在数学竞赛中，创新思维常常用于解决一些非常规问题。

例如，通过构造一个新函数或新模型来解决一个复杂的问题；或者通过观察和猜想，发现一个全新的数学规律或性质。

七、逻辑思维逻辑思维是指按照逻辑规则进行推理和论证的思维方式。

在数学竞赛中，逻辑思维是必不可少的思维方式。

通过逻辑推理，我们可以证明一个命题的正确性或推导出新的结论。

初中数学思想方法有哪些1、数形结合思想：就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又显示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。

2、分类讨论的思想：在数学中，我们经常必须要依据研究对象性质的差异，分各种不同状况予以考查;这种分类思索的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。

3、联系与转化的思想：事物之间是互相联系、互相制约的，是可以互相转化的。

数学学科的各部分之间也是互相联系，可以互相转化的。

4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。

2方法一1.对应的思想和方法在初一代数入门教学中，有代数式求值的计算题，通过计算发现：代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的，字母的不同取值可得不同的计算结果。

这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系，再如实数与数轴上的点，有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系在进行此类教学〔制定〕时，应注意渗透对应的思想，这样既有助于培养同学用变化的观点看问题，又助于培养同学的函数观念。

2.整体的思想和方法整体思想就是合计数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深入的观察，从宏观整体上熟悉问题的实质，把一些彼此独立但实质上又互相紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。

整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

3.数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

著名数学家华罗庚先生说："数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

'这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

4.分类的思想和方法教材中进行分类的实例比较多，如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使同学明确分类的重要性：一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深入、更具体，并且还能使同学掌握分数的要点方法：3方法二1、数形结合的思想和方法在同学刚接触初中数学不久，教材中设置利用"数轴'这一图形，巩固"具有相反意义的量'的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。

初中数学竞赛常用思想方法技巧数学竞赛是初中阶段培养数学思维和解题能力的重要途径之一。

为了在数学竞赛中取得好成绩，掌握一些常用的思想方法和技巧是非常关键的。

本文将介绍一些初中数学竞赛常用的思想方法和技巧。

一、思想方法1. 比较思维法比较思维法是指通过比较两个数或两个式子的大小来解决问题。

在解决一些大小关系、近似计算和估算问题时特别有用。

比如在解决近似计算问题时，我们可以通过比较两个数的大小来精确到某个程度，从而得出近似结果。

2. 反证法反证法是一种常用的证明方法，在解决一些证明问题时尤其有效。

该方法通过假设反面，然后推导出矛盾的情况来证明命题的正确性。

在解答一些证明类问题时，可以尝试运用反证法来简化证明的过程，提高解题的效率。

3. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的证明方法，它通常用来证明与自然数有关的命题。

数学归纳法的基本思想是：先证明当n=1时命题成立，再假设当n=k时命题成立，最后通过这个假设证明当n=k+1时命题也成立。

在解决一些关于数列、方程和不等式的问题时，可以尝试运用数学归纳法来简化证明的过程。

4. 分析思维法分析思维法是一种细致分解问题的思维方式，通过将复杂的问题分解成若干个简单的子问题来解决。

在解答一些复杂的数学问题时，可以使用分析思维法将问题进行分解，进而逐步解决每个子问题，最终得出整个问题的解答。

二、技巧1. 抓住关键条件在解答数学竞赛题目时，要仔细阅读题目，并注意抓住关键条件。

关键条件通常是解决问题的关键所在，正确理解和使用关键条件可以帮助我们缩小问题的范围，更快地找到解题思路。

2. 设变量法设变量法是解决代数问题中常用的技巧，通过引入一个合适的变量来表示问题中的未知量，从而将问题转化为代数方程或不等式的求解。

在解答一些与代数运算相关的问题时，可以尝试运用设变量法来简化解题过程。

3. 利用图形和图表有些数学问题涉及到图形和图表的分析，利用图形和图表可以更直观地理解和解决问题。

初中数学中有哪些常见的统计问题及解决方法在初中数学的学习中，统计是一个重要的组成部分。

它不仅在日常生活中有广泛的应用，也是进一步学习数学和其他学科的基础。

接下来，让我们一起探讨初中数学中常见的统计问题及相应的解决方法。

一、数据的收集在进行统计之前，首先要收集数据。

常见的数据收集方法包括普查和抽样调查。

普查是对全体对象进行调查，比如全国人口普查。

这种方法能得到全面、准确的信息，但往往需要耗费大量的人力、物力和时间。

抽样调查则是从全体对象中抽取一部分进行调查，从而估计全体对象的情况。

例如，为了解某品牌灯泡的使用寿命，从中抽取一部分灯泡进行测试。

在抽样调查中，关键是要保证样本的代表性和广泛性。

解决数据收集问题的方法：1、明确调查目的，确定调查对象和调查内容。

2、根据调查对象的特点选择合适的调查方法，当调查对象数量较少、容易调查时，可采用普查；当调查对象数量较大、不易全面调查时，采用抽样调查。

3、若采用抽样调查，要注意样本的选取方式，如随机抽样、分层抽样等，以保证样本的代表性。

二、数据的整理收集到数据后，需要对其进行整理。

常见的整理方式有列表法和画统计图。

列表法能清晰地展示每个数据的值和出现的次数。

例如，统计班级同学的身高，可将每个同学的身高列在表格中。

统计图则更加直观形象，包括条形统计图、折线统计图和扇形统计图。

条形统计图能清楚地反映出不同类别数据的数量；折线统计图可以展示数据的变化趋势；扇形统计图能直观地显示各部分在总体中所占的比例。

解决数据整理问题的方法：1、根据数据的特点和需要，选择合适的整理方式。

2、制作统计图时，要注意标题、坐标轴的标注、刻度的选择等，确保统计图清晰、准确地传达信息。

三、数据的描述描述数据的集中趋势和离散程度是统计中的重要内容。

集中趋势常用的指标有平均数、中位数和众数。

平均数是所有数据的总和除以数据的个数，但容易受到极端值的影响。

中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，如果数据个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。

初中数学中常见的数据分析与统计题解题技巧数据分析与统计是数学中一个重要的分支，也是数学题中常见的一类题型。

在初中数学中，学生常常需要运用数据分析与统计的方法来解决问题。

本文将介绍一些解题技巧，帮助初中学生更好地解决常见的数据分析与统计题。

一、寻找关键数据在解决数据分析与统计题时，首先需要仔细阅读题目，理解题目所给的数据和要求。

然后，要提取并列出与题目相关的关键数据。

这些关键数据通常是需要在解题过程中使用的数值、表格或图表中的信息。

找到关键数据对于解答问题非常重要。

二、绘制表格或图表数据分析与统计题通常涉及大量的数据，将这些数据以表格或图表的形式呈现可以帮助我们更清晰地理解问题和分析数据。

在解题过程中，可以根据题目给出的数据绘制表格，将数据有条理地展示出来。

或者根据题目要求绘制相应的图表，如条形图、折线图等。

表格或图表的绘制有助于我们更好地分析数据，并且方便查找需要的信息。

三、计算各种统计量在解决数据分析与统计题时，常常需要计算各种统计量，如平均值、中位数、众数等。

针对不同的问题，选择合适的统计量进行计算。

例如，如果题目要求计算一组数据的平均值，我们需要将所有数据相加再除以数据个数；如果题目要求计算众数，我们需要找出一组数据中出现次数最多的数值。

掌握计算各种统计量的方法，能够帮助我们更好地理解和分析数据。

四、理解概率与频率数据分析与统计中经常会涉及概率与频率的概念。

概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性，而频率是指某个事件在多次实验中发生的次数。

在解决相关问题时，需要明确概率和频率的概念，并且能够根据给定的数据计算概率或频率。

合理运用概率和频率的概念，能够更好地解决数据分析与统计题。

五、注意问题的合理性在解决数据分析与统计题时，需要注意问题的合理性。

有些题目可能会给出一些陷阱，要求我们在计算中注意注意排除干扰，避免被题目误导。

此外，判断答案是否合理也是解题过程中的重要一环。

通过对数据进行合理分析，判断结果是否与实际情况相符，有助于我们检验答案的准确性。

初中数学解题技巧之概率与统计问题的解析思路概率与统计是数学中的一门重要的分支，也是初中数学中的一项重要内容。

在初中阶段，学生们需要掌握解决概率与统计问题的技巧和思路。

本文将对初中数学解题技巧之概率与统计问题的解析思路进行探讨，帮助学生们更好地理解和解决该类问题。

一、概率问题的解析思路概率问题常常涉及到对事件发生的可能性作出估计，需要通过计算得出准确的概率值。

解决概率问题的思路大致如下：1. 理解问题：首先要理解题目中所给出的条件和待求解的问题。

需要确定问题中所涉及的事件和样本空间，并明确求解的具体内容。

2. 列举样本空间：根据问题中所给出的条件，列举可能出现的所有情况，形成样本空间。

样本空间应该包含所有可能的结果，且每个结果应该是互不相同的。

3. 计算事件发生的可能性：计算事件发生的可能性时，可以利用概率的定义，即某个事件发生的次数除以样本空间的总个数。

通过计算可以得出事件发生的概率。

4. 分析结果：对得出的结果进行分析，与实际情况相结合，看是否符合预期。

同时，需要根据问题的要求，进行进一步的推理和计算。

二、统计问题的解析思路统计问题是通过收集、整理和分析数据，从而得出结论的一种方法。

解决统计问题的思路大致如下：1. 收集数据：收集所需要的数据，可以通过调查问卷、实地观察、实验记录等方式得到数据。

2. 整理数据：将收集到的数据进行整理，可以采用表格、图表或者统计图等形式进行展示，以便更好地理解和分析数据。

3. 分析数据：根据问题所给出的条件和要求，对数据进行分析。

可以通过计算平均值、众数、中位数等统计指标，来揭示数据的特征和规律。

4. 得出结论：通过对数据的分析和计算，得出结论并进行解释。

结论应该能够回答问题，并且符合实际情况。

三、概率与统计问题的练习技巧为了更好地掌握概率与统计问题的解题方法，以下是一些练习技巧供参考：1. 多做题目：通过大量的练习题目，可以熟悉各种类型的概率与统计问题，提高对问题的理解和解决能力。

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

初中数学知识归纳统计的常见方法在初中数学学习中，归纳统计是一个非常重要的概念和技巧，它能帮助学生整理和总结大量的数据，进而得出有用的结论和规律。

本文将介绍初中数学知识归纳统计的常见方法。

一、频数表和频数统计频数表是归纳统计的基础。

它是以表格的形式列出每个数据项及其对应的频数，从而能够直观地观察数据的分布情况。

通过频数表，我们可以快速了解数据的范围、变化和趋势。

举例来说，假设我们调查了某班学生们的身高情况，根据所得数据，我们可以制作一个频数表，将不同的身高范围划分为几个区间，并计算出每个身高区间内的学生人数。

通过分析频数表，我们可以发现身高的分布情况，如平均身高在哪个区间内集中、是否存在异常值等。

二、频率和频率分布直方图频数是指某个数据项在数据集中出现的次数，而频率则是指某个数据项在数据集中出现的比例。

频率可以更好地反应数据项在整个数据集中的重要性。

频率分布直方图是一种常见的图形表示方法，它能够直观地展示数据的分布情况。

直方图按照数据的范围和间隔进行划分，每个区间代表一个数据范围，并绘制相应的矩形条来表示频率。

通过观察直方图的形状、峰值和分布情况，我们可以对数据的特点进行初步判断。

回到前面的例子，我们可以使用频率分布直方图来展示学生身高的分布情况。

横轴表示身高区间，纵轴表示频率。

通过直方图，我们可以明显看出身高的分布情况，例如是否存在偏态、峰值在哪个身高范围等。

三、累积频数和累积频率累积频数是指从数据集的开始到某个数据项的累计总次数，而累积频率则是指从数据集的开始到某个数据项的累计比例。

通过观察累积频数和累积频率，我们可以发现数据在数据集中的累积情况。

例如，在分析学生身高情况时，我们可以计算累积频数和累积频率，并绘制相应的图表。

通过分析图表，我们可以了解某个身高区间的学生人数比例、超过某个身高的学生人数、超过或低于平均身高的学生人数等。

四、平均数、中位数和众数平均数是一组数据的所有数据项的总和除以数据项的数量。

2022年初中数学竞赛解题思想方法--观察归纳与猜想一、教学目标1了解观察归纳猜想与证明的数学方法2掌握数形结合逻辑推理思想与能力3解决一些简单问题二、教学过程【1】例题讲解如图①：MA1①NA2，图①：MA1①NA3，图①：MA1①NA4，图①：MA1①NA5，……，则第8个图中的①A1+①A2+①A3+…+①A8＝_____．解：①MA1与NA n平行，①在图①可得①A1+①A2＝180°，在①中可过A2作A2B①MA1，如图．①MA1①NA3，①A2B①NA3，①①MA1A2+①BA2A1＝①BA2A3+①NA3A2＝180°，①①A1+①A2+①A3＝360°，同理可得①A1+①A2+①A3+①A4＝540°，①①A1+①A2＝180°＝1×180°，①A1+①A2+①A3＝360°＝2×180°，①A1+①A2+①A3+①A4＝540°＝3×180°，①①A1+①A2+①A3++…+①A8＝7×180°＝1260°．故答案为：1260°．【2】随堂演练一、单选题1．如图，直线ι1①x轴于点(1，0)，直线ι2①x轴于点(2，0)，直线ι3①x轴于点(3，0)，……ιn①x轴于点(n，0).函数y=x的图象与直线ι1、ι2、ι3、……ιn分别交于点A1、A2、A3、……An；函数y=2x的图象与直线ι1、ι2、ι3、……ιn分别交于点B1、B2、B3、……Bn；如果①O A1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，……四边形A n−1A n B n B n−1的面积记作Sn，那么S2018=()A．2017.5B．2018C．2018.5D．20192．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第9个图形圆的个数为（）A．94B．85C．84D．763．求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（）A．20202020−12020B．20202021−12020C．20202021−12019D．20202020−120194．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第n个图形中白色正方形的个数为（）A．4n+1B．4n﹣1C．3n﹣2D．3n+25．计算3的正数次幂，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32011的个位数字是（）A．1B．3C．7D．96．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．10B．89C．165D．2947．观察下面的变形规律：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，…回答问题：若1(x+1)×(x+2)+1(x+2)×(x+3)+1(x+3)×(x+4)+⋯+1(x+99)×(x+100)=1x+100，则x的值为（）A．100B．98C．1D．128．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹可表示为（）A．B．C．D．9．将一个正方体的各个面涂上红色或蓝色（可以只用一种颜色），则正方体不同的涂色方案总共有（）种A．6B．8C．9D．1010．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84B．336C．510D．1326二、11．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____．12．如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20，小明先在1号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．①若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．①若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2020圈，求4号箱内有_____颗红球．13．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22−1)(22+ 1)(24+1)(28+1)=(24−1)(24+1)(28+1)=(28−1)(28+1)=216−1．请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(62+1)(64+1)(68+1)=____．14．观察分析下列各式√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，⋯，按照上述三个等式及其变化过程，猜想第14个等式为________________________15．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____．16．如图，∠MON=45°，正方形AB B1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1,A2,A3⋯，在射线OM上，顶点B,B1,B2,B3,B4,⋯，在射线ON上，连接A B2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交A B2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DE D1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，，若AB=2，则S n等于________．（用含有正整数n的式子表示）．17．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22019+22020的值，采用以下方法：设s=1+2+22+⋅⋅⋅+22019+22020①，则2s=2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①，①–①得：2s−s=s=22021−1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+⋅⋅⋅+29=______．（2）3+32+⋅⋅⋅+310=______．（3）求1+a+a2+a3+⋅⋅⋅a n的和（a>1，n是正整数，请写出计算过程）．18．【问题提出】每对小兔子在出生后1个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出1对小兔子来，如果1个人在1月份买了1对小兔子，假设每对兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理论上12月份的时候他共有多少对兔子？(1)【问题探究】1月份，有1对小兔子；2月份，长成大兔子，所以还是1对；3月份，大兔子生下1对小兔子，所以共有2对；4月份，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下1对小兔子，共3对；…依此类推，请填下表：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份7月份…12月份兔子对数1123…(2)【类比应用】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵苗在1年后长出1条新枝，第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过1年的同时萌发新枝，当年生的新枝则依次“休息”，这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么，10年后树上有条树枝．(3)【综合应用】如图①，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有种回家的方法；(4)如图①，在正五边形ABCDE上，一只青蛙从点A开始跳动，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，跳到点D上就停止跳动．青蛙在6次之内（含6次）跳到点D有种不同的跳法．19．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次这个三角形给出了(a+b)n数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应(展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应a+b)2=a2+2ab+b2)3=a3+3a2b+3a b2+b3展开式中各项的系数等．(a+b从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．的展开式；（1）根据材料规律，请直接写出(a+b)4（2）根据材料规律，如果将a −b 看成a +(−b )，直接写出211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 的展开式（结果化简）；若n 22n 4−5n 2+2=17，求211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 值； （3）已知实数a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+2a −4b +6c =−10，且1a +1+1b −2−1c +3=0，求a +b−c 的值．【2】随堂演练 参考答案1-10AACDC DBDDC11．（1）210-1；（2）311-32；（3）a n +1−1a −1．解: （1）设S=1+2+22+⋅⋅⋅+29①，则2S =2+22+⋅⋅⋅+210①， ①－①得2S−S =S =21−1， ①S =1+2+22+⋅⋅⋅+29=210−1．故答案为：210-1．（2）设S=3+32+⋅⋅⋅+310①，则3S=32+33+⋅⋅⋅+311①，①－①得2S=311−3，所以S=311−32，即3+32+⋅⋅⋅+310=311−32．故答案为：311-32．（3）设S=1+a+a2+⋅⋅⋅+a n①，则aS=a+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a n+a n+1，①－①得(a−1)S=a n+1−1，a=1时，所以S=a n+1−1a−1，即1+a+a2+⋅⋅⋅+a n=a n+1−1a−1．12．(1)解：2+3＝5；3+5＝8；5+8＝13；8+13＝21；13+21＝34；21+34＝55；34+55＝89；55+89＝144；填表如下：月份1月份2月份3月份4月份5月份6份份7月份⋯12月份兔子对数11235813⋯144故答案为：5；8；13；144.(2)根据题意，第2年为2枝，第3年为1+2=3枝，第4年2+3＝5枝，第5年为3+5＝8枝；第6年为5+8＝13枝；第7年为8+13＝21枝；第8年为13+21=34枝；第9年为21+34＝55枝；第10年为34+55＝89枝；故10年后树上有89条树枝．故答案为：89.(3)蜜蜂每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，意味蜜蜂只能从小号码的蜂房爬到相邻大号码的蜂房，按照以上规律可得：1+1＝2，1+2＝3，2+3＝5，3+5＝8，5+8＝13，…故共有89种回家的方法．故答案为：89.(4)从A到D可能的情况是：①只跳两次：AED一种；①只跳三次：ABCD一种；①正好跳四次：ABAED，AEAED两种；①正好跳五次：ABABCD、ABCBCD、ABCBCD共3种；①正好跳六次：AEAEAED，ABABAED，ABCBAED，AEABAED，ABAEAED共5种．故可能出现的不同跳法的种数是1+1+2+3+5＝12（种）．答：青蛙在6次之内（含6次）跳到D点有12种不同跳法．故答案为：12．【点拨】本题考查找规律问题，数字和图形的规律探究，由特殊到一般是解题的关键. 13．（1）(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4a b 3+b 4；（2）(n −1n +1)2 =n 2+1n 2−1+2n −2n ，(n −1n+1)2=1或9； （3）a +b −c =6或214.．√14+116=15√11615. 3 269116.22n +49．17（1）210-1；（2）311-32；（3）a n +1−1a −1． 18．(1)5；8；13；144(2)89(3)89(4)1219．（1）(a +b )4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4a b 3+b 4；（2）(n −1n +1)2 =n 2+1n 2−1+2n −2n ，(n −1n+1)2=1或9； （3）a+b −c =6或2。

第十五讲统计的思想方法20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求．统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学．随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律．【例题求解】【例1】现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示．(1)由观察所得，班的标准差较大；(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获分才可以及格．A 班分数0123456789人数1357686432思路点拨对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．注：平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的：(1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”；(2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势．【例2】已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为()A ．2a+3bB ．b a +32C ．6a+9bD ．2a+b思路点拨运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．【例3】某班同学参加环保知识竞赛．将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图(如图)．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1：3：6：4：2，最右边—组的频数是6．结合直方图提供的信息，解答下列问题：(1)该班共有多少名同学参赛?(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率．思路点拨读图、读懂图，从图中获取频率、组距等相关信息．【例4】为估计，一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.81.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；(2)2001年又刘该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)；(3)在(2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅．计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5×103千克／米3；(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．思路点拨用样本的平均水平去估计总体的平均水平．注：（1）运用数学知识解决实际问题的过程是：从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题．（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式．思路点拨【例5】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移到篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41，问原来在篮子A 中有多少个弹珠?思路点拨用字母分别表示篮子A、B弹珠数及相应的平均数，运用方程、方程组等知识求解．学历训练1．某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示．试结合图示信息回答下列问题：(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是，培训后考分的中位数所在的等级是．(2)这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由下降到．(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有名．(4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?答：，理由．2．某商店3、4月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表：根据表中数据回答：(1)商店平均每月销售空调(台)；(2)商店出售的各种规格的空调中，众数是(匹)；(3)在研究6月份进货时，商店经理决定(匹)的空调要多进；(匹)的空调要少进．3．为了了解某中学初三年级250名学生升学考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得5.x．下面是50名学生数学成绩的频率分布表：94样本分组频数累计频数频率60．5～70．5正3a70．5～80．5正正60．1280．5～90．5正正90．1890．5～100．5正正正正170．34100．5～110．5正正b0．2110．5～120．5正50．1合计501根据题中给出的条件回答下列问题：(1)在这次抽样分析的过程中，样本是；(2)频率分布表中的数据a=，b=；(3)估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩约为分；(4)耷这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～100．5范围内的人数约为人．4其中星期四的体温被墨迹污染，根据表中数据，可得此日的体温是() A．36．?℃B．36．8℃C．36．9℃D．37．0℃5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，上述结论正确的是()A．①②③B．①②C．①③D．②③6．今年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下图是某同学记载的5月1日至30日每天全国的SARS新增确诊病例数据图，将图中记载的数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28；其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个7．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%．问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？8．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．（1）请填写下表:平均数方差中位数命中9环以上次数甲71．21乙5．4（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.①从平均数和方差相结合看；②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．9．明湖区一中对初二年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计分析，将数据整理后，画出如下频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第六小组的频率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小组的频数是36，根据所给的图填空：(1)第五小组的频率是，请补全这个频率分布图；(2)参加这次测试的女生人数是；若次数在24(含24次)以上为达标(此标准为中考体育标准)，则该校初二年级女生的达标率为．(3)请你用统计知识，以中考体育标准对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩的达标率作一个估计．10．我国于2000年11月1日起进行了第五次全国人口普查的登记工作，据第五次人口普查，我国每10万人中拥有各种受教育程度的人数如下：具有大学程度的为3611人；具有高中程度的为11146人；具有初中程度的为33961人；具有小学程度的为35701人．(1)根据以上数据填写下表：受教育程度每10万人中所占百分比(a％)(a精确到0.01)大学程度高中程度初中程度小学程度(2)以下各示意图中正确的是()．(将正确示意图数字代号填在括号内)11．新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，现有6个项目可供选择(每个项目或者被全部投资，或者不被投资)，各项目所需投资金额和预计年均收益如下表：项目A B C D E F 投资(亿元)526468收益(亿元)0．550．40．60．40．9l如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1．6亿元，那么，当选择的投资项目是时，投资的收益总额最大．12．新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息；2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：事故类型事故数量死亡人数(单位：人)死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比火灾事故(不含森林草原火灾)54773610铁路路外伤亡事故19621409工矿企业伤亡事故14171639道路交通事故11581517290合计17396720948(1)请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表(精确到0.01)；(2)为了更清楚地表示出问题(1)中的百分比，请你完成下面的扇形统计图；(3)请根据你所学的统计知识提出问题(不需要作解答，也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的)．13．将最小的31个自然数分成A 、B 两组，10在A 组中，如果把10从A 组移到B 组，则A 组中各数的算术平均数增加21，B 组中各数的算术平均数也增加21．问A 组中原有多少个数?14．某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n (n =0，1，2…15)道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人?n0123 (12131415)做对n道题的人数78102l…1563l参考答案。

初中数学统计题解题方法归纳统计题在初中数学中是一个常见的考点，它涉及到数据收集、整理、分析和解释等方面的技巧。

掌握解题方法可以帮助我们更好地理解和应用统计知识。

本文将归纳总结一些常见的解题方法，以帮助同学们更好地解决初中数学统计题。

一、数据的收集和整理在统计题中，我们首先需要收集和整理数据。

通常情况下，数据会以表格、图表或者文字的形式给出。

我们需要注意以下几个方面：1. 读懂问题：仔细阅读问题中的文字描述，明确问题的要求和条件。

2. 提取有效信息：根据问题的要求，从给出的数据中提取出与问题相关的信息。

3. 分类整理：对数据进行分类整理，便于后续的分析和计算。

比如，将数据按照性别、年龄、兴趣等因素进行分类。

二、数据的分析和解释在对数据进行整理之后，我们需要对数据进行分析和解释，从中提取有用的信息。

1. 频数和频率：频数指某个数据出现的次数，频率指某个数据出现的次数与总次数之比。

在统计题中，我们通常需要计算频数和频率，以便更好地理解数据的分布情况。

2. 中位数和众数：中位数是将一组数据按照大小排列后的中间值，众数是一组数据中出现次数最多的数。

在解决统计题时，我们经常需要计算中位数和众数。

3. 范围和极差：范围指一组数据的最大值与最小值之间的差，极差指一组数据的最大值减去最小值的结果。

计算范围和极差可以帮助我们了解数据的变化程度。

4. 平均数和标准差：平均数是一组数据的总和除以数据的个数，标准差是一组数据与其平均数之差的平方和的平均数的平方根。

平均数和标准差常常用于描述数据的集中程度和变异程度。

5. 数据分布图：根据数据情况，我们可以绘制直方图、折线图、饼图等各种图形，以更直观地展示数据的分布情况。

三、解题技巧在解决统计题时，掌握一些解题技巧可以帮助我们更快地找到解题思路。

1. 关注关键词：仔细阅读问题中的关键词，如“最大值”、“最小值”、“比较”、“大于”、“小于”等词语，这些关键词可以指明问题的解题方向。

第十五讲统计的思想方法20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求．统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学．随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律．【例题求解】【例1】现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如图所示．(1)由观察所得，班的标准差较大；(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获分才可以及格．A班思路点拨对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．注：平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的：(1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势．【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( )A ．2a+3bB ．ba +32C ．6a+9bD ．2a+b思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．【例3】 某班同学参加环保知识竞赛．将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图(如图)．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1：3：6：4：2，最右边—组的频数是6．结合直方图提供的信息，解答下列问题： (1)该班共有多少名同学参赛?(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率． 思路点拨 读图、读懂图，从图中获取频率、组距等相关信息．【例4】为估计，一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；(2)2001年又刘该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)；(3)在(2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅．计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5×103千克／米3；(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．思路点拨用样本的平均水平去估计总体的平均水平．注：（1）运用数学知识解决实际问题的过程是：从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题．（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式．思路点拨【例5】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移到篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41，问原来在篮子A 中有多少个弹珠?思路点拨 用字母分别表示篮子A 、B 弹珠数及相应的平均数，运用方程、方程组等知识求解．学历训练1．某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示．试结合图示信息回答下列问题：(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 ，培训后考分的中位数所在的等级是 ．(2)这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 ．(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名． (4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?答： ，理由 ．2．某商店3、4月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表： 根据表中数据回答：(1)商店平均每月销售空调 (台)；(2)商店出售的各种规格的空调中，众数是 (匹)；(3)在研究6月份进货时，商店经理决定 (匹)的空调要多进； (匹)的空调要少进．3．为了了解某中学初三年级250名学生升学考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得5.94 样本x ．下面是50名学生数学成绩的频率分布表：根据题中给出的条件回答下列问题：(1)在这次抽样分析的过程中，样本是 ； (2)频率分布表中的数据a =，b = ；(3)估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩约为 分；(4)耷这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～100．5范围内的人数约为 人． 4．小明测得一周的体温并登记在下表（单位：℃）其中星期四的体温被墨迹污染，根据表中数据，可得此日的体温是( )A．36．?℃B．36．8℃C．36．9℃D．37．0℃5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，上述结论正确的是( )A．①②③B．①②C．①③D．②③6．今年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下图是某同学记载的5月1日至30日每天全国的SARS新增确诊病例数据图，将图中记载的数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28；其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个7．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%．问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？8．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．（1）请填写下表:（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.①从平均数和方差相结合看；②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．9．明湖区一中对初二年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计分析，将数据整理后，画出如下频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第六小组的频率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小组的频数是36，根据所给的图填空：(1)第五小组的频率是，请补全这个频率分布图；(2)参加这次测试的女生人数是；若次数在24(含24次)以上为达标(此标准为中考体育标准)，则该校初二年级女生的达标率为．(3)请你用统计知识，以中考体育标准对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩的达标率作一个估计．10．我国于2000年11月1日起进行了第五次全国人口普查的登记工作，据第五次人口普查，我国每10万人中拥有各种受教育程度的人数如下：具有大学程度的为3611人；具有高中程度的为11146人；具有初中程度的为33961人；具有小学程度的为35701人．(1)根据以上数据填写下表：(2)以下各示意图中正确的是( )．(将正确示意图数字代号填在括号内)11．新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，现有6个项目可供选择(每个项目或者被全部投资，或者不被投资)，各项目所需投资金额和预计年均收益如下表：如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1．6亿元，那么，当选择的投资项目是时，投资的收益总额最大．12．新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息；2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：(1)请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表(精确到0.01)；(2)为了更清楚地表示出问题(1)中的百分比，请你完成下面的扇形统计图；(3)请根据你所学的统计知识提出问题(不需要作解答，也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的)．13．将最小的31个自然数分成A 、B 两组，10在A 组中，如果把10从A 组移到B 组，则A 组中各数的算术平均数增加21，B 组中各数的算术平均数也增加21．问A 组中原有多少个数?14．某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n (n =0，1，2…15)道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人?参考答案。

第一篇一元一次方程的讨论第一部分基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2*＋6＝0， *（*－1）=0, |*|=6, 0*=0, 0*=2的解分别是： *=－3, *=0或*=1, *=±6, 所有的数，无解。

2. 关于*的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程a*=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 *=ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论*取什么值，0*＝0都成立）3. 求方程a*=b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程a*=b第二部分典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)*=4(a －2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？例2 k 取什么整数值时，方程①k (*+1)=k －2（*－2）的解是整数？②（1－*）k =6的解是负整数？例3 己知方程a (*－2)=b (*+1)－2a 无解。

问a 和b 应满足什么关系？例4a 、b 取什么值时，方程（3*－2）a +（2*－3）b =8*－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (*+1)=0, ②*2=9,③|*|=9， ④|*|=－3, ⑤3*+1=3*－1,⑥*+2=2+*2. 关于*的方程a*=*+2无解，则a __________3. 在方程a (a －3)*=a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。

4. k 取什么整数值时，下列等式中的*是整数？① *=k4②*=16-k ③*=k k 32+④*=123+-k k 5. k 取什么值时，方程*－k =6*的解是①正数？②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +*）=2m －1的解①是零？②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，则a 、b 应满足什么关系？ 8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数" 9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。

【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。

思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。

初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。