2.2.2用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1．理解配方法，会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．2．经历探索利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想，培养学生运用转化的数学思想解决问题的能力．3．启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：理解并掌握配方法，能够运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．难点：运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．三、教学用具多媒体课件，计算器．四、相关资源《配方法》动画，《配方法解一元二次方程》微课．五、教学过程【复习引入】1．什么是配方法？师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．答：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．2．填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+5x+________=(x+_______)2；（2）x2-6x+________=(x-_______)2；（3）x2-13x+________=(x-_______)2；（4）x2+bax+________=(x+_______)2．师生活动：教师出示问题，学生代表回答，教师根据学生情况实时引导．教师引导：本题实际上要将其配成完全平方式，方法是加上一次项系数一半的平方．答案：（1）254，52；（2）9，3；（3）136，16；（4）224ba，2ba.上节课我们学习了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，如果二次项的系数不为1，那么我们怎样解这样的一元二次方程呢？这就是我们这节课要研究的问题：怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？设计意图：通过复习上一节课所学的内容，引入本节课所学的内容．【探究新知】例解下列方程：（1）x2-6x-40=0；（2）3x2+8x-3=0．师生活动：教师先让学生独立完成第（1）题，第（2）题教师引导学生将方程两边同除以3化为二次项系数为1的一元二次方程，然后按照上节课所学方法解方程即可，最后教师归纳．解：（1）移项，得x2-6x=40．方程两边都加上32（一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32，即(x-3)2=49．两边开平方，得x-3=±7，即x-3=7，或x-3=-7．所以x1=10，x2=-4．（2）移项，得3x2+8x=3．两边同除以3，得281 3x x+=．配方，得2228441333x x⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即242539x⎛⎫+=⎪⎝⎭．两边开平方，得4533x+=±，即4533x+=，或4533x+=-．所以11 3x=，x2=-3．归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x＋m)2－n＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x＋m)2＝n的形式；（4）开——如果n≥0，就可以左右两边开平方得到x＋m＝±n；（5）解——方程的解为x＝－m±n．设计意图：通过例题的讲解，使学生明白用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤．此图片是动画缩略图，本资源为《配方法》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，适用于《配方法》的教学.若需使用，请插入【数学探究】配方法.【典例精析】做一做一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2，小球何时能达到10 m高？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导：解决这个问题实际上就是解方程15t-5t2=10，即5t2-15t=-10．解：由题意可得方程15t-5t2=10．该方程可化为5t2-15t=-10．方程两边同除以5，得t2-3t=-2．配方，得222333222t t⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23124t⎛⎫-=⎪⎝⎭．两边开平方，得3122t-=±，即3122t-=，或3122t-=-．所以t1=2，t2=1，这两个解均符合题意．所以在1 s时，小球达到10 m；至最高点后下落，在2 s时，其高度又为10 m．设计意图：通过实际问题的解决，让学生巩固所学知识．本图片是微课的首页截图，本微课资源针对《配方法解一元二次方程》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】配方法解一元二次方程.【课堂练习】1．下列配方有错误的是（ ）．A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为2．将二次三项式3x 2+8x -3配方，结果为（ ）． A ．2855333x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B ．24333x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ C ．24253333⎛⎫+- ⎪⎝⎭ D ．(3x +4)2-19 3．用配方法解方程242203x x --=应把它先变形为（ ）． A ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2410x x --=2(2)5x -=2680x x ++=2(3)1x +=22760x x --=2797416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭23420x x --=2210339x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4．关于x 的一元二次方程的解为（ ）．A ．，B ．C ．D ．无解5．如果mx 2+2(3-2m )x +3m -2=0(m ≠0)的左边是一个关于x 的完全平方式，则m =_______．6．解下列方程：（1）9y 2-18y -4=0；（2）2x 2-x -1=0师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．教师点拨：先把常数项移到方程的右边，然后再将二次项的系数化为1．7.如图，某人在C 处的船上，距离海岸线AB 为2千米．此人划船的速度为4千米/时，在岸上步行的速度为5千米/时，若此人要用1.5小时到达距A 点6千米的B 处，问此人登陆点D 应在距B 点多远？师生活动：教师出示练习，找几名学生板演，讲解出现的问题．解：设此人登陆点D 应在距B 点x 千米处．根据题意列方程，得(1.5-5x )×4=24(6)x +-． 两边平方，得(6-45x )2=4+(6-x )2． 整理，得291240255x x -+=，即(35x -2)2=0． 解得x =103． 答：此人登陆点D 应在距B 点103千米处． 设计意图：让学生进一步加深对所学知识的理解．参考答案1．D ．2．C ．3．D ．4．C ．5．1或9．6．解：（1）方程两边同除以9，得24209y y --=． 移项，得2429y y -=． 21(1)420m m x x ++++=11x =21x =-121x x ==121x x ==-配方，得213(1)9y -=．所以1y -=．所以11y =，21y =； （2）方程两边同除以2，得211022x x --=． 移项，得21122x x -=． 配方，得221192416x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以1344x -=，或1344x -=-． 所以x 1=1，212x =-． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？答：一般步骤如下：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x ＋m )2－n ＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x ＋m )2＝n 的形式；（4）开——如果n ≥0，就可以左右两边开平方得到x ＋m ＝±n ；（5）解——方程的解为x ＝－m ±n ．另外，如果是解决实际问题，还有注意判断求得的结果是否合理． 师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.2 用配方法求解一元二次方程（2）1．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化——化二次项系数为1；（2）配——配方，使原方程变成（x ＋m )2n ＝0的形式；（3）移——移项，使方程变为（x＋m)2＝n的形式；（4）开——如果n≥0，就可以左右两边开平方得到x＋m＝±n；（5）解——方程的解为x＝－m±n．。

第1课时直接开平方法和配方法课时目标1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.学习重点用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计知识回顾1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是±2;如果一个数的平方等于7,那么这个数是±√7;如果x2=a,那么x=±√a.3.用字母表示因式分解的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.4.练一练:x2-4x+4=(x-2)2;x2+6x+9=(x+3)2.设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.新知引入怎样解x2=2?解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±√2,记为x1=√2,x2=-√2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.典例精讲 1.解下列方程:(1)x 2- 4=0; (2)4x 2-1=0.分析:x 2- 4=0先将-4移项,再直接开平方;4x 2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x 2=p 的形式,再用直接开平方法直接计算.解:(1)x 2-4=0,x 2=4,x =±2,即x 1=2,x 2=-2. (2)4x 2-1=0,4x 2=1,x 2=14,x =±12,即x 1=12,x 2=-12. 2.解方程:(x +1)2=2.分析:只要把(x +1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解. 解:(x +1)2=2 x +1=±√2即x 1=-1+√2, x 2=-1-√2.设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.探究新知1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方) 填上适当的数,使下列等式成立.(1)x 2+12x + 36 =(x +6)2;(2)x 2-6x + 9 =(x -3)2; (3)x 2+8x + 16 =(x + 4 )2;(4)x 2-4x + 4 =(x - 2 )2. 2.想一想,解方程x 2- 12x -15=0的流程是怎样的?↓移项,把常数项移到方程的右边↓两边都加36[即(b 2)2]使左边配成x 2-2bx +b 2的形式↓使等式左边写成完全平方式↓ 两边开平方√51↓√51↓ 解一元一次方程√51设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.典例精讲解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.所以x1=1,x2=-9.小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流) 设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.巩固训练解下列方程:(1)x2-10x+25=7;(2)x2-14x=8;(3)x2+3x=1;(4)x2+2x+2=8x.解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±√7,即x-5=√7或x-5=-√7.所以x1=5+√7,x2=5-√7;(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49,即(x-7)2=57.两边开方得x-7=±√57,即x-7=√57或x-7=-√57.所以x1=7+√57,x2=7-√57;(3)两边同时加上(32)2,得x 2+3x +(32)2=1+(32)2,即(x +32)2=134.两边开平方得x +32=±√132,即x +32=√132或x +32=-√132.所以x 1=-3+√132,x 2=-3-√132;(4)移项得x 2+2x -8x =-2,两边都加9得x 2-6x +9=-2+9,即(x -3)2=7.两边开平方得x -3=±√7,即x -3=√7或x -3=-√7.所以x 1=3+√7,x 2=3-√7.设计意图:通过巩固练习,学生可以更好地掌握本节课的知识点,并为后续的学习打下坚实的基础.同时,教师也可以根据学生的练习情况,及时了解学生的学习状况,为后续的教学做好充分的准备.课堂小结师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键步骤,以及应用配方法时应注意的问题.设计意图:培养学生及时反思的习惯,归纳本节课的收获.让学生养成自主梳理知识要点的习惯,逐渐培养出独立思考和自主学习的能力.课堂8分钟.1.教材第37页习题2.3第1,2,3题. 2.七彩作业.第1课时 直接开平方法和配方法解一元二次方程的方法: 例(略) 1.直接开方法(略). 2.配方法(略).教学反思第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课时目标1.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想.2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.学习重点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程.学习难点将二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程.课时活动设计回顾旧知1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.例如,x2-6x-40=0.解:移项,得x2-6x=40.方程两边都加上9(一次项系数一半的平方),得x2-6x+32=40+32,即(x-3)2=49.开平方,得x-3=±7,即x-3=7或x-3=-7.所以x1=10,x2=-4.2.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式.(口头回答)(1)x2+2x+1=(x+1)2;(2)x2-4x+4=(x-2)2;(3)x2+12x +36=(x+6)2;(4)x2+10x+25=(x+5)2;(5)x2-x+14=(x-12)2.设计意图:回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤,为本节课研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法奠定基础.探究新知请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.(1)x2+6x+8=0;(2)3x2+18x+24=0.解:两个方程之间的区别是方程(2)的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式;联系是当方程(2)的两边同时除以3以后,这两个方程式为同解方程.探讨方程(2)应该如何求解呢?设计意图:学生们做了方程的变形以后,对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路.典例精讲解方程:3x 2+8x -3=0.解:方程两边同时除以3,得x 2+83x -1=0, 移项,得x 2+83x =1.配方,得x 2+83x +(43)2=1+(43)2,即(x +43)2=259.两边开平方,得x +43=±53,即x +43=53,或x +43=-53.所以x 1=13,x 2=-3.注意事项:(1)当一次项系数为分数时,所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方,理解这样做的原理,树立解题的信心.(2)得到x +43=±53后,在移项得到x +43=53与x +43=-53的过程中,要注意符号问题,这一步在计算过程中容易出错. 设计意图:通过上述例题的讲解,继续规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解并掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,理解配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x +m )2=n (n ≥0)形式.扩展应用一个小球从地面以15 m/s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系:h =15t -5t 2,小球何时能达到10 m 的高度? 解:根据题意,得15t -5t 2=10. 方程两边都除以-5,得t 2-3t =-2. 配方,得t 2-3t +(32)2=-2+(32)2,即(t -32)2=14.两边开平方,得t -32=±12,即t -32=12或t -32=-12.所以t 1=2,t 2=1.所以当t =1或2时,小球能达到10 m 的高度.设计意图:在前边学习的基础上,通过上述试题进一步提高学生分析问题、解决问题的能力,帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用.巩固训练 1.解下列方程:(1)3x 2-9x +2=0; (2)2x 2+6=7x ; (3)4x 2-8x -3=0.解:(1)移项,得3x 2-9x =-2. 方程两边同时除以3,得x 2-3x =-23. 配方,得x 2-3x +(32)2=-23+(32)2,即(x -32)2=1912.两边开平方,得x -32=±√576. 所以x 1=32+√576,x 2=32-√576; (2)移项,得2x 2-7x =-6.方程两边同时除以2,得x 2-72x =-3. 配方,得x 2-72x +(74)2=-3+(74)2,即(x -74)2=116.两边开平方,得x -74=±14. 所以x 1=2,x 2=32;(3)移项,得4x 2-8x =3. 两边同时除以4,得x 2-2x =34. 配方,得x 2-2x +12=34+12,即(x -1)2=74. 两边开平方,得x -1=±√72. 所以x 1=1+√72,x 2=1-√72.2.印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起”大意是:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题.解:设总共有x 只猴子,由题意,可得(18x)2+12=x.解得x 1=16,x 2=48.答:总共有16只或48只猴子.设计意图:对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力和数学建模能力.课堂小结1.解一元二次方程的基本步骤.2.利用一元二次方程解决实际问题的思路.设计意图:让学生养成及时总结的习惯,反思学习的过程和收获的知识点,积累学习经验,在归纳总结的过程中,了解自己对本节课内容还有哪些困惑并解决.课堂8分钟.1.教材第40页习题2.4第1,3题.2.七彩作业.第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程解一元二次方程的方法:配方法.教学反思。

第二章 一元二次方程2.2 用配方法求解一元二次方程精选练习一、单选题1．（2022·北京平谷·八年级期末）把一元二次方程2240x x --=配方后，下列变形正确的是（）A ．225x -=（）B ．223x -=（）C ．215x -=（）D ．213x -=（）【答案】C【解析】【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【详解】2240x x --=，221140x x -+--=，2(1)5x -=，故选C ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．2．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程21202x -=的根为（ ）A ．1x =±B．x =C ．2x =±D．x =±【答案】C【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．【详解】解：21202x -=，移项得2122x =，系数化1得24x =，开方得2x =±，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的关键．3．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x 2−4x ＋1＝0化成（x ＋m ）2＝n 的形式是（ ）A ．（x −1）2＝12B ．（2x −1）2＝12C ．（x −1）2＝0D ．（x −2）2＝3【答案】D【解析】【分析】移项，再配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x +1=0，x 2-4x =-1，配方，得x 2-4x +4=-1+4，即（x -2）2=3，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．4．（2021·河南周口·九年级期中）如果2是方程20x c -=的一个根，则这个方程的其它根是（ ）A B ．C ．2-D ．【答案】C【解析】【分析】将2x =代入方程得出c 的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．【详解】解：将2x =代入方程，得：40-=c ，解得4c =，\方程为240x -=，则24x =，2x \=或2x =-，即这个方程的另一个根为2x =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．5．（2022·北京石景山·八年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．【详解】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．6．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．43【答案】B【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=，∴1a =，43b =，∴73a b +=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．二、填空题7．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2﹣6x +m 2﹣4m ﹣3＝0的一个根，则m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】把x =-1代入x 2-6x +m 2-4m -3=0即可得出m 的值．【详解】解：由题意可得：1+6+m 2-4m -3=0，整理，得2440m m -+=()220m \-=∴m =2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．8．（2021·江苏宿迁·九年级期中）一元二次方程2x-4x-3=0配方可化为_______________．【答案】（x-2）2=7【解析】【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：∵x2-4x-3=0，∴x2-4x=3，则x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，故答案为：（x-2）2=7．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．9．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________．【答案】m≤0【解析】【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．10．（2021·吉林辽源·九年级期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．一元二次方程()2325x =＋可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋3＝5，则另一个一元一次方程是________．【答案】35x +=-【解析】【分析】根据直接开平方法即可解答．【详解】解：()2325x =＋Q ，35x \+=或35x +=-，故答案为：35x +=-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．三、解答题11．（2022·江苏·苏州市平江中学校八年级期中）解下列方程：(1)()2316x +=(2)2430x x --=【答案】(1)11x =，27x =-(2)12x =，22x =+．【解析】【分析】（1）利用直接开方法，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用配方法，再开方求解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：()2316x +=34x +=±，34x +=或34x +=-，11x \=，27x =-；(2)解：2430x x --=，2447x x -+=2(2)7x -=2x -=2x -=12x \，22x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．12．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：(1)4（2x ﹣1）2﹣36＝0(2)（y ＋2）2＝（3y ﹣1）2【答案】(1)x ＝2或﹣1(2)y 132=，y 214=-．【解析】【分析】（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解；（2）对方程两边分别开平方，得到y +2＝±（3y ﹣1），解一元一次方程即可．(1)解：4（2x ﹣1）2﹣36＝0，4（2x ﹣1）2＝36，（2x ﹣1）2＝9，2x ﹣1＝±3，x ＝2或﹣1(2)解：直接开平方，得y +2＝±（3y ﹣1）即y +2＝3y ﹣1或y +2＝﹣（3y ﹣1），解得：y 1＝32，y 2＝14-．本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．一、填空题1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________．【答案】0m <【解析】【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，∴0m <，故答案为：0m <．【点睛】考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．2．（2022·江苏·九年级专题练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【解析】【分析】先将2x 2﹣6x +y 2＝0，变形为y 2＝﹣2x 2+6x ，代入所求代数式并化简为x 2+y 2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x 2+y 2+2x ≤16，再因为y 2＝﹣2x 2+6x ≥0，求得0≤x ≤3，即可求解．解：∵2x 2﹣6x +y 2＝0，∴y 2＝﹣2x 2+6x ，∴x 2+y 2+2x ＝x 2﹣2x 2+6x +2x ＝﹣x 2+8x ＝﹣（x 2﹣8x +16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x 2+y 2+2x ≤16，∵y 2＝﹣2x 2+6x ≥0，解得0≤x ≤3，当x ＝3时，x 2+y 2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【解析】【分析】先求A -B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x +2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x 2﹣x +1﹣（4x 2+3x +7）＝﹣x 2﹣4x ﹣6＝﹣（x +2）2﹣2，∵﹣（x +2）2≤0，∴﹣（x +2）2﹣2<0，∴A ﹣B <0，∴A <B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．4．（2022·全国·九年级课时练习）已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．【解析】【分析】设22y a b =+，将已知方程整理为关于y 的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y 的值，即可确定出22a b +的值．【详解】解：设22y a b =+，则原方程变形为220y y --=，解得12y =，21y =-，∴22a b +=2或-1，∵220a b +³，∴222a b +=．故答案为：2．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．5．（2022·江苏·九年级专题练习）利用配方法解一元二次方程2670x x -+=时，将方程配方为()2x m n -=，则mn =______．【答案】6【解析】【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，求出m ，n 的值即可得出答案．【详解】解：x 2-6x +7=0，x 2-6x =-7，x 2-6x +9=-7+9，（x -3）2=2，则m =3，n =2，∴mn =3×2=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．二、解答题6．（2022·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．【答案】(1)12312x x ==-,(2)121,9x x ==-(3)1266x x =-=-(4)1222x x =+=-(5)11,5x x =-=-(6)x =【解析】【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2−5x =2移项得：x2-53x =23，配方得：x2-53x +2536=23+2536，合并得：（x -56）2=4936，解得：x 1=56+76=2，x 2=56-76=-13；（2）解：x2+8x =9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x +4）2=25，解得x 1=1，x 2=-9；（3）解：x2+12x −15=0移项得：x 2+12x +36=15+36，配方得：（x +6）2=51解得x 1=-6x 2（4）解：14x2−x −4=0去分母得：24160x x --=，移项得：2416x x -=，配方得：x2-4 x +4=16+4，合并得：（x -2）2=20，解得：x 1=2＋x 2=2－（5）解：2x2+12x +10=0 系数化为1得：2650x x ++=，移项得：265x x +=-，配方得：x2+6x +9=-5+9，合并得：（x +3）2=4，解得：x 1=-1，x 2=--5；（6）解：x2+px +q =0，移项得：2x px q +=-，配方得：x2+px +24p =-q +24p ，合并得：(x +2p )2=244p q -，解得x 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．7．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ．(1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．【答案】(1)21a b +=-；(2)12x =【解析】【分析】（1）根据方程的解的概念将x ＝a 代入方程并整理得a （2a +b +1）＝0，由a ≠0知2a +b +1＝0，可得答案；（2）由方程有两个相等实数根可得Δ＝0，将b ＝﹣2a ﹣1代入可得关于a 的方程，求出a 即可得方程的解．（1）解：∵方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ，∴2a 2+ab +a ＝0，即a （2a +b +1）＝0，∵a ≠0，∴2a +b +1＝0，∴2a +b ＝﹣1；（2）∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝b 2﹣8a ＝0，由（1）知，2a +b +1＝0，即b ＝﹣2a ﹣1，∴（﹣2a ﹣1）2﹣8a ＝0，整理得：（2a ﹣1）2＝0，解得：a ＝12，∴b ＝﹣2，∴此方程的解为：x ＝12=．【点睛】本题考查了方程的解的概念及一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．8．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0(1)求证：无论k 取何值，方程都有实根；(2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【答案】(1)见解析(2)34(3)k ＝﹣3或k ＝﹣1或k ＝3【解析】【分析】（1）直接计算根的判别式即可证明；（2）将x =-1带入即可求解；（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k 的值．（1）证明：当k ≠0时，∵方程2(43)330kx k x k --+-=∴222(43)4(33)4129(23)k k k k k k D =---=-+=-∴2(23)0k D =-³当k ＝0时，3x ﹣3＝0，解得x ＝1．∴无论k 取何值，方程都有实根．（2）把x ＝﹣1代入方程得k +4k ﹣3+3k ﹣3＝0，解得k 34=．故k 的值为34．（3）解： 2kx ﹣（4k ﹣3），c ＝3k ﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x ==，∴此方程的两个根分别为11x = ，233x k =-，∵方程的两个实根均为正整数，∴k ＝﹣3或k ＝﹣1或k ＝3．【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．。