平面分空间

建筑平面设计内容、要求和方法、各类空间的设计要点建筑平面设计的内容、要求和方法、门窗尺寸和有关内容根据建筑功能划分建筑空间：1使用空间（房间）分为主要使用空间（主要房间），辅助使用空间（辅助房间）两部分。

2交通空间（交通联系部分分为垂直水平交通联系）。

使用房间平面设计的要求(1）房间的面积、形状和尺寸要满足室内使用活动和家具、设备的合理布置的要求；(2）门窗的大小和位置，应考虑房间的出入方便，疏散安全，采光通风良好；(3）房间的构成应使结构构造布置合理，施工方便，利于房间之间的组合。

(4)室内空间以及顶棚、地面、各个墙面和构件细部，要考虑人们的使用和审美要求。

房间的面积、形状和尺寸房间的面积（指使用面积）包括家具设备占用面积、使用活动面积、室内交通面积。

房间的面积大小影响因素：使用活动特点，使用人数，家具设备的配置。

商场面积由货架占用面积、使用面积、交通面积组成，货架与柜台间距≥900mm，柜台外双人通道宽度≥1500mm，单人通道宽度≥750mm。

双侧取货货架高度≤1200，柜台高900-950，宽度≥600mm，人站立取货时占用宽度≥450mm，人蹲下取货架底层占用宽度900mm。

房间的面积大小确定根据卧室的家具使用时所需尺度确定卧室床头距墙≥550mm，床头有大立柜时，从立柜取东西，柜门宽500-600，人站立宽度空间≥300，人坐桌前学习，椅子距墙占用宽度≥700mm。

旅馆客房标准间尺寸，根据家具布置确定房间尺寸，2张单人床宽1100mm，两床间有床头柜≥650mm，单人床距墙≥500mm。

非住宅房间开间3300-3600mm，进深4200-5100mm。

卫生间门的标准尺寸是2000＊700毫米。

洗脸池600*1650，浴缸700*1600，马桶所占的面积尺寸：37cm×60cm，前侧活动区宽：不小于610 mm，两侧活动区宽：300-450mm，有手纸盒的一侧宽：300mm。

分隔空间的四种方式一、平面分隔空间平面分隔空间是指在平面上通过不同的方法和元素，将空间划分为不同的区域。

平面分隔空间的四种方式包括线条分隔、色块分隔、图案分隔和文字分隔。

1. 线条分隔：线条是最常见也是最简单的分隔方式之一。

通过绘制直线、曲线或波浪线等形状，将空间划分为不同的区域。

线条的颜色、粗细、长度和形状可以根据设计需求进行调整，以达到划分空间和增加美感的目的。

2. 色块分隔：色块是一种通过不同颜色的矩形或其他形状来划分空间的方法。

可以使用单一的色块，也可以使用多个不同的色块组合。

色块的大小、形状和颜色可以根据设计要求来调整，以实现划分不同功能区域或营造不同氛围的效果。

3. 图案分隔：图案是一种通过在空间中使用不同的图案和纹理来划分区域的方式。

图案可以是简单的几何图形，也可以是复杂的花纹和图案。

通过使用不同的图案和纹理，可以有效地区分不同的空间，并增加空间的可视吸引力。

4. 文字分隔：文字是一种常用的分隔方式，可以通过在空间中添加文字来标识和划分不同的区域。

文字可以是标题、标签、标志等形式，可以使用不同的字体、大小和颜色来增加空间的可读性和视觉效果。

二、立体分隔空间立体分隔空间是指通过不同的立体元素和构造将空间划分为不同的区域。

立体分隔空间的四种方式包括墙体分隔、隔断分隔、家具分隔和天花板分隔。

1. 墙体分隔：墙体是最常见的分隔元素之一。

通过建造墙体，可以将空间划分为不同的房间或区域。

墙体可以是实心的，也可以是带有门窗的。

墙体的材料、颜色和纹理可以根据设计需求来选择，以实现不同的功能和风格。

2. 隔断分隔：隔断是一种常用的分隔方式，可以将空间划分为不同的区域，同时保持一定的透明度。

隔断可以使用玻璃、金属、木材等材料制作，可以使用不同的颜色、纹理和形状来增加空间的多样性和美感。

3. 家具分隔：家具是一种常用的分隔元素，可以通过布置不同的家具来划分空间。

例如，使用柜子、屏风、书架等家具将空间划分为不同的功能区域。

7种空间限定形式1. 直线空间限定形式直线空间限定形式是通过描述物体在直线上的位置来限定其在空间中的位置。

例如，可以描述一个物体在一条直线上的起始位置和结束位置，或者描述一个物体在一条直线上的某个特定点的位置。

这种形式常用于描述两个物体之间的距离或运动轨迹。

例如，我们可以描述两个城市之间的距离为100公里，或者描述一个飞机在飞行途中的某个高度。

2. 平面空间限定形式平面空间限定形式是通过描述物体在平面上的位置来限定其在空间中的位置。

平面可以是二维的，如一个平面上的坐标系，也可以是三维的，如地球表面上的经纬度系统。

这种形式常用于描述物体在平面上的位置或运动。

例如，我们可以描述一个建筑物在地图上的坐标，或者描述一个飞机在天空中的航线。

3. 体积空间限定形式体积空间限定形式是通过描述物体的体积或空间范围来限定其在空间中的位置。

这种形式常用于描述物体的大小或空间占用。

例如，我们可以描述一个房间的面积为30平米，或者描述一个汽车的体积为10立方米。

4. 方向空间限定形式方向空间限定形式是通过描述物体的朝向或方向来限定其在空间中的位置。

这种形式常用于描述物体的运动方向或物体之间的相对方向关系。

例如，我们可以描述一个人向北行走，或者描述一个车辆向右转弯。

5. 弧线空间限定形式弧线空间限定形式是通过描述物体沿着一条弧线运动的路径来限定其在空间中的位置。

这种形式常用于描述物体在弧线上的位置或运动。

例如，我们可以描述一个卫星沿着地球表面上的大圆弧线运行，或者描述一个自行车沿着一条弯曲的道路行驶。

6. 球面空间限定形式球面空间限定形式是通过描述物体在球面上的位置来限定其在空间中的位置。

这种形式常用于描述地球上的位置或运动。

例如，我们可以描述一个城市的经纬度坐标，或者描述一个船只在海洋上的航行路线。

7. 曲线空间限定形式曲线空间限定形式是通过描述物体沿着一条曲线运动的路径来限定其在空间中的位置。

这种形式常用于描述物体在曲线上的位置或运动。

家装平面设计思路技巧嘿，朋友们！今天咱就像开一场家装设计的欢乐派对一样，聊聊家装平面设计的那些思路和技巧。

咱先说空间规划吧。

这就好比给一群小动物安排宿舍，客厅是大象的领地，得宽敞，能让大象（也就是咱的大沙发、大电视啥的）舒舒服服地待着。

卧室呢，是小松鼠的窝，温馨又私密。

可别把大象塞进小松鼠的窝，那画面简直就像巨人进了娃娃屋，太滑稽了。

色彩搭配就像是给房子穿衣服。

你要是把大红大紫全堆一块，那房子看起来就像个小丑，花里胡哨得让人眼花缭乱。

冷色调和暖色调得搭配着来，就像找对象，互补才能和谐。

冷色像冷静的绅士，暖色像热情的女郎，让他们在房间里翩翩起舞。

家具的选择啊，就像是挑选演员演一场家庭剧。

沙发要是选个软趴趴没型的，就像个泄了气的皮球，毫无精气神。

而那些造型奇特的椅子，就像是从外太空来的小怪物，能给整个空间带来不一样的趣味。

说到照明，那可不能马虎。

大灯就像是太阳公公，给整个房间洒满阳光。

小灯呢，是小星星，在角落里闪烁，制造浪漫的氛围。

要是灯光设计得不好，房间就像被乌云遮住的天空，昏昏暗暗，心情都跟着不美丽了。

收纳空间设计，这就像是给房子准备一个个小口袋。

要是没有足够的口袋，那家里的东西就像一群调皮的小妖怪，到处乱窜。

合理的收纳就像魔法盒子，把杂物都藏得严严实实。

地面装饰也有讲究。

木地板像温暖的大地母亲，踩上去就像被温柔地拥抱。

地砖呢，要是那种光溜溜的，就像溜冰场，不小心还会摔个屁股蹲儿呢。

墙上的装饰就像是给房子化妆。

挂画挂得不好，就像脸上贴了块歪歪扭扭的补丁。

贴墙纸可不能选那种看着就让人头晕的图案，不然一进屋就像进了一个错乱的迷宫。

门窗的设计就像房子的眼睛和嘴巴。

窗户要是太小，房间就像个被捂住眼睛的小孩，看不到外面的美好世界。

门要是不好开，就像一个嘴巴张不开的人，急死人。

绿植在家装里是大自然的小精灵。

有了它们，房间就像有了生气的小森林，要是没有，就像沙漠一样枯燥。

最后，别忘了设计要符合主人的个性。

如果是个摇滚青年，那家里就得有点酷炫、不羁的感觉，要是弄成古板的风格，就像让孙悟空穿上唐僧的衣服，太别扭啦。

完美有趣实用的数学学术论文2——平面分割空间的全套理论和方法多维分割论之二湖北省安陆市第二高级中学 特级教师 祝有韬以直线间相交所得“交点个数”为线索圆满解决了平面区域划分问题后现在我们再以平面间相交所得“交线条数和顶点个数”为线索解决平面分割空间所成区域个数问题.问题1：空间中有n 个平面，其中任两个不平行，凡两两相交者交线不平行，任四个不共点，任三个不共线.(为简便起见，本文称同时满足此四条为满足“最强条件”).求其分割空间所得区域个数()f n .解： 数列{()f n }, 即248152{}6L 、、、、、,其一阶差列为{}{}(1)()2471{1}n f n f n a +-==L 、、、、, 其二阶差列为 {}1{234}n n a a +-=L 、、、,成等差数列 即有2132431221234(2)(1))211212222n n n a a a a a a a a nn n n n a a n n --=-=-=+-=+-+-=+=+=++L L()()1123(2) (1) (3) (2) 4 (3) 1 )n f f a f f a f f a f n f n a --=-+=-=--=L L从而有（）111(1)(21)1(1)(1)(2)(1)() (1)2(1)1262262n i i n n n n n n n n n n f n f a n -=-----+=+=+⋅+⋅+-=++∑进而得 公式1：321()1n n C f C n +++=定理（几何原理）：空间内满足最强条件的n 个平面将空间分割成的区域个数等于这些平面产生的交点个数3n C 与包括一个巨球面(可视为一个“平面”——“无穷远面”)在内的n +1个平面产生的交线条数21n C +的和再加1.不难验证，当0,1,2n =等值时，(只要规定“r m <时，0)m r C =公式1都成立.用数学归纳法极易证明对n ∈N 时命题恒成立.（为压缩篇幅此处证明从略）问题2：空间n 个平面中，凡两两相交者其交线不平行，无四面共点，无三面共线，但有12,i p m i p =L 组分别有个平面平行(、、、∑=pi im1≤n ）, 求其分割空间所得区域个数().f n解：显然与满足最强条件时相比,交线条数减少了21ipm i C =∑,顶点个数减少了 3211()i ii pm m n m i CC C -=+∑,故依“几何原理”知，空间区域的个数减少了23211(),i i ii pm m m n m i CC C C -=++∑则得 公式()f n =2：(3211)n n C C+++-22131()i ii i pm m n m m i CC C C -=++∑ 问题3：空间n 个平面中，无二面平行，无四面共点，无三面共线，但其中1123,)qj j j j q m j q m n m ==≥≤∑L有组分别有个两两相交的交线平行(、、、，，求其分割空间所得区域个数()f n .解：显然这时交线条数未变，而各两两相交的交线平行组中每三个面少产生了一个顶点，即顶点个数减少了31iqm j C =∑“依几何原理”得 公式3：()f n 32311(1)jqn n m j C CC +=-++-∑ 问题4：空间n 个平面中，无二面平行，凡两两相交者其交线不平行，无三面共线，但其有s 组分别有12,( k k k m A k s m =L 个平面交于点、、、≥4,∑=sk k m 1≤n ), 求其分割空间所得区域个数()f n .解：从只一组共()m r r m ≤个平面共点考虑起.先设个共点平面将空间分割成{}1,2,324814{r r a r a =个区域(这里不妨增加等情形),则数列即数列，，，，22}L ，，它是以112(1)2r r a a r a -=+-=为递归方程，为初始值的数列，有αm+r...m+r-1m+1m ...21O3243211122232)(1)2m m a a a a a a a a m --=⨯-=⨯-=⨯+-=-⨯L()21(1)()22122 (*)2m m m m f m a a m m C -==+⋅=+-=+ 然后逐一增加，考虑另外n m -()个平面加入后的情形，有222() 22(1)(1)m m m f m C C C =+=+++2122232(1)(1(1) ()(2) (1)(3) (2)() [()](1)(11))))(m m m n f m f m f m f m f m f m f n f m n m f n C C C C ++++=++=+++=++=+-=-++++++L L ①222222331231()2()2()2m m m m n m n m C C C C C n m f C n n C C m ++++++++++-=++-+=-+L21112(1)11m m m m C m C m α++++++∴注①：第个面与前个面产生条交线,由文献《直线分割平面的全套理论和方法》中的方法知面被分成个区域，空间增加了个经组合数的恒等变形得公式4：321()(1)n n f n C C +=++-(32211)2(1)m m m C C C +++++经推广得有1,()2k s A k s =L 组分别共点、、、其余皆符合“最强条件”的n 个平面的分割解，即有公式4′：321()(1)nn f Cn C +++=-32211[(1)2(1)]kk k sm m m k C C C +=++-+∑② (注②：2(3km C +1))式请参考(*)式理解成k m 个共点组的分割解) 其值为从()max f n 中减去各共点组当其不共点时的分割解的和再加上因其共点而实际分割成的区域个数的和.问题5：空间n 个平面中有t 组分别有l l m a 个共直线1,3,(2l l t m =≥L 、、、且 ∑=tl lm1≤n )，其余(包括t 组内不同组中的平面间)皆满足“最强条件”，求它们分割空间所成区域个数()f n .解：⑴先考虑仅只有一组(共m m 个)共线的情形，个共线面的分割数为2m ，()21)1(,(f m m m r m r m r =++-+-即再逐一增加时，第个平面与前个平面交于)条交线（如图），依线分割面法知此图中1m r m r m r α++-+()条交线将第个平面分割成了[2(1)1m r C +-++1]21m C +-(+1)22r m rm C m +=++个部分，故加入平面m r α+后空间个数增加了21r r m C ++(), 故有()2f m m =21(1) ()2f m f m m C +=++22(2) (1)3f m f m m C +=+++ 23(3) (2)4f m f m m C +=+++L L()2()()1)(1)n m f n f m n m f n n m m C -+=+-=-+-++⎡⎤⎣⎦31[1(1)](1)()2n m n m m n m f n C m -++-+-+=++再经组合数的运算，得公式5：12123()22n m n m m n m n m f n m mC C C C C ----=++++它也符合“几何原理”,其中1222n m m m mC m -为个共线面的分割数，为共线的个半面与()n m -个面交成的半直线条数，2n m C -和12m n m C C -+3n m C -分别为加入()n m -个面后交线和顶点的增量.⑵再考虑有5,t n m 个共线组的情形,为此必须分离公式中的和推导出其差式形式的等价式！()() (), (()max f n f n f m f m m =-即设为因有个面共线所引起的空间个数的减量),则()() ()max f m f n f n =-=32121231(122))(n n n m n m m n m n m C C C C C C C m m +----+++-+++22321)(2232(1)()(1)2(622m mn m n n n n n m n m n m -+++---=++-++-+32()(1)(2)5()(1)(21)12)22666mn m n m n m n m n n n m n m m n m -----+---+-+++-+=23221233113229136(1)(2)(2[(3)])66m m m m m m m m m m m m m nC nC C n C ----+-+-+---+-+=+=--= 故得 公式'5：()f n =32233111(1)()n n m m m C C nC C C +--++---经推广则得问题5的一般解 公式''5：()f n =321(1)[nn C Cn+++-23311111]l ll tt tm m m l l l CC C --===--∑∑∑ 问题6: 空间n 个平面中, ①有12i p m i p =⋯组分别有个平面平行(、、、);② 有123);j j q m j q m =⋯≥组分别有个两两相交的交线平行(、、、, ③ 有S 组分别有124), (k k k m A k s m =⋯≥个平面交于点、、、; ④l t m 有组分别有个平面共直线12,3()l l a l t m =≥L 、、、且,且11pqi j i j m m ==+∑∑ 11,s tk l k l n m m ==++≤∑∑其余(包括取自各平行组，两两相交交线平行组，共点组和共线组等不同组中的平面间)皆满足“最强条件”，求这n 个平面分割空间所成区域的个数()f n .显然依上述问题1至5进行综合极易得到3223213111()(1)()iiiijpqnn m m m n m mi j C f CC C C n CC +-===++-++-∑∑6公式：32211[(1)2(1)]kk ksm m m k C CC +=-++-+-∑233111()l l l tm m m l nCC C --=--∑ 以上问题1至5为单纯型，问题6为综合独立型，还有一类问题我们称其为综合相关型，即：问题7：在问题6中仅其条件⑤不满足，即任意取自不同组中的平面间不能全满足“最强条件”，亦即至少存在一个平面，它是“身兼数职”元，求这时的分割解.这是一类最复杂的问题，它无规律可循，只有通过适当的方法将其转化为问题6解决之，即先将诸“身兼数职”元全部抽出待计算出除它们外的元的分割解1f 后，再逐一将诸“身兼数职”元加入，计算出因其加入所致的交线条数和顶点个数的总增量212,()f f n f f =+则为所求，也可视情况采用各种灵活的方法处理（见后面有关诸例）.公式6是万能公式，而公式1至5则分别是其当p q s t 、、、全为零或顺次有一个非零，其余三个皆为零时的特例.作为应用兹举例如下：例1 对正方体作一截面，问截面及正方体各面所在平面将空间最多分割成 几部分？解: 分割成32781((7))3f C C =++-(2122722)46C C C -+=个空间部分. 例2 如图所示共有20个平面，其中123ααα，，两两相交的交线平行(即1l ∥2l ∥3);l 12345βββββ，，，，共直线1;l γ∥2γ∥3γ∥4γ∥5γ∥6γ;1δ∩2δ∩3δ∩4O δ=;另有两平面M N 、,除上述独立的四组位置关系外，不同组的元间皆满足最强条件，求这20个平面的分割解.解：323212332220216620663454(1)()[(C 1)2(1)](20)C C C C C C f C C C -++-+++-=--++233454(20)998C C C ---=例3 如图，过四棱台底面的一边AB 作截面，求四棱台各面和截面所在平面分割空间的分割解.分析：问题中平面的个数虽然不多，但有1组四面共点，有1组二面平行，有一组三面共线，还有几个交线平行组，面ABCD 既是平行组的元，又是交线平行组的元，还是共线组的元，还有几个“身兼数职”的元，且要考虑截面过C D ''与否，故问题是一个较复杂的相关综合型.解：先去掉二底面及截面，由公式4知共点四平面将空间分为14部分.补回二底(平行组)后增加了2×9=18个部分，最后补进截面时：⑴ 若截面不经C D '',则截面被它与各面的交线分割成13(7)14181345f =++=个区域，则 ⑵ 当截面经C D ''时，截面被其与各面的交线分割成10(7)14181042f =++=个区域，则BA D'C'O (2)例4 求证: 对任意的m 、n ∈N ,关于组合数的等式33322221121m n m n m n m n m n m n C C C C C C C C C C +++--+=+++1111m n m n C C C C +++恒成立证明： 原等式等价于32321232121(1)()()m n m n m m n m n n m n C C C C C C C C C C +++++-++-++=(m +1)(n +1)而后式两端刚好是问题“一组平行平面共m 个，另一组平行平面共n 个，求这m n +个平面分割空间所得区域个数“的解的两种表达式，故该等式恒成立.(注：诸如本例的组合恒等式用类似本例的方法我们能找出许多个！得到它们是我们研究面分割空间问题过程中的意外收获!)例5 在平面12345,O A A A A A αe 上有、、、、是圆周上的五个等分点，在α上过点11111111 A l m n l l m n 作三直线、、为园的切线,且、、、两两成角3π，同法过2345234),(5i i i A A A A l m n i O α=、、、各作三直线、、、、、在的过点的垂线上任取异于12345i O O i =的五个不同点(、、、、)，问： ① 由点12345i i i i O l m n i =分别与对应的(序号相同)诸直线且、、(、、、、)所确定的所有平面（包括平面α在内）将空间分割成多少个区域？② 若12345i O i =(、、、、)为同一点呢？ 解：① 由平面几何知识易证，共面诸直线i i i i l m n A 、、中，除点为五个三线共点外，其余皆不存在二线平行和三线共点的，故由i i i i O l m n 与、、所确定的15个平面构成五个三面共线，其余皆满足“最强条件”：解法1：((16f =)322161721)16(5)5C C C +-++33235622.C C += 解法2：先不考虑平面(15()f α=，3223315162321)15(5)55650C C C C C ++=++- 再考虑15ααα加入后，被其余个面与的交线分割成(221641)5(532111)6C C +-++⨯⨯=个平面区域，故增加平面α后空间区域个数也增加了116个.(16)(15)116506116662f f =+=+=② 1O O 为异于的同一点时，问题变为相关综合型,有五组三面共线，有一组15面共点，且它们皆“身兼数职”，则诸公式皆失效,考虑到2216415155321161)5(1)C C αα+-+⨯⨯=+个平面与的条交线分割为(个平面区域，152301163086⨯=-=其中有个面积无限大的区域和个面积有限的区域，显然此时有(15)286152202f =⨯+⨯=包括平面α，则(16)202116318f =+=最后回头考虑作为高中生必须熟练掌握的最简单最基本的情形举下例： 例6 试讨论无重合情形的四个平面分割平面的情况.解：四个平面在空间的位置关系共有13种(详见直观图)，并可作如下分类:(13)(12)(5) (9)(10) (11)(1)(2)(3)(4) (5) (6) (7)(8)(9)满足“最强条件的”四面共点的存在三面共线的存在两两相交且交线平行的存在平行关系的对它们可分别使用有关的公式进行计算，其中简单的可依以下的直观图直接数出结果来.(1)(2)(3)(4)(7)(5)(6)(8)γO(13)(12)δγβαδβα前面我们分别以柱、锥、台等基本几何体为载体构造出了平面分割空间的几个典型的具体问题，分别见上述例1、5、3（它们依次为棱柱、圆锥和棱台），为求圆满，.以下再考虑球体.例7 有一球体，我们赋予它有关地球经纬度和南北极等等的全部含义,并设实数对(,)x y 表球面上点的球面坐标,x 表示东经度数,y 表示纬度值, [0,360],x ∈o o o[0,90][0,90]y ∈⋃o o o o o 北南.(1)自点(0,0)o o 起分赤道圈为7等份，分点为1237;A A A A L 、、、、 (2)自点(10,40)o o 北起分北纬40°圈为11等份，分点为12311;B B B B L 、、、、(3)自点(10,30)o o 南起分南纬30°圈为22等份，分点为12322;C C C C L 、、、、 (4)自点(18,0)o o 起将点(18,0)o o 、(37,59)o o 北（37，59北）所在大圆（称其所在平面为M ）的圆周分成14等份，分点为12314.D D D D L 、、、、 过上述前三类点（i j k A B C 、、类）作该球的切平面分别为(i j k i αβγ=、、1、2、…、7; j =1、2、…、11; k =1、2、…、22),设与平面,M t t垂直的直径所在直线为由与第四类点(1214.()s t D t δε=L 类)确定平面、、、另外还有一个平面，它与取自i α、j k t βγδ、、中的任意平面间恒满足“最强条件”，问不包括平面M 1o 所有的平面将整个空间分割成的区域个数为几？2o 平面ε被它与其它所有平面相交所成的全部交线分割成多少个区域？其中有多少个面积有限的区域？解：127)1211()i j i j αβ==L 显然平面、、为一个两两相交交线平行组;(、、、12221214()k t k t γδ==L L和(、、、)为两个共点平面组；、、、为一个共线平面组，且由平面几何和立体几何知识极易证明这全部的（共55个）平面的位置关系除上述三类外，其余一律满足“最强条件”（此处证明从略）.依公式6知其分割成的空间区域个数为1o ()32332255567111211(1){[(1)21)]55(f C C C C C C ++--++=+- 322222322[(1)2(1)]}C C C +++-+2331314135522651()C C C --=-2o 由公式6知不包括平面ε在内的54个平面的分割解为()32332232545571112112223222(1){[(1)2(1)][(1)(]2}4)51C C C C C C C f C C ++--++--++++=2331314135421243()C C C --=-又∵55个平面的分割解正好是54个平面的分割解再加上平面ε被它与其它54个平面的交线所划分成的平面区域个数（因每增一个平面区域则空间区域增加一个）.∴平面ε被其它54个平面切割成22651212431408-=个区域，其中面积无限大的区域有542108⨯=个.故所求面积有限的区域为14081081300-=个.至此，我们圆满地解决了直线分割平面和平面分割空间的全部理论和实践.- 15 -。

平面最多分割空间问题祁阳一中 王勇波高一学了立几后，学生就把思维的灵光扩大到我们所生活的空间，总有同学问我n 个平面最多能把空间分成几部分，我跟他们说，这是切西瓜的问题，几个平面即是几刀去切一个大西瓜，三刀以下学生很好理解，四刀以上就搞不定了。

要弄清这个问题先要学习“数列”“推理证明”等相关的知识点。

一、 首先要弄清直线分割平面的问题直线要最多分割平面的前提条件是：任两条直线都要相交，任何三条直线都不能交于同一点。

设n 条直线最多分割平面为f （n ）部分,一条直线分平面为二部分，即f （1）＝2，f （2）＝4，f （3）＝7，…，接下来我们要弄清f （n ＋1）与f （n ）的内在联系（这个我们初中是接触过的）。

我们来看增加的第n ＋1条直线，按照题目的意思知道，没有任何三条直线交于同一点，这样第n ＋1条直线与前面n 条直线有n 个交点，而这n 个交点把第n ＋1条直线分成n ＋1段，而这n ＋1段把它所在的区域一分为二，这由n 条直线到n ＋1条直线平面就增加了n ＋1个区域，即f （n ＋1）＝f （n ）＋n ＋1，故有：f （1）＝2 (1)f （2）＝f （1）＋2 (2)f （3）＝f （2）＋3 (3)…………f （n ）＝f （n －1）＋n (n )上述n 个式子相加即有f （n ）＝2＋2＋3＋4＋…＋n =21()12n n ++ f （1）＝2也适合式子 故f （n ）＝2＋2＋3＋4＋…＋n =21()12n n ++（此结论后面有用的） 二、 平面最大分割空间这里首先要明白平面最大分割空间要满足什么条件，即是所有平面都相交，任何三个平面都不能交于同一条直线。

我们也仿照上面直线分割平面的方法来处理这个问题。

设n 个平面最多分割空间为F （n ）个区域,一条直线分平面为二部分，即F （1）＝2，F （2）＝4，F （3）＝8，…，接下来我们要弄清F （n ＋1）与F （n ）的内在联系。

第36章 图形区域分割计数【内容综述】用一些几何图形去分割另一个图形，得到最多区域数是有规律可循的．如用点分直线，直线分平面，三角形分平面，平面分空间等等．下面我们来探索它们的规律，主要是从最简单的情形出发，依次递推，找到相邻两个图形之间的“增量”规律，然后归纳出一般公式．这里出现符号P (n )，表示n 个图形分另一个图形的最多区域数．1、点分直线：n 个点最多把一条直线分成=+=+P n C C n n n 101)(部分．如图，直线上4个点，最多分加 例5部分，n =1 =P 12)( 12n =2=+P 512)(n =3 +=+P 2519)(……当增加第3个角时，与前每个角最多有4个交点，被分成2⨯4+1=9段，增加9部分，所以3个角最多把平面分成2+5+9=16部分．如此类推，得到6个角最多把平面分成2+5+9+13+17+21=67部分．【评注】注意，添加第2个角时，大家很容易发现增加5部分，后面就认为每个都增加5k 部分，就会发生错误，为了不出现错误，还是看新增的角的边被分成了几部分．我们可以归纳出n 个角最多把平面分成：⎣⎦⎡⎤⋯=++++++-+P n n 4152913171)()(例6部分； 部分．=P 12)(=+P 126)( =++P 12612)(3）1个四边形分平面2部分；2个四边形最多把平面分成2+8=10部分，因为当画第2个四边形时，它与前一个四边形最多有8个交点，四边形边界被分成8段，每段都使区域数增加1部分，故最多把平面分成2+8=10部分； 如图，通过归纳得到10个四边形最多把平面分成=P (10)2+8⨯1+8⨯2+8⨯3+⋯+8⨯9=362部分．=12部分； n 个a 变形，最多把平面分成区域数为=-+P n an n (1)2)(．例3. 如果n 个相同的图形最多把平面分成-+an an 22部分，则称这种图形为“a 边形”．例如4个三角形最多把平面分成⨯-⨯+=34342382部分，则称三角形为“3边形”；5个正方形最多把平面分成⨯-⨯+=52825442部分，则称正方形为“4边形”；……．那么根据定义，当a =1时，可以最多把平面分成-+n n 22部分，则称为“1边形”，圆就是一种“1边形”．因此我们猜想：可以最多把平面分n =1 n =3 n =2成-+n n 2222部分的图形称为“2边形”．那么，有没有“2边形”呢？如果有，请举出实例． 【分析】通过例2的学习，我们把圆看作“1边形”，有没有“2边形”？显然“角”分平面不是“2边形”．若是“2边形”，必须=+⨯+⨯+⨯++⨯-=-+⋯P n n n n ()24142434(1)2(1)2． 【解答】一个“2边形”，首先第1个“2边形”分平面为2部分，后面每一个“2边形”都与前面每一个“2边形”相交时，区域数都最多增加4部分．如图，这样的“2边形”可以是椭圆、弓形、梭形、纺锤形等等．例1点，就会增加线1段基本线段．当两点重合时，就会减少1段．因此直线上有n 个点，就会把直线分成=+=+P n C C n n n ()101部分．这n +1部分中，有(n -1)部分为线段，2部分为射线．所以对于直线上有6个点，最多把直线分成1+6=7部分．。

--35--邯郸市一中校刊n 个平面最多可将空间分成多少个部分数学教师 赵新国问题提出：空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？问题分析：显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。

1、 这n 个平面两两相交；2、 没有三个以上的平面交于一点；3、 这n 个平面的交线任两条都不平行。

对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。

设n 个平面分空间的部分数为n a ，易知当1=n时，2=n a ；当2=n 时，4=n a当3=n 时，8=n a 当4=n 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15=n a ；从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。

那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么当3,2,1=n 时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。

当k n =时，设k 条直线将平面分成了k b 个部分，接着当添加上第1+k 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有k 个交点，这k 个交点将第k 条直线分割成n 段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了1+k个区域，故得递推关系式 )1(1++=+k b b k k ，即11+=-+k b b k k显然当1=k时, 21=b ,当1,,2,1-=n k 时，我们得到1-n 个式子：212=-b b323=-b b434=-b b ……n b b n n =--1将这1-n 个式子相加，得)2(212++=n n b n ，即n 条直线最多可将平面分割成)2(212++n n 个部分。

我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定k b 与1+k b 的递推关系，最后得出结论。

面分空间公式n条直线分割平面问题的公式推导：设n条直线将平面分成Kn个部分，当n=1时，K1=2；当n=2时，K2=4；当n=3时，K3=7；当n=4时，K4=11；……K(n)= K(n-1) n, K(n)=1+n*(n+1)/2.那n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，n=2 2 3 4 5 6 7 8 ... n=1 1 2 3 ... n=1 (n 1)*n/2(部分)所以Kn=1+(n+1)*n/2(部分)，n条直线分割平面数：1+(n+1)*n/2 HDOJ 2050n条折线分割平面数：2*n*n-n+1n条折线可以看做是2n条直线分割平面，然后减去多余的区域2n条直线分割平面的区域数就是n(2n+1)+1=2n^2+n+1多余的区域是2n个，于是有效区域数就是2n^2-n+1个n条闭合曲线分割平面1n=1;f(n)=f(n-1)+2(n-1) 其他n;n条闭合曲线分割平面数：fn(n)=n^2-n+2;平面最大化分割空间递归关系f(n)=f(n-1)+n(n-1)/2+1f(n)=(n^3+5n)/6+1设n-1个平面已经最大化分割了某固定空间则第n个平面要最大分割空间的话就要与所有平面都有交线从第n个平面看，和n-1个平面相交的话，等同于第n个平面被n-1条直线最大化分割，数量为s从空间上看，就是把空间多划分出来了s个子空间于是递归关系就是f(n)=f(n-1)+s而平面被n条直线最大化分割的公式就是s=n(n+1)/2+1那么f(n)=n(n-1)/2+f(n-1)+1=n(n-1)/2+(n-1)(n-2)/2+f(n-2)+2=[n(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2)(n-3)+...+3*2+2*1]/2+f(1)+(n-1 )=[1*2+2*3+3*4+...+(n-3)(n-2)+(n-2)(n-1)+(n-1)n]/2+f(1) ={[1+2+3+4+...+(n-3)+(n-2)+(n-1)]+[1+2*2+3*3+4*4+...+(n -2)(n-2)+(n-1)(n-1)]}/2+(n-1)+f(1)=[n(n-1)/2+(n-1)n(2n-1)/6]/2+(n-1)+f(1)=[n(n-1)3/6+n(n-1)(2n-1)/6]/2+(n-1)+f(1)=n(n-1)(n+1)/6+(n-1)+f(1)=n(n^2-1)/6+n+1=(n^3+5n)/6+1。

平面分空间公式嘿，咱来聊聊平面分空间这个有意思的话题。

记得我以前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪大了眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这平面分空间咋就有公式了呢？”我笑着告诉他，这就像切蛋糕，每切一刀，蛋糕的块数就会有变化。

咱先从最简单的情况说起。

一个平面，它就把空间分成了两份，这很好理解对吧？就好像在一间屋子里拉了一道帘子，一边是这边，另一边是那边。

当有两个平面的时候，情况就稍微复杂一点啦。

要是这两个平面平行，那还是把空间分成了三份。

这就好比在一个长长的走廊里，平行地拉了两道帘子，中间是一块独立的区域，两边又各是一块。

但要是这两个平面相交呢？那可就有意思了。

想象一下，你在一个大大的房间里，先竖着拉一道帘子，再横着拉一道帘子，这是不是就把房间分成了六个部分？这就是两个相交平面把空间分成六份的情况。

那三个平面呢？这就更复杂一些啦。

如果三个平面两两平行，那就是把空间分成了四份。

但要是这三个平面相交于同一条直线，那就把空间分成了六份。

最复杂的情况是这三个平面相交于一点，而且三条交线两两垂直，这时候空间就被分成了八个部分。

这就像在一个正方体的房间里，从一个顶点出发，沿着三条棱的方向分别拉上帘子，是不是就把空间分成了八个小块？咱们总结一下这些情况，就有了平面分空间的公式。

对于n 个平面，最多可以把空间分成：(n³ + 5n + 6) / 6 份。

这个公式看起来有点复杂，但是只要我们一点点去理解，去想象那些平面切割空间的样子，其实也不难掌握。

在实际的解题过程中，运用这个公式可得小心。

得先搞清楚平面之间的位置关系，是平行、相交，还是有其他特殊的情况。

就像走迷宫，得先看清路，才能找到出口。

学习平面分空间公式，不仅能帮我们解决数学问题，还能锻炼我们的空间想象力。

想象一下，未来我们要是当建筑师，设计房子的时候，是不是就得考虑怎么用平面来划分空间，让房子住起来更舒服、更实用？总之，平面分空间公式虽然有点小复杂，但只要我们用心去琢磨，多去想象，就一定能把它拿下！就像攻克一座小小的知识山峰，等我们站在山顶，就能看到更美的风景啦！。

平面构成的基本形式——空间构成一、空间的概念空间是物质存在的一种客观形式，我们一般所讲的空间是一种具有高、宽、深的三次元立体空间，对于物体而言，就是它在空间中实际占据的位置，这种空间形态也叫做视觉空间。

而我们在平面构成中所谈到的空间形式，是就人的视觉而言的，它具有平面性、幻觉性、矛盾性。

在平面构成中空间感只是一种假象，三维空间是二维空间的错觉，其本质还是平面的。

平面性即二次元空间。

也就是有长与宽两种单元元素构成的空间。

前面所分析过的正负形的消失、减缺等形态特征，都是在平面空间中所存在的形式。

幻觉性这里指的是平面中的立体感，由几个面组合而得到的高、宽、深三次元的空间感觉。

不同形态线的肌理重复和渐变排列亦会产生出幻觉空间。

矛盾性矛盾空间实际上是一种错觉空间、幻觉空间，但是在构成形式上它与我们前面所讲的幻觉空间又有所区别。

矛盾空间是在实际空间中不可能存在的空间形式，它是以三次元空间透视中视平线的视点、灭点的变动而构成的特殊的不合理的空间。

这种独特的空间形式往往能够产生新的意想不到的视觉效果，设计师可以利用这一视觉原理设计新的造型形式。

二、平面上形成空间的因素我们对于形体的空间感觉，是视野中许多形态相互作用的结果。

当视野中有你熟悉的形体和环境关系时，你就很容易对距离和空间作出判断，反之则很难或不能判断某个形体的大小、距离，也就是说，任何形体，它的空间感的形成，必须要有相对应的形体作为参照。

依据这一视觉原理和经验，就可以在平面中制造具有纵深感的三维空间。

重叠空间：两个形体相重叠时，就会产生前后的感觉，这也就是平面的深度感，是感知形体空间最明显的一种启示。

PS:双击获取文档，ctrl+A,ctrl+C，然后粘贴到word即可。

未能直接提供word版本，抱歉。

平面设计中的空白空间是什么平面设计中的空白空间是什么通过对平面设计中空白空间的论述，挖掘平面设计中的空白空间的更深层价值；探索平面设计的空间运用规律和空白空间的象征性，提高对平面二维空间意识形态的认识和把握，使平面设计在实践中能更好地运用图形语言和二维空间。

下面一起来看看！艺术设计的语言随着时代的进步而越来越丰富，各种图形语言的出现不断地充实着平面设计语言的表达。

当我们关注图形创意的时代性和图形创新性的同时，也应该关注在平面设计这个二维的空间中，图形背后的那一片同样给平面设计带来憧憬和生机的空白空间。

在建筑设计中，我们不难发现，建筑设计师在充分地运用空间的有和无的空间转换设计出人造的舒适空间。

“有之以为用，无之以为利”，平面设计作为二维的空间设计，同样是在运用空间的有和无的空间关系营造一个舒适的二维人造空间。

充分发掘平面设计中空白空间更深层的价值，是今天的平面设计师应该思考的问题，使平面空间能更好地运用于平面视觉的传达中。

平面设计发展到今天，已成为我们生存环境、视觉空间不可或缺的一部分。

设计的变革从现代主义、后现代主义到今天各类设计思潮的变革，无不引导设计走向更自然、更科学和更人性化，营造一个和谐的人造空间平面设计师前进的目标。

空白空间的利用是设计走向成熟的标志，空白空间和图形必然会同时成为平面设计中的营造手段。

一、空白空间综述（一）从中国文化中体会空白空间《老子》第十一章，据以征服了西方建筑设计家赖特的是这么一段话：“埏植以为器，当其无，有器之用也。

凿户牖以为屋，当其无，有室之用也。

故有之以为利，无之以为用。

”这其中老子将有和无的两个哲学中的`关键概念，由有之以为利，无之以为用，推广到天下万物生于有，有生于无。

有和无的辩证关系丰富了我们对设计的思维，这也是无的用、无的美。

中国画中对空间有着更深的意识。

“而游无朕”即是在中国画的底层的空白里表达着本题“道”。

庄子曰：“瞻彼阙者，虚室生白。

”这个虚白不是几何学的空间间架，死的空间，所谓顽空，而是创化万物的永恒运行着的道。