四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλΛ由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆.2.设函数f ：R R R nn →⨯为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明：充分性：由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数必要性：由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化 令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1Λ=）即存在正交矩阵),,,(21n Q αααΛ=，使得)0,,0,,,,('21321ΛΛ个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵.证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=--Λ ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ②由①、②，得b n ====λλλΛ21，则n bE AP P =-1，有n bE A =，即A 是数量矩阵. n证明：充分性：由n b x a x f )()(-=，有1)()('--=n b x na x f有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-，则)()('x f x f 必要性：待定系数法，设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---Λ由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ，有))((')(d cx x f x f +=比较)(x f 、)('x f 系数，有n c 1=，有))(('1)(b x x f nx f -= （其中nd b -=） 有)('1))('),((x f na x f x f n =，则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式，则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍，故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(，设}0'{=∈=AX X R X V n，证明：V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间. V 是n R 的子空间吗？说明你的理由.证明：令}{θ=∈=AX R X W n ，有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解，有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成，则r n W -=dim ②由①、②，得V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n ，得nR V ⊂，则V 是n R 的子空间5.进一步假设A 正定，而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明：如果CB AC =，那么必然有O C =.证明：把C 看作由列向量构成，即),,,(21n C αααΛ=),,,(),,,(2121n n A A A A AC ααααααΛΛ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB ααααααΛΛ==== 由CB AC =，得i i B A αα'= （n i ,,2,1Λ=）即θα=-i B A )'(由B 负定，得'B 负定，又A 正定，得0'≠-B A那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解，则θα=i ，即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵，它的秩为r .解答下列各题，每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件，并证明你的结论.证明：存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r，则r PA r =)(，又P 可逆，则r A r PA r ==)()( 充分性：由r A r =)(，则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m Λ21，其中m P P P ,,,21Λ为初等矩阵 取m P P P P Λ21=，由m P P P ,,,21Λ可逆，则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21Λ是n F 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=.求向量组n βββ,,,21Λ的秩，并给出它的一个极大无关组.解：令n ααα,,,21Λ、n βββ,,,21Λ构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21Λ是n F 的一个基，则n A r =)(1，则1A 可逆 由r A r B r A A r ===)()()(11，则n βββ,,,21Λ的秩为r在n βββ,,,21Λ中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21Λ就构成了n βββ,,,21Λ的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明：)(A P 是F 上的无穷维线性空间；并且，如果)()(A P x g ∈的次数大于n ，那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明：令A 的特征多项式为)(x h ，有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12Λ（n k ≥），由kx x x ,,,,12Λ线性无关，又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((，总有)()()(x h x q x g =（1))((≥∂x q ） 故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21Λ是A 的全部复特征值.证明：对任意非负整数k ，数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明：A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----Λ 由A 是F 上的矩阵，有)(x f 为F 上的多项式，则F a k ∈（1,,1,0-=n k Λ） 由根与系数的关系有∑=-=-n i i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ（j i ≠）、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式，则k S 可由110,,,-n a a a Λ表示，则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组，其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.（5分）给出“S 是n F 的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论.2.（10分）假设S 不是空集且不是n F 的子空间。
