1.1 第1课时 认识勾股定理(教学设计——精品教案)

勾股定理第一课时教案教案标题：勾股定理第一课时教案教案目标：1. 理解勾股定理的概念和原理。

2. 能够应用勾股定理解决直角三角形的问题。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1. 勾股定理的概念和原理。

2. 勾股定理的应用。

教学准备：1. 教学课件和投影仪。

2. 直角三角形模型或图片。

3. 学生练习册和作业本。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用一幅直角三角形的图片或模型引起学生的兴趣。

2. 提问：你们知道什么是直角三角形吗？直角三角形有什么特点？二、概念讲解（15分钟）1. 通过课件或黑板，简洁明了地讲解勾股定理的概念和原理。

2. 引导学生观察直角三角形的三条边，并解释勾股定理的表达式。

三、例题演示（20分钟）1. 教师通过课件或黑板，给出一个直角三角形的例题。

2. 详细讲解如何应用勾股定理求解该例题。

3. 引导学生思考和讨论解题思路，解决其他类似的例题。

四、练习与巩固（15分钟）1. 学生个体或小组完成练习册上的相关练习题。

2. 教师巡回指导，解答学生的问题。

五、拓展与应用（10分钟）1. 提供一些拓展问题，让学生运用勾股定理解决实际问题。

2. 鼓励学生思考并尝试解决这些问题。

六、总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调勾股定理的重要性。

2. 学生回答教师提出的问题，对本节课的学习进行反思。

教学延伸：1. 学生可以在课后进一步练习和应用勾股定理，巩固所学知识。

2. 教师可以设计一些探究性实验或活动，让学生亲自验证勾股定理的正确性。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。

2. 学生完成的练习册和作业本的成果。

3. 学生对勾股定理的理解和应用能力。

教学反馈：1. 教师对学生的学习成果进行及时的评价和反馈。

2. 针对学生的问题和困惑，进行个别或集体的辅导和讲解。

第一章勾股定理1.探索勾股定理（第1课时）一、学生起点分析二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是:1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系.4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：创设情境，弓I入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:第1页第2页会标中央的图案是一个与 勾股定理”有关的图形，数学家曾建议 用 勾股定理”的图来作为与 外星人”联系的信号.今天我们就来一同 探索勾股定理.（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1. 探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察，归纳发现:结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 长的正方形的面积.意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过 对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2•通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望 .2. 探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢? （1）观察下面两幅图:等于以斜边为边（2）填表:师应给予充分肯定.）学生的方法可能有:方法一: A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 去四个直角三角形的面积, （学生可能会做出多种方法，教如图1 ,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，第4页效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 3. 议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗? （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .如果用a ，b ，c 分别表示 直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2+b 2=c 2.数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形 中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定 理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三 角形三边关系，得到勾股定理.效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力; 过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容:例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处.大树在折断之前高多少?（教师板演解题过程） 练习:1基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2.生活中的应用:2.通2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a 2 +b 2 =c 2 ?小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什 么吗?意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活, 意在培养学生用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容第四环节：课堂小结内容: 教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上，师生共同总结:1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 +b 2 =c 22.方法：（1）观察一探索一猜想一验证一归纳一应用;(2) 割、补、拼、接”法.3.思想：（1） 特殊一一般一特殊; 意图: 效果: 结的意识.数形结合思想.鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总 第五环节：布置作业内容：布置作业：1.教科书习题1.1.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进步认识勾股定理的前提条件.效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思（一）设计理念依据学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时, 进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理.少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，贝恫胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。

勾股定理教案第一课时
一、教学目标
1. 理解勾股定理的基本概念，知道勾股定理的定义。

2. 能够熟练地运用勾股定理解决实际问题。

3. 通过实例分析，提高学生的数学思维能力。

二、教学重点与难点
1. 教学重点：勾股定理的定义与运用。

2. 教学难点：勾股定理的运用与解释。

三、教学过程
1. 导入新课：通过提问的方式，引导学生思考勾股定理的实际应用，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲授：
a. 讲解勾股定理的定义，让学生理解什么是勾股定理。

b. 通过实例分析，让学生掌握勾股定理的运用方法。

c. 通过实际问题解决，让学生熟练掌握勾股定理的运用。

3. 课堂练习：通过课堂练习，让学生巩固勾股定理的运用方法。

4. 课堂总结：总结本节课的主要内容，强调勾股定理的重要性和运用方法。

四、教学评价
通过课堂表现、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价。

五、教学反思
通过本节课的教学，学生是否能够理解勾股定理的定义，是否能够熟练运用勾股定理解决实际问题，是否有足够的课堂参与度等，都是需要进行教学反思的内容。

勾股定理第一课时教学设计
一、教学目标
1. 理解勾股定理，掌握勾股定理的证明方法;
2. 能够熟练运用勾股定理来解决正三角形中求直角顶点边长问题。

二、教学重点
1. 勾股定理本身及其证明方法;
2. 运用勾股定理求解正三角形直角顶点边长问题。

三、教学用具
多媒体讲解，白板、笔等。

四、教学方法
1. 提问式教学法：老师以提问的形式向学生们提出勾股定理的证明方
法与应用，并请学生们积极思考，结合例题，提出解答。

2. 交流式教学法：老师在此过程中，可以针对学生们的回答进行纠正，补充，以便学生们对勾股定理进行更全面的理解;
3. 讨论式教学法：将学生们分成几个小组，由小组成员之间通过互动
的方式，深入讨论勾股定理的证明方法，并尝试用勾股定理解决正三
角形直角顶点边长问题，加深学生们的理解。

五、教学步骤
1. 老师先介绍勾股定理，引入后进行证明；
2. 给出相关例题，让学生尝试求解；
3. 将学生们分组，互动讨论勾股定理及其证明方法；
4. 小组讨论完成后，老师做小结并总结勾股定理的证明方法及其应用；
5. 最后老师让学生练习，完成本节课的学习任务。

第一章勾股定理1 探索勾股定理第1课时勾股定理〔1〕【知识与技能】1.经历测量和用数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步开展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步开展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，直角三角形的两边求第三边长.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中，开展合情推理能力，体会数形结合的思想.2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.2.在探究活动中，表达解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1〔章前的图文P1〕，介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人〞联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画假设干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个小方格，即C的面积为—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：S A+S B=S C.—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜测的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜测、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.“勾股定理〞.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，假设a=5,b=12，那么c= .2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，那么两直角边长分别是.【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回忆新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.完成练习册中本课时相应练习.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以稳固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中开展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中开展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.〔1〕将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；〔2〕教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.〔3〕你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9〔km2〕即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540〔千米/时〕答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.。

1． 1研究勾股定理第 1 课时认识勾股定理1．研究勾股定理，进一步发展学生的推理能力；2．理解并掌握直角三角形三边之间的数目关系． ( 要点、难点 )一、情境导入如下图的图形像一棵枝叶旺盛、姿态优美的树，这就是有名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形构成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说此中的神秘吗？二、合作研究研究点一：勾股定理的初步认识【种类一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°， AB＝5cm， BC＝ 3cm， CD⊥ AB 于点D，求 CD的长．分析：先运用勾股定理求出AC 的长，11再依据 S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC，求出 CD的长．解：∵△ ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°， AB＝ 5cm， BC＝3cm，∴由勾股定理得222222AC ＝ AB － BC＝ 5 － 3 ＝ 4 ，∴ AC＝ 4cm. 又11AC·BC∵S ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝△22AB4×3 12(cm) ，故 CD的长是12＝＝cm.555方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．【种类二】勾股定理与其余几何知识的综合运用如图，已知 AD是△ ABC的中线．求2222证： AB ＋AC＝ 2(AD ＋ CD) ．分析：结论中波及线段的平方，所以可以考虑作AE⊥ BC于点 E，在△ ABC中结构直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.在 Rt △ACE、 Rt△ ABE和 Rt△ ADE中， AB2＝22222222AE ＋ BE，AC＝ AE＋ CE，AE＝ AD－ ED，∴2222222 AB ＋ AC＝ (AE ＋ BE) ＋ (AE ＋ CE) ＝ 2(AD－ ED2) ＋ (DB － DE)2＋ (DC＋ DE)2＝ 2AD2－22222ED＋ DB－2DB·DE＋ DE＋ DC＋2DC·DE＋2222DE＝ 2AD＋DB＋ DC＋ 2DE(DC－ DB)．又∵ AD22是△ ABC 的中线，∴ BD＝ CD，∴ AB ＋ AC＝22222AD＋ 2DC＝ 2(AD ＋ CD) ．方法总结：结构直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，波及线段之间的平方关系问题时，往常沿着这个思路去剖析问题．【种类三】分类议论思想在勾股定理中的应用在△ ABC中， AB＝ 20，AC＝ 15，AD 为 BC边上的高，且 AD＝ 12，求△ ABC 的周长．分析：应试虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情况．解：当高 AD在△ ABC内部时，如图①.在 Rt △ ABD中，由勾股定理，得22 BD＝ AB－222＝162，∴ BD＝ 16；在 Rt △ ACDAD＝20 －12中，由勾股定理，得2222－CD＝ AC－ AD＝ 15122＝ 81，∴ CD＝9. ∴BC＝ BD＋ CD＝ 25，∴△ABC的周长为25＋20＋ 15＝ 60.当高 AD在△ ABC外面时，如图② . 同理可得 BD＝ 16，CD＝9. ∴BC＝ BD－CD＝ 7，∴△ABC的周长为 7＋20＋ 15＝ 42. 综上所述，△ABC的周长为 42 或 60.方法总结：题中未给出图形，作高结构直角三角形时，易遗漏钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情况，忽略高AD在△ ABC外的情况．研究点二：利用勾股定理求面积如图，以Rt△ ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ ABE 的面积为 ________，暗影部分的面积为 ________．1分析：由于 AE＝ BE，所以 S△ABE＝2AE·BE 122222＝ AE. 又由于AE＋ BE ＝ AB，所以 2AE ＝2212129AB ，所以 S△＝4AB＝4× 3＝4；同理可得ABES△AHC＋121222 S△BCF＝4A C＋4BC. 又由于AC＋BC＝212121 AB ，所以暗影部分的面积为4AB ＋AB ＝24212999AB＝×3＝2.故填、.242方法总结：求解与直角三角形三边相关的图形面积时，要联合图形想方法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．三、板书设计勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．假如用 a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝ c2.让学生领会数形联合和由特别到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步领会数学与现实生活的密切联系．在研究勾股定理的过程中，体验获取成功的快乐；经过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠长文化历史，激励学生奋发学习．。

主备人审核人课题《勾股定理的认识》授课课型新授授课课时第一课时授课者授课班级教学媒体教学目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

教学重点勾股定理的内容及证明。

教学难点勾股定理的证明。

教学课时教学内容即问题情境一、引入新课1.毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。

相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。

（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？二、探究1.探究等腰直角三角形的情况观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）个性补案图BCA正方形Ⅰ的面积 （单位面积） 正方形Ⅱ的面积 （单位面积） 正方形Ⅲ的面积（单位面积）较大的图 较小的图思考：（1）你发现了三个正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之间有什么关系吗？（2）你发现了等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？2.由上面你得到的结论，我们自然联想到：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）思考：（1）你发现了三个正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之间有什么关系吗？ （2）你发现了一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 由上面的例子，我们猜想：命题1 ： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2命题1的证明方法有多种方法一：我国古人赵爽的证法，利用“赵爽弦图”证明.（图一）图一CBAⅢⅡⅠCB AⅢⅡⅠⅢⅡⅠⅢⅡⅠC B A C B Aa b c ab c a bc c b a大正方形的面积可以表示为 还可以表示为 结论：图二方法二：大正方形的面积可以表示为 还可以表示为 结论：我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把命题1称为勾股定理.勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2推理格式： ∵ △ABC 为直角三角形∴ AC 2+BC 2=AB 2. （或a 2+b 2=c 2）三、例题学习例1、求直角△BCD 中未知边的长.四 、勾股定理的应用1、求下列直角三角形中未知边的长。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？弦股勾（教师板演解题过程） 练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容： 教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．?225100x1517意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动． 效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1．教科书习题1.1.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．教学设计反思 （一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．a bcabc。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第1.1节“探索勾股定理”是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进一步学习的。

本节内容主要让学生通过探究、推理、验证等过程，理解和掌握勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

教材通过丰富的背景材料，引导学生参与探究活动，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何的基本概念和性质有所了解。

但学生在学习过程中，可能对勾股定理的理解停留在死记硬背上，缺乏对定理形成的探究过程。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生参与课堂活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

三. 教学目标1.让学生通过观察、探究、推理、验证等过程，理解并掌握勾股定理。

2.培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握勾股定理。

2.难点：对勾股定理的探究过程和方法的理解。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、实验、推理、验证等方法，自主探究勾股定理。

2.案例分析法：教师通过提供具体的背景材料，引导学生运用勾股定理解决实际问题。

3.小组合作法：教师学生进行小组合作交流，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的背景材料和案例，用于引导学生探究和分析。

2.准备多媒体教学设备，用于展示和解释勾股定理。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和评价学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾平面几何基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示相关的背景材料，引导学生关注勾股定理在实际问题中的应用。

同时，教师提出探究任务，让学生思考并尝试解决。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作交流，让学生通过观察、实验、推理、验证等方法，自主探究勾股定理。

《勾股定理（第1课时）》教学教案教学目标：了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．重点：勾股定理的内容和证明及简单应用．难点：勾股定理的应用.教学流程：一、导入新课相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。

二、新课讲解思考：图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？（观看视频演示）答：两个小正方形的面积这和等于大正方形的面积.等腰直角三角形的三边满足斜边的平方等于两直角边的平方和.想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．介绍《赵爽弦图》面积验证：证明：∵2S c 大正方形＝2()S b a -小正方形＝∴2()b a -142ab +⨯2c ＝ 即：222a b c +=勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．练习1：求图中字母所代表的正方形的面积．答案：（1）81；（2）56，80；（3）225练习2：求下列直角三角形中未知边的长度．答案：（1）2246213x =+=；（2）2210553x =-=三、巩固提升1．下列说法正确的是( )A ．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2答案：D2．利用如图(1)或(2)所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理中结论的数学表达式是__________．答案：勾股定理，a2＋b2＝c23．如图，正方形B的面积是______．答案：1444．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝_____，b＝_____．答案：15，125．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.(1)若b＝2，c＝3，求a的值；(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，a==(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，∴a＝21，c＝35四、课堂小结今天我们学习了哪些知识？勾股定理的内容是什么？它有什么作用？五、布置作业教材P28页习题17.1第1、2题．。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理》这一节内容，主要让学生了解勾股定理的定义、证明和应用。

通过这一节的学习，使学生能够理解并掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决一些实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。

但是，对于勾股定理的证明和应用可能还比较陌生，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究来理解勾股定理。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的定义、证明和应用。

2.培养学生观察、思考、探究的能力。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明。

2.运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、探究法、案例教学法等，引导学生通过观察、思考、探究来理解勾股定理。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关教学案例和习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长度分别是3cm和4cm，求斜边的长度。

让学生思考如何解决这个问题，从而引出勾股定理。

2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍勾股定理的定义、证明和应用。

让学生了解勾股定理的背景和意义。

3.操练（10分钟）让学生通过观察、思考、探究，尝试证明勾股定理。

可以分组讨论，每组给出自己的证明方法。

教师在过程中给予引导和指导。

4.巩固（10分钟）通过一些相关的例题和练习题，让学生运用勾股定理解决问题。

教师在过程中给予解答和指导。

5.拓展（10分钟）让学生思考：勾股定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

教师在过程中给予引导和指导。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，包括勾股定理的定义、证明和应用。

教师在过程中给予补充和指导。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学内容。

17.1 勾股定理第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课三、课时第1课时共3课时四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识（二）探索新知1.出示课件4-10，探究勾股定理的认识与证明相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边长.学生2回答：斜边正方形的边长最大.教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：（1） A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积．（2）B的面积是_______个单位面积．（3）C的面积是________个单位面积．学生1回答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积．学生2回答：(2) B的面积是9个单位面积．学生3回答：(3) C的面积是18个单位面积．教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C教师问：S A+S B=S C在图2中还成立吗？学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢？学生回答：A的面积是16个单位面积．B的面积是9个单位面积．C 的面积是25个单位面积．教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．学生回答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C. 去掉网格结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：式子S A+S B=S C能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?师生一起解答：如图所示：a2 + b2 = c2教师问：去掉正方形结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？学生回答：a2 + b2 = c2教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.如何利用拼图证明呢？师生一起看数学家的证明：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．教师依次展示各种证明方法：（1）赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.剪、拼过程展示：（出示课件11）教师问：如何进行证明呢？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，ab+（b-a）2=a2+b2∴c2=4×12(2) 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13)教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2a b,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形a b+c2=4×12=c2+2a b，∴a2+b2+2a b=c2+2a b，∴a 2+b 2=c 2.（3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a 2 + b 2 = c 2.教师问：你能证明上边的问题吗？ 学生讨论后回答： 证明：∵S 梯形=12（a +b ）（a +b ）,S 梯形=12a b+12a b+12c 2,∴a 2 + b 2 = c 2.教师总结归纳;(出示课件16) 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么a 2 + b 2 = c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2 + b2 = c2.总结点拨：（出示课件17）公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.出示课件18，学生口答，教师订正。

17.1 勾股定理第一课时一、教学目标 1．核心素养:通过学习勾股定理，初步发展基本的几何直观和逻辑推理能力． 2．学习目标（1）观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积的关系，发现勾股定理的结论.（2）能证明勾股定理．（3）应用勾股定理解决简单的问题．（4）了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就. 3．学习重点探索并证明勾股定理． 4．学习难点勾股定理的探索和证明. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1：阅读教材P22－P24，思考：勾股定理的内容是什么？你还有哪些方法可以证明勾股定理？任务2：怎样利用勾股定理求线段的长？你能将此公式进行哪几种变形？2．预习自测1.求下图中的字母代表的正方形的面积：A=________，B=_________.第1题图 2.如图，求未知边=_________，=_________.205b预习自测1．225，2252．25，12（二）课堂设计1．知识回顾（1）正方形的面积怎样计算？（2）经过证明被确认为叫做定理.2．问题探究问题探究一、观察图形的面积关系，发现勾股定理的结论●活动一观察与思考：（1）等腰直角三角形三边关系如图1，三个正方形的面积有什么关系？由此联想到等腰直角三角形的三边有何数量关系？图1 图2（2）两条直角边分别为3、4个单位的直角三角形三边关系如图2，正方形A的面积为____个单位，正方形B的面积为_____个单位，正方形C的面积可以用“割”的方法，将正方形分割成4个直角边分别为_____、_____的全等直角三角形与1个边长为______的正方形面积之和；也可用“补”的方法，用1个边长为_____的正方形面积减去4个直角边分别为_____、____的全等直角三角形的面积），即正方形C的面积为________单位.通过计算可以发现两直角边分别为3、4个单位的直角三角形的三边关系为________.（3）两条直角边分别为任意整数个单位的直角三角形三边关系请你在下列方格图中，画一个直角边为整数的直角三角形，探究你所画的直角三角形是否也有上述性质？●活动二猜想结论：根据以上观察你发现直角三角形的三边有怎样的数量关系？命题：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.符号表示：在Rt△ABC中，若BC=，AC=b，AB=c，则.问题探究二验证勾股定理●活动一大胆猜想，从的“式结构”来看，可以联想到正方形面积的“形结构”.如图3，构造出边长分别为、的正方形面积来证明.●活动二集思广益，证明勾股定理如图4，用“割”的方法，可得= (________)2 - 4×_______，化简整理得.如图5，用“补”的方法，可得= (________)2 +4×_______，化简整理得.●活动三感受我国数学家赵爽的证明教材P23—P24，P30，阅读我国古代数学家赵爽对勾股定理的研究，并完成课本拼图法证明勾股定理.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则.●活动四反思过程，公式变形公式变形：b2 = c2-a2 →b=；a2 = c2-b2 →a =问题探究三勾股定理的简单应用●活动一初步运用，运用定理求线段长例1 在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、.【知识点：勾股定理；数学思想：数形结合】（1）若=3，=5，求；（2）若=8，=17，求；（3）若∶ =1∶2，=5，求.详解：（1）∵，∴==；（2）略（3）由∶ =1∶2，可设,则=，解得=.∴=，=2.点拨：已知直角三角形的两边长，利用勾股定理求第三边长时，关键是弄清已知什么边，求什么边，灵活运用公式求解.●活动二变式应用例2 在Rt△ABC中，AB=4，AC=6，求BC的长.【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】详解：此题与上题相比，未指明哪个角为直角，即不清楚谁为斜边，所以应分两类进行计算.①当AC为斜边时，则，即==；②当BC为斜边时，则，即==.综上，BC的值为或.点拨：利用勾股定理解题时若未明确直角边、斜边，则应分类讨论进行计算. 3．课堂总结【知识梳理】(1) 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则.(2) 公式变形：b2 = c2-a2 →b=； a2 = c2-b2 →a =【重难点突破】（1）勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系. 已知、、（为斜边）中的任意两边，能求出第三边，①已知、，则 =；②已知、，则=；③已知、，则.（2）运用勾股定理时应注意：①确定该三角形是直角三角形；②分清直角边和斜边，若未明确直角边、斜边，则应分类讨论.（3）勾股定理的发现、归纳、猜想和验证，体现了从特殊到一般的数学思想和数学结合思想.（4）面积法验证勾股定理的关键是，要找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯形）的面积之和等于整体图形的面积，从而达到验证的目的.4．随堂检测1.下列说法正确的是（）A.若、是△ABC的三边长，则.B.若、是Rt△ABC的三边长，则.C.若、是Rt△ABC的三边长，∠A=90o ，则.D.若、是Rt△ABC的三边长，∠C=90o，则.【知识点：勾股定理；数学思想：数形结合】【参考答案】D .【解析】运用勾股定理时应注意：确定该三角形是直角三角形；并分清直角边和斜边，根据定理两直角边的平方和等于斜边的平方. 故选D．2.在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、.（1）若=6，=8，则=_________ ；（2）若=9，=15，则=_________.【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】【参考答案】10；12【解析】根据勾股定理，C=；b=3.在Rt△ABC中，∠B=90o，AB=5，AC=10，则BC=_________.【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】【参考答案】【解析】根据勾股定理，BC=.4.直角三角形的两边分别为3、4，则第三边的长为_________.【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：分类讨论】【参考答案】5或【解析】由于此题并未明确谁是直角边，所以应该分类讨论：①若3、4分别为直角边，则根据勾股定理可求斜边长为5；②若4为斜边，则根据勾股定理可求另一直角边为.。

勾股定理教案第一课时教案标题：勾股定理教案第一课时教案目标：1. 学生能够理解勾股定理的基本概念和原理。

2. 学生能够应用勾股定理解决简单的直角三角形问题。

3. 学生能够合作与交流，共同解决勾股定理相关问题。

教学资源：1. 教材：包含勾股定理相关内容的数学教材。

2. 幻灯片：用于展示勾股定理的基本概念和原理。

3. 白板和标记笔：用于解题演示和学生互动。

教学步骤：引入（5分钟）：1. 引起学生兴趣：通过展示一些有趣的直角三角形图片，引起学生对勾股定理的好奇心。

2. 提出问题：引导学生思考，如果已知一个直角三角形的两条直角边的长度，如何求出斜边的长度？探究（15分钟）：1. 概念讲解：使用幻灯片或白板，简明扼要地解释勾股定理的概念和原理，即直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 解题演示：选择一个简单的直角三角形问题，例如已知直角边长度分别为3和4，让学生观察解题过程并思考如何应用勾股定理求解斜边长度。

3. 学生实践：将学生分成小组，给予每组一些直角三角形问题，让他们尝试应用勾股定理求解。

鼓励学生合作与交流，共同解决问题。

总结（10分钟）：1. 回顾勾股定理的概念和原理，确保学生对其有清晰的理解。

2. 鼓励学生分享他们的解题思路和答案，促进彼此之间的学习和交流。

3. 强调勾股定理在解决直角三角形问题中的重要性，并提醒学生在今后的学习中继续应用该定理。

作业（5分钟）：布置一些练习题，要求学生在家中继续练习应用勾股定理解决直角三角形问题，并在下节课前完成。

教学扩展：1. 对于学习较快的学生，可以引导他们探究勾股定理的推导过程，深入了解其数学原理。

2. 对于学习较慢的学生，可以提供更多的练习机会，并提供辅助材料，如图形边长比较表格，帮助他们更好地理解和应用勾股定理。

教学评估：1. 在课堂上观察学生对勾股定理的理解和应用情况，及时给予指导和帮助。

2. 收集学生在小组合作中解决问题的表现，评估他们的合作能力和交流能力。