高中数学必修4-第1章三角函数-示范教案(1.2.2 同角三角函数的基本关系)

第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2．1同角三角函数的基本关系课型：新授课课时：第一课时1、教学目标1.知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。

2.过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

3.情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

2、教学重点和难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。

3、专家建议在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展"的教学思想；通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的象限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了；课堂在完成例题及变式时要给予学生充分的时间思考与尝试，故对学生的检测只能安排在课后的作业中，作业可以检测学生对本节课内容掌握的情况，能否灵活运用知识进行合理的迁移，可以发现学生在解题中存在的问题‘4、教法与学法1．教法：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。

2．学法：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。

1.2.2 同角三角函数的基本关系一、教学目标1．理解同角三角函数的基本关系式．2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．二、课时安排1课时三、教学重点理解同角三角函数的基本关系式．四、教学难点运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．五、教学过程（一）情景导入哲学中有个命题：任何事物之间都存在着某种联系，联系是普遍存在的．比如蝴蝶效应，在南美洲亚马孙河流域的热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风．这从一个侧面说明事物的普遍联系性．既然这样，作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗？它们具有怎样的关系？这些关系又有哪些应用呢？（二）讲授新课探究：sin ,cos ,tan ααα之间有何关系？在直角三角形OMP 中由勾股定理得222222211sin cos 1MP OM OP y x αα+==+=+=(1)sin ;y α=(2)cos ;x α=()(3)tan 0;yx xα=≠ 由正切函数定义很容易得到：sin tan cos ααα=平方关系: 22sin cos 1αα+= 商数关系:sin tan cos ααα=(,)2k k Z παπ≠+∈ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. “同角”二层含义:一是”角相同”,二是”任意”一个角.在α的终边上任取一点()P x y ，，它与原点的距离是()0r r >，则角α的三角函数的值是：sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=由三角函数定义我们可以看到：222222222sin cos 1y x y x r r r r r αα+⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin tan cos yy r x x rααα===同角三角函数的基本关系式总结如下： ①平方关系：22sin cos 1αα+= ②商数关系：sin tan cos ααα= （三）重难点精讲 题型一、求值例1、已知cos α＝－513，求sin α和tan α的值．[分析] 需分α是第二象限角与第三象限角讨论． [解析] ∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α＝1－cos2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125； 当α是第三象限角时，sin α＝－1－cos2α＝－1213，tan α＝sin αcos α＝125. [点评] (1)基本三角关系式sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R 成立；sin αcos α＝tan α仅在α≠k π＋π2(k ∈Z)时成立．不论哪种情况，我们都称它们为三角恒等式．也就是这些关系式是它们各自定义域上的恒等式，即当a 取使关系式都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等，以后所说的恒等式，就是指这个意义下的恒等式．(2)若角α的象限未确定，需对α分象限进行讨论．(3)本题解题中常见的错误是求sin α时忽视符号的讨论，或注意到了分象限讨论，应用公式tan α＝sin αcos α时，又多加上了符号：α是第二象限时，tan α<0，∴tan α＝－sin αcos α.练习1、已知sin α＝45，并且α是第三象限的角，求cos α、tanα的值．[分析] 先考虑利用平方关系求出cos α，再利用商数关系求出tan α.[解析] ∵sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1－sin2α＝1－(45)2＝925.又∵α是第三象限角，∴cos α<0即cos α＝－925＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝45×(－53)＝－43.例2、已知tan α＝3.(1)求sin α和cos α的值． (2)求3sin α－cos α2cos α＋sin α的值．(3)求sin2α－3sin αcos α＋1的值．[分析] tan α＝3，即sin α＝3cos α，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sin α和cos α；对于(2)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sin α，也化为cos2α的表达式求解．[解析] (1)tan α＝3＝sin αcos α>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010cos α＝1010.当α是第三象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010cos α＝－1010.(2)∵tan α＝3，∴3sin α－cos α2cos α＋sin α＝3tan α－12＋tan α＝85.(3)∵tan α＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴原式＝sin2α－3sin αcos α＋11＝2sin2α－3sin α·cos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tanα＋11＋tan2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1.[点评] 已知tanα＝m.求sinα(或cosα)时，可结合平方关系sin2α＋cos2α＝1解方程组求解；求分子、分母都是sinα与cosα的同次(k次)表达式的值时，常用分子、分母同除以coskα化切求解，分母是1的用1＝sin2α＋cos2α代换，求sinα与cosα的整式表达式的值时，常利用sinα＝mcosα化为cos2α的表达式求解．题型二、化简例3、化简下列各式：(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°；(2)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.[分析] 由题目可获取以下主要信息：(1)中含有二次根式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．[解析] (1)原式＝cos10°－sin10°2sin10°－cos210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1. (2)方法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2αcos2α＋sin2α＝23.方法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－1＋2cos2αsin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2αsin2α]＝2cos2αsin2α3cos2αsin2α＝23. 方法三：原式＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin2αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23. 规律总结：(1)所谓化简，就是将表达式经过某种变形，从而使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．(2)第(2)题的三种方法虽然思路不同，但都是应用公式sin2α＋cos2α＝1，方法二和方法三都是顺用公式，而方法一则是逆用公式，三种方法中以方法一最简单．这里所谓逆用公式sin2α＋cos2α＝1，实质就是“1”的三角代换：“1＝sin2α＋cos2α”，“1＝tan π4”等等，“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用．练习2、已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.[解析] 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝1＋sin α2cos2α－1－sin α2cos2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴|cos α|＝－cos α.原式＝2sin α－cos α＝－2tan α，故1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α.题型三、证明例4、求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. [分析] 此等式左、右两边繁简程度差不多，故可考虑从左向右证，也可考虑从右向左证，平方展开，化简，再因式分解．[证明] 证法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝(1－2sin α＋sin2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos2α ＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos2α ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边． ∴原式成立．证法二：右边－左边＝(1－sin α)2＋cos2α＋2cos α(1－sin α)－2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α)2＋(1－sin2α)＋2(1－sin α)[cos α－(1＋cos α)] ＝(1－sin α)2＋(1－sin α)(1＋sin α)－2(1－sin α) ＝(1－sin α)[(1－sin α)＋(1＋sin α)－2]＝0. ∴左边＝右边．∴原式成立．证法三：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，则⎩⎨⎧sin α＝1－x ，cos α＝y.由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x －1)2＋y2＝1， 即x2＋y2＝2x ，∴左边＝2x(1＋y)＝2x ＋2xy ＝x2＋y2＋2xy ＝(x ＋y)2＝右边． ∴原式成立．[点评] 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右归一．常用技巧：“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想． 练习3、证明下列三角恒等式： (1)tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α； (2)2sinxcosxsinx ＋cosx －1sinx －cosx ＋1＝1＋cosx sinx.[分析] (1)“切”化“弦”；(2)左边入手，利用平方差公式．[证明](1)左边＝sin2αcos αsin αcos α－sin α＝sin2αsin α－sin αcos α＝1－cos2αsin α1－cos α＝1＋cos αsin α＝1sin α＋cos αsin α＝1sin α＋1tan α＝tan α＋sin αtan αsin α＝右边，所以原等式成立．(2)左边＝2sinxcosx [sinx ＋cosx －1][sinx －cosx －1]＝2sinxcosx sin2x －cosx －12＝sinx1－cosx＝sinx 1＋cosx1－cos2x＝1＋cosx sinx ＝右边，所以原等式成立.（四）归纳小结（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此22sin cos 1αβ+≠，sin tan cos βαγ≠……． （2）诸如sin tan cos ααα=，tan cot 1αα⋅=，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．（五）随堂检测1. 若sin θ>0，化简：sin θ1－cos θ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ解 ∵tan θ－sin θtan θ＋sin θ＝sin θcos θ－sin θsin θcos θ＋sin θ＝sin θ－sin θcos θsin θ＋sin θcos θ＝1－cos θ1＋cos θ＝ 1－cos θ21＋cos θ1－cos θ＝ 1－cos θ2sin2θ＝1－cos θsin θ∴原式＝sin θ1－cos θ·1－cos θsin θ＝1.2、已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值．[解析] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcosθ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝75.六、板书设计七、作业布置本课同步练习以及预习1.3.1 八、教学反思。

一、教学目标：1. 掌握同角三角函数的基本关系式.2. 会用基本关系式证明有关问题.3. 会由角的一个三角函数值求其他三角函数值.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、电子白板四、教学设想（一）、复习回顾：请学生集体回顾上节课利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数，三角函数线等知识的过程，让学生体会单位圆 在研究三角函数的内容和性质上起上到了很好的启发作用，为学生在下面的学习中打下铺垫。

（二）、提出问题是否存在同时满足下列三个条件的角α?（三）、探究新知 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.53sin )1(-=α135cos )2(-=α2tan )3(=α显然，当α的终边与坐标轴重合的时候，这个公式也是成立的。

根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.（四）、解决问题 解决开始提出的问题：是否存在同时满足下列三个条件的角α? （五）、理解“同角”的涵义1、 “同角”的概念包含两层意思：a.角是相同的，与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=α+α 2tan 2cos 2sinα=ααb.对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立。

1.2.2同角三角函数的基本关系教学目标：⒈理解同角三角函数的基本关系式，会用解方程组的通法求三角函数值；2.培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．3.通过对同角三角函数的基本关系式的学习，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。

教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用(求值、化简、恒等式证明)教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用。

要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习单位圆和三角函数线；三角函数定义和勾股定理教师提出问题，学生回答推出1cossin22=+αααααtancossin=这两个最基本的关系式。

.cos sin 1sin 1cos )sin 1)(sin 1(cos cos xxx x x x x x +=-∴+-=⋅∴奎小结1．理解同角的含义2．掌握公式及公式的变形3．灵活应用公式解决简单的求值、化简和证明。

4．本节课在思想方法上的收获师生共同完成关注学生的自主体验，总结反思本节课在知识、方法上的体验、收获。

作业层次一：课本P25 A 组层次二：课本P25 B 组巩固本节所学内容。

1.2.2《同角三角函数的基本关系》教案【教学目标】⒈掌握同角三角函数的基本关系式，三种基本关系式之间的联系；2 通过运用公式的训练过程，熟练掌握已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法，提高运用公式的灵活性；3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；【重点难点】教学重点：同角三角函数的基本关系式；教学难点：（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；（2）三角函数式的化简； （3）证明三角恒等式．【教学过程】一、导入新知（知识链接）首先我们来复习一下之前所讲的内容： 1、求任意角三角函数值的方法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+=x y r x r y y x r P y x ααααtan cos sin ,,P 22点与原点的距离）（，终边上任选一点终边定义法：任意角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====+=x y x y y x r P y x ααααtan cos sin 1,,P 22点与原点的距离）（点，终边与单位圆上交点单位圆定义法：任意角这节课我们来学习三者之间的关系：同角三角函数的基本关系，即sin α、cos α、tan α之间的关系。

二、探究新知 1、平方关系我们通过单位圆定义法来研究他们之间的关系1cos sin 1)(cos )(sin 212cos 1sin 11P 22222222=+=++⎩⎨⎧===+=+=αααααα简写为）得（）用（）（）（和即，到原点的距离单位圆定义法中点x y y x y x r所以我们就得到了同角三角函数第一个关系式——平方关系：1cos sin 22=+αα 这里要注意的是：①“同角”是角相同，与角的表达形式无关。

如：13cos 3sin 22=+αα也成立 ②α2sin 是()2sin α得简写，读作αsin 的平方，不能将α2sin 写成2sin α。

同时公式还可以变形为：αααα222cos 1sin cos -1sin -±=⇒= αααα222sin 1cos sin -1cos -±=⇒=注意：终边所在象限决定。

第5课时 §1.2.2 同角三角函数关系（1）【教学目标】一、知识与技能1.掌握同角三角函数的基本关系，已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。

2.理解并掌握同角三角函数的基本关系及简单变形，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析和解决问题的能力。

3.通过学习，认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯。

二、过程与方法三、情感态度价值观教学重难点：正弦、余弦、正切线的概念及利用【教学过程】一、复习引入任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α=． 注意：α的取值范围二、新课：1. 根据这六个三角函数的定义，你能不能通过一些初等运算（加、减、乘、除、乘方等），找出一些同角三角函数之间的关系？2. 公式推导：（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．（2）商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα=．（3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=．说明：①注意 “同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α=， 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。

三、例题分析：例1、已知54sin =α，并且α是第二象限角，求αααcot ,tan ,cos 的值。

1.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析1、教材的地位和作用：《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容，本节内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。

同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

2、教学目标根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。

B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3、教学重点和难点根据《课程标准》，我将本节课的教学重点确立为：重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。

教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为：难点：1）对于“同角”的理解；2）角α3二、教学流程本节的教学流程由以下几个环节构成三：教学设计：四、教法分析在前节课的学习中，学生已经理解了任意角三角函数的定义，并且从图像与公式上应该有所发现，这节内容则是对他们直观感觉上的理解进行系统的研究，在这节课上我主要采用了以下的教法：(1)“引导—探究式”教学方法。

在引入公式方面，我通过几个特殊角三角函数值之间的关系，引导学生逐步猜想出公式，进而形成认识。

再从理论出发，结合图像与定义，证明两个公式的正确性，培养了学生观察——猜想——证明的科学分析方法。

同角三角函数的基本关系（第一课时）一、教学目标1. 能够根据三角函数的定义及三角函数线导出同角三角函数的关系；2. 掌握同角三角函数基本关系的常见变形，能够运用同角三角函数的基本关系求值。

二、教学重点难点教学重点：同角三角函数的基本关系公式的推导及应用教学难点：“同角”的理解及公式的运用三、教法学法分析1. 教法分析：采取诱思探究性教学法，在教学中提出问题，创设情境引导学生主动观察、思考、类比、分析、证明、总结，让学生在主动探究中汲取知识。

2. 学法分析：从学生原来的知识和能力出发，在教师的带领下通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。

数学学习必须重视概念、原理、公式、法则的形成过程。

四、教学过程1. 复习旧知识，探究新知设计目的：通过复习三角函数的定义和三角函数线引导学生发现同角三角函数的基本关系。

教师提出问题：（1）我们前面学习了任意角的三角函数，我们是如何定义的？（2）我们如何利用单位圆找到三角函数线？学生：齐声回答教师：在学生回答的同时，利用课间展示三角函数的定义和三角函数线。

并追问在Rt △OMP 中正弦线MP ，余弦线OM 和斜边OP 满足什么样的关系？ 学生：开始思考。

并回答：MP ²+OM ²=OP ²=1教师：我们知道sina=MP ，cosa=OM ，于是有sin ²a+cos ²a=1（教师注意解释sin ²a=（sina ）²）。

然后提问，如果我们把sina=y ，cosa=x 代入tana=xy 中得到什么？学生：tana=cosasina 。

2. 直观感受，理性分析设计目的：让学生对公式有直观的感受，再进行理性的分析，加强学生对公式的同角的理解以及常见变形的掌握。

教师提问：对于上述两个公式我们先来直观感受一下。

教师用几何画板展示，让学生从数据上进行直观感受公式是成立的，然后教师提问这两个公式对于任意角都是成立的吗？学生开始思考：并回答平方关系对于任意角a 都成立，商除关系中a 不能等于k π+π/2。

第一章 三角函数 4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法． 2.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

1.2.2 同角三角函数的基本关系（教案）一、教学目标：1.知识与能力理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2.过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式.3.情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．五、教学过程：【探究引入】思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此你能得到什么结论？分析：221MP OM+=22sin cos1αα+=.思考2：上述关系反映了角α方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有tan(0)yxxα=≠，由此可得sinα、cosα、tanα之间满足什么关系？分析：sintancosααα=.思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？分析：()2a k k Zππ≠+∈.【讲授新课】1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系：22sin cos1αα+=；（2）商数关系：sintancosααα=，()2a k k Zππ≠+∈.Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立：①()22sin cos1;αβαβ+=≠②22sin cos122αα+=；③sin2tan2.cos2ααα=Ⅱ、说明：①注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.②2sinα是()2sinα的简写，读作“sinα的平方”，不能写成“2sinα或sin2α”.③ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如： 22sin 1cos αα=-，cos α=， ()212sin cos sin cos αααα±⋅=±sin cos tan ααα=， s i n c o s t a n ααα=⋅. 2、典型例题题型一、化简例1. 化简下列各式: (1) 2422sin cos sin cos ββββ++; (2 ) 222cos 112sin αα--. 分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”；（2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招.解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=（2）原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药.变式训练：化简下列各式: (1) ()221tan cos αα+⋅ (2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-. 答案：（1）1； （2）sin cos αα-.题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”）例2．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα． （2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα． 分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论.解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=， 又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 s i n 12t a n c o s 5ααα==-． （2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=， 又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限. ① 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-； ② 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==． 【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练：《中》191P -变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则s i n α等于( D ) A. 15 B. 15- C. 513 D. 513-六、板书设计1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系.（2）商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练：3、题型二、知一求二例2．变式训练：七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值：①知一求二；②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。

同角三角函数的基本关系教材分析:《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容，本节内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。

同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

教学目标：教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及在解决一类三角求值方面的应用教学难点：基本关系式的选取及学生思维灵活性的培养上教学方法：指导讨论、讲练结合等学情分析：这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式: sin2a+co s2a=1及sina/cosa=ta na . ,并进行初步的应用.由于该节内容比较容易,所以,课堂上无论是关系式的探索还是例题、习题的解决都可以让学生独立完成,即由学生自己把要学的知识探索出来,并用以解决新的问题.必要时,教师可以在以下几点上加以强调:(1)"同角"二字的含义.(2)关系式的适用条件.(3)化简题最后结果的形式.(4)怎样优化解题过程.教学设计：一、创设情境教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角α的三个三角函数及正弦线、余弦线和正切线,你知道它们之间有什么联系吗?你能得出它们之间的直接关系吗?二．推导同角三角函数基本关系式1．引导学生写出任意角α的三个三角函数,并探索它们之间的关系。

在角α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离是r(r>0),则角α的三个三角函数值是:sina=y/r ;cosa=x/y; tana=y/x .2．引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去x,y,r),从而获取下述基本关系(1)平方关系: sin2a+cos2a=1.(2)商数关系: sina/cosa=tana .说明:①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时,部分学生可能会利用三角函数线,借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论.对于这种推导方法,教师也应给以充分肯定,并进一步引导学生得出|si nα|+|cosα|≥1. ②除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出其它关系式，但最基本的还是(1)和(2),故为了减少大家的记忆负担,只须记住(1)和(2)即可.以上关系式均为同角三角函数的基本关系式.教师启发:(1)对"同角"二字,大家是怎样理解的?(2)这两个基本关系式中的角α有没有范围限制?(3)自然界的万物都有着千丝万缕的联系,大家只要养成善于观察的习惯,也许每天都会有新的发现.刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢?3．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: sin2a+cos2a=1.(2)商数关系: sina/cosa=tana .4. 变式sin2a=1- cos2acos2a=1- sin2asina= cosa tana5．应用举例例1:已知sin a=4/5且a是第二象限的角，求角a的余弦值和正切值．先由学生独立思考后，由一学生起来回答其解题思路，教师板书配合，培养学生解题规范的习惯。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系教案 新人教A 版必修4【教学目标】1、 掌握同角三角函数的基本关系式.2、 能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式【教学重点】三角函数式的化简或证明【教学难点】同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用【教学过程】 （一）知识回顾1．若角α在第三象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线． 2．在角α的终边上取一点P （3，4），请分别写出角α的正弦、余弦和正切值．并计算sin2α+cos 2α和ααcos sin 的值。

3．请分别计算下列各式：（1）22(cos30)(sin30)_______.︒+︒= （2）22(sin30)(cos60)______.︒+︒= （3）tan 60_______.︒=（4）sin 60______.cos 60︒=︒（二）新知学习由上可知：同角三角函数的基本关系式及公式成立的条件：① 平方关系：（语言表述）（式子表述）② 商数关系：（语言表述）（式子表述）<思考> 对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值？ （三） 应用示例 例1 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,求cos α,tan α的值.变式练习 已知cos α=54-,且α为第三象限角，求sin α,tan α的值。

例2 已知cos α=178-,求sin α,tan α的值.变式练习 已知sin α=53-,求cos α,tan α的值.例3、求证:.cos sin 1sin 1cos xxx x +=-变式练习 求证：例4、化简（1） 100sin 12- （2） 10cos 10sin 21- （3）(1+tan 2α)cos 2α;αααα2244cos sin cos sin )1(-=-1cos cos sin sin )2(2224=++αααα变式练习 化简（1（2 （3）αα222-11-2sin cos、要注意sina+cosa,sinacosa,sina-cosa 三个量之间有联系： (sina+cosa)2= 1+2sinacosa; (sina —cosa)2= 1—2sin acosa 知“一”求“二”（四）课外探究（五）归纳小结θθθθθθθθπθθθsin cos 4cos sin 3cos sin 2cos sin 1021cos sin .64433-++⋅∈=+）（）（）（）（），求值：，（，已知例.012k 6x 3cos sin 2的值求实数的两根，是方程、已知k k x =+++αα(1)已知角的某一三角函数值,求它的其它三角函数值;(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.。

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2.2同角的三角函数的基本关系一、教学目标:⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用:（1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；(2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式。

三、学法与教学用具利用三角函数线的定义， 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值，化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具：圆规、三角板、投影 四、教学过程【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图：以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =。

同角的三角函数基本关系【教学目标】知识目标1．理解同角的三角函数的基本关系2．掌握同角的三角函数的基本关系的推导方法3．会利用同角的三角函数的基本关系的求值化简与证明能力目标1．通过推导同角的三角函数的基本关系，体会数形结合的思想方法2．通过应用同角的三角函数的基本关系，体会转化与化归的思想方法【教学重难点】【教学过程】一、新课引入三角函数是以单位圆上的点的坐标来定义的，你能从单位圆的几何性质出发，探究同一个角的不同三角函数的关系吗？ 二、同角的三角函数的基本关系1．平方关系： 1cos sin 22=+αα 2．商数关系：αααcos sin tan =三、同角的三角函数的基本关系的应用1．应用之一：求三角函数值 的值求已知例αααtan ,cos ,53sin :1-= 的值求已知变式αααtan ,sin ,53cos := 径求三角函数值的思维路归纳:αααααtan ,2cos sin cos 2sin :2求已知例=-+ αααααcos sin cos 2sin ,3tan :-+=求已知变式2．应用之二：化简三角函数式ααααcos sin ,21cos sin :3⋅=+求已知例 ααααcos sin cos sin :1⋅+表示用变式 αααααααcos sin 21cos sin 21,cos sin cos :2⋅-+⋅+<<-化简若变式三角恒等式的证明应用之三::3 αααα2tan 1tan cos sin ::4+=⋅求证例 归纳：等式证明的思维路径（1）变化等式的一边，直至与另一边相等 （2）等式的两边分别变化，都等于第三式 （3）证明与原等式等价的等式成立xx x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 21::522-+=-+求证例四、引导学生探究同角的三角函数的基本关系的其它形式αααcos sin ,2tan :6⋅=求已知例αααtan 21cos sin :1求已知变式=⋅ ααααααcos sin ,2cos sin cos 2sin :2⋅=-+求已知变式 αππαααtan ,,2,51cos sin :3求已知变式⎪⎭⎫⎝⎛∈=+ 小结关系的推导同角的三角函数的基本:1 关系同角的三角函数的基本:21cos sin 22=+αααααcos sin tan =关系应用同角的三角函数的基本:3sin 1cos 22=+αααααcos sin tan =源泉“问渠哪得清如许,唯有源头活水来”（1）求值(先定象限，后定值)(1):重视对“1”变形(2):弦切互化（2）化简（3）证明。