中考总复习2(实数的运算及科学计数法)

中考总复习：实数—知识讲解 （基础）【考纲要求】 1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类 1.按定义分类：2.按性质符号分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数； （4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数； ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数nm24ππ、3256、、，⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ,a a =0a ≥；-,a a =0a ≤；-a b (0)a a ≠a1（2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数. 4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0a>b ；a-b=0a=b ；a-b<0a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2a>b ； 或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法1a b ⇔⋅=a ±a ⇔⇔⇔⇔b a >⇔417-154-（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).pp a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ³10（其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ³10，其中1≤＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ³10，其中1≤＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是，则a 的倒数是_______． （2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=______．（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02³107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知： （3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三：nn na n a 15-2()a b ＋0ab20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<∴+=+=-+=--，，，，【变式】据市旅游局统计，今年“五²一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55³106B ．8.55³107C ．8.55³108D ．8.55³109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、、.【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【高清课程名称： 实数 高清ID 号： 369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】 【变式】在中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】都是有理数； 都是无理数.3．（2015•梅州）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与解析】 解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【高清课程名称：实数 高清ID 号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】2273π()029()27--83π8,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 03.14,4,(32),-,45tan ,712,51-13.0%,3 π8,,cos30,2- 0.1010010001,【变式1】计算：（2015•甘南州）计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【变式2】计算： 【答案】设n=2001，则原式=（把n 2+3n 看作一个整体）= =n 2+3n+1=n(n+3)+1 =2001³2004+1 =4010005.类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）与 （2）a 与（a ≠0） 【答案与解析】（1），，而与可以很容易进行比较得到：，所以； （2）当a<-1或O<a<1时，a<； 当-1<a<0或a>1时，a>；当a=时，a=.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；12004200320022001+⨯⨯⨯1)3)(2)(1(++++n n n n 1)23)(3(22++++=n n n n 1)3(2)3(222++++n n n n 417-154-a111740174-=>+14150415-=>+174+415+1744150+>+>174415-<-a 1a11±a1（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小： （1）和 （2）和【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，，，， 所以. （2）因为，所以.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】. 【解析】，即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0， ∴，(y-3)2=0， ∴ x=， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=.a1817-511-52+23+1785840=1188540=171185<171185->-()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+，4048<2532+<+234690x y y ++-+=14234690x y y ++-+=234(3)0x y ++-=340x +=43-43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102的值. 【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，（2）因为OA 1=，OA 2=，OA 3=…，所以OA 10= （3）S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102= ==. 【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．()()()2122231112,22213,23314,2S S S +==+==+==S 1S 2S 3S 4S 5OA 1A 2A 3A 4A 5A 611111()2,112n S n n n =+=+123102222)210()23()22()21(++++ )10321(41++++ 4559【答案】2（512）.。

中考总复习：实数—知识讲解 （基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n ≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释： 若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔； 或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).p p a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】 类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简2()a b ＋=______．0a b（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107亩.【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<+=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、()02、3.14159、-9、()27--、8中无理数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π、8. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,4,(32),-,45tan ,712,51-13.0%,3 都是有理数； π8,,cos30,2-0.1010010001,都是无理数. 3．计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0． 【答案与解析】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【变式1】计算：计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3． 【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n=n 2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005. 类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a 1（a ≠0） 【答案与解析】（11740174=>+，4150415=>+，174+与415+1744150>+>， 174415-<-（2）当a<-1或O<a<1时，a<a1； 当-1<a<0或a>1时，a>a1； 【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小： （1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 1785840= ，1188540=， 171185<， 所以171185->-. （2）()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+，因为4048<，所以2532+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，234690x y y ++-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14. 【解析】234690x y y ++-+=，即234(3)0x y ++-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，∴340x +=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯. 【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题21222312,213,214,2SSS+==+==+==1A2AA（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112nSnn n=+=+（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，所以OA10=10（3）S12+ S22+ S32+…+ S102=2222)210()23()22()21(++++=)10321(41++++=455.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.。

中考实数的运算定理知识点第1篇：中考数学知识点：实数的运算定理新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是中考数学知识点：实数的运算定理，仅供参考！实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。

(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的未完，继续阅读 >第2篇：中考实数的运算定理知识点实数概念与实数理论是现代数学的基石。

实数的运算定理是什么呢？本文是小编整理中考实数的运算定理知识点的资料，仅供参考。

1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

中考必考实数知识点总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

有理数是指可以用分数表示的数，而无理数则是指不能用分数表示的数。

这两种数的集合统称为实数集。

在实数集中，有理数和无理数的性质有所不同。

有理数具有如下性质：有理数的加法、减法、乘法、除法运算封闭；有理数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律；有理数有加法和乘法单位元；有理数的加法有逆元。

而无理数则没有这些性质，它们通常以无限循环小数或者无限不循环小数的形式表示，例如π、√2等。

实数集是一个非常大的集合，其中包含了所有的数，因此实数的概念是数学中的一个基本概念。

二、实数的性质1. 实数的大小比较实数有着天然的大小比较关系，可以通过大小比较运算符来进行比较。

实数的大小比较主要是通过大小关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）来进行。

对于任意的实数a和b，有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a（2）反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b（3）传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c这些性质在实数的大小比较中起着重要的作用，为我们提供了判断实数大小关系的依据。

2. 实数的运算性质实数的运算性质主要包括加法、减法、乘法、除法的性质。

实数的加法和乘法满足交换律、结合律、分配律，实数的除法有着特殊的性质。

（1）加法交换律：对于任意的实数a和b，有a + b = b + a（2）加法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)（3）乘法交换律：对于任意的实数a和b，有a * b = b * a（4）乘法结合律：对于任意的实数a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)（5）分配律：对于任意的实数a、b和c，有a*(b+c) = a*b + a*c（6）实数的除法：对于任意的实数a和b，如果b≠0，则存在唯一的实数c，使得a = b * c实数的运算性质是我们进行实数运算的基础，了解这些性质有利于我们掌握实数的运算规则，从而正确进行实数的运算。

新人教版初中数学[中考总复习：实数--知识点整理及重点题型梳理](基础)新人教版初中数学中考总复重难点突破实数—知识讲解（基础）考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.知识网络】考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数。

2.按性质符号分类：正整数、正有理数、正实数、正分数、正无理数、零、负整数、负有理数、负实数、负分数、负无理数。

要点诠释：有理数是指整数和分数的总称，而无理数是指无限不循环小数。

实数则是有理数和无理数的总称。

常见的无理数有以下几种形式：1）字母型：如π是无理数，而不是分数；2）构造型：如2.xxxxxxxx…（每两个1之间依次多一个）就是一个无限不循环的小数；3）根式型：2、5、…都是一些开方开不尽的数；4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等。

考点二、实数的相关概念1.相反数1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，如3和-3互为相反数；2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；3)互为相反数的两个数之和等于0，即a+b=0.2.绝对值1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；2)可用式子表示为：|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)。

2.减法a-b=a+（-b）；3.乘法同号两数相乘，积为正；异号两数相乘，积为负；4.除法a÷b=a（1÷b）（b0）.要点诠释：实数的四则运算：1）加法的运算规律：交换律、结合律、存在零元素、存在相反元素；2）减法的运算规律：a-b=a+（-b）；3）乘法的运算规律：交换律、结合律、存在单位元素1、存在相反元素；4）除法的运算规律：a÷b=a（1÷b）（b0）.本文介绍了数学中加减乘除、乘方开方等基本运算及其运算律。

中考总复习：实数—知识讲解 （基础）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类： ⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：3256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释： 若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔； 或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).p p a a a a a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简2()a b ＋=______． 0a b（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107亩.【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<∴+=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、()02、3.14159、-9、()27--、8中无理数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π、8. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【高清课程名称： 实数 高清ID 号： 369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数? 【答案】03.14,4,(32),-,45tan ,712,51-13.0%,3 都是有理数； π8,,cos30,2-0.1010010001,都是无理数.3．计算：计算：|2|)3()21()1(022001－－－－⨯+． 【答案与解析】2001201(1)()(3)|2|214121+⨯=-+⨯-=－－－－ 【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【高清课程名称：实数 高清ID 号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】【变式1】计算：.45sin 8)14.3π()3(2022 --+---- 【答案】174－； 【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体） =1)3(2)3(222++++n n n n=n 2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a 1（a ≠0） 【答案与解析】（1）11740174-=>+，14150415-=>+， 而174+与415+可以很容易进行比较得到：1744150+>+>， 所以174415-<-；（2）当a<-1或O<a<1时，a<a1； 当-1<a<0或a>1时，a>a1； 当a=1±时，a=a1.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小. 举一反三：【变式】比较下列每组数的大小：（1）817-和511- （2）52+和23+ 【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，1785840= ，1188540=， 171185<， 所以171185->-. （2）()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+， 因为4048<， 所以2532+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，234690x y y ++-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______. 【答案】14. 【解析】234690x y y ++-+=，即234(3)0x y ++-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0， ∴340x +=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯. 【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题()()()2122231112,22213,23314,2S S S +==+==+== S 1S 2S 3S 4S 5OA 1A 2A 3A 4A 5A 611111 （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112n S n n n =+=+ （2）因为OA 1=1，OA 2=2，OA 3=3…， 所以OA 10=10（3）S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102 =2222)210()23()22()21(++++ =)10321(41++++=455. 【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力. 举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.。

中考总复习：实数—知识讲解 （基础）责编：常春芳【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：3256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释： 若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.。

慧德教育中考数学专题一——实数的概念与运算一，中考情况考察:实数的运算，是每年中考的必考内容之一，考察的知识点主要是实数的计算问题，也有对实数的基本概念的考察。

例如：数轴、相反数、绝对值、倒数的性质，科学计数法的表示。

总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

也有少量的解答题。

解答题主要以运算和探索数、式规律为主。

近几年，探索类问题越来越多，对思维的考察已经超过了运算本身。

二，问题实质：1，把握住与实数相关的基本概念和性质，例如互为相反数的两数的关系，互为倒数的两数的关系，绝对值的求值和特点，实数与数轴的关系，科学记数法的表示方法；实数的分类方法，实数的大小比较方法。

2，对于数的运算问题，首先要明白运算的意义和法则，在解题时候要根据题目提供的数据特征，利用举特例、列图表等方式进行纵向和横向的比较，找出数据产生的共性，选择合理的数与式来表示。

3，对于以计算问主的应用体，要理清数量之间的关系，尤其要注意挖掘隐含条件，列出合理算式。

三，难点突破：难点一：实数的基本概念1，“—”的三种主要意义（1）性质符号，写在一个数字前面，表示这个数字是负数。

（2）相反数符号：表示一个数的相反数的时候，我们就在其前面加上“—”若原数为负数，那么应该添加括号。

若是字母，则直接添加负号。

（3）运算符号：用“—”表示减号。

2，数轴的概念数轴体现了最原始最简单的数形结合方法。

其三要素为：原点、方向、单位长度。

画数轴一定要注意单位长度保持一致。

3，相反数、倒数、绝对值概念。

（1）只有符号不同的两个数叫互为相反数。

若a,b两数互为相反数，那么a+b=0.（2）若两数乘积为1，则这两数叫做互为倒数。

若a,b(ab不为0)两个数互为倒数，则ab=1. （3）绝对值表示点到原点的距离，距离计算必大于0。

4，数轴与其他概念的关系在数轴上表示一对相反数（除原点外）的两个点同时具备两个条件：（1）到原点的距离相等，（2）分别位于原点的左右两侧。

中考总复习：实数—知识讲解 （基础）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类 1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如nm（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：3256、、，…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 要点诠释：若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔；或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).pp a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简2()a b ＋=______．0ab（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<∴+=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、()02、3.14159、-9、()27--、8中无理数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π、8. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【高清课程名称： 实数 高清ID 号： 369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】 【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30ο--,45tan ο,712,1010010001.0Λ,51-13.0%,3&&中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,4,(32),-,45tan ο,712,51-13.0%,3&&都是有理数；π8,,cos30,2-o 0.1010010001,L 都是无理数.3．（2015•梅州）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与解析】 解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【高清课程名称：实数 高清ID 号：369214 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】 【变式1】计算：（2015•甘南州）计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯ 【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n =n 2+3n+1=n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005.类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a1（a ≠0） 【答案与解析】（1）11740174-=>+，14150415-=>+，而174+与415+可以很容易进行比较得到：1744150+>+>，所以174415-<-； （2）当a<-1或O<a<1时，a<a 1； 当-1<a<0或a>1时，a>a1；当a=1±时，a=a1.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小： （1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，1785840= ，1188540=， 171185<，所以171185->-.（2）()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+，因为4048<，所以2532+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，234690x y y ++-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14. 【解析】234690x y y ++-+=，即234(3)0x y ++-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，∴340x +=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯. 【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题()()()2122231112,22213,23314,2S S S +==+==+==L LS 1S 2S 3S 4S 5OA 1A2A 3A 4A 5A 611111（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102的值. 【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112n S n n n =+=+ （2）因为OA 1=1，OA 2=2，OA 3=3…，所以OA 10=10 （3）S 12+ S 22+ S 32+…+ S 102=2222)210()23()22()21(++++Λ =)10321(41++++Λ=455. 【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.。

2024中考数学知识点总结一、数的运算1. 自然数、整数、有理数、实数和复数的概念及表示方法2. 整数的加减乘除运算，以及乘方运算3. 有理数的加减乘除运算，以及乘方运算4. 实数的加减乘除运算，以及乘方运算5. 分数的加减乘除运算6. 科学计数法及其运算7. 百分数及其运算二、数的性质1. 绝对值的概念及性质2. 有理数大小的比较3. 数的相反数和倒数的概念及性质三、代数式与方程式1. 代数式的概念及基本性质2. 同类项与合并同类项3. 多项式的加减运算与乘法公式4. 分式的基本概念及简化5. 一次方程与一元一次方程组6. 二次根式的概念与四则运算7. 定比分点的概念与性质四、函数与图像1. 函数的概念及图像的性质2. 一次函数的性质及图像3. 探究一次函数的变化规律4. 二次函数的性质及图像5. 探索二次函数的变化规律6. 指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数的性质及图像五、约束关系与不等式1. 约束条件的概念及表示2. 简单约束条件下的最值问题3. 一次不等式的性质及解法4. 一元一次不等式组的性质及解法5. 一次不等式组的应用6. 二次不等式的性质及解法7. 二次不等式组的应用六、空间与图形1. 空间图形的投影和视图2. 立体图形的表面积和体积3. 平面图形的性质及计算4. 圆的性质及计算七、数据与统计1. 数据的收集、整理、分析和表示2. 平均数、中位数、众数的概念及计算3. 概率的概念及计算4. 报表的制作和解读以上是2024中考数学知识点的总结，希望对你的学习有所帮助。