高中数学：第二章 平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力.【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向． ㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。

2.1平面向量的实质背景及基本观点向量的物理背景与观点向量的几何表示相等向量与共向量学目： 1. 理解向量的有关观点及向量的几何表示．( 要点 )2. 理解共向量、相等向量的观点． ( 点 )3. 正确划分向量平行与直平行．(易混点 )[自主·探新知]1．向量与数目(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数目：只有大小，没有方向的量称数目．2．向量的几何表示(1)有方向的段叫做有向段．它包括三个因素：起点、方向、度．→→→(2) 向量能够用有向段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的度(或称模)，作| AB |. 向量也能够用字母a， b， c，⋯表示，或用表示向量的有向段的起点和点字母表示，→→比如， AB，CD.思虑： (1) 向量能够比大小？(2)有向段就是向量？[ 提示 ] (1) 向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．(2)有向段不过表示向量的一个形工具，它不是向量．3．向量的有关观点零向量度 0 的向量，作 0位向量度等于 1 个位的向量方向同样或相反的非零向量平行向量向量 a， b 平行，作( 共向量 )定：零向量与任一直量平行度相等且方向同样的向量相等向量向量 a 与 b 相等，作 a＝ b[ 基自 ]1．思虑辨析(1)零向量没有方向． ()(2)→→)向量 AB的长度和向量BA的模相等．((3)单位向量都平行． ()(4)零向量与随意愿量都平行． ()[ 分析 ] (1) 错误．零向量的方向是随意的．(2) 正确． (3) 错误．单位向量的方向不一定同样或相反，因此不必定平行．(4) 正确．[答案] (1) ×(2) √(3) ×(4) √2．有以下物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．此中能够当作是向量的有()A．1个B．2 个C．3个D．4 个B [ ①②③不是向量，④⑤是向量．]3．如图 2-1-1 ，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________( 填序号 ) ．图 2-1-1→→→→(1)AD与 BC；(2) OB与 OD；→→→ →(3)AC与 BD；(4) AO与 OC.(1)(4)[ 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：→→→→AD＝ BC，OB≠ OD→→→→AC≠ BD，AO＝ OC.][合作研究·攻重难]向量的有关观点判断以下命题能否正确，请说明原因：(1)若向量 a 与 b 同向，且| a|>| b|，则 a>b；(2)若向量 | a| ＝ | b| ，则a与b的长度相等且方向同样或相反；(3) 关于随意愿量 || ＝ |b | ，若a与b的方向同样，则＝；a a b(4)因为 0 方向不确立，故 0 不与随意愿量平行；(5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向同样或相反．[ 思路研究 ]解答此题应依据向量的有关观点，注意愿量的大小、方向两个因素．[ 解 ] (1) 不正确．因为向量由两个因向来确立，即大小和方向，因此两个向量不可以比较大小．(2)不正确．由 | a| ＝ | b| 只好判断两向量长度相等，不可以确立它们的方向关系．(3) 正确．因为 || ＝ || ，且a 与b同向，由两向量相等的条件，可得＝ .a b a b(4)不正确．依照规定： 0 与随意愿量平行．(5)不正确．因为向量 a 与向量 b 如有一个是零向量，则其方向不定．[ 规律方法 ] 1. 理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是随意的，全部的零向量都相等．(2)单位向量不必定相等，易忽视向量的方向．2．共线向量与平行向量．(1)平行向量也称为共线向量，两个观点没有差别；(2)共线向量所在直线能够平行，与平面几何中的共线不一样；(3)平行向量能够共线，与平面几何中的直线平行不一样．提示：解决与向量观点有关题目的要点是突出向量的中心——方向和长度．[ 追踪训练 ]1．给出以下命题：①若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c.②若单位向量的起点同样，则终点同样．③起点不一样，但方向同样且模相等的几个向量是相等向量；→→④向量 AB与 CD是共线向量，则A， B，C， D四点必在同向来线上．此中正确命题的序号是________．③[ ①错误．若b＝ 0，则①不建立；②错误．起点同样的单位向量，终点未必同样；③正确．关于一个向量只需不改变其大小和方向，是能够随意挪动的．→→④错误．共线向量即平行向量，只需求方向同样或相反即可．其实不要求两个向量 AB，CD一定在同向来线上． ]向量的表示及应用(1)如图2-1-2 ，B，C是线段AD的三平分点，分别以图中各点为起点和终点，能够写出 ________个向量．图 2-1-2(2)在如图 2-1-3 所示的坐标纸上 ( 每个小方格边长为 1) ，用直尺和圆规画出以下向量：图 2-1-3①→→2，点A在点O北偏东 45°；OA，使|OA|＝4②→→B 在点A正东；，使 || ＝4，点AB AB→→③ BC，使|BC|＝6，点 C在点 B 北偏东30°.【导学号： 84352172】→→→→→→(1) 12 [(1)能够写出12 个向量，分别是：AB， AC， AD， BC， BD，CD，→→→→→→BA， CA，DA， CB，DB， DC(2) ①因为点A在点 O北偏东45°处，因此在座标纸上点 A 距点 O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又→2，小方格边长为 1，因此点 A 距点 O的横向小方格数与纵向| OA| ＝4小方格数都为 4，于是点A地点能够确立，画出向量→OA如下图．②因为点B 在点A→| ＝ 4，因此在座标纸上点B距点A的横向小方格正东方向处，且 |AB数为 4，纵向小方格数为→0，于是点B地点能够确立，画出向量AB如下图．③因为点C 在点B北偏东 30°处，且 |→C距| ＝ 6，依照勾股定理可得：在座标纸上点BC点 B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为→3 3≈5.2 ，于是点C地点能够确立，画出向量BC如下图． ][ 规律方法 ] 1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确立向量的起点，再确立向量的方向，最后依据向量的长度确立向量的终点．(2) 字母表示法：为了便于运算可用字母a ，，c表示，为了联系平面几何中的图形性b→→→质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB， CD， EF等．2．两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量办理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[ 追踪训练 ]2．某人从A点出发向东走了 5 米抵达B点，而后改变方向按东北方向走了10 2米抵达C点，抵达 C点后又改变方向向西走了10 米抵达D点．→→→(1)作出向量 AB， BC， CD；→(2)求AD的模．→→→[ 解 ](1) 作出向量AB，BC，CD，如下图：(2)由题意得，△ BCD是直角三角形，此中∠ BDC＝90°， BC＝10 2 米，CD＝ 10 米，因此BD＝ 10 米．△ABD是直角三角形，此中∠ ABD＝90°， AB＝5米， BD＝10米，因此 AD＝52＋ 102＝5 5( 米) ，因此 |→5米 .| ＝ 5AD找寻相等向量和共线向量[ 研究问题 ]1．两个相等的非零向量的起点与终点能否都分别重合？提示：不必定．因为向量都是自由向量，只需大小相等，方向同样就是相等向量，与起点和终点地点没关．→→→→2．若AB∥CD，则从直线AB与直线CD的关系和AB与CD的方向关系两个方面考虑有哪些状况？提示：分四种状况→→(1)直线 AB和直线 CD重合， AB与CD同向；→→(2)直线 AB和直线 CD重合， AB与CD反向；→→(3)直线 AB∥直线 CD， AB与 CD同向；→→(4)直线 AB∥直线 CD， AB与 CD反向．如图 2-1-4 ，四边形为边长为 3 的正方形，把各边三平分后，共有16 个ABCD交点，从中选用两个交点作为向量的起点和终点，→2 2的向量有哪些？则与 AC平行且长度为( 在图中标出有关字母，写出这些向量)【导学号： 84352173】图 2-1-4[ 思路研究 ]所求向量有以下两个特点：(1) 表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合． (2) 长度是边长为 2 的正方形的对角线．→→→→→→→→→8[ 如下图，知足与AC平行且长度为 2 2的向量有AF，FA，EC，CE，GH，HG，IJ，JI 共8个．]→2的向量有几个？母题研究： 1. 本例中，与向量AC同向且长度为 2[ 解 ]→2 2的向量占与向量→2 2的向量中的一与向量 AC同向且长度为AC平行且长度为半，共 4 个．→2．本例中，如图2-1-5 ，与向量AO相等的向量有多少个？图 2-1-5[ 解 ] 图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量→方向同样的AO向量与其相等，共有8 个．[ 规律方法 ]相等向量与共线向量的研究方法(1)找寻相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确立哪些是同向共线．(2)找寻共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再结构同向与反向的向量，注意不要遗漏以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提示：与向量平行有关的问题中，不要忽视零向量．[当堂达标·固双基]1．以下结论正确的个数是( )(1) 温度含零上和零下温度，因此温度是向量； (2) 向量的模是一个正实数；(3) 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；(4) 若 | a |>| b | ，则 a >b .A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3B [(1) 错误．温度是数目不是向量；(2) 错误．零向量的模为0.(3) 正确．因为零向量与随意愿量共线； (4) 错误．向量不可以比较大小．]→ → → →)2．设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 AO ， BO ， OC ， OD 是(A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有同样起点的向量D ．模相等的向量→ → → →D [ 由正方形的性质知 | AO |＝ | BO | ＝ | OC |＝ | OD |.]3．在以下判断中，正确的选项是 ()①长度为 0 的向量都是零向量；②零向量的方向都是同样的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤随意愿量与零向量都共线. 【导学号： 84352174】A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤D [ 由定义知①正确， ②因为零向量的方向是随意的，故两个零向量的方向能否同样不确立，故不正确．明显③⑤正确，④不正确，应选D.]4．在以下命题中：①平行向量必定相等；②不相等的向量必定不平行；③共线向量一定相等； ④相等向量必定共线； ⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．④⑥[ 由向量的有关观点可知④⑥正确．]5．如图 2-1-6 所示菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 订交于 O 点， ∠DAB ＝60°， 分别以 A ，B ，C ，D ，O 中的不一样两点为始点与终点的向量中，图 2-1-6→(1)写出与 DA平行的向量；→(2)写出与 DA模相等的向量．[ 解 ]由题图可知，→→ → →→(1) 与DA平行的向量有：AD，BC，CB； (2)与DA模相等的向量有：→→→→→→ →→ →AD， BC，CB， AB，BA， DC， CD， BD， DB.。

2. 1平面向受的卖际背素及基本概念你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15〜32°C,东南风3〜4级.天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速.前者在选怎单位后，用一个实数就可以确切地表示：而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向.回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数疑T".类似地，我们可以对力、位務……这些捲进行抽象，形成一种新的量，即本盯知识——向量.1.概念(1) 向量：既有一大小_ ,又有一方向一的量叫做向量,如力、位移等.(2) 数量：只有大小，没有—方向—的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等.［知识点拨］向量与数量的区别：向董有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小.终点).4(起点)(3) 有向线段：带有一方向_的线段叫做有向线段.其方向是由」起点一指向一终点一，以A 为起点、B为终点的有向线段记作施(如图所示),线段亠—的长度也叫做有向线段而的长度，记作丽I.书写有向线段时，起点写在终点的前而，上而标上箭头.(4) 有向线段的三个要素：一起点一、一方向_ 、一长度•知道了有向线段的起点、方向、长度，它的—络点—就唯一确定.2. 向量的表示法(1) 几何表示：用一有向线段一表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向疑的大小就是向量的—坟度_(或称模)，如果向昼花的长度记作厢I •(2) 字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母万、了、…•还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.3. 有关概念［知识点拨］1 •理解向量概念应关注的三点(1) 本书所学向董是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.(2) 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量.2. 对平行向呈、相等向呈概念的理解(1) 平行向量是指方向相同或相反的非零向董，规定零向量与任意向董平行，即对任意的向董心都有0〃心这里注意槪念中提到的“非零向量”・(2) 对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向董，因为向量完全由它的方向和模确定的.(3) 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向董.1. 下列物理疑中不是向量的有(A )(1)质量(2)速度⑶力(4)加速度(5)路程(6)密度(7)功(8)电流强度A. 5 B・ 4C・3 D・2［解析］看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1) (5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量.2. 单位向量的长度等于(B )A. 0B・1D ・不确定3. 设O 是等边三角形ABC 的外心，则向虽:页，OB,竟是(D )A.相同起点的向量 B.平行向量C.相等向量D.模相等的向量［解析］如图，易知A 、B 、C 均错误；由題意得点O 到AAFC 的三个顶点的距离相等,：.\OA\=\OB\ = \CO\,故选 D.4.如图所示，四边形ABCD 为正方形，ABCE ■为等腰直角三角形,(1) 图中与鯨共线的向量有 炭、昂、匪、宜、应吕、甬： (2) 图中与鯨相等的向量有 匪、匪:⑶图中与鯨模相等的向量有 廃、豆、鬲、庭、融、易1_、莊一、毎険 :(4) 图中与荒相等的向量有丽•［解析］根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形.命题方向1 e 向呈相等' 向呈共线的概念 典例1给岀下列命题： ⑴平而向量的方向一立相同；(2) 向量的模一泄是正数：(3) 始点不同，但方向相同且模相等的向屋是相等向量：(4) 若向昼範与筋是共线向虽:，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上.英中正确的序号是(3).［思路分析］从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各 自的特例对命题的影响.［解析］(1)错误.两向量方向相同或相反都视为平行向量.(2)错误.101=0.(3)正确.对 于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.(4)错误.共线向量即平行向量, 只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量而，必须在同一直线上.故填(3).C. 2『规律总结』对于判斷命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.〔跟踪练习1〕给出下列几种说法：①若非零向虽a与〃共线，则a=b；②若向量a与&同向,且lal>0l,则a>/»；③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等：④若a//b, b//c,贝I］ a//c.其中错误的序号是①②③④一.［解析］①错误.共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等.②错误.向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小.③错误.两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同.④错误•当力=0时，则a与c就不一定平行了.命题方向2 *考查向呈相等或共线典例2如图所示，AABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC, AB, BC的中(1) 写出与丽共线的向量；(2) 写出与寿长度相等的向量：(3) 写出与丽相等的向量.［思路分析］(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可：(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可: (3) 相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位宜无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与丽的方向相同的向量.［解析］(1)VE, F分别是AC, AB的中点、：.EF"BC、.•.与乔共线的向量为袪，Sb. DB, DC, CD, BC, CB.(2)VE, F, D 分别是AC, AB, BC 的中点，:・EF=*BC, BD=DC=*BC, :.EF=BD=DC.TAB, BC, AC均不相等，•••与訂长度相等的向量为産，BD. DB. DC. CD.(3) 与寿相等的向量为丽，&)・〔跟踪练习2〕如图所示，点0为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB 都是正方形.在图中所示的向量中：(1) 分别写岀与花、岚相等的向量：(2) 写出与花共线的向虽:；(3) 写出与花的模相等的向量；(4) 向量花与竟是否相等？［解析］(\)AO=BF. BO=AE；(2) 与花共线的向量为：BF, CO, DE,(3) 而=1死1=说1=1希=1丽=1希=能1=1旋1；向呈的几何表示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确左方向，最后依据向量模的大小确左向量的终点.必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量.典例3 —辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50。