辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年辽宁省重点高中协作校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 2．（5分）命题P：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”．下列命题中正确的是（）A．命题P B．命题￢Q C．命题P∨Q D．命题￢P∧Q 3．（5分）若0＜a＜b，a+b=1，则a，，2ab中最大的数为（）A．a B．2ab C．D．无法确定4．（5分）对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1点曲线是椭圆”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要5．（5分）下列选项错误的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1=0；D．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，a8=a6+24，则a6的值是（）A．1B．2C．2D．47．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+ 8．（5分）已知抛物线y=x2，P是抛物线上一点，F为焦点，一个定点A（3，5），则|PA|+|PF|的最小值为（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知，分别为直线l1，l2点方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）则下列说法中：①∥⇔l1∥l2；②⊥⇔l1⊥l2；③∥⇔α∥β④⊥⇔α⊥β，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．（5分）已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F（0，3），直线4x+3y﹣13=0与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣312．（5分）函数y=点图象也是双曲线，请根据上述信息解决下列问题：若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为．14．（5分）已知四面体P﹣ABC，∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°，||=1，||=2，||=3，则|++|=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2xy+2y﹣8=0，则x+2y的最小值是．16．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，若S1=1，3S n2﹣2a n+1S n=a n+12，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和验算步骤）17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=6，S4=20（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），T n=b1+b2+，+b n（n∈N*），求T n．18．（12分）如图，已知正方形ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G，H分别是棱AB，CC′，AA′，C′D′的中点．（1）求证：EF∥平面GHD；（2）求直线EF与BD′所成的角．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=﹣3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．20．（12分）如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：AC⊥AB；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．21．（12分）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．（1）已知动点P为圆O：x2+y2=r2外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB．A、B为切点，若=0，求动点P的轨迹方程；（2）若动点Q为椭圆M：外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD．C、D为切点，若=0，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方程．22．（12分）已知抛物线C2：x2=2py（p＞0）的通径长为4，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过抛物线C2的焦点．（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（﹣1，）引直线l交抛物线C2于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1，l2，且l1与椭圆C1相交于P，Q两点．记此时两切线l1，l2的交点为点C．①求点C的轨迹方程；②设点D（0，），求△DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标．2017-2018学年辽宁省重点高中协作校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）下列说法中正确的有（）（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（2）“”是“”的充分不必要条件；（3）若为假命题，则、均为假命题；（4）对于命题则A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （1分） (2018高一上·滁州期中) 若函数满足关系式，则（）A .B .C .D .3. （1分） (2019高二上·浙江期末) 若为实数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （1分） (2019高三上·宁波期末) 在空间直角坐标系中，为坐标原点，满足，则下列结论中不正确的是（）A . 的最小值为-6B . 的最大值为10C . 最大值为D . 最小值为16. （1分） (2016高二下·咸阳期末) 一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X 的均值为（）A . 60B . 70C . 80D . 907. （1分）已知 x、y 为正实数，且，则的最小值是（）A . 4B . 8C . 12D . 168. （1分）从的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为（）A .B .C .D .9. （1分） (2017高三上·唐山期末) 设实数满足约束条件，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高二上·红桥期末) 已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（）A .B .C .D .11. （1分）(2016·铜仁) 正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面夹角的余弦值是（）A .B .C .D .12. （1分） (2017高三上·四川月考) 已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE 内部的概率是________14. （1分）某学校有学生4 022人．为调查学生对2012年伦敦奥运会的了解状况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是________．15. （1分）(2017·襄阳模拟) 以下四个命题：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为；②设a、b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件；③函数f（x）= ﹣（）x的零点个数为1；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∀n∈N，3n≤n2+1．其中真命题的序号为________．16. （1分） (2018高二上·江苏月考) 方程表示双曲线，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分）(2020·丽江模拟) 设、为曲线上两点，与的横坐标之和为 .（1）求直线的斜率；（2）设弦的中点为，过点、分别作抛物线的切线，则两切线的交点为，过点作直线，交抛物线于、两点，连接、 .证明： .18. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) 为了解学生身高情况，某校以的比例对全校1000名学生按性别进行分层抽样调查，已知男女比例为，测得男生身高情况的频率分布直方图（如图所示）：（1）计算所抽取的男生人数，并估计男生身高的中位数（保留两位小数）；（2）从样本中身高在之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在之间的概率．19. （2分） (2017高二下·南阳期末) 设函数（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．20. （2分） (2019高二上·内蒙古月考) 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y86542（参考公式：）已知和具有线性相关关系．（1）求关于的线性回归方程；（2）若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．21. （2分）(2017·舒城模拟) 如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．22. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。

辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0 3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．3848．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.14210．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．612．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．【解答】解：抛物线x2=2y的准线方程为：y=﹣，故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0【解答】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；对于B，命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1的逆否命题为：已知x，y∈R，若x=2且y=1，则x+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B 正确；对于C，设x∈R，由2+x≥0，得x≥﹣2，当x=4时，不满足﹣1≤x≤3，故C错误；对于D，∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy≠0，则x≠0，故D错误．故选：B．3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8x上，故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点时只能是：i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x相切，ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．故选：C．4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即ax±by=0∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，∴右焦点F（0，c）到渐近线ax±by=0的距离d==，解之得b=，即，化简得c2=a2因此，该双曲线的标准离心率为e==故选：C．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：P（B|A）===．故选：D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）=．故选：D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．384【解答】解：（x2+3x+2）6 表示6个因式开式（x2+3x+2）的乘积，其中一个因式取3x，其余的都取2，可得展开式中x的系数为•3•25=576，故选：B．8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设N（x0，y0），由题意可得M（0，y0），设P（x，y），由点P满足，可得（x，y﹣y0）=（x0，0），可得x=x0，y=y0，即有x0=2x，y0=y，代入圆C：x2+y2=8，可得．即有点P的轨迹方程为．故选：B．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为π×13×=，当输出结果为524时，i=1001，m=527，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.144，故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为30°，∴直线l的方程为：y﹣0=（x﹣）．设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∴|AF|=x1+，|BF|=x2+，联立方程组，消去y并整理，得4x2﹣28px+p2=0，解得x1=p，x2=p，或x2=p，x1=p，当x1=p，x2=p时，∴|AF|=x1+=（4+2）p，|BF|=x2+=（4﹣2）p，∴|AF|：|BF|==7+4，当x2=p，x1=p时，∴|AF|：|BF|==7﹣4，故选：C．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．6【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，∴k AB=，即=2k OD．同理可得=2k OE，=2k OF．∴=2（k OD+k OE+k OF）=2×（﹣2）=﹣4．故选A．12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；此时④，∴④正确．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（x﹣1），则第五组号码为11+20×4=91，故答案为：91．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），双曲线的焦点坐标在x轴上．则双曲线的c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，则3b=4a，解得，a=3，b=4．则双曲线的方程为．故答案为：．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＞0，解得，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=﹣8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=tx+m，有，消y可得x2+16tx+16m=0，由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0∴x1+x2=﹣16t，x1x2=16m，∴|AP|2=x12+（y1﹣m）2=x12+t2x12=（1+t2）x12，|BP|2=x22+（y2﹣m）2=（1+t2）x22，∴=+=•=•当m=﹣8时，为定值，故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（x2）min x∈[1，2]，∴a≤1，p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，即或，解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为X0123P．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣6的距离小2，即动点M到（4，0）的距离与它到直线x=﹣4的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为y2=16x；（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为x=ty+m（m≠0）A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x，可得y2﹣16ty﹣16m=0，△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，由题意知OA⊥OB，即，则x1x2+y1y2=0，∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，∴直线AB的方程为x=ty+16，∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；法二：假设存在定点，设定点P（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）（y1y2≠0），∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为（16，0）．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】（1）由题意可知P（x=1000）=0.3，P（x=3000）=0.5，P（x=5000）=0.2，ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，P（ξ=10000）=0.22=0.04，所以ξ的分布列为ξ200040006000800010000 P0.090.300.370.200.04 E（ξ）=2000×0.09+4000×0.30+6000×0.37+8000×0.20+10000×0.04=5600元（2）经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30434捐款不超过500元10616合计401050，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．21．（12分）已知椭圆T ：的离心率为，若椭圆T 与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T 内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．【解答】解：（1）由圆P在椭圆T 内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，M、N 的坐标分别为，设c2=a2+b2，由可得，∴a2=4b2，则椭圆方程可记为+=1，将点（﹣1，）代入得，∴b2=1，a2=4，∵a＞b＞0，∴a=2，b=1；（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0，即16（1+4k2﹣m2）＞0，∴，∴，∵，∴，即x1x2=4y1y2，∴4k2=1，∴k=±；②，O到直线AB的距离，四边形ABCD面积，∵m2∈（0，1）∪（1，2），∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），由题意可知，由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，∴A（2sinα，α），∴，∴或，∴或，∴直线l得斜率为或；法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，直线l过原点，设直线l的普通方程为y=kx，∴C2到l的距离，可得，∴直线l得斜率为或．。

2017-2018学年度上学期沈阳市效联体期末考试高二试题数学（理科） 第Ⅰ卷 选择题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线22xy =的准线方程为（ )A ．1y =-B ．1x =-C ．12x =-D ．12y =-2.下列说法正确的是： （ ） A ．若命题2:,10p x R xx ∃∈++<,则2:,10p x R x x ⌝∀∈++>；B ．命题已知,x y R ∈,若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠是真命题；C ．设x R ∈，则20x +≥是13x -≤≤的充分不必要条件;D ．x y R ∀∈、，如果0xy =,则0x =的否命题是x y R ∀∈、,如果0xy =，则0x ≠ 3。

直线l 过点()2,4P --且与抛物线8y x =-只有一个公共点,这样的直线共有（ ）A ． 0条B ．1条C ．2条D ． 3条 4.双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的一个焦点到其渐近线的距离为255,则双曲线的离心率为（ ） A ．55B ．55C.355D ．555。

已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为( )A ．566B ．519C 。

547D ．5336.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由落下，小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为2133、,则小球落入A 袋中的概率为（ ）A ． 34 B ． 14C. 13D ．237.()6232x x ++展开式中x 的系数为( )A ．92B ． 576C 。

192D ．384 8. 设O 为坐标原点，动点N 在圆22:8C x y +=上，过N 作y 轴的垂线,垂足为M ，点P 满足12MP MN =,则点P 的轨迹方程为（）A ．22182x y +=B ．22128x y +=C 。

辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y'=0 B．若，则C．若，则D．若y=x，则y'=12．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件3．从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．174．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点5．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是7．如图是把二进制数11111（2）（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤58．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；（a+3）有意义．②代数式log2则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（）A．.B．.2 C．.D．12．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②二、填空题（每题5分）13．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a= ．14．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是．16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是．三、解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，讨论函数的单调性．18．2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．19．已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．20．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别为AD，PA中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD．（1）求证：平面BEF∥平面PDQ；（2）求二面角E﹣BF﹣Q的余弦值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．22．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x 轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每题5分）1．下列结论不正确的是（ ）A ．若y=3，则y'=0B ．若，则C ．若，则D ．若y=x ，则y'=1【考点】导数的运算．【分析】根据导数的基本公式判断即可．【解答】解：若y=3，则y'=0，故A 正确，若，则y ′=﹣x ，故B 错误若y=，y ′=，故C 正确，若y=x ，则y'=1，故D 正确，故选：B2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案．【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．故选：C．3．从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．17【考点】简单随机抽样．【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．【解答】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．4．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．5．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．6．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2【考点】导数的运算．【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选B．7．如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤5【考点】程序框图．【分析】因为11111（2）=31（10），故执行程序框图，当i=4时满足条件，有S=31，i=5时此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．【解答】解：因为11111（2）=31（10）执行程序框图，有S=1，i=1满足条件，有S=3，i=2；满足条件，有S=7，i=3；满足条件，有S=15，i=4；满足条件，有S=31，i=5；此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．故选：B．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．9．已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代数式log2（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a 的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．【解答】解：：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解，则a=0或a≠0，△≥0⇔，解得：a≤，且a≠0，综合得：a≤；（a+3）有意义⇔a＞﹣3．②代数式log2综合得：﹣3＜a≤．满足两个条件：①②数a构成的区域长度为+3=，指数函数y=（3a﹣2）x为减函数⇔0＜3a﹣2＜1⇔＜a＜1．则其构成的区域长度为：1﹣=，则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为=故选：A．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．11．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（）A．.B．.2 C．.D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数f（x）的导数，确定其单调性，根据单调递增得到最小值在x=取到，进而计算可得答案．【解答】解：f（x）=x+2cosx，x则f′（x）=1﹣2sinx＞0所以f（x）在为增函数．故f（x）的最小值为f（）=故选A．12．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f（x）＞0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．【解答】解：由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）e x＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确．故选D．二、填空题（每题5分）13．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a= ﹣6 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故答案为：﹣6．14．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为 3 ．【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故答案为：315．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2+a≥0，在区间[1，+∞）恒成立，即a≥﹣3x2，∵﹣3x2≤﹣3，∴a≥﹣3，故实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是 2 ．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0∵对任意实数x都有f（x）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2﹣4ac ≤0即≥1则 ==1+，而（）2=≥≥1，∴==1+≥2，故答案为：2．三、解答题（共70分）17．已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2+3x+1，讨论函数的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：函数的导数f ′（x ）=3x 2﹣6x+3，判别式△=（6）2﹣4×3×3=72﹣36=36，由f ′（x ）=3x 2﹣6x+3=0得方程的根为x 1==1+，或x 2==﹣1，由f ′（x ）＞0得x ＞1+或x ＜﹣1，此时函数单调递增，即函数单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（+1，+∞），由f ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜+1，此时函数单调递减，即函数单调递减区间为（﹣1，+1）．18．2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可知从12人中任抽一人，其中低于9的有4人，由古典概型概率公式可求；（2）利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能有 以及分数不同的人数，由古典概型的公式可求．【解答】解：（1）由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是“满意观众”，∴P=，即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为．（2）设本次符合条件的满意观众分别为A 1（9.2），A 2（9.2），A 3（9.2），A 4（9.2），B 1（9.3）， B 2（9.3），其中括号内为该人的分数．则从中任意选取两人的可能有 （A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2）， （A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2）， （A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2），共15种，其中，分数不同的有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2）， （A 4，B 1），（A 4，B 2），共8种，∴所求的概率为．19．已知直线l ：x ﹣y ﹣1=0，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ=5． （Ⅰ）将直线l 写成参数方程（t 为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点A ，B （点A 在第一象限）两点，若点M 的直角坐标为（1，0），求△OMA 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，能将直线l 写成参数方程，由ρ2=x 2+y 2，ρsin θ=y ，能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，求出点A 纵坐标y A =2，由此能求出△OMA 的面积【解答】解：（Ⅰ）∵直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l 写成参数方程为，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ=5， ∴x 2+y 2﹣4y=5，即x 2+（y ﹣2）2=9． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=9．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，设t 1，t 2是方程的两根，解得，，又点A 在第一象限，故点A 对应，代入到y=tsin，得到点A 纵坐标y A =2，因此△OMA 的面积S △OMA =|OM|•|y A |==1．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=a ，PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，E ，F 分别为AD ，PA 中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ． （1）求证：平面BEF ∥平面PDQ ； （2）求二面角E ﹣BF ﹣Q 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，求出相关点的坐标，设Q（1，x，0），则，利用PQ⊥QD，求出x=1．推出BE∥DQ，推出EF∥PD，EF∥平面PDQ，然后证明平面BEF∥平面PDQ．（2）求出平面BFQ是一个法向量，平面BEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），设Q（1，x，0），则，，…若PQ⊥QD，则，即x2﹣ax+1=0，△=a2﹣4，∴△=0，a=2，x=1．…∴，又E是AD中点，∴E（0，1，0），，∴，∴BE∥DQ，又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF⊂平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．…（2）设平面BFQ是一个法向量，则，由（1）知，，∴，取z=2，得，同样求平面BEF的一个法向量，，∴二面角E﹣BF﹣Q的余弦值为．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；（2）先设直线方程y=k（x﹣1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=，根据两点间的距离公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，由韦达定理得x 1+x 2=，x 1•x 2=，y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k=﹣，∵P 为线段AB 的中点，则可得点P （，﹣），又直线PD 的斜率为﹣，直线PD 的方程为y+=﹣（x ﹣），令y=0得，x=，又∵点D （，0），∴丨PD 丨===，化简得17k 4+k 2﹣18=0，解得：k 2=1，故k=1或k=﹣1， k 的值±1．22．已知函数f （x ）=（ax 2+bx+a ﹣b ）e x ﹣（x ﹣1）（x 2+2x+2），a ∈R ，且曲线y=f （x ）与x 轴切于原点O ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若f （x ）•（x 2+mx ﹣n ）≥0恒成立，求m+n 的值． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f （x ）的导数，由题意可得f ′（0）=a=0，f （0）=（a ﹣b ）+1=0，即可得到a ，b 的值；（2）由题意可得（x ﹣1）[e x ﹣（x 2+2x+2）]•（x 2+mx ﹣n ）≥0，（*）由g （x ）=e x ﹣（x 2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x ﹣1）（x 2+mx ﹣n ）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x 2+mx ﹣n=0的两根，即可得到m ，n 的值，进而得到m+n 的值．【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=e x（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为[（x﹣1）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[e x﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e x﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，可得g（x）≤g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，可得n=0，m=﹣1，则m+n=﹣1．。

2018沈阳市高二数学上期末试卷(理有答案和解释）
5 2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）
A．（4，10）B．[4，10]c．（6，8）D．[6，8]
【考点】不等关系与不等式．
【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．
【解答】解4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．
故选B．
2．命题p“ x∈N+，2x≥2”的否定为（）
A．x∈N+，2x＜2B． x N+，2x＜2c． x N+，2x＜2D．x∈N+，2x＜2
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p“ x∈N+，2x≥2”的否定为x∈N+，2x＜2．
故选D．
3．双曲线 =﹣1的渐近线方程是（）
A．=± xB．=± xc．=± xD．=± x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入= 可得渐近线方程．。

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0,ln 0p x x x ∀>->，则p ⌝为（ ）A ．0,ln 0x x x ∀>-≤B ．0,ln 0x x x ∀>-<C ．0000,ln 0x x x ∃≤-≤D ．0000,ln 0x x x ∃>-≤2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11329a a +=-，则9S =（ ） A ．27- B ．27 C ．54- D ．543.若,a b R ∈，则“11a b <”是“330aba b >-”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率是（ ） ABD5.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）AB ．25C ．110D6.已知等比数列{}n a 中，22a =，则其前三项的和3S 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．[)6,+∞D ．(][),26,-∞-⋃+∞ 7.已知变量,x y 满足约束条件04x y x y y m -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最小值为2，则m =（ ）A ．2B ．1C ．23D ．2- 8.60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知468AB AC BD ===，，，则CD 的长为（ ）A ．．9.已知不等式222xy ax y ≤+对任意[][]1,2,4,5x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)6,-+∞C ．[)28,-+∞D ．[)45,-+∞10.设椭圆22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[]3,1--，则直线PB 的斜率取值范围是（ ） A ．[]6,2-- B ．[]2,6 C ．11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=- ，且0n a ≥，则100S 等于（ ）A ．5048B ．5050C ．10098D ．1010012.已知双曲线()2222:10,0y x a b a b Γ-=>>的上焦点为()()0,0F c c >，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且3MF DF =，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．40x y ±=D ．40x y ±=第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．14.已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于 ． 15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:161C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是 ．16.如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC A A π∠====，已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且113322,,S a S a S a +++成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，E 为1BB 中点.（1）证明：1AC D E ⊥；（2）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值. 19.已知数列{{}n a 满足111,2nn n a a a a +==+，()()*1111,n n b n n N b a λλ+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若数列{}n b 是单调递增数列，求实数λ的取值范围.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ,E 为PD 中点，2AD =.（1）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（2）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足cos θ=P ABCD -的体积.21.已知过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:116C x y ++=，点()1,0A ，点()(),03B a a >，以B 为圆心，BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q .（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点C ，且与曲线τ交于,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ，OCN ∆面积为2S ，求12S S 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACAA 6-10: DCBBD 11、12：CB 二、填空题13.[)1,+∞ 14. 3415. 6 16.⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题17.解：（1）因为113322,,S a S a S a +++成等差数列， 所以()()()3311222S a S a S a +=+++， 所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+， 所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==， 又0q >，所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知12n n b n -=⋅， 01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，所以()()()012112212322122n nn T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++--⋅-⋅⎡⎤⎣⎦012122222n n n -=++++-⋅()()112212112n n n n n -=-⋅=-⋅--.故()121n n T n =-⋅+. 18. （1）证明：连接BD∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ，∴1D D AC ⊥ 在长方形ABCD 中，AB BC =,∴BD AC ⊥ 又1BD D D D ⋂=,∴AC ⊥平面11BB D D而1D E ⊂平面11BB D D ,∴1AC D E ⊥（2）如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 ()()()()11,0,0,0021,1,1,1,1,0A D E B ，，,，()()()10,1,1,1,0,2,1,1,1AE AD DE ==-=设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，则 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1z =，则()2,1,1n =-∴cos ,n DE == 所以DE 与平面1AD E.19.解（1）因为数列{}n a 满足()*12n n n a a n N a +=∈+，所以1121n na a +=+， 即112121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又11a =，所以111201a +=≠+ ， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得11121n a +=+，所以()()()11111122n n n b n n n a λλ--⎛⎫=--+=--⋅≥ ⎪⎝⎭， 因为1b λ=-符合，所以()()1*12n n b n n N λ-=--⋅∈.因为数列{}n b 是单调递增数列，所以1n n b b +>，即()()1212n n n n λλ--⋅>--⋅， 化为1n λ<+，所以2λ<.20.证明：（1）取AD 中点为O ,BC 中点为F ,由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ,故FO PO ⊥, 又FO AD ⊥,则FO ⊥平面PAD ,∴FO AE ⊥, 又//CD FO ,则CD AE ⊥, 又E 是PD 中点，则AE PD ⊥,由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD . 又AE ⊂平面AEC , 故平面AEC ⊥平面PCD .（2）如图，以O 为坐标原点，以,,OA OF OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 令AB a =，则(()(),1,0,0,1,,0P A C a - 由（1）知3,0,2EA ⎛= ⎝⎭ 为平面PCE 的法向量， 令(),,n x y z =为平面PAC的法向量，由于(()1,0,,2,,0PA CA a ==- ，故00n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,20,ay ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得2,y az ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故21,n a ⎛= ⎝⎭ ，由cos EA nEA nθ⋅===⋅，解得a 故四棱锥P ABCD -的体积11233ABCD V S PO =⋅=⋅.21.解：（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，消元得：22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k +=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0. 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.22.解：（1）∵,,BA BP BQ BQ PBQ ABQ ==∠=∠, ∴QAB QPB ∆≅∆,∴QA QP =,∵CP CQ QP QC QA =+=+,∴4QC QA +=,由椭圆的定义可知，Q 点的轨迹是以,C A 为焦点,24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=.(2)由题可知，设直线:1l x my =-，不妨设()()1122,,,M x y N x y∵1112OMC S S OC y ∆==⨯⨯，2212ONC S S OC y ∆==⨯⨯，111222y S yS y y ==-， ∵221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my +--=，21441440m ∆=+>，∴122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ， ∴11221,33S y S y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.。

2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题各出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝，则A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞ab D．c﹣a＞c﹣b 5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个关于数列的运算问题，其大意为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走分路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是下底面的中心，N 是按C1D1上任意一点，则异面直线ON与A1M所成角的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．与点N的位置有关7．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），则关于x的不等式（2ax+b）（x ﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上任一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2的乘积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，前5项和S5＝25，若S n＝39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则＝（）A．B．C．a2D．﹣a211．（5分）下列命题中，说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“0＜x＜”是“x（1﹣2x）＞0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆否命题为真命题12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-----2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高二物理试题（A 卷）答案1D 2C 3A 4D 5C 6C 7D 8AD 9ABC 10ABD 11BC 12BD 13. （1）18.6； （2）a 、b 、e14、（1）C （2）8.3；5015、（1）×10；进行欧姆调零；70 （2）①B ；A ；E ； ②16、（1）全校消耗的功率=22×40×9W=7920W-----------------------------------1分设线路电流为， 输电电压为 ， 降压变压器原线圈电压为而U4=220V 则=4×220V=880V---------------------------------1分 ---------------------------------------------------------------------2分线路损失功率 ----------------------------------------1分（2）----------------------------------------------------------1分--------------------------------------------1分，---------------------------------------------1分升压变压器原线圈电流为,，---------1分发电机的电动势------------------------1分一、 （1）如图可知，在t=0.6s 时间内波向前传播的位移---1分------------------------------------------------------1分，---------------------------------------------------2分（2）从t=0到d 点起振需时 -----------------------------------2分d 点实际振动时间为---------1分 通过的路程 ----------------------------------------1分2)(r I R I I M M N --用P 线I 2U 3U 144343==n n U U 3U AA U P I 988079203===用线W W I P 32449.R 22=⨯==线损VV R I U 3649.=⨯==线损V V V U U U 9163688032=+=+=损412121==n n U U V V U 22949161==1I 14121==n n I I 线A A I 36491=⨯=V V V r I U E 265136229.11=⨯+=+=m X 343==∆λs ms mt X v 56.03==∆=T v λ=s s v T 8.054===λsT t 2.0411==Ts s t t t 214.0)2.06.0(12==-=-=cm A s 202==（3）t=0时x=4m 处质点正经过平衡位置向下振动，此振动形式传到x=16m 处需时-----------------------------------------------------------2分因此x=16m 处质点经平衡位置向下运动所需时间为 ( )----------------2分二、 （1）由图可知，r=0时，杆最终以的速度运动，电动势 E=BLv=2.5×2×2V=10V-------------------------------------2分由右手定则判断得知，杆中电流方向从b →a-----------------------------------------2分（2）解：设最大速度为，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BL由闭合电路的欧姆定律： ----------------------------------------------------1分 杆达到最大速度时满足 mgsinθ﹣BIL=0------------------------------------------------1分由E=BL 可得 ------------------------------------------------1分 将（），（）两组数据代入上式 解得：m=5kg ，r=2Ω-------------------------------------------------- -----2分（每个结果1分） （3）解：由题意：E=BLv ， P=---------------------------------------------------------------------------------------1分得-----------------------------------------------------------------------------1分 ----------------------------------------------------------------1分由动能定理得 W=-----------------------------------------------------------------------1分联立得 ----------------------------------------------------------------1分代入解得 W=0.6 J -------------------------------------------------------------------1分s s v x t 4.254163=-=∆=s n nT t t )8.04.2(3+=+= 3.2.1.0=n s mv 2=m v m v m V r R v L B mg m+=22sin θ2,0==m v R 4,2==m vR r R v L B P m+=222。

2017— 2018学年度上学期高二年级期中考试数学科试卷（理科）答题时间：120分钟；满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知等比数列｛a n｝的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则a n=（）3、n 2 . n 3、n1 2. n JA. 4 ■（一） B . 4 ■（—） C . 4 ■（—） D . 4 ■（—）2 3 2 32,下列命题正确的个数是（）①对于实数a,b,c,若a〉b,则ac2>bc2；②命题“若x < —1,则x2 —2x —3 > 0 ”的否命题为：“若x <—1,则x2-3x+2 E0” ；③“ x = 5”是“ x2—4x —5 = 0 ”的充分不必要条件；④命题“三％w R,x20+1 之3x°”的否定是“ V x w R,x2+1 M3x” .A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 2x y 2 _ _ _3.已知m = R ,命题p :方程-------- 十------ 二l表小椭圆，命题q : m - 7m+10 < 0,m —2 6 - m则命题p是命题q成立的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设｛a n｝是等差数列，公差为d , S n是其前n项的和，且S5 < S6 , S6 = S7 A S8 ,则下列结论错误的是（）A. d <0 B . a7=0 C . S9A s5D . 56和57均为S n的最大值5.已知命题p:Vx『1,2], x2—a之0 ,命题q :三x w R, x2+2ax+2 — a = 0 .若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（）A. aE—2 或a=1 B . 1 <a <2 C . a>1 D . -2<a<1a. 一6.两等差数列｛a n｝、｛b n｝的前n项和分别为S n和T n, H （2n+7）S n =（5n+3）T n ,则的b5值是（）23 15A.空 1753 2748 257.设集合 A={(x,y )||x| 十|y 区优 B = {(x, y ，(y — x)(y + x) E 0}, M = Ap B ,若动点 P(x,y)wM , 则x 2十（y —1）2的取值范围是（ ） 1 5 A - [2,2].2 5 B- [T,2] C £4]D . I/平]8.设离心率为 e 的双曲线2 x C:~ ab 2 = 1（a A0,b 〉0）的右焦点为F ,直线l 过点F 且斜率为k ,则直线 l 与双曲线 C 的左、 右两支相交的充要条件是 2 2 A. k -e 1 一 e 2二 1 2 2 C . e -k >1 9.已知椭圆C 2 2x y 一八…， —2+—2" =1 (a Ab a 0)的焦距为2, a 2 b 2，，、… 3 斜率为——直线l 交曲线 4 圆C 的标准方程为（ C 于A, B 且M 是线段AB 的中 2 2 x y A .——+— =13 2 16 2—=1 12 过 M1,1 )点，则椭2 2 C .L L=1 4 32 x12 2 匕=1 18 10 .如图所示点 是抛物线y 2 = 8x 的焦点，点 A 、B 分别在抛物线y =8x 及圆22（x-2 ） +y =16的实线部分上运动，且 AB 总是平行于x 轴，则AFAB 的周长的取值范围 A. 6,10 B ・ 8,12 C. 6,8 1 D ,8,121 11.已知等差数列 {a n }的公差d#0,且a 1，a 3, a 13成等比数列，若a 1=1, S n 是数列{a n } 的前n 项的和，则 2S n’6(n w N *)的最小值为()a n 3A. 4B. 3C. 273-2D. 9212.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A, A2,B l,B2为椭圆顶点，F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P ,若NB1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是(5 -2 八.5 -2、5-1、 5 -1 八A. (- ---- ,1)B. (0,- ---- )C. (0,-——)D.(-——,1)2 2 2 2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.2 213.点P是双曲线C1 : xy 工 =1(a > Qb A0)和圆C2: x2+y2=a2+b2的一个交点, a b且2/PF1F2 =/PF2F「其中F「F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为.14.下列命题：①数列｛a n｝的前n项和为S n ,则S n = An2 + Bn是数列｛ a n｝为等差数列的必要不充分条件；a②V x A0 ,不等式2x+a之4成立的充要条件a之2 ;③“ x + y#0 ”是“ x01或xy丰-1”的充分不必要条件；④已知4,。

2016-2017学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．D．2．已知集合A={x|x|﹣2≤x≤3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}3．已知向量=（1，2），=（﹣4，m），若2+与垂直，则m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．84．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．若数列{a n}满足，则称{a n}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=2，则b6+b7+b8=（）A．4 B．16 C．32 D．646．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+127．设函数（）的最小正周期为π，且f（x）为奇函数，则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递增8．已知直线l：与圆x2+y2=16交于A，B两点，则在x轴正方向上投影的绝对值为（）A．B．4 C．D．29．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣211．已知球的半径为4，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为4，则两圆的圆心距等于（）A．2 B．C．D．412．若关于x的不等式xe x﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为．14．从混有4张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．15．已知数列{a n}满足：a n+1=a n（1﹣2a n+1），a1=1，数列{b n}满足：b n=a n•a n+1，则数列{b n}的前2017项的和S2017=．16．f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（﹣x）且x≥0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）sinA=ab （sinC+2sinB），a=1．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的周长的取值范围．18．为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）．规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0，10]时为一等品，在[10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N 时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2，（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≥4；（2）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．2016-2017学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是．故选：B．2．已知集合A={x|x|﹣2≤x≤3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|x|﹣2≤x≤3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={1，2，3，4}则集合A∩B={1，2，3}．故选：C．3．已知向量=（1，2），=（﹣4，m），若2+与垂直，则m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出（）的坐标，根据（）⊥得出（）•=0，列方程解出m．【解答】解：=（﹣2，4+m），∵（）⊥，∴（）•=0，即﹣2+2（4+m）=0，解得m=﹣3．故选：A．4．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出i，从而到结论．【解答】解：当输入的值为n=6时，n不满足上判断框中的条件，n=3，i=2，n不满足下判断框中的条件，n=3，n满足上判断框中的条件，n=4，i=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n不满足上判断框中的条件，n=2，i=4，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为i=4，故选C．5．若数列{a n}满足，则称{a n}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=2，则b6+b7+b8=（）A．4 B．16 C．32 D．64【考点】数列递推式．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，由已知b1+b2+b3结合等比数列的性质得到b6+b7+b8 ．=2b n，则数列{b n}为等比数列，且公比为2．【解答】解：依题意可得b n+1∵b1+b2+b3=2，∴b6+b7+b8=25•（b1+b2+b3）=26=64．故选：D．6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．7．设函数（）的最小正周期为π，且f（x）为奇函数，则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递增【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性、奇偶性求得ω和φ，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数=2sin（ωx+φ﹣）（）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．∵f（x）为奇函数，∴φ﹣=0，∴φ=，∴f（x）=2sin2x．在上，2x∈（0，π），f（x）=2sin2x 不具有单调性，故排除A、C．在上，2x∈（，），f（x）=2sin2x 单调递减，故排除D，故选：B．8．已知直线l：与圆x2+y2=16交于A，B两点，则在x轴正方向上投影的绝对值为（）A．B．4 C．D．2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出|AB|，利用直线l的倾斜角为60°，可得在x轴正方向上投影的绝对值．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，∴|AB|=2=4，∵直线l的倾斜角为60°，∴在x轴正方向上投影的绝对值为2，故选C．9．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．π（sinx）dx=2，【解答】解：阴影部分面积S阴影=∫0矩形部分面积S矩形=2π，∴所投的点落在阴影部分的概率P==，故选A．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，e，运用三角形的正弦定理和双曲线的定义，求得|PF1|=4，|PF2|=2．再由余弦定理求得cos∠PF2F1，运用向量数量积的定义计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=，c==2，可得==2，F1（﹣2，0），F2（2，0），P为右支上一点，由正弦定理可得|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=2，解得|PF1|=4，|PF2|=2．在△PF2F1中，由余弦定理得cos∠PF2F1==，则=||•||•cos∠PF2F1=2×4×=2．故选：B．11．已知球的半径为4，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为4，则两圆的圆心距等于（）A．2 B．C．D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==2，∴O1O2=2．故选：C．12．若关于x的不等式xe x﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意设g（x）=xe x，y=ax﹣a，将条件转化为：g（x）=xe x在直线y=ax ﹣a下方，有一个交点，求出g′（x）后，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，画出两个函数的图象，结合函数图象和斜率公式求出K PA、K PB，可得a的取值范围．【解答】解：由题意设g（x）=xe x，y=ax﹣a，∵原不等式有唯一整数解，∴g（x）=xe x在直线y=ax﹣a下方，有一个交点，∵g′（x）=（x+1）e x，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴g（x）min=g（﹣1）=﹣，∵y=ax﹣a恒过定点P（1，0），∴结合函数图象得，K PA≤a＜K PB，又A（﹣2，），B（﹣1，），∴K PA=，K PB=，即≤a＜，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为[﹣2，4] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），联立，解得B（4，0），由图可知，当目标函数z=x﹣3y过A时，z有最小值为﹣2；当目标函数z=x﹣3y过B时，z有最大值为：4．故答案为：[﹣2，4]．14．从混有4张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P （A/B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A/B）．又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A/B）===．故答案为：．15．已知数列{a n}满足：a n+1=a n（1﹣2a n+1），a1=1，数列{b n}满足：b n=a n•a n+1，则数列{b n}的前2017项的和S2017=．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，代入b n=a n•a n+1，再由裂项相消法求S2017 ．【解答】解：由a n+1=a n（1﹣2a n+1），得a n+1=a n﹣2a n a n+1，∴a n﹣a n+1=2a n a n+1，即．又a1=1，∴数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则．∴b n=a n•a n+1=．则S2017==．故答案为：．16．f（x）是定义在R上函数，满足f（x）=f（﹣x）且x≥0时，f（x）=x3，若对任意的x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是t≤﹣3或t≥1或t=0．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数知|3x ﹣t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0 恒成立问题．【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数，f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；|3x﹣t|≥|2x|；∴（3x﹣t）2≥（2x）2；化简后：5x2﹣6xt+t2≥0 ①；（1）当t＞0时，①式解为：x≤或x≥t；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t﹣1故t≥1；（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或x≥；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t故t≤﹣3；（3）当t=0时，①式恒成立；综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．故答案为t≤﹣3或t≥1或t=0．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）sinA=ab （sinC+2sinB），a=1．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的周长的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，可得sinC（1+2cosA）=0，结合sinC≠0，可得cosA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可求A的值．（2）由正弦定理可得：b=，c=，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC的周长l=1+sin（B+），由范围B∈（0，），可求范围B+∈（，），利用正弦函数的图象和性质即可得解周长的求值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（a2+b2﹣c2）sinA=ab（sinC+2sinB），∴由余弦定理可得：2abcosCsinA=ab（sinC+2sinB），∴2cosCsinA=sinC+2sin（A+C），化简可得：sinC（1+2cosA）=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣，又∵A∈（0，π），∴A=…（2）∵A=，a=1，∴由正弦定理可得：b=，c=，∴△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+ [sinB+sin（﹣B）]=1+（）=1+sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1]，∴△ABC的周长l=1+sin（B+）∈（2，1+]…18．为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）．规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0，10]时为一等品，在[10，20]为二等品，20以上为劣质品．（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元，根据上表统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率，若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有个，非一等品有2个，利用互斥事件与相互对立事件的概率计算公式可得：甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率．（2）X可取﹣40，0，30，40，70，100．利用互斥事件与相互对立事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）从甲中抽取的5个数据中，一等品有个，非一等品有3个，从乙中抽取5个数据中，一等品有个，非一等品有2个，∴甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率为：．（2）X可取﹣40，0，30，40，70，100.，，，，，．∴X的分布列为X﹣400304070100P．19．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取BC中点M，连接B1M，证明B1M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B1C1CB，然后证明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设B1M=t，求出相关点的坐标，求出平面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，转化求解斜三棱柱的高即可．【解答】解：（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥平面ACB，∴B1M⊥AC又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB因为AC⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B1M=t，则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）即设面AB1B法向量，∴，同理面AB1C1法向量因为二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，∴，∴t4+29t2﹣96=0∴t2=3，所以斜三棱柱的高为．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N 时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1，利用在椭圆上，得a2=2，然后求解椭圆方程．（2）假设存在这样的直线设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由，利用韦达定理以及△＞0，提出﹣3＜t＜3，判断四边形PMQN为平行四边形，说明D 是线段PQ的中点，推出，然后推出点Q不在椭圆上．推出结论．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因此椭圆方程为∵在椭圆上，∴解得a2=2故椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由得9x2+8tx+2t2﹣2=0，所以，且△=（8t）2﹣36（2t2﹣2）＞0，则﹣3＜t＜3，∴由知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也是线段PQ的中点，所以，可得，又﹣3＜t＜3，所以，因此点Q不在椭圆上．所以这样的直线l不存在．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2，（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，由x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，得到，求出，根据函数的单调性求出函数的最小值即可．【解答】解：（1），当m≤0时，1﹣mx＞0故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，由1﹣mx＞0解得，即当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，由1﹣mx＜0，解得，即当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间减区间为（2）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，所以g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根．因为，所以△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1，又因为x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，所以，两式相减得，得，而，==，令，由得因为x1x2=1，两边同时除以x1+x2，得，因为，故，解得或t≥2，所以，设，所以，则y=G（t）在上是减函数，所以，即的最小值为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法，求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）将直线l的方程y=x﹣4代入曲线C的普通方程y2=2x，得x2﹣10x+16=0，利用韦达定理及弦长公式求弦长|AB|．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程是：，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程，得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=x﹣4代入曲线C的普通方程y2=2x，得x2﹣10x+16=0，所以x1+x2=10，x1x2=16，∴，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≥4；（2）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）将a的值带入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，根据绝对值不等式成立条件得到当且仅当（2x﹣1）（x﹣a）≤0，通过讨论a的范围求出x的范围即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，，当x≤﹣1时，﹣3x≥4，此时，当时，﹣x+2≥4，x无解当时，3x≥4，此时，综上：或不等式解集为（2）因为|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|由绝对值不等式成立条件可知：当且仅当（2x﹣1）（x﹣a）≤0时成立当时，当时，当时，．2017年3月15日。

2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤02．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27B．27C．﹣54D．543．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（）A．2B．1C．D．﹣28．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C．D．9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B 的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048B．5050C．10098D．1010012．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN 的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点A（1，0），点B（a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP 于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二第一学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27B．27C．﹣54D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，∴S9==9（a1+4d）=﹣27．故选：A．3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e==．故选：D．5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（）A．2B．1C．D．﹣2【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．由，解得A（m，m），A代入z=x+2y，可得m+2m=2，解得m=．故选：C．8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴=，∵AB=4，AC=6，BD=8，∴2=（）2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长为||=2．故选：B．9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，令t=，则2≤t≤5，∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，∴y max=﹣2×22+2=﹣6，∴a≥﹣6，故选B．10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B 的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．【解答】解：∵椭圆C：与函数y=x3的图象相交于A，B两点，∴A，B两点关于原点对称，设A（x1，y1），（﹣x1，﹣y1），则，即．设P（x0，y0），则，可得：．∴．∵直线PA的斜率k1的取值范围[﹣3，﹣1]，∴﹣3≤≤﹣1，得，∴直线PB的斜率取值范围是[]．故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048B．5050C．10098D．10100【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①+++…+=4n﹣8，②+++…++=4n，③由①﹣②得到：=4，∵a n≥0，∴a n=2n，由③﹣①得到：=4，∴a n=2n+2，+1﹣a n=2，∴a n+1∴数列{a n}是等差数列，公差是2，综上所述，a n=，∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．故选：C．12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0【解答】解：由x2+y2﹣y+=0，得x2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（x0，y0）（y0＞0），则由x2+y2﹣y+=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，解得：x0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±x．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，∵q：x＞a，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为2，若，可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，即有m﹣1+n﹣1=4，则m+n=6，可得=（m+n）（）=（2+++）≥（+2）=×=．当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，则的最小值为．故答案为：．15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥x轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，故答案为：6．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0），=（﹣，y，﹣1），=（x，﹣1，﹣），∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即x+2y﹣1=0∴DF===，∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值=，当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1．∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，所以，又q＞0，所以，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，，所以，=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=．故．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；（2）如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），，设平面AD1E的法向量为，则，令z=1，则，∴，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为数列{a n}满足，所以，即，又a1=1，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，所以，因为b1=﹣λ符合，所以．因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n+1＞b n，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，所以λ＜2．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，z）为平面PAC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN 的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得p=±2．∵p＞0，∴抛物线E的方程为：y2=4x．（2）证明：设C，D两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）﹣4k4=16k2+16＞0因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点A（1，0），点B（a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP 于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，故点Q的轨迹方程为（II）由题可知，设直线l：x=my﹣1，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）∵，，∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，∴，∵，即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），∴=﹣∈（，3）．。