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1人教B 版 数学 必修2：平面的基本性质及推论 一教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用教学过程：（一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内1、直线与平面的位置关系2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,点A 在平面α内,记作α∈A ,直线a 在平面α内,记作α⊂a（二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.（三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题：(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?(五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结：本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.课后作业：略2平面的基本性质及推论 二教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用教学过程：（五） 推论1：直线及其外一点确定一个平面 （六） 推论2：两相交直线确定一个平面 （七） 推论3：两平行直线确定一个平面（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内． 求证：AB 和CD 既不平行也不相交．证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ，α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾． 例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．求证：c b a 、、交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ． 因为，β⊂a ，故β∈A ，同理，γ∈A ，故c A ∈．所以c b a 、、交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行． 综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线．证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，所以R Q P 、、三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２． 例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ，因为 L E 、是CB CD 、的中点， 所以 BD EL //．又 矩形11B BDD 中BD KF //， 所以 EL KF //，A B C PQRαCA A BB C D D EFGH KL11113所以 EL KF 、可确定平面α， 所以 L K F E 、、、共 面α，同理 KL EH //，故 L K H E 、、、共面β．又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证α∈G ，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面． 卡片：证明共面问题常有如下两个方法：(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合． 课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( ) (2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( ) (4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( ) (5)矩形是平面图形. ( ) 2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的 条件． 3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 . 4.空间四个平面把空间最多分为 部分． 5.空间五个点最多可确定 个平面．6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用 课后作业：略。
1.2.1 平面的基本性质与推论示范教案整体设计教学分析教材通过实例归纳和抽象出了平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念，并类比集合给出了点、直线和平面之间的关系的符号表示．在教学中，要留给学生足够的时间，引导学生归纳和抽象平面的基本性质与推论．三维目标1．掌握平面的基本性质及推论，提高学生的归纳、抽象能力．2．掌握异面直线的概念，能用集合符号表示点、直线、平面的位置关系，提高学生抽象思维和类比能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念．教学难点：归纳平面的基本性质与推论．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．设计2.(实例导入)观察长方体(下图)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．怎样用符号表示空间中的点、直线、平面之间的位置关系呢？本节我们将讨论这些问题．推进新课新知探究提出问题1在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过路径，就用一条线段来表示，连结两点的线中，什么线最短？2把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，这说明了平面具有什么性质？3在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳.这说明了平面具有什么性质？4长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线，其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么，两个平面在什么情况下相交？这说明了平面具有什么性质？讨论结果：(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．(2)基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如左下图)．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．(3)基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(如右上图)．这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(4)基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(如左下图)．为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．如下图，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．提出问题1经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？2经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？4在空间中，存在既不平行又不相交的两条直线吗？5阅读教材，怎样用集合符号表示点、直线、平面的位置关系？讨论结果：(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(如下图(1))．图(1) 图(2) 图(3)事实上，如上图(1)所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内．(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如上图(2))．事实上，如上图(2)所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如上图(3))．事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如上图(3)所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．(4)在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况．如下图所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内．这与点A在α外矛盾．因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．(5)点A在平面α内，记作A∈α，点A不在α内，记作Aα；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作lα；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a；直线l和直线m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记作l∩m＝A.基本性质1可以用集合语言描述为：如果点A∈α，点B∈α，那么直线AB⊂α.应用示例思路1例1 如下图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：在上图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上图(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；(2)a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下图．2．根据下列条件，画出图形．(1)α∩β＝l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；(2)α∩β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如下图．点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来．思路2例2对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α解析：若a、b异面，A、C选项错；若a、b不垂直，D选项错，故选B.答案：B例3 如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行 B．相交且垂直C．异面直线 D．相交成60°解析：如上图，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化．变式训练1.如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．答案：三2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条解析：在A1D1延长线上取一点H，使A1D1＝D1H，在DC延长线上取一点G.使CG＝2DC，延长EF，连结HG与EF交于一点．连结D1F必与DC延长线相交，延长D1A1，连结DE必与D1A1延长线相交．连结A1C与EF交于EF中点，故选D.答案：D知能训练1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．解：如下图，连结BD、AC交于点E，CD′、DC′交于点F，直线EF即为所求．∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．证明：如下图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三点共线．3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．证明：如下图，连结A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．拓展提升求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．证明：如下图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，bα.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、dα，即a、b、c、d在同一平面内．点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线．课堂小结本节课学习了：1．平面的基本性质与推论；2．异面直线；3．用符号表示空间位置关系．作业本节练习A 2,3,4,5题．设计感想由于本节是学习位置关系的起始课，所以在设计时注重从不完全归纳入手，以培养学生的空间想象能力为核心，激发学生的发散思维．备课资料备选习题1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，如下图．求证：C1、O、M三点共线．证明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．2．已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．证明：已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面．证明：如下图，∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴AB⊂α，即l⊂α.同理，b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面，∴α与β重合．故l与a、b、c共面．3．α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：如下图，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．。
1.2.1平面的基本性质与推论（1）
【创设情境】
观察现实世界中给我们平面感觉的事物：平静的海面，黑板，桌面等。
【概念形成】
一．认识空间中的点、线、面及其关系：
1.平面的三个特征：____________,_____________,_______________
2.平面的画法及表示方法：
2.用图形和集合语言表述空间中点、线、面的关系：
二．平面的基本性质：
【例题选讲】
例1.判断下列命题真假：
（1）一个平面长4m,宽2m,后0.01m ( )； （2）三角形是平面图形 （ ） （3）线段AB 在平面α内，则直线AB 在平面α内 （ ）
（4）如果两个平面有两个公共点A 、B ，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB 上；
例2.用集合符号表示下列语句：
（1）点A 在直线l 上，点B 不在直线l 上；____________________
（2）直线l 在平面α内，直线m 与平面α只有一个公共点M
；_____________________ （3）平面α与平面β相交于过点A 的直线l ；__________________
例2. 已知平面ABD 与平面CBD 相交于直线BD ，直线EF 与直线GH 分别在已知的两个平面内
相交于点M ，点M 是否在交线BD 上？并证明你的结论。
【巩固提高】
ABC ∆在平面α外，且三边所在直线和平面α分别相交于点P 、Q 、R ，求证P 、Q 、R 三
点共线。
1.2.1平面基本性质与推论一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2、课程标准解读平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义. 平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的.平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用.平面的基本性质的推论用以确定平面的依据.(二)教材分析本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具.是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用.通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换.难点是平面的基本性质的理解与应用.课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系.知识结构图基本性质1 推论1平面的基本性质基本性质2 推论2基本性质3 推论3（三）学情分析通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究.对于证明学生可能感觉难度较大.二、教学目标1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义.2、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，3.通过第一节课学习，在掌握平面的三个基本性质的基础上，进一步掌握平面基本性质的三个推论；三、评价设计目标1评价：能说出线不在面内的情况，并用图形表示.能说出两个平面的位置关系.目标2评价：学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，并会用图形语言及符号语言表示.目标3评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；四、教学方法学生从直观认识平面到理性的理解平面，有一个抽象的过程.通过这个过程可培养学生的抽象能力.要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景.学完这三条基本性质，学生营养成用性质理解平面的习惯，学会用直线和皮面的基本性质进行推理.五、教学过程温故知新，导入新课.1.平面有哪些性质呢？2.一条直线和平面有哪几种关系呢？两个平面呢？教学重点、难点的学习与完成过程师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）【设计意图】：形象直观，学生易于接受.这就是基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示．【设计意图】：学生学会符号语言.这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据基本性质1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象：两个纸板交叉师：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.【设计意图】：形象直观，学生易于接受.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合这就是基本性质3其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示基本性质3判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？【设计意图】：以问题串的形式引出基本性质2.（教师演示给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即基本性质2其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．基本性质2是确定平面位置的依据之一.推论师：确定一个平面的依据，除基本性质2外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论并证明.生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：经过a和A有且只有一个平面．∉已知：A l求证：经过点A和直线l有且只有一个平面.【设计意图】：学生学会将文字叙述改写为数学语言.证明：①存在性：如图（1）在直线l上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线，根据基本性质2，经过不共线的三点A、B、C有一个平面αα∈B ，α∈C ∴α⊂l （基本性质1）所以平面α就是经过直线l 和点A 的平面.②唯一性： B l ∈ ，C l ∈ ，∴ 任何经过点A 和l 的平面一定经过点A 、B 、C ，三点A 、B 、C 不共线，根据基本性质2，这样的平面只有一个，由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面． 师（板书）已知：a ∩b =A求证：经过a 和b 有且只有一个平面.证明：①存在性： 如图（2）在a 上任取一点B ，且B ∉b,根据推论1， 经过一条直线b 和直线外一点B 有一个平面α∵A ∈a ,B ∈a ∴a α⊂所以平面α就是经过相交直线a 和b 的平面.②唯一性：∵B ∈a∴任何经过直线a 和b 的平面一定经过点B 和直线b ，∵根据推论1，这样的平面只有一个，由①②可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.已知：a∥b求证：经过a和b有且只有一个平面.证明：①存在性：如图（3）∵a∥b∴根据平行线的定义，a和b在同一平面α内.②唯一性：在a上任取一点A,在b上任取一点B,连接点A,B作直线c，∵A∈α，B∈α,∴c在α内，∵a∩c=A,b∩c=B,∴根据推论2 ,a和c在唯一的平面内，b和c在唯一的平面内.又a和b在同一平面内，则a，b，c在唯一的一个平面内.由①②可知：经过两条平行直线，有且只有一个平面.证明线共面例题：已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．证明线共点例题. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α∩β．l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．又∵α∩β＝点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．当堂检测：1、下列命题是否正确.1.不共线的三点确定一个平面.（√）2.有三个公共点的两个平面重合.（√）3.三角形一定是平面图形.（√）4.平行四边形一定是平面图形.（√）5.四边形一定是平面图形.（×）6.不共线的四点确定一个平面.（×）2、P38练习B组第6题用符号语言表示.3、P38练习B组第2题.【设计意图】：检测基本性质及推论的理解及应用.归纳总结：请同学将3个平面基本性质及3个推论用图形语言及符号语言表述. 【设计意图】：学生会将自然语言、数学语言和符号语言相互转化.。
人教版高中必修2(B版)1.2.1平面的基本性质与推论课程设计一、教材简介《人教版高中数学必修2（B版）》是由人民教育出版社编写的高中数学教材。
本教材较好地体现出了素质教育的理念，强调数学知识在实际生活和各学科中的应用和综合应用能力培养。
其中1.2.1节《平面的基本性质与推论》是初学平面几何的基础，是学好初中数学和高中数学重要的一环。
二、教学目标看完本节课后，学生应该能够：1.掌握平面几何中的各种基本概念；2.熟练掌握平面内直线、角的性质和各种基本定理；3.了解射线和线段的概念及其基本性质；4.在各种问题中熟练运用平面几何中的基本知识和定理。
三、教学内容（一）平面几何基本概念1.区分平面和空间；2.点、直线和角的概念；3.“相交”、“平行”概念及其性质。
（二）平面内的直线和角1.直线的分类及性质，包括垂直、平行、相交的直线性质；2.角的基本概念和性质，特别是对顶角、平行线夹角和同旁内角、反向角的研究；3.五线定理、角平分线定理、中垂线定理等基本定理的探究。
（三）线段和射线1.线段和射线的概念及相关性质，包括延长线及其相关性质、异面直线的关系等。
（四）平面几何的基本性质探究1.角的外延：定义、性质、本质；2.端点与线段的关系：交叉性、重叠性、并列性等；3.线段的中点；4.垂足点：定义、性质。
（五）平面几何的实际应用1.利用平面几何的知识解决一些测量问题；2.利用平面几何的知识理解衣服尺码的相关知识；3.平面几何在建筑、设计和美术中的应用。
四、教学重点1.掌握平面内直线、角的性质和各种基本定理；2.了解射线和线段的概念及其基本性质；3.在各种问题中熟练运用平面几何中的基本知识和定理。
五、教学建议1.建立直观感受：通过学生自身的经验，探究点、直线、角和平面以及它们之间的关系；2.图象教学法：在教学中使用动态图象或幻灯片，通过图象去描绘这些点、线段、射线、任意线和角的相互关系，从而加深学生的理解；3.创设问题：通过贴近实际的问题，让学生去运用所掌握的知识，培养学生的问题解决能力；4.课后扩展：提供丰富的课外资料，引导学生去了解平面几何知识在各个领域中的实际应用。
1.2.1平面基本性质与推论一、教学目标确立依据（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.2、课程标准解读平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义. 平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的.平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用.平面的基本性质的推论用以确定平面的依据.(二)教材分析本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具.是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础.平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用.通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换.难点是平面的基本性质的理解与应用.课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系.知识结构图基本性质1 推论1平面的基本性质基本性质2 推论2基本性质3 推论3（三）学情分析通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究.对于证明学生可能感觉难度较大.二、教学目标1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义.2、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，3.通过第一节课学习，在掌握平面的三个基本性质的基础上，进一步掌握平面基本性质的三个推论；三、评价设计目标1评价：能说出线不在面内的情况，并用图形表示.能说出两个平面的位置关系.目标2评价：学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，并会用图形语言及符号语言表示.目标3评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；四、教学方法学生从直观认识平面到理性的理解平面，有一个抽象的过程.通过这个过程可培养学生的抽象能力.要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景.学完这三条基本性质，学生营养成用性质理解平面的习惯，学会用直线和皮面的基本性质进行推理.。
课题§平面的基本性质与推论执教刘洋学习对象高一教学目标知识与技能1理解并掌握平面的基本性质和推论并能运用它们解释生活中的某些现象；2掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
过程与方法通过观察实验，直观感知，操作确认理解与掌握平面的基本性质与推论。
情感态度与价值观通过从实际生活中抽象出数学模型，利用一些数学理论去诠释生活中的现象。
使学生感悟数学源于生活，增强学习兴趣。
教学重点平面的基本性质与推论，以及它们的应用教学难点文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化与应用教学环境及资源准备多媒体教室 PPT教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课给出四幅图片，联系生活实际导入新课以上生活经验都应用了哪些数学知识？教师提出问题，学生认真思考，带着问题进入到新课的学习中。
通过生活中常见的事物引发学生学习的兴趣。
初步体会数学与实际生活的联系。
新课一、空间中点、直线、平面之间的位置关系教师引导发现可以借助集合符号表示空间中点、线、面的首先明确点线面位置关系的符号语言，教学空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把点看做元素，直线、平面看成是点的集合，所以可以借助集合符号来描述点、线、面的位置关系。
即点在线上或在面内都要用“∈”符号。
线在面内要用“⊂”符号。
数学实验1：如果把书看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：1你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？2你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？二、平面的基本性质及推论1基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图形语言：符号语言：若A∈；B∈，A∈α，B∈α，则AB⊂α或若A∈α，B∈α，则直线AB⊂α作用：判断或证明直线在平面内（只需证线上位置关系。
《平面的基本事实与推论》教学设计第1课时◆教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换．◆教学重难点◆教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力．问题1：观察如图11－2－2，的凳子，把凳子看成一个平面，思考（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习平面的基本事实与推论.（板书：平面的基本事实与推论）【新知探究】问题2：确定平面的依据是什么？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：基本事实1的作用是什么？预设的答案：基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图象直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面设计意图：通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题3：尝试与发现：这就是说，如果A B αα∈∈， ，那么直线AB α∈，如图11－2－4所示．师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实2的作用是什么？预设的答案：基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A ∈α，B ∈α⇒AB ⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面．例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：如图11－2－6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的．（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实3的作用是什么？预设的答案：基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有,A a a αβ∈=；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；(2)平面ABD 与平面BCD 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC ．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC ．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD ．平面ABC ∩平面ADC ＝AC ．图形表示如图②.设计意图：用符号语言表示语句． 例2. 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明：设直线,,AB BC AC 两两相交，交点分别是,,A B C显然，,,A B C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为,,A B αα∈∈ 那么直线AB α⊂同理,AC BC αα⊂⊂即直线,,AB BC AC 都在平面α内.设计意图：基本事实1的运用．例3. 如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1CC 上的一点，试说明1,,D A E 3点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD所以面1D AE ABCD ≠∅，即面1D AE 与面ABCD 相交．延长1D E 与DC ，设它们相交于F ，如图所示，则：F ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ．F ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ．则F ∈面1D AE 面ABCD ，从而AF 为面1D AE 与面ABCD 的交线，如图所示.设计意图：基本事实3的运用．【课堂小结】1．板书设计：11.2 平面的基本事实1. 用符号语言表示语句例12. 基本事实1的运用例23. 基本事实1的运用例3练习与作业：2．总结概括：问题：（1）三个基本事实的作用有哪些？（2）证明几点共线的方法有哪些？（3）证明证明多线共点的方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．三个基本事实的作用基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 下列说法正确的是( )A ．三点可以确定一个平面B ．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C ．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D ．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合设计意图：基本事实的运用．2. 若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( )A ．C ∈αB ．C ∉αC ．AB ⊄αD ．AB ∩α＝C设计意图：用符号语言表示语句．3. 经过空间任意三点作平面( )A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个设计意图：基本事实的运用．4. 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D 中．画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．设计意图：基本事实的运用．5. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．设计意图：基本事实的运用．参考答案： 1. D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面；B 错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C 错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D 正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2. A 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.3. D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．4. 如图，∵AC BD O ⋂=，1C DC E ⋂=．∴O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 1AC ⋂平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =． EO A 1A B 11D5. 在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ．同理FG ∥BD ，则EH ∥FG .故E ，F ，G ，H 四点共面．。
平面的基天性质与推论一. 教课内容：1.平面的基天性质与推论2.空间中的平行关系二 . 教课目标1、认识平面的基天性质与推论，并能运用这些公义及推论去解决相关问题，会用会合语言来描绘点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。
2、以所学过的作为推理依照的一些公义和定理为基础，经过直观感知，操作确认，思辩论证，概括出空间中线、面平行的相关判断定理和性质定理。
能运用已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题。
三 . 教课要点、难点【要点】平面的基天性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传达性和面面平行的定义与判断。
【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转变与应用；怎样由平行公义以及其余基天性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判断和性质定理，并掌握这些定理的应用。
四 . 知识分析（一）平面的基天性质与推论1.平面的基天性质（1）对于公义 1①三种数学语言表述：文字语言表述：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部点都在这个平面内。
图形语言表述：如图 1 所示图 1符号语言表述：②内容分析：公义1 的内容反应了直线与平面的地点关系，条件“线上两点在平面内” 是公义的一定条件，结论“线上全部点都在面内”。
这个结论论述两个看法，一是整个直线在平面内，二是直线上全部点都在平面内。
③公义（ 1）的作用：既可判断直线能否在平面内，点能否在平面内，又可用直线查验平面。
（ 2）对于公义2①公义 2 的三种数学语言表述：文字语言表述：过不在同向来线上的三点，有且只有一个平面。
图形语言表述：如图 2 所示图 2符号语言表述：A、B、C 三点不共线有且只有一个平面α，使.②内容分析：公义 2 的条件是“过不在同向来线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。
条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽略，但“不在同向来线上”这一附带条件则易被忘记，如舍之，结论就不建立了，所以绝对不可以忘记．同时还应认识到经过一点、两点或在同向来线上的三点可有无数个平面；过不在同向来线上的四点，不必定有平面，所以要充足重视“不在同向来线上的三点”这一条件的重要性。
高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。
让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。
1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。
平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。
平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。
1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。
讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。
引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。
2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。
平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。
2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。
讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。
讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。
讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。
3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。
平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。
3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。
讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。
讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。
章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。
4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。
平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2.1平面的基本性质与推论【目标要求】1.了解平面的概念，掌握平面的表示方法.2.掌握平面的基本性质和它们的作用.3.掌握平面的基本性质的推论，并能够简单的应用.【巩固教材——稳扎马步】1.下列几种说法中，正确的是（）A．四边形一定是面面图形 B.空间三点确定一个平面C.桌面是一个平面D.三角形一定是平面图形2.下列说法中正确的个数是（）①两点确定一个平面②三点确定一个平面③四点确定一个平面A.0B.1C.2D.33.已知直线l上的一点在平面内，另一个点不在α内，则（）A. l在平面α内B. l不在平面α内C.平面α可以经过lD.以上都不对4.两个平面公共点的个数可能是（）A.0B.1C.2D.0或无数【重难突破——重拳出击】5.空间三个平面两两相交，那么（）A.必相交于一点B.必相交于一条直线C.必相交于三条平行直线D.不可能有且只有两条直线6.如果经过三点有无数个平面，则这三点（）Ａ.不共线Ｂ.不共面Ｃ.共线Ｄ.以上均不对７．三条直线相交于一点，能确定几个平面（）A.1个B.2个C.无数个D.1个或3个8.在空间，下列说法错误的是（）A.圆上三点可确定一个平面B.圆心和圆上两点可以确定一个平面C.四条平行线不能确定五个平面D.不共面的四点中任意三点不共线9.下列说法中正确的是（）A.两个相交平面可以没有公共点B. 10个平面重叠在一起比一个平面厚C.平面ABCD就是四边形ABCD围起来的部分D.平面是向四周无限延展的10.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（）A.P⊂l⊂αB. P∈l∈αC. P⊂l∈αD. P∈l⊂α11.已知三条直线a、b c、两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则（）A.m=2 n=2B.m=2 n=6C.m=3 n=7D.m=3 n=812.空间三个平面把空间分成几个部分（）A.4个或7个B.4个或6个C.4个、6个或7个D.4个、6个、7个或8个【巩固提高——登峰揽月】13.如图，αβ＝BC,A∈α,D∈β,E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，求证：若EF GH＝P,则P点必在直线BC上.14.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【课外拓展——超越自我】15．已知αβ、是两个平面，且n个点P1、P2、…、P n既在平面α内又在平面β内求证：P1、P2、…、P n在一条直线上.1.2.1平面的基本性质与推论【巩固教材——稳扎马步】1.D2.B3.B4.D【重难突破——重拳出击】5.D6.C7.D8.B9.D 10.D 11.C 12.D【巩固提高——登峰揽月】13.证明：∵E∈AB,F∈AC ∴E∈α ,F∈α∴EF⊂α同理：GH⊂β又∵EF GH=P ∴αβ=P ∵αβ=AB ∴P∈AB即P点必在AB上。
平面的基本性质一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 二．课前预习：1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβαI ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 选C2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为ο45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）()A 2221+ ()B 221+ ()C 21+ ()D 22+ 选D3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ） ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个选B4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ． 答案：7个． 三．例题分析：例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB I α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．α D CBAE F HGαb adcG F EA图1∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α． 设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例3．如图，点A ，B ，C 确定的平面与点D ，E ，F 确定的平面相交于直线l ，且直线AB 与l 相交于点G ，直线EF 与l 相交于点H ，试作出平面ABD 与平面CEF 的交线． 解：如图3，在平面ABC 内，连结AB ，与l 相交于点G ， 则G ∈平面DEF ；在平面DEF 内，连结DG ，与EF 相交于 点M ，则M ∈平面ABD ，且M ∈平面CEF ．所以，M 在 平面ABD 与平面CEF 的交线上．同理，可作出点N ，N 在 平面ABD 与平面CEF 的交线上．连结MN ，直线MN 即为所求．例4．如图，已知平面α，β，且αI β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）．E· BA D· FC · · · ·E· B A l图3 G HD · FCM· ·· α DBAl证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB I CD ＝M ．又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈αI β． 又∵αI β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．四．课后作业： 1．在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么 （ ） ()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 选A2．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是 ． 答案：①③3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．4．四边形ABCD 中，1=====BD DA CD BC AB ，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 ． 答案：)3,0(．5．如图，P 、Q 、R 分别是四面体ABCD 的棱AB ，AC ，AD 上的点，若直线PQ 与直线BC 的交点为M ，直线RQ 与直线DC 的交点为N ，直线PR 与直线DB 的交点为L ，试证明M ，N ，L 共线．证明：易证M ，N ，L ∈平面PQR ，且M ，N ，L ∈平面BCD ， 所以M ，N ，L ∈平面PQR I 平面BCD ，即M ，N ，L 共线．6．如图，P 、Q 、R 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，BB 1，DD 1上的三点，试作出A 1B 1D 1 C 1R Q· ·ABCDMNL PQ R过P ，Q ，R 三点的截面图．作法 ⑴连接PQ ，并延长之交A 1B 1的延长线于T ； ⑵连接PR ，并延长之交A 1D 1的延长线于S ； ⑶连接ST 交C 1D 1、B 1C 1分别于M ，N ，则线段MN 为平面PQR 与面A 1B 1C 1D 1的交线．⑷连接RM ，QN ，则线段RM ，QN 分别是平面PQR 与面DCC 1D 1，面BCC 1B 1的交线． 得到的五边形PQNMR 即为所求的截面图（如图4）． 说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1． 解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点． 有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．7．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1I B 1D 1＝O 1，B 1D I 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵B 1D I 平面A 1BC 1＝P ，∴P ∈平面A 1BC 1，P ∈B 1D ．∵B 1D ⊂平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1，且P ∈平面BB 1D 1D ． ∴P ∈平面A 1BC 1I 平面BB 1D 1D ，∵A 1C 1I B 1D 1＝O 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴O 1∈平面A 1BC 1，且O 1∈平面BB 1D 1D ． 又B ∈平面A 1BC 1，且B ∈平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1BC 1I 平面BB 1D 1D ＝BO 1．∴P ∈BO 1．说明 一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．A 1ABB 1DD 1 C C 1O 1 PA 1A B B 1 DD 1 CC 1 S TRQP图4N M。
1.2.1 平面的基本性质与推论[学习目标] 1.掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论.2.了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系.[知识链接]1.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合.2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外.[预习导引]1.平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.(2)基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.也可简单说成，不共线的三点确定一个平面.(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交.这条公共直线叫做两个平面的交线.2.平面基本性质的推论(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.共面和异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面.(2)异面直线：既不相交又不平行的直线.要点一三种语言的转换例1 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2). 规律方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪演练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1).(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2).(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3).要点二点线共面问题例2 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪演练2 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.要点三点共线与线共点问题例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线. 规律方法 点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DH HC ＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ，如图， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ， 又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).A.异面B.相交C.不相交D.不平行答案 D解析和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行.2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.3.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β答案 B解析∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.答案(1)4 (2)7解析(1)可以想象三棱锥的确4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本性质的作用，体会先部分再整体的思想.3.判断两条直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义处理.判定异面直线的方法往往用定义和反证法.借助长方体模型判定两直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观.。
第一章立体几何初步第节平面的基本性质与推论教学方法师生共同讨论法探索新知3．平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）基本性质1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）基本性质1的作用：判断直线是否在平面内.基本性质2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）基本性质2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一的平面α，使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lPP lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）基本性质3作用：判断两个平面是否相交.师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα⊂，否则就说直线l在平面α外，记作lα⊄.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.学生在观察、实验讨论中得出分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，l αβ=，a A α=，a B β=.在（2）中，l αβ=，a α⊂，b β⊂，a l P =，b l P =.随堂练习1．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. （ ）（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.（）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面. （ ）（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ）4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，但学生独立完成 答案： 1．D 2．（1）不共面的四点可确定4个平面. （2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A α∈，B α∉. （2）M α∉，M α∈.（3）a α⊂，a β⊂.巩固所学知识新课导入例题练习探索新知归纳总结作业。
求
证：a ∥α 。
你们会用什么方法证明呢？
证明：∵ a ∥b ∴经过a ,b 确定一个平面β
∵a ⊄α，b ⊂α∴α与β是两个不同的平面
∵b ⊂α，且b ⊂β∴α∩β=b 假设a 与α有公共点P ，则P ∈α∩β＝b,
点P 是a 、b 的公共点这与a ∥b 矛盾，∴a ∥α 抽
象
概
括
：
直线与平面平行的判定定理 ：如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
简述：线线平行 ，线面平行。
关键在平面内找一条直线与平面外的直线平行。
例2：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
借没说
补充
1）如图，长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）与AB 平行的平面是 ； （2）与 AA 1
平行的平面是 ； （3）与AD 平行的平面是 ； 2
）
如
图
,
正
方
体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 为DD 1的中点，求证: BD 1//平面AEC 证明:连结BD 交AC 于O,连结EO
∵O 为矩形ABCD 对角线的交点 ∴DO=OB 又∵DE=ED 1 ∴BD 1∥EO （四）小结归纳
1．证明直线与平面平行的方法： （1）利用定义：直线与平面没有公共点
（2）利用判定定理．线线平行
线面平行
a ⊄α ,
b ⊂α , a ∥b
a ∥α
2．数学思想方法：转化的思想
线线平行
线面平行
平面问题
空间问题
（五）布置作业
1．必做题：习题2.2 A组T1、T3；选做题：B组T1
2. 预习平面与平面平行的判定。
人教B 版 数学 必修2：平面的基本性质及推论 一
教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用
教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用
教学过程：
（一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在
这个平面内
1、直线与平面的位置关系
2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,
点A 在平面α内,记作α∈A ,
直线a 在平面α内,记作α⊂a
（二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些
公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).
两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.
（三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
（四） 问题：
(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?
(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?
(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个?
(4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个?
(5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?
(6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?
(五)给出几个正方体作出截面图形
课堂练习：教材第40页 练习A 、B
小结：
本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.
2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.
3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.
课后作业：略
平面的基本性质及推论 二
教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用
教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用
教学过程：
（五） 推论1：直线及其外一点确定一个平面
（六） 推论2：两相交直线确定一个平面
（七） 推论3：两平行直线确定一个平面
（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内．
求证：AB 和CD 既不平行也不相交．
证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ，α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交．
卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；
2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾． 例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．
求证：c b a 、、交于一点或两两平行．
证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ．
因为，β⊂a ，故β∈A ，
同理，γ∈A ，
故c A ∈．
所以c b a 、、交于一点．
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．
综上所述,命题得证.
例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面
α于R Q P 、、．
求证：R Q P 、、三点共线． 证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，
所以R Q P 、、三点共线．
卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２． 例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.
求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ， 因为 L E 、是CB CD 、的中点，
所以 BD EL //． 又 矩形11B BDD 中BD KF //，
所以 EL KF //，
所以 EL KF 、可确定平面α，
所以 L K F E 、、、共
面α， A B C P Q R αA A
B B
C
D D
E
F G H K L 1111
同理 KL EH //，
故 L K H E 、、、共面β．
又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，
故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．
同理可证α∈G ，
所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面．
卡片：证明共面问题常有如下两个方法：
(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；
(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．
课堂练习：
1.判断下列命题是否正确
(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( )
(2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( )
(3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( )
(4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( )
(5)矩形是平面图形. ( )
2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的条件．
3.空间四个平面两两相交，其交线条数为.
4.空间四个平面把空间最多分为部分．
5.空间五个点最多可确定个平面．
6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为.
7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .
8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.
小结：
本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用
课后作业：略。
