2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §2-2.2 第1课时 等差数列的前n项和 Word版含解析

章末综合检测(一)(时间：分钟，满分：分)一、选择题：本题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知实数－，，，，－成等比数列，则等于( )．－．±．－．±解析：选.因为＝(－)×(－)＝，＝，所以＝－(＝不合题意，舍去)，所以＝－.．有穷数列，，，，…，＋的项数是( )．＋．＋．＋．＋解析：选.此数列的次数依次为，，，，…，＋，为等差数列，且首项＝，公差＝，设＋是第项，＋＝＋(－)×，所以＝＋.故选.．某种细胞开始有个，小时后分裂成个并死去个，小时后分裂成个并死去个，小时后分裂成个并死去个，…，按此规律进行下去，小时后细胞存活的个数是( ) ．个．个．个．个解析：选.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{}．则即＝.所以－＝·－，＝－＋，＝.．等差数列{}的公差不为零，首项＝，是和的等比中项，则数列的前项之和是( )．．．．解析：选.设公差为，所以(＋)＝×(＋)，因为≠，所以＝，从而＝.．已知是等差数列{}的前项和，下列选项中不可能是{}的图像的是( )解析：选.因为是等差数列{}的前项和，所以设＝＋(，为常数，∈＋)，则其对应函数＝＋的图象是过原点的一条曲线．当＝时，该曲线是过原点的直线，如选项；当≠时，该曲线是过原点的抛物线，如选项，；选项中的曲线不过原点，不符合题意．选.．设＝()是一次函数，若()＝，且()，()，()成等比数列，则()＋()＋…＋()等于( ) ．(＋) ．(＋)．(＋) ．(＋)解析：选.设＝＋(≠)，因为()＝，所以＝.又因为()，()，()成等比数列，所以(＋)＝(＋)·(＋)，所以＝，所以＝＋.所以()＋()＋…＋()＝(×＋)＋(×＋)＋…＋(×＋)＝(＋＋…＋)＋＝＋＋＝(＋)．故选.．已知是数列{}的前项和，＝(＝，，，…)，则数列{}( )．是公比为的等比数列．是公差为的等差数列．是公比为的等比数列．既非等差数列，也非等比数列解析：选.因为＝，所以＝，则＝.当≥时，＝－－＝－－＝－.因为＝不适合上式，所以{}既非等差数列，也非等比数列．．数列{}满足递推公式＝－＋－(≥)，又＝，则使得为等差数列的实数λ等于( )．．．－．解析：选＝，＝，＝，令＝，则＝，＝，＝，因为＋＝，所以λ＝－.．已知等差数列{}的前项和为，若＋＝，则())＝( )．．．－．－解析：选.在等差数列{}中，＝＝(＋)＝(＋)＝，所以())＝－)＝－)＝－＝－.故选.．设数列{}是以为首项，为公差的等差数列，{}是以为首项，为公比的等比数列，则＋＋…＋等于( )．．．．解析：选.由已知可得＝＋，＝－，于是＝＋，因此＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝＋＝.．设是数列{}的前项和，且＝－，＋＝＋，则＝( )。

{ } ������
2
25
(2)设 cn=log2������������,数列 ������������������������ + 2 的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn<21(n∈N+)的 n 的最大值.
( )1 ������ - 1
(1)证明:在 Sn=-an- 2 +2 中,
1
令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,解得 a1=2.
答案:B
7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=-6,S18-S15=18,则 S18= . 解析:∵S3=a1+a2+a3=-6,S18-S15=a18+a17+a16=18,
∴(a1+a18)+(a2+a17)+(a3+a16)=12,即 a1+a18=4.
18(������1 + ������18)
A.30
B.45
C.90
D.186
答案:C
5.在等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和.若 S16>0,且 S17<0,则当 Sn 最大时,n 的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.16
16(������1 + ������16)
17(������1 + ������17)
解析:由 S16>0,且 S17<0,知 2 >0,且 2 <0,得 a1+a16>0,且 a1+a17<0,所以 a8+a9>0,2a9<0, 所以 a8>0,a9<0,故当 Sn 最大时,n=8. 答案:A

§数列的函数特性
时间：分钟满分：分
班级姓名分数
一、选择题：(每小题分，共×＝分)
．设数列{}的前项和＝，则的值为( )
．．
．．
．已知＋－－＝，则数列{}是( )
. 递增数列 . 递减数列
. 常数项 . 不能确定
．下列说法中不正确的是( )
．数列，，，…是无穷数列．数列{()}就是定义在正整数集＋上或它的有限子集{，…，}上的函数值
．数列，－，－，－，…不一定是递减数列
．已知数列{}，则{＋－}也是一个数列
．已知数列{}满足＝，＋＝(∈＋)，则的值是( )
．．－
．设数列{}中，＝，＋＝＋，则通项可能是( )
．－．·－－
．－．·－－．已知数列{}满足＋＝
若＝，则的值为( )
. .
. .
二、填空题：(每小题分，共×＝分)
．数列{}的通项公式为＝－，则它的最小项是．
．已知数列{}中，＝，＋＝＋(－)，则＝.
．已知数列{}的前项和＝－，第项满足＜＜，则＝.
三、解答题：(共分，其中第小题分，第、小题各分)．根据函数＝的单调性，求数列{}的最大项与最小项的值．。

第2课时　等差数列的性质及应用课时过关·能力提升1.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( )B.16C.20D.24,a 2+a 10=a 4+a 8=16,故选B .{a n }中,已知a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( )B.30C.31D.64{a n}是等差数列,∴a 7+a 9=a 4+a 12,a 12=16-1=15.m和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5,则m 和n 的等差中项是( )B.3C.6D.9m+2n=8,2m+n=10,3(m+n )=18,∴m+n=6.∴m 和n 的等差中项是3.故选B .与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则插入的这7个数中的第4个数为( )B.9C.12D.153+8d=27,∴d=3,a 5=3+4×3=15.故选D .1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 017,则该数列的首项为 .{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9= .,得(a 1+a 4+a 7)+(a 3+a 6+a 9)=2(a 2+a 5+a 8),即39+(a 3+a 6+a 9)=2×33,故9=27.,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为　. a-d ,a ,a+d ,a-d+a+a+d=3a=9,即a=3.∵(a-d )2+a 2+(a+d )2=35,∴d=±2.所求数列为1,3,5或5,3,1.或5,3,1y ,两个数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和x ,b 1,b 2,b 3,b 4,y 都是等差数列,则= . a 2-a 1b 3-b 2d 1,d2,由已知得{y =x +4d 1,y =x +5d 2,即{4d 1=y -x ,5d 2=y -x ,,即.d 1d 2=54a 2-a 1b 3-b 2=d 1d 2=54a 1,a 2,…,a m (m 为正整数)满足条件:a 1=a m ,a 2=a m-1,…,a m =a 1,则称其为“对称”数列.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n }中,c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c 2= .c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,c 20=c 11+9d=1+9×2=19.因为数列{c n }为21项的“对称”数列,c 2=c 20=19.已知成等差数列,并且a+c ,a-c ,a+c-2b 均为正数,求证:lg(a+c ),lg(a-c ),lg(a+c-2b )也成等差数列.1a ,1b ,1c 2lg(a-c )=lg(a+c )+lg(a+c-2b ).∵成等差数列,∴,1a ,1b ,1c 2b =1a +1c ∴2ac=ab+bc.∴-2ac=2ac-2b (a+c ),∴-2ac+a 2+c 2=2ac-2b (a+c )+a 2+c 2,∴(a-c )2=(a+c )(a+c-2b ).∵a-c ,a+c ,a+c-2b 都是正数,∴2lg(a-c )=lg(a+c )+lg(a+c-2b ).∴lg(a+c ),lg(a-c ),lg(a+c-2b )也成等差数列.★11.已知函数f (x )=,数列{x n }的通项公式由x n =f (x n-1)(n ≥2,n ∈N +)确定.3x x +3(1)求证:是等差数列;{1x n }=时,求x 100.12n =f (x n-1)=(n ≥2,n ∈N +),3x n -1x n -1+3∴.x n =x n -1+33x n -1=13+1x n -1∴(n ≥2,n ∈N +).1x n ‒1x n -1=13是公差为的等差数列.{1x n }13x 1=+(n-1)×,12,1x n=1x 113∴=2+(100-1)×=35,∴x 100=.1x 10013135★12.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明:从第1年起平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:养鸡场个数由第1年30个减少到第6年10个.根据提供的信息说明.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.?请说明理由.,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列,记为{a n },公差为d 1,且1a 6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{b n },公差为d 2,且b 1=30,b 6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n },则c n =a n b n .(1)由a 1=1,a 6=2,得{a 1=1,a 1+5d 1=2,∴{a 1=1,d 1=0.2,∴a 2=1.2.由b 1=30,b 6=10,得{b 1=30,b 1+5d 2=10,∴∴b 2=26.∴c 2=a 2b 2=1.2×26=31.2.{b 1=30,d 2=-4,故第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数是31.2万.(2)缩小了.理由如下:c 6=a 6b 6=2×10=20<c 1=a 1b 1=30,故到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.(3)第2年的规模最大.理由如下:∵a n =1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n ≤6,n ∈N +),b n =30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n ≤6,n ∈N +),∴c n =a n b n =(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n 2+3.6n+27.2(1≤n ≤6,n ∈N +).∵对称轴为直线n=,94∴当n=2时,c n 最大.故第2年的规模最大.。

[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14B ．512 C.34 D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B. 2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2. 3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. 所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( ) A ．2nB ．2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2 解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________． 解析：a n ＝2n －12n ＝1－12n ， 所以S n ＝n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164， 所以n ＝6.答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2 x ＋ln 3 x ＋…＋ln 10 x ＝________． 解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110.得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2.从而ln x ＋ln 2 x ＋…＋ln 10 x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046. 答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋； (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋， 所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2， 所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2， b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.[B 能力提升]11．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2 D ．2n ＋1－n －2 解析：选D.因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，所以2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n －n ，得S n ＝2n ＋1－2－n .12．已知数列{a n }中，a n ＝4×(－1)n －1－n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝________． 解析：S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋[4(－1)2n －1－2n ]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n －1]－(1＋2＋3＋…＋2n )＝－2n （2n ＋1）2＝－n (2n ＋1)． 答案：－n (2n ＋1)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数. 设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则n 为奇数时，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2. n 为偶数时，c n ＝2n －1，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)． 14．(选做题)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n ＋12.。

1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1≥0，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x ≤－1或1≤x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |1≤x <2}解析：选D.因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≥1或x ≤－1}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}．2．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则实数a 的值是( )A.13B ．14 C.15 D ．16解析：选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当相应直线分别经过该平面区域内的点(a ，a )与(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小与最大，此时z ＝2x ＋y 取得最小值与最大值，于是有2×1＋1＝4(2a ＋a )，a ＝14. 3．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．a (a －b )＞0解析：选C.由已知可得，c ＜0，a ＞0，b 不一定，若b ＝0时，C 不一定成立，故选C.4．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2，即|xy |＝22时等号成立． 答案：95．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为__________时，日获利不少于1 300元． 解析：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量为20件至45件时，日获利不少于1 300元．答案：20件至45件6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥12x ＋m ，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，求实数m 的取值范围．解：画出可行域如图所示(阴影部分)，由题意，知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1，1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1，1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说明点O 一定在可行域内，则直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0.。

所以Sn＝n（a1＋an）2＝n（39＋41－2n）2＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400
所以当n＝20时，Sn取最大值．
答案20
9．在等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn求
(1)等差数列{an}的通项式；
(2)Sn，n为何值时，Sn最大．
解(1)设等差数列{an}的差为d，
根据题意，得a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，
解得a1＝6，d＝－2
所以数列{an}的通项式为an＝－2n＋8
(2)由第一问可知Sn＝6n＋n（n－1）2·(－2)＝－n2＋7n＝－n－722＋494
因为S3＝－9＋21＝12，S4＝－16＋28＝12，
所以当n＝3或n＝4时，Sn最大．
10．已知数列{an}的通项式an＝31－3n，求数列{|an|}的前n项和Hn
解设{an}的前n项和为Sn
由an＝31－3n可得Sn＝－32n2＋592n
由an≥0，解出n≤313≈103
当n≤10时，Hn＝Sn＝－32n2＋592n；
当n≥11时，Hn＝2S10－Sn＝32n2－592n＋290
所以Hn＝－32n2＋592n，n≤10，32n2－592n＋290，n≥11
[B能力提升]
3．已知数列{an}的通项式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为( )
A．11或12 B．12
c．13 D．12或13
解析选D因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋n（n－1）2×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2522＋6254又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．
6．已知数列{an}满足an＋1＝an－57，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为________．

[A 基础达标]1．不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B ．⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3]D ．⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解析：选D.因为(x －1)2＞0，由x ＋5（x －1）2≥2可得x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1. 所以2x 2－5x －3≤0且x ≠1，所以－12≤x ≤3且x ≠1. 所以不等式的解集是⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3]． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1＜0 ，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )解析：选D.x ＋3x －1＜0⇔(x ＋3)(x －1)＜0，故集合M 可化为{x |－3＜x ＜1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合是( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：选D.若a ＝0时符合题意，若a ＞0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0＜a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.4．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43. 5．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选C.(x －a )×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，所以－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，所以(2a－3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32. 6．若a ＜0，则不等式x －4a x ＋5a＞0的解集是________． 解析：原不等式可化为(x －4a )(x ＋5a )＞0，由于a ＜0，所以4a ＜－5a ，因此原不等式解集为{x |x ＜4a 或x ＞－5a }．答案：{x |x ＜4a 或x ＞－5a }7．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．解析：由题意得七月份的销售额500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x min ＝20. 答案：208．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，所以f (x )在x ∈[0，1]上是递减的，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝－3.所以要使x 2－4x ≥m 对于任意x ∈[0，1]恒成立，则需m ≤－3.答案：(－∞，－3]9．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，若二次方程ax 2－(a ＋2)x ＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，解不等式f (x )>1.解：因为函数f (x )是二次函数，所以a ≠0，因为Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，又二次方程ax 2－(a ＋2)x ＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，所以f (－2)f (－1)<0， 而f (－2)＝6a ＋5，f (－1)＝2a ＋3，所以(6a ＋5)(2a ＋3)<0，所以－32<a <－56. 又a ∈Z ，所以a ＝－1，所以不等式f (x )>1可化为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0，所以原不等式的解集为{x |－1<x <0}．10．一辆汽车总重量为ω，时速为v (km/h)，设它从刹车到停车行走的距离L 与ω，v 之间的关系式L ＝k v 2ω(k 是常数)．这辆汽车空车以每小时50 km 行驶时，从刹车到停车行进了10 m ，求该车载有等于自身重量的货物行驶时，若要求司机在15 m 距离内停车(包含15 m)，并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为1 s ，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到1 km/h)解：根据已知当L ＝10，v ＝50时，10＝k ·502·ω⇒k ω＝1250. 又司机反应时间1 s 内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为k v 2·2ω＋v ×1 00060×60×1.依题意，得k v 2·2ω＋v ×1 00060×60×1≤15⇔v 2125＋5v 18≤15⇔18v 2＋625v －33 750≤0⇒0<v ≤29(近似值)．故汽车允许最大时速为29 km/h.[B 能力提升]11．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是( )A ．[10，16)B ．[12，18)C ．[15，20)D ．[10，20)解析：选C.设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，因为方程x 2－30x ＋200＝0的两根为x 1＝10，x 2＝20，所以x 2－30x ＋200<0的解为10<x <20，又因为x ≥15，所以15≤x ＜20，因此，应将这批台灯的销售单价制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．故选C.12．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x＋c >bx 的解集为________． 解析：依题意，－1和2都是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，且a <0.因此，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a .于是，不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax . 因为a <0，所以1x －2<－x ，即（x －1）2x <0， 当x ＝1时，不等式不成立；当x ≠1时，得x <0.所以，所求不等式的解集为{x |x <0}．答案：{x |x <0}13．解下列不等式：(1)(x －1)(x －2)(3－x )>0；(2)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0；(3)1＋x －x 3－x 4>0.解：(1)因为(x －1)(x －2)(3－x )>0.所以(x －1)(x －2)(x －3)<0，又因为方程(x －1)(x －2)(x －3)＝0的根是x 1＝1， x 2＝2，x 3＝3.画出数轴、标出根、再穿线如图(1)所示．所以原不等式的解集为{x |x <1或2<x <3}．(2)方程x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)＝0的根是x 1＝0， x 2＝x 3＝1，x 4＝x 5＝x 6＝－1，x 7＝－2，其中－1为三重根，1为二重根，如图(2)所示．故不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或x ≥0}．(3)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)<0. 而对于x ∈R ，恒有x 2＋x ＋1>0，所以原不等式等价于(x ＋1)(x －1)<0，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．14．(选做题)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围． 解：(1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图像是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）·（－2）＋x 2－2x ＋1＞0，（x －1）·2＋x 2－2x ＋1＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0.所以x ＞3或x ＜－1. 故x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1.(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， 因为2≤x ≤4，所以x －1＞0. 所以p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， 所以p ＞(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 故p 的取值范围是p ＞－1.。

⎧⎪a 1＝2，a －1 a n －1 ⎩章末综合检测(一)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数－1，x ，y ，z ，－2 成等比数列，则 xyz 等于( )A ．－4C ．－2 2B ．±4D ．±2 2解析：选 C.因为 xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，所以 y ＝－ 2(y ＝ 2不合题意，舍去)，所以 xyz ＝－2 2.2．有穷数列 1，23，26，29，…，23n ＋6 的项数是( )A ．3n ＋7C ．n ＋3B ．3n ＋6D ．n ＋2解析：选 C.此数列的次数依次为 0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项 a 1＝0，公 差 d ＝3，设 3n ＋6 是第 x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以 x ＝n ＋3.故选 C.3．某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，…， 按此规律进行下去，6 小时后细胞存活的个数是()A ．33 个C ．66 个B ．65 个D ．129 个解析：选 B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎨ 即 n ＋1 ＝2. ⎪a n ＋1＝2a n －1， 所以 a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.4．等差数列{a n }的公差不为零，首项 a 1＝1，a 2 是 a 1 和 a 5 的等比中项，则数列的前 10 项之 和是()A ．90C ．145B ．100D ．190解析：选 B.设公差为 d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为 d ≠0，所以 d ＝2，从而 S 10＝100.5．已知 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图像的是()1f f C ．是公比为 的等比数列8．数列{a n }满足递推公式 a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又 a 1＝5，则使得⎨ n n ⎬为等差数列的C ．－D ． 则 b 1＝ ，b 2＝ ，b 3＝ 3 9 27解析：选 D.因为 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，所以设 S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)， 则其对应函数 y ＝ax 2＋bx 的图象是过原点的一条曲线．当 a ＝0 时，该曲线是过原点的直线，如选项 C ；当 a ≠0 时，该曲线是过原点的抛物线，如选项 A ，B ；选项 D 中的曲线不过原点，不符合题意．选 D.6．设 y ＝f (x )是一次函数，若 f (0)＝1，且 f (1)，(4)，(13)成等比数列，则 f (2)＋f (4)＋…＋f (2n ) 等于()A ．n (2n ＋3)C ．2n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)D ．2n (n ＋4)解析：选 A.设 y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为 f (0)＝1，所以 b ＝1.又因为 f (1)，f (4)，f (13)成等比数列， 所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以 k ＝2，所以 y ＝2x ＋1.所以 f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选 A.7．已知 S n 是数列{a n }的前 n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1，2，3，…)，则数列{a n }( )A ．是公比为 2 的等比数列B ．是公差为 2 的等差数列1 2D ．既非等差数列，也非等比数列解析：选 D.因为 log 2S n ＝n ，所以 S n ＝2n ，则 a 1＝2. 当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 因为 a 1＝2 不适合上式，所以{a n }既非等差数列，也非等比数列．⎧a ＋λ⎫ ⎩ 3 ⎭实数 λ 等于()A ．212B ．51 2a ＋λ解析：选 C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令 b n ＝ n3n ，5＋λ 23＋λ 95＋λ ，29．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 10＋a 11＝10，则ln S 20＝( )10 λ 解析：选 D.在等差数列{a n }中，S 20＝ ＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＝100，所以ln 100 ln 1001 ln 10－1＝－lg 100＝－2.故选 D.10＋…＋29＋10＝ ＋10＝1 033.C ．－D ． 因为 S n ≠0，所以－ S n S S nS 1 S n所以 ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以 S n ＝－ .12．对于正项数列{a n }，定义 G n ＝ 1为数列{a n }的“匀称”值．已知数B ． D ．1因为 b 1＋b 3＝2b 2，所以 ＝－2.1 lnA ．1C ．－1 B ．2D ．－2（a 1＋a 20）×20 2ln 10 ln10．设数列{a n }是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，{b n }是以 1 为首项，2 为公比的等比 数列，则 ab 1＋ab 2＋…＋ab 10 等于() A ．1 033C ．2 057B ．1 034D ．2 058解析：选 A.由已知可得 a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是 ab n ＝b n ＋1，因此 ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21 1－2101－211．设 S n 是数列{a n }的前 n 项和，且 a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则 S n ＝()A ．n1nB ．－n1 n解析：选 C.因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， 所以 S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.1 1 1 1 ＝1，即 － ＝－1. n ＋1S n ＋11 1又 ＝－1，所以{ }是首项为－1，公差为－1 的等差数列．1 1 S nna ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n n列{a n }的“匀称”值为 G n ＝n ＋2，则该数列中的 a 10 等于()A ．2 3C ．14 521 103解析：选 D.因为 G n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn式及前 n 项和公式知 a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝ 11－q 1－21－a n1－a n，a 10＝ a a 1－a n 1－a n －1 1 1－a n －1－11－an －1 1－a n －1 1 －a n －1 an －1＝1－1，数列{a n }的“匀称”值为 G n ＝n ＋2， 所以 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，① 所以 n ≥2 时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)，②2n ＋1①－②得 na n ＝2n ＋1，所以 a n ＝ n ，n ≥2，当 n ＝1 时，a 1＝G 1＝3 满足上式．2n ＋1 21所以 a n ＝ n 10.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分．13．若数列{a n }满足：1＝1，n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则 a 5＝________；前 8 项的和 S 8＝________(用 数字作答)．解析：由 a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，由通项公a （1－q 8） 1· （1－28） ＝ ＝255.答案：16 25514．数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则 a 6＝________． 解析：由 a n ＋1＝3S n ，得 S n ＋1－S n ＝3S n ，即 S n ＋1＝4S n ， 所以数列{S n }是首项为 1，公比为 4 的等比数列， 所以 S n ＝4n －1，所以 a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768. 答案：768115．数列{a n }满足 a n ＋1＝ ，a 8＝2，则 a 1＝________．1解析：因为 a n ＋1＝ ，1 所以 a n ＋1＝ ＝1－ 1 ＝＝ ＝1－1 ＝1－(1－a n －2)＝a n －2，1－a n －2所以周期 T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.所以 a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.42所以 a n ＝2 22an ＋bn 4n ＋4n n （n ＋1） n ＋1 a －a 1 3解：(1)由题意得 d ＝ ＝2， 1(2)S n ＝×n ＝n 2＋n ，由 S n ≥2n ＋12， 1⎨a 6＝0，所以⎧ ⎧a ＋2d ＝－6，a ＝－10， 而 a 2＝ ，所以 a 1＝ .2 ＝2 n －n ＋1 ，所以{a n }的前 n 项和 S n ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝2 1－n ＋1 ＝223⎝⎭⎝⎭⎩ ⎩1 1 1－a11答案：816．已知 a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为 a n ＝2an 2＋bn 的数列{a n }的前 n 项和为________．解析：因为 a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以 2b ＝a ＋a ＋b ，故 b ＝2a .因为 a ，b ，ab 成等比数列，所以 b 2＝a 2b ，又 b ≠0，故 b ＝a 2，所以 a 2＝2a ，又 a ≠0，所以 a ＝2，b ＝4，8 8 2 ＝ ＝⎛1 1 ⎫ 1 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎫2n n n ＋1 n ＋1.2n 答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 10 分)已知等差数列{a n }(n ∈N ＋)满足 a 1＝2，a 3＝6. (1)求该数列的公差 d 和通项公式 a n ；(2)设 S n 为数列{a n }的前 n 项和，若 S n ≥2n ＋12，求正整数 n 的取值范围．2所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，n ∈N ＋.a ＋a n 2解得 n ≥4 或 n ≤－3.所以 n ≥4 且 n ∈N ＋.18．(本小题满分 12 分)已知{a n }为等差数列，且 a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足 b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为 d .因为 a 3＝－6，解得⎨ 1⎪a 1＋5d ＝0，⎪d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为 q .5所以数列{b n }的前 n 项和为 1 1－q ＝ ，所以{a n －1}是等比数列． a n －12⎛ 1⎫ ⎛1⎫n －1＝－⎛1⎫n ，⎛1⎫n .( b b 所以当 n ≥2 时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝2⎭ －⎣1－⎛⎝ ⎫⎭⎛1⎫n －1－⎛1⎫n ＝⎛1⎫n . 又 b 1＝a 1＝ 代入上式也符合，所以 b n ＝⎝2⎭ .2因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即 q ＝3.b （1－q n ） ＝4(1－3n )．19．本小题满分 12 分)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，数列{b n }中，1＝a 1，n ＝a n －a n －1(n ≥2)， 且 a n ＋S n ＝n .设 c n ＝a n －1， (1)求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为 a n ＋S n ＝n ，① 所以 a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以 2a n ＋1＝a n ＋1， 所以 2(a n ＋1－1)＝a n －1，a －1 1所以 n ＋11又 a 1＋a 1＝1，所以 a 1＝2，1 因为 c 1＝a 1－1，所以 c 1＝－2.又 c n ＝a n －1，1 1所以{c n }是以－2为首项，2为公比的等比数列．(2)由第一问可知 c n ＝⎝－2⎭· ⎝2⎭⎝2⎭所以 a n ＝c n ＋1＝1－⎝2⎭⎛1⎫n ⎡ 1 n －1⎤2 ⎦＝⎝2⎭ ⎝2⎭ ⎝2⎭1 ⎛1⎫n20．(本小题满分 12 分)某地现有居民住房的面积为 a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以 10%的住房增长率建新住房．(1)如果 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是 多少(可取 1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过 10 年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第 1 位)?解：(1)根据题意，可知 1 年后住房总面积为 1.1a －x ；6解得 x ＝ a (m 2)．21．(本小题满分 12 分)设数列⎨a ⎬是等比数列，S n 是{a n }的前 n 项和，若 a 1＝1，a 2a 3a 4＝64.解：(1)因为数列⎨a ⎬是等比数列，3解得 a 3＝4.所以 q 2＝ ＝4，解得 q ＝2 或 q ＝－2. (2)当 q ＝2 时，S n ＋λ＝－＋λ＝2·2n 1＋λ－1，同理当 q ＝－2 时，S n ＋λ＝－＋λ＝ ·(－2)n 1＋λ＋ ，当且仅当 λ＋ ＝0，即 λ＝－ 所以 λ 的值为 1 或－ .＝1.1 a － x ≈2.6a －16x .102 80 1 (2)所求百分比为 ＝ ≈6.3%. 时，数列{S n ＋λ}是首项为2 年后住房总面积为 1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3 年后住房总面积为 1.1(1.12a －1.1x－x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；… 10 年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x1.110－11.1－1由题意，得 2.6a －16x ＝2a .380a3 － a ×102a 16即过 10 年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是 6.3%.⎧ 1 ⎫ ⎩ n ⎭(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当数列{S n ＋λ}也是等比数列时，求实数 λ 的值．⎧ 1 ⎫ ⎩ n ⎭所以数列{a n }也是等比数列．设等比数列{a n }的公比为 q ，则 a 33＝a 2a 3a 4＝64，a a1当 q ＝2 时，数列{a n }的通项公式为 a n ＝2n －1； 当 q ＝－2 时，数列{a n }的通项公式为 a n ＝(－2)n －1.1－2n 1－2当且仅当 λ－1＝0，即 λ＝1 时，数列{S n ＋λ}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．1－（－2）n 2 1 1 1－（－2） 3 3 31 23 3，公比为－2 的等比数列．1 3122．(本小题满分 12 分)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝2na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N ＋)，a 2＝6.(1)求 c 的值及数列{a n }的通项公式；7＝1－ n － n ＋1，所以 T n ＝2－ 2 2 2n ⎪－⎝2－ n ⎫⎭＝ n ＋1 ＞0，因为 T n ＋1－T n ＝ 2－ 所以 2× ＞m －2.所以 m ＜3，nnT n ＝ 2＋ 4＋…＋a －2(2)设 b n ＝ 2n ＋1 ，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，若 2T n ＞m －2 对任意 n ∈N ＋恒成立，求正整数m 的最大值．1解：(1)因为 S n ＝2na n ＋a n －c ，1所以当 n ＝1 时，S 1＝2a 1＋a 1－c ，解得 a 1＝2c .当 n ＝2 时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即 a 1＋a 2＝a 2＋a 2－c .解得 a 2＝3c ，所以 3c ＝6，解得 c ＝2.则 a 1＝4， 数列{a n }的公差 d ＝a 2－a 1＝2. 所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2. a －2 2n ＋2－2 n(2)因为 b n ＝ 2n ＋1 ＝2n ＋1＝2n ，1 2 3 n所以 T n ＝2＋22＋23＋…＋2n ，①1 123 n 2 2 23＋2 2n ＋1，②1 1 1 1 1 1 n 由①－②可得2T n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －2n ＋11 n 2＋n .⎛ 2＋n ＋1⎫ ⎛ 2＋n n ＋1 ⎝ 2n ＋1 ⎭ 2 21所以数列{T n }单调递增，T 1 最小，最小值为2.12故正整数 m 的最大值为 2.8。

2.1 等差数列(二)[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 推广的等差数列的通项公式 已知a 1求a n ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)． 已知a m 求a n ，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n )． 思考 已知等差数列{a n }中的a m 和a n ，如何求d? 答案 由{a n }的通项公式得 a n ＝a 1＋(n －1)d ， a m ＝a 1＋(m －1)d ，两式相减得a n －a m ＝(n －m )d ， ∴d ＝a n －a mn －m.知识点二 等差数列的性质1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有2.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…….3．下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别的，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .思考 等差数列{a n }中，若a 5＝7，a 9＝19，则a 2＋a 12＝________，a 7＝________. 答案 26 134．等差数列的“子数列”的性质 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1)数列{a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列． (2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列，偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列．(3)若数列{k n }是等差数列，则数列{ak n }也是等差数列．(4)从等差数列{a n }中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．题型一 等差数列的性质及应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二 根据等差数列性质 a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________． 答案 (1)15 (2)18解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20 ＝18.题型二 等差数列项的设法及运算例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，(a －3d )(a ＋3d )＋18＝(a －d )(a ＋d )， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 反思与感悟 三个数或四个数成等差数列的设法．当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a 1和公差d 列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，利用和为定值，先求出其中某个未知量．跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解 方法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8. 这三个数为4,6,8.方法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2， ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去， ∴这三个数为4,6,8.题型三 等差数列的综合问题例3 已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列，并写出{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式及数列{a n }中的最大项与最小项． 解 (1)因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －1＝a n －1－1a n －1，所以1a n －1＝a n －1－1＋1a n －1－1＝1＋1a n －1－1，即1a n －1－1a n －1－1＝1. 因为b n ＝1a n －1，所以b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝14，b 1＝1a 1－1＝－43，所以数列{b n }是以b 1＝－43为首项，1为公差的等差数列．故b n ＝－43＋(n －1)×1＝n －73(n ∈N *)．(2)由(1)得a n ＝1n －73＋1＝1＋33n －7，当n ≥3时，数列{a n }是递减数列，且a n >1.又a 1＝14，a 2＝－2，a 3＝52，所以在数列{a n }中，最大项为a 3＝52，最小项为a 2＝－2.反思与感悟 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程(组)或不等式(组)． (3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.题型四 等差数列的实际应用例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司经销此产品将亏损． 设第n 年的利润为a n ，因为a 1＝200，公差d ＝－20， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .由题意知数列{a n }为递减数列，令a n <0， 即a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损． 反思与感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 答案 B解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.审题不仔细致误例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为________． 错解 方法一 由a 10>0得－24＋9d >0，∴d >83.方法二 由⎩⎨⎧a 10>0a 9<0得⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0－24＋8d <0，∴83<d <3.错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a 10>0”的同时还表明“a 9≤0”这一条件．正解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>0，a 9≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.答案 83<d ≤3误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A ．5B ．8C ．10D ．14 答案 B解析 方法一 设等差数列的公差为d ， 则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10， 所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.方法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51答案 C解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51， ∴a 51＝0＝a 3＋a 99.4．下列是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列； 其中正确的结论是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d ＞0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. 答案 24解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24. ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.1.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解．但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。

[A 基础达标]1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A.63B ．223C ．－63 D ．－223 解析：选A.因为a ＝15，b ＝10，A ＝60°，所以在△ABC 中，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a＝10×3215＝33，又由a >b 可得A >B ，即得B 为锐角，则cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 解析：选A.因为cos 2A 2＝b ＋c 2c 及2cos 2A 2－1＝cos A ，所以cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，所以a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是直角三角形．故选A.3．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4解析：选A.因为|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12·|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝ 3.所以sin A ＝32，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±12. 所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A＝4×1×⎝⎛⎭⎫±12＝±2，故选A.4．在△ABC 中，A ＝π3，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.已知A ＝π3，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边为a ，b ＋c ＝7，bc ＝11，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos π3 ＝（b ＋c ）2－3bc ＝72－3×11＝4.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B ．π6 C.π4 D ．π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B. 6．△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝__________． 解析：由题知，设△ABC 外接圆半径R ， 则2R ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝23， 则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R （sin A ＋sin B ＋sin C ）sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝2 3. 答案：2 37．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．解析：由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又c 2＝b 2＋2bc ，所以cos A ＝22，得A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，所以C ＝105°.答案：45°，30°，105°8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为__________．解析：由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120°，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角． 由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.答案：279．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B ．(1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状．解：(1)由已知及正弦定理，有sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ．所以sin(B ＋C )＝2sin A cos B ．因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以2cos B ＝1，即cos B ＝12，所以B ＝60°. (2)由题设及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0.所以(a －c )2＝0.从而a ＝c .由第一问知B ＝60°，所以A ＝B ＝C ＝60°.所以△ABC 为正三角形．10．在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4. (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4，则 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4. 因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. [B 能力提升]11．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则C 等于( )A.π6B ．π3 C.5π6 D ．2π3解析：选B.由sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ，结合正弦定理可得a 2－c 2＝(a －b )b ＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得2ab cos C ＝ab ，解得 cos C ＝12，所以C ＝π3. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π3，b ＝1，三角形ABC 的外接圆半径为1，则△ABC 的面积S ＝________． 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝2R ，所以a ＝3，sin B ＝12，所以a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6，C ＝π2.所以S △ABC ＝32.答案：3213．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ． 解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)． 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由第一问， 知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4. 14．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 3cos A ＝c sin C. (1)求A 的大小；(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理，得a 3cos A ＝a sin A ， 整理得sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b sin B ＝c sin C ＝6sin π3＝43， 所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，则b ＋c ＝43sin B ＋43sin C ＝43[sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ]＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3， 则π6<B ＋π6<5π6， 所以12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1(当且仅当B ＝π3时，等号成立)， 得6<b ＋c ≤12，于是b ＋c 的取值范围是(6，12]．。

§2 数列的函数特性时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．642．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数项 D. 不能确定 3．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1,2,3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列 4．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20的值是( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D.325．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是( ) A ．5－3n B ．3·2n －1－1 C ．5－3n 2D ．5·2n －1－36．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014的值为( )A. 67B. 57C. 37D. 17二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它的最小项是________． 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(－1)n，则a 100＝________.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．根据函数y ＝x －11x －20.5的单调性，求数列{n －11n －20.5}的最大项与最小项的值．11.在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 014.在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．一、填空题1．A a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故选A. 2．A3．C C 中数列是递减数列，故C 不正确，A 、B 、D 都正确．4．B a 1＝0，a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－33－3＋1＝－23－2＝3，a 4＝3－33×3＋1＝0，a 5＝0－30×3＋1＝－3，a 6＝－3－33－3＋1＝3，∴a n 的取值规律是0，－3，3循环取值， ∴a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3.5．D 由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3可得a 2＝7，当n ＝2时，经验证只有D 适合． 6．A 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 014＝671×3＋1，所以a 2 014＝a 1＝67.二、选择题 7．－9解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 8．0解析：可用累加法求之．因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝(－1)n，所以a 2－a 1＝－1，a 3－a 2＝1，a 4－a 3＝－1，…，a 100－a 99＝－1，将以上各式左右两边分别相加可得：a 100－a 1＝－1，所以a 100＝0.也可以通过研究数项的规律特征求之．由a n ＋1－a n ＝(－1)n ，a n ＋2－a n ＋1＝(－1)n ＋1，两式相加得：a n ＋2－a n ＝0，即a n ＋2＝a n ，因为a 1＝1，a 2－a 1＝－1，所以a 2＝a 1－1＝0，故得该数列奇数项均为1，偶数项均为0，所以a 100＝0.9．8解析：∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n －10a 1＝S 1＝－8适合上式∴a n ＝2n －10(n ∈N *) ∴5＜2k －10＜8 得7.5＜k ＜9 ∴k ＝8. 三、解答题 10．函数y ＝x －11x －20.5在(－∞，20.5)上为减函数，在(20.5，＋∞)上也为减函数，因此a n ＝n －11n －20.5当n ＝20时a 20最小，当n ＝21时a 21最大，且a 20＝－18，a 21＝20.11．(1)a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a na n －1＝1－1a n －1－a na n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 014＝a 3×671＋1＝a 1＝12，∴a 2 014＝12.12．因a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂式子的形式且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．(1)令a n a n －1≥1(n ≥2)，即n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≥1.整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1≥1.整理得n ＋1n ＋2≥1011.解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．。

[A 基础达标]1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选D.由于公比q ＝－14<0，所以数列{a n }是摆动数列． 2．等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是 ( ) A ．1B ．2 C.12 D ．14解析：选C.a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14， 所以a 3a 6＋a 4a 5＝12. 3．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( )A ．10B ．25C ．50D ．75解析：选B.法一：因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5，所以a 8·a 9·a 10·a 11＝52＝25.法二：由已知得a 1q 6·a 1q 11＝a 21q 17＝5，所以a 8·a 9·a 10·a 11＝a 1q 7·a 1q 8·a 1q 9·a 1q 10＝a 41·q 34＝(a 21q 17)2＝25.4．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元解析：选C.降低后的价格构成以23为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C.等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________．解析：因为a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，所以a 28＋a 24＝41.又因为a 4a 8＝5，a n >0，所以a 4＋a 8＝（a 4＋a 8）2 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝51. 答案：517．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或278．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列．且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋z x的值是________． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（12y ）2＝9x ×15z ，2y ＝1x ＋1z，所以y ＝2xz x ＋z ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫24xz x ＋z 2＝135xz ，化简得15x 2＋15z 2＝34xz ，两边同时除以15xz 可得x z ＋z x ＝3415. 答案：34159．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，所以a ＝2，这三个数可表示为2－d ，2，2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)． 此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d )·(2－d )，所以d ＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.10．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n (n ≥2，n ∈N ＋)的前n 项和． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 23＝9a 2a 6＝9a 24，所以q 2＝a 24a 23＝19，因为a n ＞0，所以q ＞0，所以q ＝13， 因为2a 1＋3a 2＝2a 1＋3a 1q ＝1，所以3a 1＝1，a 1＝13， 所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝log 3(a 1·a 2·…·a n )＝log 3⎝⎛⎭⎫131＋2＋3＋…＋n ＝－n （n ＋1）2. 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为S n ， 则S n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1） ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝－2n n ＋1.[B 能力提升]11．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝( ) A ．20B ．512C ．1 013D ．1 024解析：选D.因为b n ＝a n ＋1a n，且b 10·b 11＝2， 又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2，则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024， 从而a 21＝1 024a 1＝1 024.12．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________． 解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，又a 8a 9＝a 7a 10，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158－98＝－53. 答案：－5313．如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连接各边中点得△A 2B 2C 2，再连接△A 2B 2C 2的各边中点得△A 3B 3C 3，…，如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．证明：由题意，得△A n B n C n (n ＝1，2，3…)的边长A n B n 构成首项为1，公比为12的等比数列，故A n B n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以S △A n B n C n ＝34⎝⎛⎭⎫122n －2， 所以S △A n ＋1B n ＋1C n ＋1S △A n B n C n ＝34⎝⎛⎭⎫122n34⎝⎛⎭⎫122n －2＝14.因此，数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．14．(选做题)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m ，k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)使得b 1，b m ，b k 成等比数列．则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1， 所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1. 整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m ，k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N ＋，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等比数列．。

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1b B ．b a ＞1C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；ba ＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， 所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3， 所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a 或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝ 5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元C.aγ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元 D ．aγ（1＋γ）5万元解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， 所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根． 又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， 所以a 3＝4，a 5＝1. 所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________． 解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2， 所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里． 解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确． 答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ， 由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc ，即cos A ≥1－2bc ＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos A sin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－ba ，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3， 所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， 所以0＜x 2－4x ＋3≤3， 所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N ＋)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2× n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章 数 列（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.等差数列{ }的前n 项和为 ， ＝－18， ＝－52，等比数列{ }中， = ， = ，则 的值为A.64B.－64C.128D.－1282.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A.(－72,+∞) B.(0,+∞)C.(－2,+∞)D.(－3,+∞) 3.设数列{ }是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{ }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 = A.1033B.1034C.2057D.20584.等比数列{ }的前n 项和为 ， =1，若4 ，2 ， 成等差数列，则 ＝A.7B.8C.16D.155.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项.A ．2B ．4C ．6D ．8 6.在ABC ∆中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则31lo gl oa a +++3l o g a =（ ） A.12 B.10C.31log 5+D.32log 5+ 8.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A.513B.512 C.510D.82259.已知数列｛ ｝的通项公式为 =1(1)n -- •(4n －3),则它的前100项之和为( ) A.200 B.－200 C.400 D.－40010.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为 ( ) A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,611.等差数列｛ ｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）A.a 7B.a 8C.a 9D.a 10 12.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、填空题（每小题4分，共16分）13.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________.14.在数列{ }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则 =_________.15.等比数列{}n a 的前n 项和为21n-，则数列{}2na 的前n 项和为______________.16.等差数列{ }的前n 项和为 ，且 - =8，+ =26.记 =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ， ≤M 都成立，则M 的最小值是.三、解答题（本大题共6题，共74分）17.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.18.在数列{ }中， =，并且对任意n ∈ ，n≥2都有 = - 成立，令 =（n ∈ ）.（1）求数列{ }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和 .19.已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.20. 互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.21.已知数列{a n }满足a 1=1,1n a +=2a n +1(n ∈N *).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足114b -•214b -•…•14n b -=(1)n b n a + (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列.22.已知函数f （x ）=-2x 2+22x ，数列{ }的前n 项和为 ，点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数y =f （x ）的图象上.（1）求数列{ }的通项公式 及前n 项和 ；（2）存在k ∈ ，使得++…+<k 对任意n∈ 恒成立，求出k 的最小值.第一章数列（北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. ； 14. ；15.；16..三、解答题17.18.19.20.21.22.第一章数列（北京师大版必修5）参考答案1.B解析：因为＝（+）=9=-18，=（+）=13=-52，所以=-2，=-4.又=，=，所以=2，=·=-4×16=-64.2.D 解析：由｛a n ｝为递增数列得1n a +－a n =2n +1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.3.A 解析：由题意知 =n +1， = ，则 = +1，所以 + +…+ =10+=1033.4.D 解析：设公比为q ，则4 ，2 q ， 成等差数列，∴4q =4+ ，∴q =2， ∴ =（ ）=16-1=15.5.B 解析：由题意得 ,得x =-1或x =-4, 当x =-1时，2x +2=0，故舍去，所以,所以-13，所以n =4.6.B 解析：设等差数列为｛a n ｝，公差为d ,则 =-4, =4,所以d =2，所以设等比数列为｛b n ｝，公比为q ，则, =9,所以q =3，所以 所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.7.B 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.8.C 解析：332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+得或 而q ∈Z ,∴q =2,-2=510.9.B 解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－3)－(4×100－3)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－3)－(4×100－3)］=－4×50=－200.10.B 解析：当n =1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n =2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3=3,得a 2=1;当n =3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3=6,得a 3=3.11.C 解析：由S 5＝S 11 得2a 1＋15d ＝0.又a 1＞0，所以d ＜0．而2 ＝2a 1＋2（n －1）d ＝（2n －17）d ＜0，所以2n －17＞0，即n ＞8.5．12.C 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --.13.)2(:1:4- 解析：22222,2,(2),540a cbc b a a b c b a a a b b +==-==--+=，又,4,2a b a b c b≠∴==-. 14.3n 2解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.15.413n -解析：1121121,21,2,4,n n n n n n n n S S a a ----=-=-==21144-11,4,=143n n n a q S -==∴=-. 16.2 解析：∵{ }为等差数列，由 - =8， + =26，得a 1=1，d =4，可解得 =2 -n ，∴ =2-.若 ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需 的最大值≤M 即可. 又 =2-<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.17.解：设这四个数为，a ，aq ，2aq －a ,则216,(2)36,a a aq qa aq aq a ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩①② 由①，得a 3=216,a =6, ③将③代入②，得q =2 , ∴ 这四个数为3，6，12，18.18.解：（1）当n =1时， ==3.当n ≥2时，由 = － ，得－=1，所以 － =1.所以数列{ }是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列{ }的通项公式为 =n +2. （2）因为== (－)，=(1－ +－ +－+…+－ + － )= [ －( +)]=. 19.解：（1）设{ }的公比为q ，由 = ，得q =4，所以 = .设{ }的公差为d ，由5 =2 及 =2得d =3， 所以 = +（n -1）d =3n -1.（2）因为 =1×2+4×5+ ×8+…+ （3n -1），① 4 =4×2+ ×5+…+ （3n -1），②由②-①，得3 =-2-3（4+ +…+ ）+ （3n -1）=2+（3n -2）· . 所以 =(n -)· +.20.解：设这三个数为 ，a ，aq ，∴ =－8，即a =-2，∴这三个数为－，－2，－2q .（1）若－2为－和－2q 的等差中项，则+2q =4，∴ －2q +1=0，∴q =1，与已知矛盾；（2）若－2q 为－与－2的等差中项，则+2=4q ，∴2 －q －1=0，∴q =－或q =1（舍去），∴这三个数为4，1，－2；（3）若－为－2q 与－2的等差中项，则2q +2=，∴ +q －2=0，∴q =－2或q =1（舍去），∴这三个数为4，1，－2.综合（1）（2）（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2. 21.（1）解: ∵ =2 +1（n ∈ ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +， {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.12.n n a ∴+=即 -1（ ).（2）证法1：12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③21(1)20.n n nb n b ++-++=④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+=即2120,n n n b b b ++-+= , 故{b n }是等差数列.22.解：（1）因为点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数y =f （x ）的图象上，所以 =-2 +22n .当n =1时， = =20;当n ≥2时， = - =-4n +24. 所以 =-4n +24（n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得 + +…+<k 对任意n ∈ 恒成立， 只需k >，由（1）知 =-2 +22n ，所以＝-2n+22=2（11-n）.当n<11时，>0；当n=11时，=0；当n>11时，<0. 所以当n=10或n=11时，++…+有最大值是110.所以k>110.又因为k∈，所以k的最小值为111.。

2.1　等差数列第1课时　等差数列的概念和通项公式课时过关·能力提升1.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( )B.50 C.51 D.52an+1-a n =,∴数列{a n }是首项为2,公差为的等差数列,则a n =2+(n-1).121212a 101=2+×100=52.12n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13的值为( )B.120 C.90 D.75a 1+a 2+a 3=15,得a 2=5,所以a 1+a 3=10,a 1a 3=16,解得a 1=2,a 3=8或a 1=8,a 3=2.{a n }的公差为正数,所以数列{a n }是递增数列.所以a 1=2,a 3=8,其公差d=a 2-a 1=5-2=3,a 11+a 12+a 13=(a 1+10d )+(a 2+10d )+(a 3+10d )=(a 1+a 2+a 3)+30d=15+30×3=105.n a 1=7,公差d=5的等差数列,若a n =2 017,则序号n 等于( )B.401C.402D.403a 1=7,d=5,∴a n =7+5(n-1)=5n+2.5n+2=2 017,解得n=403.4.设等差数列{a n }的公差为d ,若数列{}为递减数列,则( )2a 1a nB.d>0C.a 1d<0D.a 1d>0{}为递减数列,且y=2x 是增函数,所以{a 1a n }是递减数列,2a 1a n a 1a n+1-a 1a n =a 1(a n+1-a n )=a 1d<0.32,log 3(2x -1),log 3(2x +11)成等差数列,则x 的值为( )-3 B.log 37 C.log 27 D.4log 3(2x +11)-log 3(2x -1)=log 3(2x -1)-log 32,∴,即22x -4·2x -21=0,解得2x =7或2x =-2x +112x -1=2x -12),∴x=log 27.{a n }中,a 1=70,d=-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )B.a 9C.a 10D.a 11{a n }中,由a 1=70,d=-9,得a n =-9n+79,∴数列{a n }是首项为正数的递减等差数列.-9n+79≥0,解得n ≤,且a 8=7,a 9=-2,a 10=-11,a 11=-20,∴这个数列中绝对值最小的一项为a 9.799{a n },若a n =10-2n (n ∈N +),且a 1+a 2+…+a m =|a 1|+|a 2|+…+|a m |,则正整数m 的最大值是( )B.5C.6D.7a n =10-2n ,得{a n }为递减数列.∵a m =10-2m ≥0,m ∈N +,1≤m ≤5.∴m 的最大值为5.8.等差数列{a n }的图像是平行于x 轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点,则数列{a n }的公差d ”“<”或“=”).{a n }是等差数列,知a n =a 1+(n-1)d=dn+a 1-d.由其图像是平行于x 轴的直线上的孤立的点,可知0,故d=0.{a n }中,a 1=1,对任意的n ∈N +,有a n+1=,则= . a n1+a n 1a 2 017a n+1=,得=1,a n 1+a n1a n +1‒1a n 故是首项为1,公差为1的等差数列,{1a n}所以=1+(n-1)=n.1a n =2 017.1a 2 017{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列是等差数列,则a 11= . {1a n +1}a 3=2,a 7=1,所以.1a 3+1=13,1a 7+1=12设等差数列的公差为d ,则+4d ,{1a n +1}1a 7+1=1a 3+1即+4d ,解得d=,12=13124+4d=,解得a 11=.1a 11+1=1a 7+112+16=2312★11.(1)求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项.是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.由a 1=3,d=7-3=4,得当n=4时,a 4=3+(4-1)×4=15;当n=10时,a 10=3+(10-1)×4=39.(2)是.由a 1=2,d=9-2=7,得这个数列的通项公式为a n =2+(n-1)×7=7n-5.令7n-5=100,解得n=15∈N +,因此100是这个数列的第15项.★12.在数列{a n }中,a 1=,a n =2-(n ≥2,n∈N +),数列{b n }满足b n =(n ∈N +).351a n -11a n -1(1)求证:数列{b n }是等差数列;{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.a n =2-(n ≥2,n ∈N +),b n =,1a n -11a n -1∴当n ≥2时,b n -b n-1=1a n -1‒1a n -1-1=1(2-1a n -1)-1‒1a n -1-1==1.a n -1a n -1-1‒1a n -1-1又b 1==-,1a 1-152数列{b n }是以-为首项,1为公差的等差数列.52(1)知,b n =n-,则a n =1+=1+.721b n 22n -7设函数f (x )=1+,易知f (x )在区间上是减少的.22x -7(-∞,72)和(72,+∞)故当n=3时,a n 取得最小值-1;当n=4时,a n 取得最大值3.。

[A 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25解析：选C.因为a n ＋1＝a n －23，所以数列{a n }是等差数列，且公差为－23， 所以a n ＝15＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－23.因为a 23＝13，a 24＝－13，所以a 23a 24<0. 2．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使S n 取得最小值的正整数n 的值是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或8解析：选C.依题意得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 最大的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13解析：选D.因为a n ＝26－2n ，所以a n －a n －1＝－2，所以数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，所以S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254.又n ∈N ＋，所以当n ＝12或13时，S n 最大．4．数列{a n }满足：a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 018＝( ) A ．0B ．－ 3 C. 3D ．32 解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1，令n ＝1，得a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3；令n ＝2，得a 3＝a 2－33a 2＋1＝3；令n ＝3，得a 4＝a 3－33a 3＋1＝0＝a 1，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝－3，故选B.5．已知数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，则b 2 018＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，所以b 2 018＝b 336×6＋2＝b 2＝1.故选B.6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________．解析：由题意可知数列{a n }的首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取最大值时，n ＝7或8.答案：7或87．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________．解析：法一：S 9＝S 4，即9（a 1＋a 9）2＝4（a 1＋a 4）2， 所以9a 5＝2(a 1＋a 4)，即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，所以d ＝－16， 由1－16(k －1)＋1＋3·⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，所以k ＝10. 答案：108．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n ＝________．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，即a 3＝35.由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33.所以d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，则a 1＝39.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （39＋41－2n ）2＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.所以当n ＝20时，S n 取最大值．答案：209．在等差数列{a n }中，a 3＝2，3a 2＋2a 7＝0，其前n 项和为S n .求：(1)等差数列{a n }的通项公式；(2)S n ，n 为何值时，S n 最大．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，根据题意，得a 1＋2d ＝2，5a 1＋15d ＝0，解得a 1＝6，d ＝－2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋8.(2)由第一问可知S n ＝6n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋7n ＝－⎝⎛⎭⎫n －722＋494. 因为S 3＝－9＋21＝12，S 4＝－16＋28＝12，所以当n ＝3或n ＝4时，S n 最大．10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝31－3n ，求数列{|a n |}的前n 项和H n .解：设{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝31－3n 可得S n ＝－32n 2＋592n . 由a n ≥0，解出n ≤313≈10.3. 当n ≤10时，H n ＝S n ＝－32n 2＋592n ； 当n ≥11时，H n ＝2S 10－S n ＝32n 2－592n ＋290. 所以H n＝⎩⎨⎧－32n 2＋592n ，n ≤10，32n 2－592n ＋290，n ≥11. [B 能力提升]11．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，则前n 项和S n 中最大的是( )A ．S 10B ．S 11C ．S 20D ．S 21解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，由3a 8＝5a 13，即3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，得a 1＝－392d >0，所以d <0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－392d ＋(n －1)d .由a n <0，得n >412＝20.5，即从第21项开始为负数，故S 20最大．12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．解析：由题意可得a n ＋a n ＋1＝5，所以a n ＋1＋a n ＋2＝5.所以a n ＋2－a n ＝0.因为a 1＝2，所以a 2＝5－a 1＝3.所以当n 为偶数时，a n ＝3；当n 为奇数时，a n ＝2.所以a 18＝3.答案：313．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12>0，S 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，所以－247<d <－3. (2)因为S 12>0，S 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，所以⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0， 又由第一问知d <0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．14．(选做题)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，其前n 项和为S n ，(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值；(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解：(1)因为a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，所以a 17＝－6.又a 9＝－18，所以d ＝a 17－a 917－9＝32. 首项a 1＝a 9－8d ＝－30.所以a n ＝32n －632.若前n 项和S n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0， 即⎩⎨⎧3n 2－632≤0，32（n ＋1）－632≥0，所以n ＝20或21. 这表明：当n ＝20或21时，S n 取最小值．最小值为S 20＝S 21＝－315.(2)由a n ＝32n －632≤0⇒n ≤21. 所以当n ≤21时，T n ＝－S n ＝34(41n －n 2)， 当n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n＝S n －2S 21＝34(n 2－41n )＋630. 故T n＝⎩⎨⎧34（41n －n 2），n ≤21，34（n 2－41n ）＋630，n >21.。