电动力学答案

电动力学考试题及答案3一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 电场中某点的电场强度方向是（）。

A. 正电荷在该点受力方向B. 负电荷在该点受力方向C. 正电荷在该点受力的反方向D. 负电荷在该点受力的反方向答案：A2. 电场强度的单位是（）。

A. 牛顿B. 牛顿/库仑C. 伏特D. 库仑答案：B3. 电场中某点的电势为零，该点的电场强度一定为零。

（）A. 正确B. 错误答案：B4. 电场线与等势面的关系是（）。

A. 互相平行B. 互相垂直C. 互相重合D. 以上都不对答案：B5. 电容器的电容与（）有关。

A. 电容器的两极板面积B. 电容器的两极板间距C. 电容器的两极板材料D. 以上都有关答案：D6. 电容器充电后断开电源，其电量（）。

A. 增加B. 减少C. 不变D. 无法确定答案：C7. 电容器两极板间电压增大时，其电量（）。

A. 增加B. 减少C. 不变D. 无法确定答案：A8. 电容器两极板间电压增大时，其电场强度（）。

A. 增加B. 减少C. 不变D. 无法确定答案：A9. 电容器两极板间电压增大时，其电势差（）。

A. 增加B. 减少C. 不变D. 无法确定10. 电容器两极板间电压增大时，其电势能（）。

A. 增加B. 减少C. 不变D. 无法确定答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 电场强度的物理意义包括（）。

A. 描述电场的强弱B. 描述电场的方向C. 描述电场的性质D. 描述电场的作用12. 电场中某点的电势与（）有关。

A. 该点的电场强度B. 参考点的选择C. 电场线的方向D. 电场线的形状答案：B13. 电容器的电容与（）有关。

A. 电容器的两极板面积B. 电容器的两极板间距C. 电容器的两极板材料D. 电容器的电量答案：A|B|C14. 电容器充电后断开电源，其（）。

A. 电量不变B. 电压不变C. 电场强度不变D. 电势差不变答案：A|B|C|D15. 电容器两极板间电压增大时，其（）。

（2）在（1）中令 A B 得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
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电பைடு நூலகம்力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B ) ( A ) B A ( A) 1 A 2 ( A ) A 2
3.
设r
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r ) ， [ E 0 sin( k r )] 及 [ E 0 sin( k r )] ，其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。
所以
c dV f dV [c ( f )] dV ( f c ) ( f c ) dS

1.7. 有一内外半径分别为 r 1 和 r 2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止由电荷f ρ求 1 空间各点的电场；2 极化体电荷和极化面电荷分布。

解（1）fsD ds dV ρ→⋅=⎰⎰， （r 2>r> r 1）即：()2331443fD r r r ππρ⋅=-∴()33133f r r E r rρε→-=， （r 2>r> r 1）由()3321043ff sQ E d s r r πρεε⋅==-⎰， （r> r 2） ∴()3321303f r r E r r ρε→-=， （r> r 2）r> r 1时， 0E = （2）()00000e P E E E εεεχεεεε-===- ∴ ()()()3331010330033303p f f f fr r r P r r r r r εερεερρεεεεεερρεε⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥=-∇⋅=--∇⋅=-∇⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--=--=- （r 2>r>r 1）12p n n P P σ=-考虑外球壳时， r= r 2 ，n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空），P 2n =0()()23333102110332133p n f f r r rr r r P rr r εσεερρεε=--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 考虑内球壳时， r= r 1()()13310303p f r r rr rr σεερε=-=--=1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l 1 和l 2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为 Ε 的电池，求 （1） 电容器两板上的自由电荷密度ωf （2） 介质分界面上的自由电荷密度ωf若介质是漏电的，电导率分别为 σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则11221211220(0)n n f l E l E E D D E E εεσ-=⎧⎪⎨-=-==⎪⎩介质表面上 故：211221EE l l εεε=+，121221EE l l εεε=+又根据12n n f D D σ-=， （n 从介质1指向介质2） 在上极板的交面上，112f D D σ-= 2D 是金属板，故2D =0即：11211221f ED l l εεσεε==+而20f σ=3122f D D D σ'''=-=-，（1D '是下极板金属，故1D '=0）∴31121221f f El l εεσσεε=-=-+若是漏电，并有稳定电流时，由jE σ=可得111j E σ=， 222j E σ=又1212121212,()nn j j l l E j j j j σσ⎧+=⎪⎨⎪===⎩稳定流动得：121212E j j l l σσ==+ ，即1211122121221221j E E l l j E E l l σσσσσσσσ⎧==⎪+⎪⎨⎪==⎪+⎩1231221f E D l l εσσσσ==+上22212219f ED l l εσσσσ=-=-+下2112231221f D D E l l εσεσσσσ-=-=+中1.14、内外半径分别a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为f λ，板间填充电导率为σ的非磁性物质。

= (µµ −1)∇× Hr = ( µ −1)rj f ,(r1 < r < r2)
0
µ0
αrM = nr× (Mr 2 − Mr 1),(n从介质1指向介质2
3ε
r3
= − ε −ε 0 ρ f (3− 0) = −(ε −ε 0 )ρ f
3ε
ε
σ P = P1n − P2n
考虑外球壳时 r r2 n从介质 1指向介质 2 介质指向真空 P2n = 0
-5-
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第一章 电磁现象的普遍规律
σ P = P1n = (ε −ε 0)
r 3 − r13 ρ f rr r=r2 3εr 3
= cos(kr ⋅rr)(kxerx + k yery + kzerz )Er0 = cos(kr ⋅rr)(kr ⋅ Er) ∇×[Er0 sin(kr ⋅rr)] = [∇sin(kr ⋅rr)]×Er 0+sin(kr ⋅rr)∇× Er0
4. 应用高斯定理证明
∫ dV∇× fr = ∫S dSr× fr
V
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫S dSr×∇φ = ∫Ldlrφ
证明 1)由高斯定理
dV∇⋅ gr = ∫S dSr ⋅ gr
∫
∫ ∫ 即
V
(∂ g x ∂x V
+ ∂g y ∂y
+ ∂g zz )dV = ∂
g
S
xdS x + g ydS y + g zdS z
而 ∇× frdV = [(∂ f z − ∂∂z f y )ir ∂+ ( f x − ∂∂x f z )rj∂+ ( f y − ∂∂y f x )kr]dV

7 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球 求 介质的电容率为 ε 使介质内均匀带静止自
由电荷 ρ f 1 2 解 1
空间各点的电场 极化体电荷和极化面电荷分布
r r D ∫ ⋅ dS = ∫ ρ f dV ,
S
(r2>r>r1)
即
D ⋅ 4πr 2 =
4π 3 (r − r13 ) ρ f 3
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
首先 算符 ∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题
v v ∇ 将作用于 A和B
又 ∇ 是一个矢量算符 因此 具有矢量的所有性质
利用公式 c × ( a × b ) = a ⋅ (c ⋅ b ) − (c ⋅ a )b 可得上式 后两项是 ∇ 作用于 B
v
v
v
v v v
v v v
4. 应用高斯定理证明
∫
应用斯托克斯
V
r r r dV∇ × f = ∫ dS × f
S
Stokes 定理证明
∫
证明
S
r r dS × ∇φ = ∫ dl φ
L
1)由高斯定理
∫
即
V
r r r dV∇ ⋅ g = ∫ dS ⋅ g

'
微商 (∇ = e x
r ∂ r ∂ r ∂ + ey + e z ) 的关系 ∂x ∂y ∂z r r r r r r 1 r r r ' ' 1 ' r ∇r = −∇ r = , ∇ = −∇ = − 3 , ∇ × 3 = 0, ∇ ⋅ 3 = −∇ 3 = 0.(r ≠ 0) r r r r r r r
l S
r
r r
r
r
∫ f ⋅ dl = ∫ ( f
l l
r
x
dl x + f y dl y + f z dl z )
r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f f y )dS x + ( f x − f z )dS y + ( f y − f x )dS z ∇ × ⋅ dS = ∫ ( f z − ∫S S ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
3. 设 r =
( x − x ' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 r ∂ r ∂ r ∂ + e y ' + e z ' ) 与对场变数求 ∂x ' ∂y ∂z
源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (∇ = e x
证明
r ∂( x − x ' ) ∂( y − y ' ) ∂( z − z ' ) ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z r ex r ∂ ∇×r = ∂x x − x' r ey ∂ ∂y y − y' r ez ∂ =0 ∂z z − z'

一.有一电荷均匀体分布的刚性小球，总电荷Q,半径，以角速度0R ω绕自身某直径旋转a) 求它的磁矩b) 假定认为电子是上述的一个小球，由电子经典半径，其固有磁矩，试证明：如果把自旋理解为经典球自转，将与狭义相对论相矛盾。

cm R 130108.2−×≈高斯尔格实/109.020−×≈m c) 解：a) 如图，小球绕z 轴旋转，则φθωπωπρe Rsin R 43Q R R 43Q v j 33=×==Z 022f R 00f e 5QR dr d sin r )j r (221dv j x 21m 0ωθθππ=××=×=∫∫∫b) 设2020109.0m 5QR −×==实ω则220109.05QR −××=ω其中Q 是电子电量= 库仑19106.1−×而电子赤道表面的线速度vC /10108.2101.6/10109.05QR 109.05R v 111519-3200200秒〉米米库仑特斯拉）（焦耳≈××××××=××==−−−−ω 所以这是违反相对论的。

二.一枚铜币以其边缘为支点立于竖直方向的磁场B=20KG 中，给它一轻微的推力让其倒下，试估计倒下所需要的时间，设铜的，密度。

cm /1065Ω×=σ39−=gmcm ρ解：分析： 如果没有磁场，则铜币一旦偏离竖直位置，就会在重力矩的作用下有加速的倒下，若有磁场时，在人为让它偏离后，运动过程中，磁场使铜币感应而产生磁矩，磁矩在外场中有力矩，磁力矩阻此铜币倒下，二个力矩在运动中平衡，所以迟延了铜币倒下的时间，设在倒下的过程中，币面与竖直面的夹角为θ，磁场对铜币的感应可以看成许多小电流圈，考虑小圆环，r+dr,通过该环的磁通θπθφsin )(2B r =感生电动势==dtd φεdtd Bco r θθπ2感应电流hdr dtd Br hdr r dt d B r Rdi σθθσπθθπεcos 21/2cos 2===h 是铜币的厚度hdr电流环的磁力矩hdr dL m =铜币的总磁力矩（设铜币的半径为）0r h dt d B r dr hr dtd B dL L r r m m σθθπσθθπ22403220cos 81cos 2100===∫∫说明：磁力矩使铜币转向原来的竖直位置，因为电或磁偶极子在外场中总趋于能量最低的位置，在本题中磁偶极子是因外场感应而引起的，在运动过程中是变化的，例如处在竖直位置时，B m v m ⋅==,0，这跟纯磁偶极子不同，为要的运动中的电流圈磁矩不变，必须加外电流。

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇A A A A )()(221∇⋅−∇=×∇×A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇BA B A A B A B )()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=c c c c BA B A A B A B )()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+×∇×=⋅∇，所以A A A A A A )()()(21∇⋅−⋅∇=×∇×即A A A A )()(221∇⋅−∇=×∇×A2.设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )(，u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(AA ×∇=×∇证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(zy x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA u A u A zu y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=×∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=zx y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=)(u A ×∇=3.设222)'()'()'(z z y y x x r −+−+−=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

第五章多电子原子1.选择题:(1)关于氦原子光谱下列说法错误的是：BA.第一激发态不能自发的跃迁到基态；B.1s2p 3P2,1,0能级是正常顺序；C.基态与第一激发态能量相差很大；D.三重态与单态之间没有跃迁(2)氦原子由状态1s2p 3P2,1,0向1s2s 3S1跃迁,可产生的谱线条数为：BA.0；B.3；C.2；D.1(3)氦原子由状态1s3d 3D3,2,1向1s2p3P2,1,0跃迁时可产生的谱线条数为：CA.3；B.4；C.6；D.5(4)氦原子有单态和三重态两套能级,从而它们产生的光谱特点是:DA.单能级各线系皆为单线,三重能级各线皆为三线；B.单重能级各线系皆为双线,三重能级各线系皆为三线；C.单重能级各线系皆为单线,三重能级各线系皆为双线;D.单重能级各线系皆为单线,三重能级各线系较为复杂,不一定是三线.(5)若某原子的两个价电子处于2s2p组态,利用L－S耦合可得到其原子态的个数是：CA.1；B.3;C.4;D.6.(6)设原子的两个价电子是p电子和d电子,在Ｌ－Ｓ耦合下可能的原子态有：CA.4个；B.9个；C.12个D.15个；(7)若镁原子处于基态,它的电子组态应为：CA．2s2s B.2s2p C.3s3s D.3s3p(8)有状态2p3d3P 2s3p3P的跃迁：DA.可产生9条谱线B.可产生7条谱线C 可产生6条谱线D.不能发生课后习题1．He 原子的两个电子处在2p3d态。

问可能组成哪几种原子态？（按LS耦合）解答：l1 = 1 l2 = 2 L = l1 + l2, l1 + l2−1, ……, | l1− l2| = 3, 2, 1 s1 =1/2 s2 =1/2 S = s1 + s2, s1 + s2−1, ……, |s1 − s2| = 1, 0 这样按J = L+S, L+S−1, ……, |L−S| 形成如下原子态：S = 0 S = 1L = 1 1P13P0,1,2L =2 1D23D1,2,3L = 3 1F33F2,3,43.Zn 原子(Z=30) 的最外层电子有两个。

电动力学习题答案
电动力学学习题答案
电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电场之间的相互作用以及电
荷在电场中的运动规律。

在学习电动力学的过程中，我们经常会遇到各种各样
的习题，下面就为大家整理了一些常见的电动力学学习题答案，希望能够帮助
大家更好地理解和掌握电动力学的知识。

1. 两个带电粒子分别带有正电荷和负电荷，它们之间的相互作用力是吸引力还
是斥力？
答：两个带电粒子之间的相互作用力是吸引力，正电荷和负电荷之间会相互吸引。

2. 一个点电荷在电场中受到的力的大小与什么有关？
答：一个点电荷在电场中受到的力的大小与电场强度和电荷本身的大小有关。

3. 电场线的方向与电场中的电荷运动方向有什么关系？
答：电场线的方向与电场中的电荷运动方向相反，即电场线从正电荷指向负电荷。

4. 电势能和电势的关系是什么？
答：电势能是电荷在电场中由于位置而具有的能量，而电势是单位正电荷在电
场中所具有的电势能，即电势能和电势的关系可以用公式 U=qV 来表示。

5. 电容器中的电荷与电压的关系是怎样的？
答：电容器中的电荷与电压的关系可以用公式 Q=CV 来表示，其中 Q 表示电荷，C 表示电容，V 表示电压。

以上就是一些常见的电动力学学习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌
握电动力学的知识。

在学习电动力学的过程中，多做习题，多思考，相信大家一定能够取得更好的成绩。

第二章静电场1.一个半径为 R 的电介质球，极化强度为 PKr / r 2 ，电容率为。

（ 1）计算约束电荷的体密度和面密度：（ 2）计算自由电荷体密度；（ 3）计算球外和球内的电势；（ 4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（ 1） p P K(r / r 2 )K [(1/ r 2 ) r r (1/ r 2 )]K / r 2pn ( P 2P 1 ) e rPr RK / R（ 2） D 内0 E P P/()fD 内P /()K /(0 )r2（ 3） E 内D 内 / P /()E 外 D 外f dVKR e r4 0 r 2 e r(20 )r外E 外 drKR(0 )rrRE 外 drK(ln R )内E 内 drrrR（ 4） W1 1K 2R4 r 2 dr12K 2 R 24 r 2drD E dV222 R422 ()r 2( 0)r2 R(1)( K) 22.在平均外电场中置入半径为R 0 的导体球，试用分别变量法求以下两种状况的电势： （ 1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差 0 ；（ 2）导体球上带总电荷 Q解：（ 1）该问题拥有轴对称性， 对称轴为经过球心沿外电场E 0 方向的轴线， 取该轴线为极轴，球心为原点成立球坐标系。

当 RR 0 时，电势知足拉普拉斯方程，通解为(a n R nb n 1 )P n (cos )n R n因为无量远处 E E 0 ，E 0 R cosE 0 RP 1 (cos )所以a 00 ， a1E 0 ， a n0, (n 2)当RR 0 时，所以E 0 R 0 P 1 (cos )b nP n (cos )n 1nR 0即： 0b 0 / R 0 0,b 1 / R 02 E 0 R 0所以b 0 R 0 (0 ), b 1 E 0 R 03, b n 0, (n 2)0 E 0 R cos R 0 (0 0 ) / RE 0 R 03 cos / R 2(RR 0 )(RR 0 )（2）设球体待定电势为0 ，同理可得0 E 0 R cosR 0 (0 0 ) / RE 0 R 03 cos / R 2(RR 0 )(RR 0 )当RR 0 时，由题意，金属球带电量Qn R RdS2Q(E 0 cosR 02E 0 cos ) R 0 sin d d4R 0 ()所以 (0 ) Q / 4R0 E 0 R cos Q / 4 0 R(E 0 R 03 / R 2 ) cos (RR 0 )Q / 4 0 R ( R R 0 )3. 平均介质球的中心置一点电荷Q f ，球的电容率为，球外为真空， 试用分别变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。

解：（1）
由（3）得
+ +
又
即 与 严格抵消。
（2）由
=
2 LE=
E=
J= -
解得
当t=0时
(3)t场对自由电荷所做的功率密度为
(4)
而长为L的一段介质总的静电能为
W=
所以能量耗散功率等于静电能减少率。
（ ）
的关系
（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）
⑵求 及 ，其中 及 均为常矢量。
解：⑴
⑵
4.4.⑴应用高斯定理证明
⑵应用斯托克斯（Stokes）定理证明
解：⑴
⑵
5.5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
利用电荷守恒定律
证明 的变化率为
解：
取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的 ，则
。
6.若 是常矢量，证明除R=0点以外矢量 的旋度等于标量 的梯度的负值，即 ,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
解：⑴由
所以
所以
方向为
对区域Ⅱ
由
方向为
对区域Ⅲ有:
(2)(2)由
由
由
同理
由
得
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电荷密度 的 倍。即：
解：由均匀介质有
①
②
③
④
由①②得
两边求散度
由③④得
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）
第一章电磁现象的普遍规律
1.根据算符 的微分性与矢量性，推导下列公式：
解：矢量性为
①
②
③微商性

习题四参考答案1．一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r r K P ，电容率为 ．计算⑴ 束缚电荷的体密度和面密度； ⑵ 自由电荷体密度； ⑶ 球外和球内的电势；⑷该带电介质球产生的静电场的总能量．答案：⑴ 2rK p ，R K p ⑵ 20rKf⑶ r KR002R r001ln r K K R r⑷ 20012K R W 提示：⑴2rK P p ， R KP e R r r p ˆ⑵ 因为f P10，所以 2r K f ⑶ 因为电荷分布具有球对称性，所以可以由高斯定理求电场强度E ，再求 ⑷ 两种方法都可以求解v dV W 21，V 是电荷分布的球区间。

或者，dV D E W21，这里V 是电场分布的全空间２．导体内有一半径为R 的球形空腔，腔内充满电容率为 的均匀电介质，现将电荷量为q 的点电荷放在腔内离球为)(R a a 处，如图所示，已知导体的电势为零，试求：①腔内任一点),( r p 的电势 ；②腔壁上感应电荷量的面密度；③介质极化电荷量的密度和面密度．解：用电像法求解①设导体不存在，整个空间都充满了电容率为 的均匀介质，像电荷q 使腔壁电势为0．041s q s q 解之得 aR b 2q aR q由此得介质内任一点),( r p 的电势为cos 2cos 2412222br b r q ar a r q ． ②腔壁上感应电荷量的面密度为2/32222)cos 2(4)(ˆ)(ˆ aR a R R q a R r e E e D n Rr r ③介质内极化电荷量的密度为200)()( E P P)1())((00． q q p )1(0． 介质表面极化电荷面密度R r p rE ep n ))(()(ˆ002/322220)cos 2(4))(( aR a R R qa R ． ３．接地的空心导体球内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为 1R a a 处置一点电荷q ，求空间的电势分布．导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？答案：cos /2//cos 2412122121220a R R a R R aqR Ra a R qq q '，分布在内表面．感应电荷不等于像电荷．提示：该题的解法与例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。

3 ○
(r / r 3 ) [(1 / r 3 )r ] (1 / r 3 ) r (1 / r 3 ) r

d 1 3 r 3 r r 0 4 r 0 dr r r r 1 3 3 3 4 (r / r ) [(1 / r )r ] (1 / r ) r 3 r ○ r 3 r 3 4 r 3 0 ， (r 0) r r r
3. 设r
( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ；
ex ey ez dA （3） u u / x u / y u / z du dAx / du dAy / du dAz / du
dAy u dAx u dA u dAz u dAz u dAy u )e x ( x )e y ( )e z du y du z du z du x du x du y Ay (u ) Ax (u ) A (u ) Az (u ) A (u ) Ay (u ) [ z ]e x [ x ]e y [ ]e z y z z x x y A(u) (
即
2 A ( A) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA ， A(u ) u f (u ) u ， A(u ) u du du du

（3）静电t情an况θ1：导E体1t 内E2nEv1
σ1 =0
稳恒电∴流情E2况t =：E对1t绝=缘0 介，质即，导体σ 外= 的0 ，电场Jv2线=总0 是垂直于导体表面。
1-14
∴ J1n = J 2n = 0
解（1）由边值关系
即导体内只有平行于导体表面的电场。
evn
×
(
v H
2
−
v H1
)
=
=
Q
S
ε0
∴E
=
Q 4πε0r 2
，即
v E
=
Q 4πε0r 3
rv
∫ ∫ r < a 时，
v E
⋅
v dS
=
4π
r
2
E
=
1
ρdV = 1 ⋅ ρ ⋅ 4 π r3
S
ε0 V
ε0 3
r
a
=
∴
v E
1⋅ Q
ε0 =
(4 3)π Qrv
4πε 0 a 3
a3
⋅
4π 3
r3
=
1 ε0
⋅
Qr 3 a3
求散度、旋度
∴∇ × Bv
=
−
∂Bθ ∂z
evr
+
1 r
∂ ∂r
(rBθ )evz
=
μ0I 2πR12
1 r
∂r 2 ∂r
evz
=
μ0I πR12
evz
=
μ0 Jv
R1
<
r
<
R2 时， B
=
Bθ
=
μ0I 2πr
2
r

《电动力学》简答题参考答案1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。

解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。

其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。

电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。

2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。

解答:(1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源;(2)B E t∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场;(4)f D H J t∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。

3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么?解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。

4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定?解答:由矢量场的唯一性定理:(1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定;(2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其散度和旋度唯一确定。

5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。

解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。

6. 简述公式d d d d d V V w V f V S tσ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。

解答:d d d Vw V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流出该区域的能量。

第一章1． 根据算符的微分性与矢量性推导下列公式uA e u A e u A e du A d duA d u u A zu u A y u u A x u u A z A y A x A u A z u e y u e x u e u ududfu u f u f duu df u f z u u f u f z y u u f u f y x u u f u f x du Ad u u A du A d u u A u du df u f z y x u AA A A A AA A A A A A A AB A BA B A A B A B B A C B A B A B A B B A A C C B A A C B B A C A C B A B A B A A B B C A C B A C B A B C c B A B A B A AA A A AB A B A A B A B B A zz y y x x z y x z y x zy x c c c c c c c c c c ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=⋅∇∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇∂∂+∂∂+∂∂=∇∇=∇=∇=∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂⨯∇=⨯∇⋅∇=⋅∇∇=∇∇⋅-∇=⨯∇⨯∇⋅+∇⋅+⨯∇⨯∇=⋅∇=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇==∇=⨯⨯-⋅=⋅⨯⨯+∇⋅=⋅∇==∇=⨯⨯+⋅=⋅⋅∇+⋅∇=⋅∇∇⋅-∇=⨯∇⨯∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇)()()2()(')()()(')(')()(')()(')()1()()()(,, 2.)(21)()()()(2)()2()()()()()()()(,,,)()()()()(,,)()()()()(1)(21)()2()()()()()()1(222故故得解：的函数，证明：是空间坐标设所以：右边为：则左边为令上述公式中则得不再需要的符号将此两项相加，并弃去）（可得令又应用公式：）（结果可得令应用公式：常量表示相当的量应该看成此处）（）解：（3333333300033332221')'(')1(;)'(')1(;)'(')1(1)'()1(;)'()1(;)'()1()(')'(';)'(';)'('])'()'()'([)'(;)'(;)'()()1(,)],sin([)()]sin([)(),()(,))((,)(,)()2()0(0')(0)(1'1)(')()''''(1')'()'()'(.3)()3(r r r r z z z r r y y y r r x x x r r r r r z z z r r y y y r r x x x r b r rr rz z z r r y y y r r x x x r rrr z z e r y y e r x x e r rz z z r r y y y r r x x x r a E k a r k E f r k E e r a d r a c r b r a r rrr r d r r c rrr r b r r r r a zA e y A e x A e z A e y A e x A e r x x z z y y x x r duAd u y u u A x u u Ae x u u A z u u A e z u u A y u u A e y A x A e x A z A e z A y A e u A z y x zz y y x x z z y y x x x y z z x y y z x x y z z x y y z x=∇∴--=∂∂--=∂∂--=∂∂-=∇∴--=∂∂--=∂∂--=∂∂-=∇∴--=∂∂--=∂∂--=∂∂=-+-+-=∇∴-=∂∂-=∂∂-=∂∂⋅⨯∇⋅⋅∇⋅∇∇⋅⨯∇⋅∇≠=-∇=⋅∇=⨯∇-=-∇=∇=-∇=∇∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂=∇-+-+-=⨯∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇解：均为常矢量及其中及求会对源变数求微商）证明下列结果，并体（为从源点指向场点的方向规定的距离，到场点为该点设;1)'(3'1;1)'(3'1;1)'(3'1)1()1()(010''')(3523352335232333333r r z z r z z z z r z r r y y r y y y y r y r r x x r x x x x r x r r rr d r r r r z z r y y r x x z y x e e e r r c zy x --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∇=∇⋅-∇=⋅∇=∇⨯-∇=⨯∇=---∂∂∂∂∂∂=⨯∇ 或 013])'()'()'[(3)1(3352222=⋅∇=--+-+-=∇r r r r z z y y x x r 即 [][][][][][][])cos()()cos()()cos()()cos()()sin()()cos()()cos()cos()cos()sin()()(;)'()'(;)'()'(;)'()'()'()'()'()()()'()'()'())((0)'()'()'()'()'()'()(3)'()'()'()'()'()'())(2(0000000000000r k E k r k k E k E e r k k E k E e r k k E k E e r k E f r k E k r k E k r k E k r k E k r k E e a r a a za z z a z z a z a y a y y a y y a y a x a x x a x x a x z z a y y a x x a r a d ae a e a e a e z z e y y e x x z a y a x a r a c e y x x x y y e x z z z x x e y y y z z z r b zz z y y y x x x r z z e y y e x x e r a y x x y z x z z x y z y y z x z z y y x x z z z z y y y y x x x x z y x z z y y x x z y x z y x z y x z y x⋅⨯=⋅-+⋅-+⋅-=⋅⨯∇⋅⋅=⋅+⋅+⋅=⋅⋅∇=⋅∇∴=∂∂-+=-∂∂=∂∂-+=-∂∂=∂∂-+=-∂∂-+-+-∇=⋅∇=++=-+-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⨯∇=∂-∂+∂-∂+∂-∂=⋅∇-+-+-=4 (1) 应用高斯定理证明:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯=⨯∇∴⨯⋅-=⨯⋅-=⨯=⨯⋅∇=⨯∇⋅-⨯=⨯∇svsssvvsvfs d f dv f s d a f s d a s d f a dv f a dv f a a a fs d f dv)()()(点乘方程左边得是一个任意常矢量，以证：令(2) 应用斯托柯斯定理证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∇⨯∴∇⨯⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅=⋅=∇⨯LssssLLLsl d s d s d a s d a s d a l d a l d a a a l d s d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ)()(点乘方程右边得是一个任意常矢量，以证：令 5已知一个电荷系统的偶极矩定义为⎰=vdv x t x t p ,,,),()(ρ利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇t J ρ 证明的变化率为⎰=vdv t x J dt pd ,,),(解：⎰=vdv x t x t p ,,,),()(ρ,x 与时间无关，取的)(t p一个分量为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅⋅-=⋅⋅∇+⋅∇-=⋅∇-====vi s i i vi i v i i v i i v i i i i vi i dv J s d J x dv J x dv J x dv J x dv t x x t pdt t dp dv x t x t p ,,,,,,,,,,,,,,,,,)()()(),()()(),()( ρρ考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。