【新教材】1.2 集合间的基本关系 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册

【新教材】1.2 集合的基本关系学案（人教A版）1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2. 理解子集.真子集的概念．3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．一、预习导入阅读课本7-8页，填写。

1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.记作：A_________ B(或B _________ A)读作：A包含于B(或B包含A).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______ B且B ______ A），那么我们称这两个集合相等.记作：A ______B读作：A等于B.图示：2. 真子集A ，存在元素x______ B且x______ A，则称集合A是集合B的真子集。

若集合B记作：A ______B （或B ______A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集__________________的集合称为空集，记作：∅. 规定：空集是任何集合的子集。

4.常用结论（1）A __________ A （类比a a ≤）（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。

（3）若,,A B B C ⊆⊆则A __________ C （类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）（4）一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( ) (2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A ＝B ，则A ⊆B . ( ) (4)空集是任何集合的真子集． ( ) 2.用适当的符号填空(1) a______{a,b,c} (2) 0_______{x|x 2=0} (3) ∅________{x ∈R|x 2+1=0} (4) {0,1}_____N(5) {∅}_____{x|x 2=x} （6）{2,1}____{x|x 2−3x +2=0} 3．设a ∈R ，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a ＝________.例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题:由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x 2+x=0}的关系的维恩图是( )例3 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B 之间是否存在子集关系; (2)若A ⊇B,求实数a 的取值范围.变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A ⊆B?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,试说明理由.变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A ⊇B,求实数a 的取值范围.1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．42．已知集合A ＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A3．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C．4 D．34．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( ) A．A⊆B B．A＝BC．A B D．A B5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( ) A．1 B．－1C．0,1 D．－1,0,1=1}，则A，B的关系是________．6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx7．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．8．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．答案小试牛刀1．答案：(1) ×(2) √(3) √ (4)×2．（1）∈（2）= （3）=（4）⊆（5）⊈（6）=3．-1自主探究例1【答案】见解析【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2};含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.(2)由此猜想:含n 个元素的集合{a 1,a 2,…,a n}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 例2【答案】B【解析】∵N={x|x 2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N ⫋M,故选B. 例3【答案】见解析【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B 是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a 所满足的条件.解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B ⫋A. (2)由已知A ⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可得{2a -3≥-5,a -2≤2,解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a 的取值范围为-1≤a<1 变式1．【答案】见解析【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若A ⊆B,则B 一定不是空集.此时有{2a -3≤-5,a -2≥2,即{a ≤-1,a ≥4,显然实数a 不存在.变式2．【答案】见解析【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a ≥1.显然成立. ②当B ≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A ⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a ≥52 或a ≤-3.又因为a<1,所以a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤-3. 当堂检测1-5．CDADD 6．B A 7．m≥38．【答案】见解析【解析】∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ＝∅时，由a>2a －1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>3，a≤2a－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a≤2a－1成立，解得a>3；综上可知，实数a 的取值范围是{a|a<1或a>3}．。

B
写出集合{a,b,c}的所有子集并指出，
后附:1.教师评课，2.板书设计
1.教师评课：
1）优点：i教态自然、语言表达较清楚；
ii讲练结合、课堂、课件思路比较连贯，有条不紊；
iii运用了类比的数学思想。

2）不足：i老师讲的过多，学生自己思考的少，练习不够；
ii进度有些慢，对子集真子集强调的不够；
A = B
A
B
A B
iii口头语较多、课件速度有些快，师生互动，让学生多
写。

举例应更具体；
iv子集、真子集、非空真子集，让学生说更好，例子引
入更好一些；
v有老师一言堂的感觉，多让学生回答问题。

该让学生
答的教案中应该有体现，例题不应该让学生答；
vi学生老师需要磨合，初中学生对课程深度广度理解不
够，课堂容量大。

对学生的了解不够，课堂容量大。

2.高一年级数学人教（A版）1.1.2集合间的基本关系板书设计
B。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

人教版A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》1.2集合间的基本关系（习题课）教学设计年级：_高一数学组_ 主备人：___ 授课班级：授课时间：_______共案内容个案内容一、课标分析1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解子集、真子集的概念；2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

提高学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学的能力，应注重提升学生的数学思维能力，注重发展学生的数学应用意识。

二、教材分析和设计思路个案内容本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教课书》必修1，第一章1.2集合间的基本关系。

集合是数学的基本和重要语言之一，在数学以及其他的领域都有着广泛的应用，用集合及对应的语言来描述函数，是高中阶段的一个难点也是重点，因此集合语言作为一种研究工具，它的学习非常重要。

本节内容主要是集合间基本关系的学习，重在让学生类比实数间的关系，来进行探究，同时培养学生用数学符号语言，图形语言进行交流的能力，让学生在直观的基础上，理解抽象的概念，同时它也是后续学习集合运算的知识储备，因此有着至关重要的作用。

三、学情分析个案内容在学习了集合间的基本关系，学生已经初步掌握了子集、集合相等、真子集、空集相关概念，并进行了相关练习，随着练习难度的提高，题型的多样，学生在做练习的过程当中越来越吃力，而高一的学生求知欲强，精力旺盛，思维活跃，已经具备了一定的观察、分析、归纳能力，能够很好的配合教师开展教学活动，所以需要对各类题型进行专题分析，以提高学生的数学分析以及数学应用能力。

四、教学目标及学科素养个案内容（一）教学目标1. 会推导与子集、真子集个数有关的四个结论；会利用两集合间的基本关系求参数的取值范围；2.通过类比实数间的关系，研究集合间的关系，培养学生类比、观察、分析、归纳的能力；培养学生用数学符号语言、图形语言进行交流的能力。

3.激发学生学习的兴趣，图形、符号所带来的魅力；感悟数学知识间的联系，养成良好的思维习惯及数学品质。

学生优势：学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识.从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义及其性质，并不困难学生劣势：难点在于两种关系的识别——元素与集合、集合与集合，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，例如，{a}A与a∈A，A B与B A、A B等. 本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解.预备策略：尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生更容易理解。

问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==； (2)设A 为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合； (3)设{|},{|};C x xD x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形总结：判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用V enn 图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 提示：若A ⊆B 和A B 同时成立，则A B 更能准确表达集合A ，B 之间的关系.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A BB A ⊆⊇或读作：A 含于B(或B 包含A).真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作。

新教材必修第一册1.2：集合间的基本关系课标解读：1.子集的含义.（理解）2.真子集的含义.（理解）3.集合相等的含义.（理解）4.空集的含义.（理解）5.Veen图.（了解）学习指导：1.准确理解子集的概念，把握子集与真子集之间的关系.2.注意灵活运用集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）分析解决有关问题.3.谨防掉进“空集”陷阱.4.本节难点是对相似概念及符号的理解，例如：区别元素与集合，属于与包含等概念及其符号表示.知识导图：教材全解知识点1：Veen图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Veen图.例1-1：用Veen图表示集合之间的关系：}xxB=，是平行四边形xA=x|{|}{是菱形，xxD=是矩形xC=x}|}.，{|{是正方形答案：知识点2：子集例2-2：给出下列说法：①任意集合必有子集；②若集合BA⊆，则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，集合C是集合D的子集，则集合A是集合D的子集；④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则集合B是集合A的子集，其中正确的是（）A. ②③B.①③④C.①③D.①②④ 答案：B例2-3：设集合}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A ，且A B ⊆，则a 的值为 . 答案：-1或2知识点3：集合的相等一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A=B.也就是说，若B A ⊆且A B ⊆，则A=B.例3-4：集合},12|{Z n n x x X ∈+==，},14|{z k k y y Y ∈±==，试证明Y X =. 答案：（1）设X x ∈0，则,1200+=n x 且.0Z n ∈①若0n 是偶数，可设Z m m n ∈=,20，则Z m m x ∈+=,140，∴Y x ∈0②若0n 是奇数，可设Z m m n ∈-=,120，则Z m m m x ∈-=+-=,141)12(20，∴Y x ∈0 ∴不论0n 是奇数还是偶数，都有Y x ∈0. ∴Y X ⊆. （2）设Y y ∈0，则.,141400000Z k k y k y ∈-=+=，或∵Z k k k y k k y ∈+-⋅=-=+⋅=+=00000001)12(21412214，，或， ,12,200Z k Z k ∈-∈ ∴X y ∈0，则X Y ⊆ 由（1）（2）得，Y X =. 知识点4：真子集例4-5：在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成自愿者队伍，参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者}，集合B={参与防疫工作的男党员}，集合C={参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是（ ） A. B A ⊆ B. C B ⊆ C.A C ⊄ D.B ⫋A 答案：D例4-6：指出下列各组集合之间的关系： （1）)};1,1(),1,1(),1,1(),1,1{(},1,1{----=-=B A （2）}6,3,2{=A ，B=}12|{的约数是x x ；（3）}|{}|{是等腰三角形，是等边三角形x x B x x A ==； （4）},12|{+∈-==N n n x x M ，},12|{+∈+==N n n x x N .答案：（1）A 与B 无包含关系；（2）A ⫋B ；（3）A ⫋B ；（4）N ⫋M .知识点5：空集 1.空集的定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2.空集的性质（1）空集是任何集合的子集；（2）空集的任何非空集合的真子集，即∅⫋A （A 为非空集合）. 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身. 辨析明理：∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系：例5-7：下面四个集合中，表示空集的是（ ）. A. {0} B.},01|{2R x x x ∈=+ C.},01|{2R x x x ∈>- D.},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+ 答案：B例5-8:若集合==+-=}02|{2m x x x A ∅，则实数m 的取值范围是（ ） A.1-<m B.1<m C.1>m D.1≥m 答案：C知识点6：有限集合的子集个数 对于集合A 的子集我们有如下结论： 集合AA的所有子集子集个数 真子集个数 非空真子集个数}{a ∅,}{a 122= 1 0 },{b a ∅,}{a ,}{b ,},{b a 224=3 2 },,{c b a∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a328=76猜想：A=},...,,{21n a a a n 2 12-n 22-n例6-9：已知集合},,01234|),{(++∈∈<-+=N y N x y x y x A ，则集合A 的子集个数为（ ）.A.3B.4C.7D.8 答案：D例6-10：已知集合M 满足}2,1{⫋M }5,4,3,2,1{⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（ ）.A.6B.7C.8D.9 答案：B知识点7：集合的图示法 1.Veen 图（1）用Veen 图表示集合间基本关系，如图所示：（2）用Veen图表示集合之间的关系：A⫋B⫋C可表示为如图：2.数轴法对于由连续实数组成的集合，通常用数轴表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合中元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.集合}3<-xx≤xx与用数轴分别表示如图：{{≥}5|1|例7-11：图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为；B为；C为；D为 .答案：{小说} {文学作品} {叙述散文} {散文}例7-12：已知集合A=}2{<≤-xx，则集合A与B的关系是 .|2{-≥x|x，集合B=}8答案：B⫋A题型与方法例13：指出下列各组集合之间的关系： （1）}.50|{},51|{<<=<<-=x x B x x A （2）}.,4|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==（3）}.,2)1(1|{},0|{2Z n x x B x x x A n∈-+===-= （4）}.0,00,0|),{(},0|),{(<<>>=>=y x y x y x B xy y x A 或 （5）}.,54|),{(},,1|{22++∈+-==∈+==N a a a x y x B N a a x x A答案：（1）B ⫋A ；（2）B ⫋A ；（3）A=B ；（4）A=B ；（5）B A ⊆；（6）A ⫋B.例14：已知集合}|{},3,2,1{A x x Y A ⊆==，则下列结论错误的是（ ） A.Y ⊆}1{ B.Y A ∈ C.∅Y ⊆ D.{∅}⫋Y 答案：A变式训练：已知集合},612|{},312|{},,61|{Z c c x x C Z b b x x B Z a a x x A ∈+==∈-==∈+==，，则A ，B ，C 满足的关系是（ ）A. A=B ⫋CB. A ⫋B=CC. A ⫋B ⫋CD.B ⫋C ⫋A 答案：B题型2：确定集合的子集、真子集例15：设}0)45)(16(|{22=++-=x x x x A ，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集.答案：集合A 的子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}、{-4、-1、4}，集合A 的真子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}.例16：已知集合A={1,3,5},则集合A 的所有非空子集的元素之和为 . 答案：36变式训练：已知集合A=}065|{},033|{22=+-∈==++∈x x R x B x x R x ，A P ⊆⫋B ，求满足条件的集合P. 答案：∅或{2}或{3}例17：已知}012|{},082|{222=-++∈==+-∈=a ax x R x B x x R x A ，若A=B ，则实数a 的取值范围为 . 答案：}44|{>-<a a a 或例18：已知集合}.121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若B ⫋A ，求实数m 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）}.3|{≤m m （2）不存在m 使得B A ⊆.变式训练：已知}|{},31|{a x x B x x A <=<<-=，若B A ⊄，则实数a 的取值范围是（ ）. A.}3|{<a a B.}3|{≤a a C.}1|{->a a D.}1|{-≥a a 答案：A例19：已知集合},|{},,12|{},1,1|{2A x x z z C A x x y y B R a a a x x A ∈==∈-==∈->≤≤-=且，是否存在实数a 使得B C ⊆？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：当1=a 时，B C ⊆易错题型易错1：混淆属于关系和包含关系例20：已知集合A={0,1}，B=}|{A x x ⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ） A.A B ⊆ B.A ⫋B C.B ⫋A D.B A ∈ 答案D易错2：忽略对参数的讨论例21：已知集合},0)1(|{},0|{22=--===x a x x F x x E 判断集合E 和F 的关系. 答案：①当1=a 时，E=F ；②当1≠a 时，E ⫋F.易错3：忽略空集例22：已知集合A={-1,1},B=A B ax x x ⊆+=若},1|{,则实数a 的所有可能取值组成的集合为（ ）.A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 答案：D易错4：利用数轴求参数范围时，忽略端点值是否能取到例23：已知集合},31|{},54|{R a a x a x B x x x A ∈+≤≤+=-<≥=或，若A B ⊆，则a 的取值范围为 .答案：}38|{≥-<a a a 或创新升级例24：已知非空集合21A A ，是集合A 的子集，若同时满足两个条件：（1）若21A a A a ∉∈，则；（2）若12A a A a ∉∈，则，则称),(21A A 是集合A 的“互斥子集”，并规定),(21A A 与),(12A A 为不同的“互斥子集组”，则集合A={1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是 . 答案：50组感知高考考向1：集合间关系判定及应用例25：已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）A.A=BB.A B ∈C.A ⫋BD.B ⫋A答案：D例26：已知集合A=},1{a ，B={1，2，3}，那么（ ）.A.若3=a ，则B A ⊆B.若B A ⊆，则3=aC.若3=a ，则B A ⊄D.若B A ⊆，则2=a 答案：C 考向2 ：子集的个数 例27:已知集合A=},023|{2R x x x x ∈=+-，B=},50|{N x x x ∈<<，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4答案:D基础巩固：1.已知下列四个命题：①；则且若C A C B B A ⊆⊆⊆,②且若B A ⊆B ⫋C ，则A ⫋C ；③若A ⫋B 且B ⊆C ，则A ⫋C ；④若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C.其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.满足M a ⊆}{⫋},,,{d c b a 的集合M 共有（ ）A.6个B. 7个C. 8个D.15个3.已知集合U=R ，则正确表示集合U ，M={-1,0,1},N=}0|{2=+x x x 之间的Veen 图是（）.4.集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则（ ）A.N M =B.N ⫋MC.M ⫋ND.M 与N 没有相同的元素5.设结合A={-1,1}，集合B=},1|{R a ax x ∈=，则使得A B ⊆的a 的所有取值构成的集合是 .6.已知7.已知集合A=}.52|{≤≤-x x（1）若}126{-≤≤-=⊆m x m B B A ，，求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得A=B ，}126{-≤≤-=m x m B ？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.综合提升：8.集合A=},,1{y x ，B=}2,,1{2y x ，若A=B ，则实数x 的取值集合为（ ） A.{21} B.{2121-，} C.{210，} D.{21210-，，}9.下列四个结合中，是空集的是（ ）A.}33|{=+x xB.},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD.},01|{2R x x x x ∈=+-10.集合},54|{2R a a a x x A ∈+-==，},344|{2R b b b y y B ∈++==，则下列关系正确的是（ ）. A. A=B B.B ⫋A C.A B ⊆ D.A B ⊄11.同时满足①}5,4,3,2,1{⊆M ，②M a M a ∈-∈6,且的非空集合M 的个数为（ ）A. 16B.15C. 7D. 612.若一个集合中含有n 个元素，则称该元素集合为“n 元集合”，已知集合}4,3,21,2{-=A ，则其“2元子集”的个数为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1013.设集合A=}023|{2=+-x x x ，集合B=},04|{2为常数a a x x x =+-，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .14.已知集合A=}40|{≤<∈x Z x ，若A M ⊆，且M 中至少有一个偶数，则这样的集合M 的个数为 .15.若规定E=},...,,{1021a a a 的子集},...,,{21ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中1112...2221---+++=ni i i k ，则：（1）},{31a a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集为 .16.已知三个集合}02|{}01|{},023|{222=+-==-+-==+-=bx x x C a ax x x B x x x A ，，同时满足B ⫋A ，C ⊆A 的实数b a ,是否存在？若存在，求出b a ,的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案1. D2. B3. B4. C5. {-1,0,1}6. }41|{≤a a7. （1）}43|{≤≤m m ；（2）不存在.8. A9. D10.B11.C12.A13.}4|{≥a a14. 1215.（1）5；（2）},,,,{87521a a a a a .16.存在2222,23,2<<-===b a b a 或满足要求.。

第一章集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系一、教学目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集、空集的概念；3. 能使用Venn 图表达集合间的关系，体会数形结合的思想.二、教学重难点1. 教学重点集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念，空集的概念.2. 教学难点元素与子集，即属于与包含之间的区别.三、教学过程（一）新课导入实数有相等、大小关系，如5=5，5<7，5>3等等，类比实数之间的关系，思考两个集合之间是否也有类似的关系呢？要求：学生自由发言，教师引导学生进一步探究.（二）探索新知探究一：子集1. 观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={l，2，3}，B ={1，2，3，4，5}；②C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.同样，在（2）中，集合C包含于集合D，集合D包含集合C.2. 子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作：A B⊇.⊆或B A读作：“A包含于B”（或“B包含A”）3. 韦恩图（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部来代表集合的图称为韦恩图（Venn图）.练习1：下图中，集合A是否为集合B的子集？练习2：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A ={1，3，5}，B ={1，2，3，4，5，6}（√）②A={1，3，5}，B={1，3，6，9}（×）③A ={0}，B ={x | x2+2=0}（×）④A ={a，b，c，d}，B ={d，b，c，a}（√）探究二：集合相等1. 观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系.A = {x | x是两条边相等的三角形}，B = {x | x是等腰三角形}.集合A中的元素和集合B中的元素相同.2. 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A = B.也就是说，若A B⊆，则A = B.⊆，且B A牛刀小试3：.集合A与B什么关系？答案：A = B.探究三：真子集1. 观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：（1）A ={1，3，5}，B ={1，2，3，4，5，6}；（2）A ={四边形}，B ={多边形}.2. 定义：如果集合A B⊆，但存在元素x B∉，就称集合A是集合B的真子集.∈，且x A记作：A B（或B A）.韦恩图表示：探究四空集1. 方程x2 + 1 = 0没有实数根，所以方程x2 + 1 = 0的实数根组成的集合中没有元素.2. 定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集.问题：你还能举几个空集的例子吗？探究五1. 包含关系{}a A⊆与属于关系a A∈有什么区别？答案：前者为集合之间的关系，后者为元素与集合之间的关系.2. 由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A⊆.（2）对于集合A，B，C，如果A B⊆.⊆，那么A C⊆，且B C例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}.真子集：∅，{a}，{b}.例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：（1）A ={1，2，3}，B ={x | x是8的约数}；（2）A ={ x | x是长方形}，B ={ x | x是两条对角线相等的平行四边形}.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.（2）因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集.规律总结：1. 写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.2. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.3. 一般地，集合A 含有n 个元素，则A 的子集共有2n 个，A 的真子集共有21n -个.（三）课堂练习1.集合A ={-1，0，1}，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ）A.2个B.4个C.6个D.8个答案：B解析：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，-1}，{-1，0，1}四个，故选B.2.设集合A ={x | 1< x <2}，B ={x | x < a }，若A B ⊆，则a 的取值范围是（）A. {|2}a a ≤B.{|1}a a ≤C.{|1}a a ≥D.{|2}a a ≥答案：D解析：由{|12},{|},A x x B x x a A B =<<=<⊆，则{|2}a a ≥.故选D.3.已知集合){}(2A x y x y x y =+=∈N ，，，，试写出A 的所有子集.解：因为){}(2A x y x y x y =+=∈N ，，，，所以A ={(0，2)，(1，1)，(2，0)}.所以A 的子集有：,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)}∅，{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.集合间的基本关系有哪些？3.本节课主要用到了哪些数学思想方法？作业：四、板书设计1.2集合间的基本关系1. 子集的定义2. Venn图3. 集合的相等4. 真子集的定义5. 空集的定义6. 结论。

1.1.2 集合间的基本关系教学目标：1.理解子集、真子集概念；2.会判断和证明两个集合包含关系；3.理解 ”、“⊆”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系；5.渗透问题相对的观点。

教学重点：子集的概念、真子集的概念教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算教学方法：讲、议结合法教学过程：（I ）复习回顾问题1：元素与集合之间的关系是什么?问题2：集合有哪些表示方法?集合的分类如何?通过观察就会发现，这五组集合中，集合A 都是集合B 的一部分，从而有：规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A 都有A 。

问题3：观察（7）和（8），集合A 与集合B 的元素，有何关系？⇒集合A 与集合B 的元素完全相同，从而有：问题4：（1）集合A 是否是其本身的子集？（由定义可知，是）（2）除去∅与A 本身外，集合A 的其它子集与集合A 的关系如何？（包含于A ，但不等于A ）3.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：(1)A ⊆A (任何集合都是其自身的子集)；(2)若A ⊆B ，而且A ≠B （即B 中至少有一个元素不在A 中），则称集合A 是集合B 的真子集（p r o p e(3)对于集即可得出A ⊆C ；对 B ， C ，同样有C, 即：包含关系具有“传递性”。

4.证明集合相等的方法：（1） 证明集合A ，B 中的元素完全相同；（具体数据）（2） 分别证明A ⊆B 和B ⊆A 即可。

（抽象情况） 对于集合A ，B ，若A ⊆B 而且B ⊆A ，则A=B 。

（III ） 例题分析： 1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集； 注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。

（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A 是A 的子集”，但A 中含有A 的全部元素，而不是部分元素）。

2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；3． 注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；4. 注意区别“∈”与“⊆”的不同涵义。

1.1.2集合间的基本关系一、教学目标：.1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系二、教学重难点：教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.三、教学课时：1课时四、教学过程：课题引入：实数有相等关系，大小关系，元素与集合之间有属于与不属于关系，那类比他们的关系，集合之间是否具备类似的关系？思考：例1：观察下面三个集合, 找出它们之间的关系:A＝{1，2，3}，B＝{1，2，7}，C＝{1，2，3，4，5}子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B 的元素，称集合A是集合B的子集，记作A B.读作“A包含于B”或“B 包含A”.韦恩图：思考: A= {x | x 是两条边相等的三角形} B= {x | x 是等腰三角形} 有A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B.集合相等：若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B.思考：A ＝{1, 2, 7}，B ＝{1, 2, 3, 7}，真子集：如果A ⊆B ，但存在元素x ∈B 且x ∉A ，称A 是B 的真子集. 记作A B(或B A).读作A 真包含于B ，或B 真包含A 。

思考：指出{}01|2=+=x x B 的元素空集：不含任何元素的集合为空集，记作∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集思考：2.若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆. 即：子集的传递性例（1）写出集合{a 、b }的所有子集；（2）写出集合{a 、b 、c }的所有子集；（3）写出集合{a 、b 、c 、d }的所有子集；一般地：集合A 含有n 个元素则A 的子集共有2n 个.A 的真子集共有2n – 1个. AB R ___Q ___Z ___N ___N .1*课题总结：子集：A B⊆⇔任意x∈A⇒x∈B真子集：A B⇔任意x∈A⇒x∈B，但存在x0∈B，且x0∉A. 集合相等：A = B⇔A B⊆且B A⊆空集∅：不含任何元素的集合性质：①A∅⊆，若A非空，则A≠⊂φ②A A⊆.③A B⊆，B C A C⊆⇒⊆. 课堂作业：8页练习。

第一章 集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系【课程标准】1. 理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 能用符号和Venn 图表示集合间的关系；3. 掌握列举有限集的所有子集的方法，掌握规律。

【知识要点归纳】1．子集（1）定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中 所有 元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊇)，读作“ A 包含于B ”(或“ B 包含A ”)。

.A AAA B B C A C ⊆Φ⊆⊆⊆⊆（2）注 ① ② ③若，，则2.集合相等定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作 A=B3.真子集（1）定义：如果A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )．Φ≠Φ⇒（2）注①A 的子集中除A 本身外，都是A 的真子集②A （A ） ③A B ，B C A C4.空集5.venn 图4.子集与真子集个数与元素关系（举例说明）总结例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2 C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．跟踪训练：若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( ) A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T用 Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．例2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是[跟踪训练](1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．例12 已知集合A ＝{x |a <x <5}，B ＝{x |x ≥2}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．{}{}+=14,12,(1)(2)A x x B x a x a x N a -<<=+<<∈⊆例3 已知集合若时，用列举法表示出集合A ，并求出A 的真子集的个数若B A ，求实数的取值范围[跟踪训练] 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．例4 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．[跟踪训练] 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a .，b .⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a【当堂检测】一．选择题（共4小题）1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（）A．3B．4C．2D．52．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（）A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）3．下列关系正确的是（）A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1} 4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（）A．3B．7C．15D．31二．填空题（共2小题）5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为．6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是．三．解答题（共1小题）7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．当堂检测答案一．选择题（共4小题）1．已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（）A．3B．4C．2D．5【分析】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1．【解答】解：设集合M中有n个元素，∵集合M的非空子集的个数是7，∴2n﹣1＝7，解得n＝3，∴集合M中元素的个数是3．故选：A．【点评】本题考查集合元素个数的求法，考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知集合A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），若A是B的子集，则实数a取值范围为（）A．[0，3）B．[1，3）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】根据条件讨论A是否为空集：A＝∅时，a≥3；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A＝{x|a≤x＜3}，B＝[1，+∞），且A⊆B，∴①A＝∅时，a≥3；②A≠∅时，，解得1≤a＜3，∴综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．3．下列关系正确的是（）A．{0}∈{0，1，2}B．{0，1}≠{1，0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．∅⊆{0，1}【分析】根据集合元素与集合属于关系的定义，可判断A，根据集合元素的无序性及集合相等的定义可判断B，根据集合与集合的关系可判断C，根据空集的定义，可判断D．【解答】解：A，“∈”用于表示集合与元素的关系，故：{0}∈{0，1，2}错误；B，根据集合元素的无序性，可得{0，1}＝{1，0}，故B错误；C，集合{（0，1）}中只有一个元素（0，1），集合{0，1}中有两个元素0，1，故C错误；D，空集是任一集合的子集，故∅⊆{0，1}正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．4．集合M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（）A．3B．7C．15D．31【分析】分别找出适合条件的变量y，求出相应的x值，则集合的元素可求，从而求出集合的非空子集．【解答】解：∵M＝{y|y＝，x∈N，y∈N}，∴y＝1，2，4，8，对应的x＝7，3，1，0，即满足条件的y有4种情况，故M＝{1，2，4，8}．∴M的非空子集个数是：24﹣1＝15，故选：C．【点评】本题考查了子集，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，此题是基础题．二．填空题（共2小题）5．已知集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为{0，1，﹣1}．【分析】由集合A＝{x|mx2﹣2x+m＝0}仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m．【解答】解：由题意，①当m＝0时，方程为﹣2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集；②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以△＝4﹣4m2＝0，解得m＝±1；所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，﹣1}．故答案为：{0，1，﹣1}．【点评】本题考查集合的求法，考查子集与真子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知A＝{x||2x﹣3|＜a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是（﹣∞，17]．【分析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得B＝{x|﹣10≤x≤10}，若A是B的真子集，分两种情况讨论：当a≤0时，A＝∅，此时A包含于B；当a＞0时，|2x﹣3|＜a⇒＜x＜，若A包含于B，则有⇒a≤17，a的取值范围为（0，17]；故答案为：（﹣∞，17]．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应特别注意不能忽略对空集这一情况的讨论，属于基础题．三．解答题（共1小题）7．已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数．（1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．（2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围．【分析】（1）利用△＜0即可求出m的取值范围；（2）函数f（x）＝x2﹣2mx+1，利用二次函数根的分布列出不等式组，解出m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y≤0的解集为空集，∴△＝（﹣2m）2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，所以m的取值范围为：（﹣1，1）．（2）设函数f（x）＝x2﹣2mx+1，∵A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，∴，解得：，所以m的取值范围为：[，+∞）．【点评】本题主要考查了一元二次不等式，考查了集合间的基本关系，以及二次函数根的分布问题，是中档题．。