泰勒定理及其在数值分析中的应用

摘要因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。

在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。

可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。

这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。

本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。

泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。

关键词：泰勒公式；数值分析；应用ABSTRACTBecause of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylor's formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple.Key words: Taylor formula; numerical analysis; application目录1 引言 02 泰勒公式概述 (1)2.1 一元函数的泰勒公式 (1)2.2 二元函数的泰勒公式 (2)3．泰勒公式在数值分析中的应用 (4)3.1利用泰勒公式近似计算函数值 (4)3.2 利用泰勒公式近似计算导数值 (7)3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用 (8)3.4 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (12)4 结论 (15)参考文献 (16)1 引言因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。

泰勒定理及应用一、主要定理回顾 1、Taylor 定理若()f x 满足：（1）在闭区间[],a b 上存在()f x 直到n 阶的连续导数；（2）在开区间(),a b 内存在()f x 的1n +阶导数；则对∀0,[,]x x a b ∈，有()()()n n f x P x R x =+，其中()20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x P x f x f x x x x x x x n ′′′=+−+−++−"，称为Taylor多项式，()0()()nn R x x x ο=−（当0x x →），称为皮亚诺(Piano)型余项；或 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=−+，称为拉格朗日(Lagrange)型余项。

2、马克劳林（Maclaurin）公式（常用）当00x =时，()()2(0)(0)()(0)(0)2!!n nn f f f x f f x x x R x n ′′′=+++++"，其中()()()()()()111!n nn n n f R x o xR x x n ξ++==+或3、常用函数的Maclaurin 展开式（1）()231,2!3!!nxn x x x e x R x x R n =++++++∈" ()()()()()1,1!x nn n n e R x o xR x x n θ+==+（2）()()()()12135721sin ,1,2,3,3!5!7!21!n n n x x x x x x R x x Rn n −−−=−+−+++∈=−""()()()()2212221sin 2,21!n n n n n x R x o x R x x n θπ++⎛⎞+⎜⎟⎝⎠==+（3）()()()()2246211cos 1,1,2,3,2!4!6!2!nn n x x x x x R x x Rn n +−=−+−+++∈=""()()()()2122212122cos 2,22!n n n n n x R x o x R x x n θπ+++++⎛⎞+⎜⎟⎝⎠==+（4）()()()(]1231ln 1,1,123n n n x x x x x R x x n −−+=−++++∈−"()()()()()()111,11nnn n n n R x o xR x x n x θ++−==++ （5）()()()()()2111112!!n n n x x x x R x n ααααααα−−−++=+++++""()()()()()()()()111,1,1,11!n nn n n n R x o xR x x x x n ααααθ−−+−−==+∈−+"（6）()()2311(1),1,11n n n x x x x R x x x=−+−++−+∈−+" ()()()112(1),(1)n nn n n n R x o xR x x x θ+++−==+ 以上各式中()0,1θ∈二、典型题型解析1、应用Taylor 公式证明含有中间值的等式、不等式例1、设()f x 在[],a b 上连续, 在(),a b 内有二阶连续导数,证明：(),a b ξ∃∈，使()()()()2224b a a b f b f f a f ξ−+⎛⎞′′−+=⎜⎟⎝⎠（1）关键词：()f x 在(),a b 内有二阶连续导数 （2）分析：考虑三个已知点,,2a ba b +，在2a b +处对()f x 做二阶Taylor 展开，有 ()()212222!2f a b a b b a b a f a f f ξ′′++−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′=+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠()212222!2f a b a b b a b a f f ξ′′++−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞′=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠()()212222!2f a b a b b a b a f b f f ξ′′++−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞′=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，从而()()()()()()212228b a a b f a f f b f f ξξ−+⎛⎞′′′′−+=+⎜⎟⎝⎠，再利用介值定理即可。

2015年度本科生毕业论文（设计）泰勒公式在数值分析中的应用教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：11级数本（3）班姓名：袁国彦学号：20110701013056导师及职称：程高讲师2015年 05 月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。

学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：日期：日期：袁国彦毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单摘要泰勒公式是微积分中一个重要的公式，它将一些复杂的函数近似的表示为多项式函数，为一些复杂函数的求解带来方便。

不仅在数学分析中有着重要的地位，在数值分析中也有着广泛的应用，本文简要介绍了泰勒公式在数值分析中的应用，并讨论泰勒公式在泰勒插值，欧拉方法和牛顿迭代法中的具体应用，在泰勒插值和数值积分中，用泰勒公式展开的多项式去逼近原函数，得出近似解，并分析误差。

欧拉方法是通过迭代的方法，求得近似值，通过用不同的步长进行对比，并得到一种通过控制误差来得到步长的方法。

牛顿迭代法是求解非线性方程近似解的一种方法，通过程序来得到方程根所在的区间，求出初值，最后控制其误差。

泰勒公式需要先取点对原式进行泰勒展开，如何选取，使得泰勒公式展开后，计算的结果在误差的允许范围内，并且计算过程尽量简单，减少计算步骤。

泰勒公式的应用与技巧
泰勒公式又称为差分量化展开式，它具有极强的多项式和多元函数近似扩展能力，能够精确地表示一个函数曲线的关系，在工程领域应用广泛。

以下是泰勒公式的应用与技巧：
1. 应用
(1) 在离散系统分析中，泰勒公式可以提供系统动态响应曲线以及各自对输入信号的响应，从而降低系统设计的复杂性。

(2) 在数值分析中，泰勒公式可以用来估算函数值及其发散性，进而可以估算函数的零点及其根的估计精度。

(3) 在经济学领域，泰勒公式用来分析一系列宏观经济指标的变化对经济效果的影响，以此决定政策制定的深度和维度。

(4) 在电子工程领域，泰勒公式可以用来表征电路作用功能，求解电路实现特定功能的最优解，从而提高电路设计的效率。

2. 技巧
(1) 避免系数繁多带来的计算量大，可以将展开项作简化处理，以消除多余系数，且减少复杂度。

(2) 对于数据情况复杂的情况，可以采用交叉验证的方法，令数据集分割成多组，轮流用作训练集和测试集进行模型训练和验证，从而可以更准确地识别数据趋势。

(3) 充分利用光滑点和区间插值减少计算量，使用雅可比条件数字求
导法应对多变量多元函数及其导数求解。

(4) 针对大量样本，可以采用分类、线性回归、判别分析等机器学习模型，来更精确地分析泰勒公式的表达结果。

《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。

泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。

1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。

我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。

2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。

对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。

通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。

3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。

当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。

通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。

4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。

当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。

将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。

5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。

在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。

在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。

泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。

通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。

了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。

泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧泰勒公式（Taylor's theorem）和泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）是微积分中重要的定理，用于用已知函数的其中一点的信息推导出该函数在附近任意点的近似值。

下面将对这两个定理的系统理论和使用技巧进行详细阐述。

1. 泰勒公式（Taylor's theorem）：泰勒公式是一个逼近函数的公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要逼近的函数，a是近似点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等是函数在点a的各阶导数。

公式可以继续扩展至更高阶导数。

泰勒公式的推导涉及到多项式的展开，通过使用导数的定义进行求解，存在其中一种程度的复杂性。

然而，在实际应用中，我们通常使用该公式的前几项进行近似计算，而不需要考虑无穷多项的求和。

在使用泰勒公式时，需要满足以下条件：-要求函数f(x)在开区间(a,b)上具有至少n+1阶连续导数；-近似点a必须在开区间(a,b)内；-近似点a必须在函数f(x)在(a,b)范围内的一些点，即a∈(a,b)。

2. 泰勒中值定理（Taylor's theorem with remainder）：泰勒中值定理是泰勒公式的一个推广，它包含了一个误差项。

泰勒中值定理的形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是余项，它表示在使用泰勒公式展开的前n项进行近似时产生的误差。

余项的具体形式为：R_n(x)=(x-a)^n/(n!)*(f^(n+1)(c))其中，c是a和x之间的一些点。

泰勒公式的应用摘要：本文简单地介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,泰勒公式是数学分析中的一个重要公式,同时它是求解数学分析问题的一个重要工具,在此结合例子本文主要从际个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、近似计算、级数的敛散性、证明不等式、估计的应用。

关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分 一、泰勒公式及其余项 1：泰勒公式定理1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n! (1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如0(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n! (5)常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x .24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!n n n x x x x x o x n =-+-++-+ .)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x .)(1112n n x o x x x x +++++=-+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m .泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例1 求2240cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需要连用4次，非常麻烦.但用带佩亚诺余项的泰勒公式求解比较简单.解： 因为2211()2!x e x x o x =+++将x 换成22x -就有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x ex x -→∞→∞-+-==-例2 求极限2240cos limsin x x x ex -→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x -→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.3.6 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x xn ≈+ + + + ,其误差是余项()n R x .例3.7 计算lg11的值,准确到5-10解:111lg11lg(101)1lg ln )10ln1010=+=+(1+)=1+(1+因为 23ln(1)23x x x x +=-++……+1n n xn -(-1)n+(-1)11(1)(1)n n x n x ++++θ，1x 0<θ<1, >-, 要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010n n n n -++-||θ++5102(1)n -n+1-<<10+⇒ 542(1)1010n n -(n+1)-+>=取4n =，故11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.04139例3.8 估计下列近似公式的绝对误差：21,28x xx+-∈[0,1]2128x x+-+……+1(23)2n nnnxn--!!(-1)!1(2)2(1)nnnn+-1!!+(-1)+!112(1),01nx x-n-++θ<θ<当2n=时，233()23R x||=!532)x x-|(1+θ|≦5211)1616-(1+θ≦3.3 用泰勒公式判断级数的敛散性3.3.1数项级数的敛散性判断当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用敛判准则.例1 讨论级数∑∞=+-1)1ln1(nnnn的敛散性.解：11132)1)(1()1(1)1(3121)1(ln++-++-+-+⋅⋅⋅-+-=+nnnnnnxxnxxxxξ，取n1x=有⋅⋅⋅-+-=+3231211)n11(lnnnn<n1，所以nn1ln+<n1，且=nU n1-nn1ln+>0,故该级数是正项级数。

泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。

泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。

本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。

这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。

它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。

这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。

2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。

本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。

3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。

3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。

通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor ）公式定理 1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：()20000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!(1)其中 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ （2）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()200000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!(3)公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如(())no x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:()()()112(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nn n n f f f x f x f f x x x xn θ++'''=+++++……+n!(01)θ<<（4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!n nn f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!(5)§3 泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。

即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。

浅谈泰勒公式及其应用摘 要： 本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值.关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+()0no x x +,即()()()()()()()()()().!!2000200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+⋯+-''+-'+=为⑴式.⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()nx x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式：()()()()()()()n n x o n f x f x f f x f ++⋯+''+'+=!0!20002.它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得()()()()()()()()()()()()()100100200000!1!!2++-++-+⋯+-''+-'+=n n n n x x n x fx x n x f x x x f x x x f x f x f 为⑵式.⑵式同样称为泰勒公式，它的余项为()()()()()()()()1001!1++-+=-=n n n n x x n x f x T x f x R ， ()00x x x -+=θξ ()10<<θ，称为拉格朗日型余项.所以⑵式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.当00=x 时，得到泰勒公式()()()()()()()()()112!1!0!2000+++++⋯+''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ.它也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式. 常见函数的展开式：⑴()n xx xx o n n x e ++⋯+++=!!221； ⑵()()m m m x o m x x x x x 212153)!12(1!5!3sin +--+⋯++-=--；⑶()()12242)!2(1!4!21cos ++-+⋯++-=m m m x o m xx x x ；⑷()()()n nn x o nx x x x x +-+⋯++-=+-1321321ln ; ⑸()()()n nax o x n n a a a a a axx ++-⋯-+⋯+++=+!)1()1(!2111； ⑹()n n x o x x x x++⋯+++=-2111.2.泰勒公式的应用2.1利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.例2.1 求 0lim→x xx x x 3sin )cos (sin -. 证 设()()x x f sin =, ()x x g cos =用泰勒公式在0=x 处展开 它们的导数是有规律的分别按x cos ,x sin -,x cos -,x sin 和x sin -,x cos -,x sin , x cos 循环.f 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；g 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；()()⋯⋯-+-+=-+=∑∞=!5!3!10!0)0(0sin 530x x x i f x f x i i i()()⋯⋯-+-=-+=∑∞=!4!21!0)0(0cos 420x x i g x g x i i ii f ,i g , f ,g 为i 的阶导数代入所求式中原式0lim x →= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯+---32353!31!11)!51!41()!31!21(）（x x x x 20231111()()2!3!4!5!lim 111!3!x x x →⎡⎤---+⋯⋯⎢⎥⎣⎦=⎡⎤-+⋯⋯⎢⎥⎣⎦（）112!3!=- 13=2.2 利用泰勒公式证明中值公式例2.2 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证：∃(,)c a b ∈使得3)())((241)(2)()(a b c f a b b a f a f b f n -+-⎪⎭⎫⎝⎛+'+= ①证（待定常数法）设k 为使下式成立的实数0)(241)(2)()(3=---⎪⎭⎫⎝⎛+'--a b k a b b a f a f b f ② 这时，我们的问题回归为证明：),(b a c ∈∃使得)(c f k '''= ③令 3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--= ④ 则0)()(==b g a g根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得,0)(='ξg 有④式，即：()028222)(2=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-'ξξξξξk a a f a f f ⑤这是关于k 的方程，注意到()ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式； ()2221222⎪⎭⎫⎝⎛-'''-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''+⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='a f a a f a f f ξξξξξ ⑥其中()b a c ,∈，比较⑤，⑥可得③式证毕2.3利用泰勒公式判断函数敛散性当要求判断极限的敛散性且条件出现有二阶和二阶以上导数时，考虑用泰勒公式展开判断极限敛散性.例2.3设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数，且()0lim=→xx f x .证明：级数)1(1∑∞=n nf 绝对收敛. 分析：可以先用泰勒公式求出)(x f 在点0=x 处的二阶导数，利用二阶导数判断0→x 时)(x f 的趋势.证 由()0lim=→xx f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有二阶连续导数，可以推出0)0(=f ，0)0(='f .将)(x f 在0=x 的邻域内展开成一阶泰勒公式：=)(x f ()()2221!21)0()0(x f x f f f ξξ''=''+'+，其中ξ在0与x 之间. 由于题设，()x f ''在邻域内包含原点的一个小闭区间上连续，因此，0>∃M 使得M x f ≤'')(，于是：222)(21)(x M x f x f ≤''=ξ. 令n x 1=，则212)(n M x f ⋅≤.因为∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.2.4 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.例2.4 当0≥x 时，证明≥x sin -x 361x . 证 取()x f 361sin x x x +-=, 00=x ，则 ()00=f ，()00='f , ()00=''f , ()='''0f x cos 1-, ()0)(n f ≥0.带入泰勒公式，其中3=n ,得()3!3cos 1000x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故 当0≥x 时，≥x sin 361x x -.2.5利用泰勒公式判断函数的极值例2.5（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域()δ;0x U 内一阶可导，在=x 0x 处二阶可导，且()00='x f ， ()00≠''x f . （ⅰ）若()00<''x f ,则f 在0x 取得极大值. （ⅱ）若()00>''x f ,则f 在0x 取得极小值.证 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式()()()()()()()22002000!2o x x o x x x fx x x f x f x f -+-+-'+= .由于()00='x f ，因此()()=-0x f x f ()()()20012x x o x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+''. ① 又因()00≠''x f ,故存在正数δδ≤'，当x ()δ'∈;0x U 时，()021x f ''与 ()()1210o x f +'' 同号.所以，当()00<''x f 时，①式取负值，从而对任意()δ'∈;0o x U x 有 ()()00<-x f x f ， 即 f 在0x 取极大值.同样对()00>''x f ，可得f 在0x 取极小值. 2.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些比较复杂的初等函数的幂级数展开式.例2.6 求函数x e x -1在0=x 处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间.解 由于()=++⋯+++=n xx xx o n n x e !!221∑∞=0!n nn x ()+∞∞-∈,x 而=-x11∑∞=0n nx()1,1-∈x ,则=-xe x1=∑∞=0nn!x n n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++0!1!21!111 ()1,1-∈x , 2.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用()x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为()()()()()()nn x n f x f x f f x f !0!20002+⋯+''+'+≈,其误差是余项()x R n .例2.7 计算8.1ln 2.1ln +， 误差小于001.0.8.1ln 2.1ln +()()2.012.01ln -+= ()04.01ln -=()--=04.0()()⋯--+-304.0204.032由于第二项已经001.0<，所以只取前两项即可 结果是0408.00008.004.0-=--.2.8利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果)(x f 泰勒公式已知，其通项中的加项n x x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n ，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例2.8求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ，则e e u e u u g xf u u ⋅+++==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(n ug f =， 0=u e u 在的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++⋯++=， 从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g ++++⋯++++=， 而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为()100100!100)0(u g ，从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 ())!1001!992!981(!100)0(100++=e g ，()10101)0(100⋅=e g ，()().10101)0()1(100100e g f ==本文主要介绍了泰勒公式以及它的八个应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解.怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，数学分析（第三版）[M]高等教育出版社1981.[2]陈传章金福林：《数学分析》（下）北京：高等教育出版社，1986.[3]张子兰崔福菊：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社，1985.[4]王向东：《数学分析的概念和方法》上海：上海科学技术出版社，1989[5]同济大学数学教研室主编：高等数学[M].北京：人民教育出版社，1999.[6]刘玉琏傅沛仁：数学分析讲义[M].北京：人民教育出版社，2000.。