数学分析复习提纲(全部版)

（完整版）最新数学分析知识点最全汇总第⼀章实数集与函数§1实数授课章节：第⼀章实数集与函数——§1实数教学⽬的：使学⽣掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运⽤实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运⽤实数绝对值的有关性质以及⼏个常见的不等式．（它们是分析论证的重要⼯具）教学难点：实数集的概念及其应⽤．教学⽅法：讲授．（部分内容⾃学）教学程序：引⾔上节课中，我们与⼤家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给⼤家介绍这门课程的主要内容．⾸先，从⼤家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这⾥的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解⼀下实数的有关性质．⼀、实数及其性质1、实数(,q p q p ?≠有理数:任何有理数都可以⽤分数形式为整数且q 0)表⽰，也可以⽤有限⼗进⼩数或⽆限⼗进⼩数来表⽰.⽆理数:⽤⽆限⼗进不循环⼩数表⽰.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与⽆理数的表⽰不统⼀，这对统⼀讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限⼩数”（包括整数）也表⽰为“⽆限⼩数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→L ；利⽤上述规定，任何实数都可⽤⼀个确定的⽆限⼩数来表⽰．在此规定下，如何⽐较实数的⼤⼩？2、两实数⼤⼩的⽐较1）定义1给定两个⾮负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L ；；00,a b 为⾮负整数，,k k a b (1,2,)k =L 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==L ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在⾮负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==L ，⽽11l l a b ++>，则称x ⼤于y 或y ⼩于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何⾮负实数⼤于任何负实数．2）实数⽐较⼤⼩的等价条件（通过有限⼩数来⽐较）．定义2（不⾜近似与过剩近似）：01.n x a a a =L L 为⾮负实数，称有理数01.n n x a a a =L 为实数x 的n 位不⾜近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =L .对于负实数01.n x a a a =-L L ，其n 位不⾜近似011.10n n n x a a a =--L ；n 位过剩近似01.n n x a a a =-L .注：实数x 的不⾜近似n x 当n 增⼤时不减，即有012x x x ≤≤≤L ；过剩近似n x 当n 增⼤时不增，即有012x x x ≥≥≥L ．命题：记01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L 为两个实数，则x y >的等价条件是：存在⾮负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不⾜近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应⽤例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满⾜x r y <<．证明：由x y <，知：存在⾮负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常⽤性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ?∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其⼀，也只居其⼀.3）传递性：a b c R ?∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基⽶德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另⼀个实数．6）⼀⼀对应关系：实数集R 与数轴上的点有着⼀⼀对应关系．例2．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提⽰：反证法．利⽤“有序性”，取a b ε=-）⼆、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥?=?-从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表⽰就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=?=（⾮负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h ；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三⾓不等式）； 5）||||||ab a b =?；6）||||a ab b =（0b ≠）．三、⼏个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈?R n a a a Λ记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ???? ??==∏=Λ (⼏何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H Λ (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：1212111n n a a a nna a a +++≤≤+++L L 等号当且仅当n a a a ===Λ21时成⽴.3、Bernoulli 不等式:(在中学已⽤数学归纳法证明过),1->?x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++?≠+111)1(1)1( ,01Λn n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+?4、利⽤⼆项展开式得到的不等式:对,0>?h 由⼆项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+Λ有 >+n h )1( 上式右端任何⼀项.［练习］P4．5［课堂⼩结］：实数：⼀实数及其性质⼆绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第⼀章实数集与函数——§2数集和确界原理教学⽬的：使学⽣掌握确界原理，建⽴起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运⽤.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应⽤.教学⽅法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导⼊新课.引⾔上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后⼜让⼤家⾃学了第⼀章§1实数的相关内容.下⾯，我们先来检验⼀下⾃学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥Q （））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满⾜y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之⼀.⽽不要做完就完了！⽽要多想想，能否具体问题引出⼀般的结论：⼀般的⽅法？②由上述⼏个⼩题可以体会出“⼤学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，⽽⾮凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语⾔应⽤.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和⼯具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与⽆界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.⼀、区间与邻域1、区间（⽤来表⽰变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.有限区间区间⽆限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ?∈<<=∈≤≤=∈≤<=∈<≤=开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?⽆限区间2、邻域联想：“邻居”.字⾯意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪⼀类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何⽤数学语⾔来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满⾜不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中⼼，称为该邻域的半径.（2）点a 的空⼼δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+@.（3）a 的δ右邻域和点a 的空⼼δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@（4）点a 的δ左邻域和点a 的空⼼δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分⼤的正数）； {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-⼆、有界集与⽆界集1、定义1（上、下界）：设S 为R 中的⼀个数集.若存在数()M L ，使得⼀切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，⼜有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为⽆界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是⽆界数集,集合∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是⽆界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯⼀；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +⽆上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表⽰不超过的最⼤整数），则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界⽆上界的数集，因⽽是⽆界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）⽆限区间都是⽆界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯⼀的吗？对下界呢？(答：不唯⼀，有⽆穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数η满⾜：(1) 对⼀切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最⼩的⼀个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最⼩者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ?∈≤；2）00,,o x S x M εε?>?∈>-使得.证明：必要性，⽤反证法.设2）不成⽴，则00,,o x E x M εε?>?∈≤-使得均有，与M 是上界中最⼩的⼀个⽭盾.充分性（⽤反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ?是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ?∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界⽭盾.定义3（下确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数ξ满⾜：（1）对⼀切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最⼤的⼀个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最⼤者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ?∈≥；2）ε?＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：⾮空有界数集的上（或下）确界是唯⼀的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯⼀的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η?A x ∈?有η≤xsup A η'=?对ηη'<，0x A ?∈使0x η<，⽭盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈??= ?+??，1inf 12n Z n n +∈??= ?+?? {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是⾮空数集，且有.A S ?则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是⾮空数集.若对A x ∈?和,B y ∈?都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈?y 是A 的上界,.sup y A ≤?A sup ?是B 的下界,.inf sup B A ≤?例6A 和B 为⾮空数集,.B A S Y =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈?有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥?≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥?⼜S A S ,??的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ?是A 的下界,;inf inf A S ≤?同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不⼀定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是⼀种临界点.（2）⾮空有界数集必有确界(见下⾯的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S ⾮空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这⾥我们给⼀个可以接受的说明 ,E R E ?⾮空，E x ∈?，我们可以找到⼀个整数p ，使得p 不是E 上界，⽽1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p Λ和1+p ，我们可以找到⼀个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第⼆位⼩数1q ，,Λ如此下去，最后得到Λ210.q q q p ，它是⼀个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下⾯讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为⾮负数，则存在⾮负整数n ，使得1）S x ∈?，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈?，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何Λ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.->Λ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x Λ21.≤．因此得到ΛΛk n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第⼀章实数集与函数——§3 函数概念教学⽬的：使学⽣深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表⽰法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学⽅法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可⾃学.教学程序：引⾔关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进⼀步讨论.⼀、函数的定义１．定义１设,D M R∈，，如果存在对应法则f，使对x D存在唯⼀的⼀个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作→:f D M→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f D.f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．⼏点说明（1）函数定义的记号中“:f D M→”表⽰按法则f建⽴D到M 的函数关系，|x y→表⽰这两个数集中元素之间的对应关系，也记作→.习惯上称x⾃变量，y为因变量.|()x f x（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便⾃然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表⽰为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ?=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数⽤公式法（解析法）表⽰时，函数的定义域常取使该运算式⼦有意义的⾃变量的全体，通常称为存在域（⾃然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，⽽只⽤对应法则f 来表⽰⼀个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯⼀的⼀个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同⼀个x 值，可以对应多于⼀个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.⼆、函数的表⽰⽅法1 主要⽅法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图⽰法）.2 可⽤“特殊⽅法”来表⽰的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分⽤不同的公式来表⽰.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >??==??-，（符号函数）（借助于sgnx 可表⽰()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）⽤语⾔叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１）[]y x =（取整函数）⽐如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关⼀个的函数[]{}y x x x =-@（⾮负⼩数函数）图形是⼀条⼤锯，画出图看⼀看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ?=??当为有理数,当为⽆理数,这是⼀个病态函数，很有⽤处，却⽆法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最⼩周期，事实上任⼀有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +?=∈?=??=?当为既约分数),当和内的⽆理数.三函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =U ，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：()()(),F x f x g x x D=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；()()(),H x f x g x x D =∈. 若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠g ，可在D g 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈g . 注：１）若12D D D φ==U ，则f 与g 不能进⾏四则运算.２）为叙述⽅便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引⾔在有些实际问题中函数的⾃变量与因变量通过另外⼀些变量才建⽴起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体⾃由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代⼊f ，即得221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从⽽引出下⾯定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈g I ，若E φ≠g ，则对每⼀个x E ∈g ，通过g 对应D 内唯⼀⼀个值u ，⽽u ⼜通过f 对应唯⼀⼀个值y ，这就确定了⼀个定义在E g 上的函数，它以x 为⾃变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈g 或()(),y f g x x E =∈g o .简记为f g o .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例⼦例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f =ο并求定义域.例⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=??? ??+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进⾏复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合⽽成.每次复合，都要验证能否进⾏？在哪个数集上进⾏？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把⼀个函数分解成若⼲个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引⾔在函数()y f x =中把x 叫做⾃变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，⾃变量与因变量的地位并不是绝对的，⽽是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是⾃变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是⾃变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引⼊反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是⼀函数，如果?1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠?≠(或由2121)()(x x x f x f =?=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y ⾄多有⼀个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有⼀个解x .。

《数学分析》考试大纲1．实数集与函数（1）掌握集合的概念与运算，区间与邻域。

理解映射与一一对应概念。

了解几个重要不等式。

理解确界原理。

（2）掌握函数概念。

掌握复合函数方法。

了解反函数存在定理。

理解初等函数。

（3）掌握函数的几种特性（单调性、有界性、奇偶性、周期性等）2. 数列极限（1）理解数列极限概念。

（2）掌握收敛数列的性质。

理解数列极限存在的条件。

3. 函数极限（1）理解函数极限概念，掌握ε-δ论证方法。

（2）掌握函数极限的性质。

理解函数极限存在的条件。

（3）掌握两个重要极限的应用。

（4）掌握无穷小与无穷大概念。

4. 函数的连续性（1）理解函数的连续与间断概念。

（2）了解连续函数的性质。

了解复合函数与反函数的连续性。

理解闭区间上连续函数的性质。

（3）理解函数的一致连续性。

理解初等函数的连续性。

5. 导数和微分（1）掌握导数概念。

（2）掌握求导法则与导数计算。

（3）理解微分概念。

（4）理解高阶导数与高阶微分6. 微分中值定理及其应用（1）理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。

（2）掌握Taylor公式和L’Hospital法则。

（3）理解函数的凸性及其性质。

（4）掌握利用导数研究函数的性态及函数作图。

7. 实数的完备性（1）理解子列概念。

理解致密性定理，区间套定理，有限覆盖定理。

理解实数连续性定理的等价性。

（2）了解上、下极限概念。

8．不定积分（1）理解原函数与不定积分概念。

掌握基本积分公式和不定积分的运算法则。

（2）掌握换元积分法与分部积分法。

（3）掌握有理函数的不定积分，三角函数的不定积分和某些无理函数的不定积分。

9. 定积分（1）理解定积分概念。

掌握Newton-Leibniz公式。

（2）了解Darboux上、下和与Darboux上、下积分。

理解可积充要条件和可积函数类。

（3）理解定积分性质。

掌握变限积分及其性质。

理解积分中值定理。

10. 定积分的应用（1）理解微元法的基本思想。

2020数学分析1期末复习提纲一、极限1、熟练掌握数列极限的-N ε语言与函数极限的εδ-语言。

例如lim (,)n n a a a →∞==∞±∞，lim ()x af x b →=(,,,)(,)x a a b +-→∞±∞=∞±∞2、极限的运算法则p30-31例9，例10;p38-39习题9(1-3,6);p53习题2,4,7,8(3-4),10.3、L’Hospital 法则P165-168例1-10，p169习题1(1，2，3，5，6，10，11，12，13，19)4、无穷小量的阶（高阶，同阶，等价无穷小的定义）P167习题1二、连续函数与实数的基本定理1、连续函数的定义与性质（四则运算、反函数、复合），初等函数的连续性。

2、不连续点的类型。

3、有界闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性，介值性，一致连续性）P60-63例3例5；p64-65习题7，9，14（1-8），16，174、实数系的六个基本定理（背下来）P79-80习题5，10，11三、导数与微分1、导数的定义，曲线的切线，基本的导数表（p103-104），左右导数P94-95习题2，5；p121习题1（1，2）。

2、导数的四则运算，反函数的导数，复合函数求导，对数求导法。

p109-111习题1-6，9，11，13.3、微分的定义、运算法则，一阶微分形式的不变性。

P114习题1（2，4），2，3（2，4），4（1，3，5）。

4、隐函数与参数方程求导P123例1~例6，p128-129习题3（1，2，3，5，8），5（1，2，5），14（1，3，4，6），15（1，3）。

5、高阶导数p128-129例1~例6；p128-129习题3（1，2，3，5，8），5（1，2，5），14（1，3，4，6），15（1，3）。

四、导数的应用1、中值定理（Fermat 引理，Rolled 、Lagrange 、Cauchy 中值定理）P135习题10、11、12、13、15.2、Taylor 公式，掌握常用的初等函数如1(,sin ,cos ,(1),ln(1),)1x a e x x x x x++-在0x =处的Taylor 展开式。

《数学分析》考试大纲Ⅰ 考试性质与目的本科插班生考试是针对专科毕业生参加的选拔性考试，我院将根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体育、全面衡量，择优录取。

考试应有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ 考试内容一、考试基本要求要求考生理解和掌握《数学分析》的基本概念，基本原理和基本方法，能运用本科目知识进行，具体分析问题和解决问题的基本能力。

二、考核知识点与考核要求第一章 函数一、考核知识点1、函数的概念函数的定义 函数的表示法 分段函数2、函数的简单性质单调性 奇偶性有界性 周期性3、复合函数、反函数的概念 反函数的图像4、函数的四则运算与复合运算5、基本初等函数类幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数6、初等函数的概念二、考核要求1．识记：①基本初等函数的简单性质及图像。

②初等函数的概念。

2．理解：①函数的概念②函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性。

3．应用：复合函数的复合过程。

第二章 极限一、考核知识点1．数列N -ε定义2．数列极限的性质唯一性，有界性，保号性，保不等式，四则运算定理子数列的概念和性质3．数列极限存在的条件，单调有界定理，数列极限存在的柯西准则，夹逼定理4．函数当x 趋向∞时的极限的概念和函数当x 趋向0x 时的极限的概念和δε-定义 单侧极限的概念5．极限与单侧极限的关系6．函数极限的性质唯一性 有界性保号性 保不等式性 四则运算定理7．函数极限存在的条件单调有界定理 函数极限存在的柯西准则 夹逼定理 函数极限存在的归结原则8．两个重要的极限9．无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的概念，无穷小量阶的比较二、考核要求1、识记：①数列、函数极限的性质②无穷小量阶的比较③归结原则2、理解：①数列ε-N定义,函数极限ε-δ定义②无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量与无穷大量的关系③单调有界定理，柯西准则3、应用：①极限的四则运算法则②夹逼定理③用两个重要的极限求极限④无穷小量的性质求极限第三章函数的连续性一、考核知识点1．函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类2．函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数连续性反函数的连续性3．闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值性定理4．初等函数的连续性二、考核要求1识记：①函数在一点连续与间断的概念②函数在一点连续与极限存在的关系2．理解：①函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算，复合函数连续性，反函数的连续性②闭区间上连续函数的性质③初等函数在其定义区间上的连续性3．应用：①求函数的间断点及确定其类型②运用介值定理推证简单命题③用连续性求极限第四章导数和微分一、考核知识点1．导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系2．求导法则与导数的基本公式，导数的四则运算，反函数的导数3．求导方法复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法，求分段函数的导数4．高阶导数的概念高阶导数的定义，高阶导数的计算5．微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式的不变性二、考核要求1识记：导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，2理解：①导数的基本公式、四则运算法则及复合函数求导方法②隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法3．应用：①使用各种求导法则和微分法则求导数和微分。

数学分析复习要点上册第一章实数集与函数内容：实数集相关概念及性质、确界原理，复合函数，反函数，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性及奇偶性等相关问题。

重点：邻域，上、下确界的概念，确界原理。

第二章数列极限内容：数列极限的精确定义与性质，单调数列概念，单调有界定理、柯西收敛准则，收敛与发散数列，数列极限存在条件。

重点：数列极限的精确定义，利用ε-Ν定义证题，收敛数列性质，数列极限的求法。

第三章函数极限内容：函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷量及阶的比较，曲线的渐近线。

重点：函数极限的精确定义及其证题，极限的求法，极限存在准则，两个重要极限，常用等价无穷小。

第四章函数的连续性内容：函数的连续与间断的概念，间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。

重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，连续性的判别，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。

第五章导数和微分内容：导数与高阶导数的概念，导数的几何意义，求导法则与公式、各类型函数（尤其复合函数）的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理、微分与高价微分概念与性质及应用。

重点：导数的几何意义的应用，基本求导公式及求导法，微分形式不变性，可导、可微与连续的关系。

第六章微分中值定理及其应用内容：三个微分中值定理，利用导数研究函数的单调性、不定式极限、泰勒公式，函数的极值与最值的求法，函数的凹凸性及函数的作图。

重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论，函数单调性与凹凸性的判定及其应用，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。

第七章实数的完备性内容：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念、实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理）。

闭区间上连续函数性质的证明。

重点：区间套定理。

第八章不定积分内容：原函数与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，利用換元积分法与分部积分法求不定积分。

数学分析考研大纲第一部分 集合与函数1、集合 实数集、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限复盖定理。

2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广。

2、函数函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理。

初等函数以及与之相关的性质。

第二部分 极限与连续1、 数列极限数列极限的N ε-定义，收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nn e n →∞+=及其应用。

2、 函数极限各种类型的一元函数极限的定义（εδ-、M ε-语言 ），函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限：sin10lim 1,lim(1)xx x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O 的意义。

多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系。

3、 函数的连续性函数连续与间断的概念，一致连续性概念。

连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值可达性、介值性、一致连续性）。

第三部分 微分学1、一元函数微分学（i ）导数与微分导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。

（ii ）微分学基本定理及其应用Feimat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。

数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。

一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。

§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。

§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。

§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。

§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。

§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。

§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。

§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。

§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。

§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。

第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。

§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。

数学分析(1)复习纲要一实数集与函数1、理解实数的概念，了解实数的四则运算、有序性、稠密性、阿基米德性等主要性质，会绝对值的常用不等式。

2、了解区间与邻域的概念，了解有界集及上下确界的定义并会证明, 理解确界原理。

3、理解函数的概念和表示法，了解反函数和复合函数的概念，了解基本初等函数的性质和图形。

4、了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。

典型例题：P2，例1；P6，例2。

典型习题：P4，1；P9，4(1)(3)。

二数列极限1、理解数列极限的概念，并掌握用ε—N定义证明数列极限的一般方法。

2、了解收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算和子列的性质，并且掌握求数列极限的相应方法。

3、掌握单调有界定理并会用于证明数列极限的存在性，了解Cauchy收敛准则。

典型例题：P24，例3；P29，例1、2、5；P36，例2。

典型习题：P27，1，2(2)；P33，1(1) (4)，4(6)；P39，1(1) (3)，3(2)。

三函数极限1、理解函数极限的概念(当自变量趋向于无穷或有限点时以及单侧极限)，并掌握“ε—δ”和“ε—M”证明的一般方法。

2、了解函数极限的性质: 唯一性, 局部有界性, 局部保号性,保不等式性和四则运算法则，并且掌握求函数极限的相应方法。

3、了解函数极限存在的条件: 归结原则, 单调有界准则和Cauchy准则。

4、掌握两个重要极限及其求极限应用。

5、了解无穷小(大)量及其阶的概念和应用；了解曲线的渐近线的概念及其求法。

典型例题：P45，例5；P50，例2、3；P53，例1；P56，例1-5；P62，例2、5。

典型习题：P47, 1(1)(2), 2；P51, 1(3)(7), 2(1)；P58, 1(8)(10), 2(3), 4(1)；P66, 2, 4(3)。

四函数的连续性1、理解函数在一点连续的概念(三个等价定义及左右连续)，并会判断间断点的类型。

数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。

第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。

《数学分析》考试知识点题目类型及所占比例：填空题（20分）、解答题（60分）、证明题(70分)考试范围：一、极限和函数的连续性考试内容：1映射与函数的概念及表示法，函数的四则运算、复合函数与反函数的求法，函数的有界性、奇偶性、单调性与周期性；2数列与函数极限的定义与性质，函数的左右极限，无穷小量与无穷大量的概念及关系、无穷小量与无穷大量的阶，极限的计算；3函数的连续性和一致连续性；4实数系的连续性；5连续函数的各种性质。

考试要求：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示法；会函数的四则运算、复合运算；知道反函数及隐函数存在的条件及求法；了解初等函数的概念，会求初等函数的定义域；2理解函数与数列极限(包括左右)的概念，会用极限的概念证明有关极限的命题；熟练掌握极限的四则运算及性质；会问题及简单的求函数熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及基本性质。

掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。

掌握实数系的基本定理。

熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。

熟练掌握闭区间上连续函数的性质。

二、一元函数微分学考试主要内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。

考试要求：理解导数和微分的概念。

熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。

能用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

三、一元函数积分学考试主要内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。

考试要求：理解不定积分的概念。

掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。