电路相量法

等于初相位之差
规定： |j | ( 180°)。
• j >0， u 超前 i，或 i 滞后u (u 比 i 先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
u i
j
• j <0， i 超前 u ，或u 滞后 i (i 比 u 先到达最大值)。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，u与 i 反相
j = 0 ，u与 i 同相
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2
220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
考虑。
（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
4. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差 ：j = (w t+ u) - (w t+ i) = u- i
相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种 有效工具。
1. 正弦量的相量表示
两个正弦量的相加
i1 2 I1 cos(w t 1 ) i2 2 I2 cos(w t 2 )
角频率： 有效值： 初相位：
ui1, i
w
i1
i2
w
i2
I1 0
I2
1
2
i1+ii23wi3
wI3t 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁琐。 因同频率的正弦量相加仍得到同频率的正弦量，所以， 只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。
交流i R
直流I R
W T Ri2(t)dt 0
W RI 2T
周期电流、电压有效值定义
周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的 平均值的平方根。有效值也称均方根值。
电流有效 值定义为
电压有效 值定义为
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
+j F2
0
+j
F1+F2
F1
+1
0
图解法
F2
F1 +1
F1-F2
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1
F2 e j2
F1
F e j(1 2 ) 2
F1 F2 1 2
乘法：模相乘，辐角相加。
F1 F2
| F1 |θ1 | F2 |θ2
正弦量
复数
实际是变换
正弦量的相量表示
选一个复函数 A 2Iej(wti )
无是物一理个意正义弦量 有物理意义
2Icos(wt i ) j 2Isin(wt i )
对A取实部： Re[A] 2Icos(w t i )
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos(w t i ) A 2Ie j(w ti )
正弦电流、电压的有效值
设 i = Imcos(w t + i )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
i
) dt
T 0
cos
2
(
w
t
i
) dt
T 1 cos 2(w t i
0
2
) dt 1 T 2
I
1 T
Im2
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i Im cos(w t i ) 2I cos(w t i )
F | F | (cos j sin )
（3）指数形式
根据欧拉公式 e j cos j sin
复数的三角形式可转换为指数形式
F | F | (cos j sin ) | F | e j
+j
b
F
|F|
0
a +1
F a jb
（4）极坐标形式
F | F | e j | F |
F a2 b2 ,
8.4 电路定律的相量形式
1. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计 算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相 量形式表示：
i 0
I 0
u 0
U 0
任一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL 任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL
第8章 相量法
重点： 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定律的相量形式
1. 复数及运算
8.1 复数
复数F 的表示形式
（1）代数形式
+j
b
F
|F|
0
a +1
F a jb ( j 1 为虚数单位)
复数 F 在复平面上是一个坐标点，常用原点至该点的向量表示。
（2）三角形式
i
T
波形： O
i
f1 T
2 ωt
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒
频率f ：每秒重复变化的次数。
单位：Hz，赫兹
2. 正弦量的三要素
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小
(2) 角频率 w
ω是正弦量的相位随时间变
化的角速度，反映正弦量变化 快慢。
i = Imcos(w t+i)
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
8.2 正弦量
1. 正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流， 统称为正弦量。
i + u_ 正弦电流表达式：
i=Imcos(w t+i)
周期T 和频率f
一般规定：| i |180°
3. 周期电流、电压的有效值
周期电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡 量其大小工程上采用有效值来表示。
工程中将周期电流或电压在一个周期内产生的 平均效应换算为在效应上与其相等的直流量，以衡 量和比较周期电流或电压的效应，该直流量就称为 周期量的有效值。
周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能， 等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
i Re[A] Re[ 2Ie j(wti ) ]
i 2Icos(w t i )
i Re[ 2Ie j(wt i ) ]
Re[ 2Ie ji e jwt ]
复常数
复常数包含了 I , i
将该复常数定义为正弦量 i 的相量，记为 I
I Ieji Ii
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦
U R R IR
相量图： U R
I u= i
•
I
+
•
UR
R
-
相量模型
3. 电感元件VCR的相量形式 iL
时域形式：
已知 iL 2I cos(w t i )
+
u-L
L
则
uL
L diL dt
2wL I L sin(w t i )
2w
L
IL
cos(w
t
i
π) 2
相量形式：
IL I Li U L jwLIL w LIL i 2
u2 4 2cos(314t 60o ) V
U1 630o V U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u u1 u2 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
也可借助相量图计算
arctan b
a
a | F | cos , b | F | sin
Re [ F ] = a , 取复数的实部
Im [ F ] = b， 取复数的虚部
用F *表示复数F 的共轭复数
F a jb 或 F ＝F
+j
b
F
|F|
0
a +1
复数运算
(1)加减运算——采用代数形式
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
I
i
2
idt Re 2Ie jw t dt
Re
2
I
jw
e
jw
t
idt
I
jw
I
w
i 2
例i R
i 2 I cos(w t i )
+ u -
di 1
C L u Ri L dt C idt
用相量运算：
U RI jwLI I jwC
相量法的优点：
（1）把时域问题变为复数问题 （2）把微积分方程的运算变为复数代数方程运算 （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路
相量关系：
| F1 | ejθ1 | F2 | ejθ2
| F1 | e j( θ1θ2 ) | F2 |
| F1 | | F2 |
θ1 θ2
除法：模相除，辐角相减。