2013研数值分析A卷

上海海事大学2012---2013学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案）学生姓名： 学号： 专业：1. 利用Seidel 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是))-1s U L D B -=（； 当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Seidel 迭代法收敛 。

7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法． 6. QR 法是计算 非奇异矩阵的 所有 特征值和特征向量的计算方法 1. 利用Jacobi 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是)(1U L D B J +=-；当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Jacobi 迭代法收敛 。

2. 对于求解Ax=b ，如果右端有b δ的扰动存在而引起解的误差为x δ，则相对误差≤xxδ bbA Cond δ)(3. 幂法是求矩阵 按模最大 特征值和特征向量的计算方法．Jacobi 法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 六．设方程组Ax=b 有唯一解*x ，其等价变形构造的迭代格式为f Bx x k k +=+)()1(，如矩阵谱半径1)(>B ρ，但B 有一个特征值满足1<λ，求证：存在初始向量)0(x ，使得迭代产生的序列{})(x x 收敛于*x 。

（7分）证明： 由f Bx x k k +=+)()1(，f Bx x +=**()()*)0(1k *)(*)1(---x x B x x B x xk k ++== 对于B 的一个特征值满足1<λ，特征向量设为y ，,,11y y B y By k k ++==λλ故取初始向量y x x +=*)0(，有()y y B x x B x x k k 11k *)0(1k *)1(--++++===λ∞→→==+++k yy x xk k k ,0-11*)1(λλ，所以{})(x x 收敛于*x八．给定函数函数)(x f ，对于一切x ，存在)(x f '，且M x f m ≤'≤<)(0， 证明对于范围M20<<λ内的任意定数λ，迭代过程)(-1k k k x f x x λ=+均收敛于0)(=x f 的根。

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

教研室主任 (签字)： 分管教学学院领导(签字)：第 1 页 共 6 页广西师范大学全日制普通本科课程考核试卷（2012—2013学年第二学期）课程名称：数值分析1 课程序号：KB,KX07202101-2 开课学院：数学科学学院 任课教师：陈娟娟 年级、专业：2011级信息与计算科学、数学与应用数学专业 考核方式：闭卷 开卷 □ 实验操作 □ 考试时间：120分钟 试卷代号：A 卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个最符合题目要求，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 用1+x 近似表示e x 所产生的误差是 ( ) 误差. A. 模型 B. 截断 C. 观测 D. 舍入2. 求解线性方程组Ax b =的高斯直接消元法，系数矩阵A 满足的充要条件为 ( ). A. 非奇异矩阵； B. 对称阵；C. 任意矩阵；D. 各阶顺序主子式均不为零.3. 设211123111A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A ∞=( ). A ． 3； B ． 4； C ． 5； D ． 6. 4. 二分法适用于求一元方程的 ( ).A ．奇数重实根；B ． 偶数重根；C ．虚根；D ． 所有类型根. 5. 哪一个一定有数值稳定性：( ).学 号： 姓 名： 所属学院： 年 级： 专 业： 装订密封线 考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。

A ．112;n n y y n +=+ B. 10802153()().;.sin()n n y y n π+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ C. 114cos()sin();k k k x x x +=+⎡⎤⎣⎦ D. 142.kx k x +=-二、填空题（本大题共5个小题，每个小题3分，共15分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

工科硕士研究生课程考试试题及参考解答(2013年1月)一 填空（共30分）（1）设多项式1964)(34+++=x x x x f ，则求)(0x f 仅含有四次乘法运算的算法为____________ __．（2）设)ln(),(y x y x f +=，35.1*=x 、650.0*=y 是x 、y 的近似值，若*x 、*y 均为有效数，则),(**y x f 的相对误差限为210-⨯（小数点后保留三位）．（3） 设13)(3+-=x x x f ，则)(x f 以0、1、2为插值节点的二次插值多项式=)(2x P _______． （4）设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的五次Lagrange 插值基函数，则∑=++535)()12(i i i i x l x x=_____________．（5）取初始向量T )111()0(=V，用乘幂法迭代两步求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103025034A 按模最大的特征值1λ时，其近似值)1(1)2(1)2(1V V =λ=_____________（)(1k V 为第k 次迭代向量的第一个分量）． （6） 给定三点 A(0,1)、B(1,3)、C(2,2)，按最小二乘法拟合这三点的直线为_____________． （7） 设61)(22++=ax x x g ，对于任意常数0C 、1C 均满足条件0))((10102=+⎰dx x C C x g则a = ． （8）迭代格式 ,1,0),2(3121=+=+k x cx x kk k 局部收敛到3c （c ≠0），其收敛阶为____阶． （9） 常数a=_____________，⎰-1023)(dx a x 取最小值．（10） 对于n 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为_____．二（10分）（1）建立计算52008近似值的迭代格式，并给出能保证迭代格式收敛的初始0x ； （2）计算52008的近似值，要求结果具有五位有效数字．三.（12分）用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17121077521x x ．四.（12分）对于求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--262410121014321x x x 的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代，迭代格式是否收敛？哪一个迭代格式收敛快？Gauss-Seidel 迭代与Jacobi 迭代的收敛速度之比等于多少？五.（12分）确定参数α，使得求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的如下格式,2,1)],,(),()1(),([)(21111111=+-+++=--++-+n y x f y x f y x f h y y y n n n n n n n n n αα 其阶数达到最高；并要求给出局部截断误差的表达式，且指明方法的阶．六.（12分）运用反射（Householder ）矩阵将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124213431A 正交相似化为对称三对角矩阵． 七.（12分）设],[)(3b a C x f ∈，⎰=badx x f f I )()(，给定求积分)(f I 的求积公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)32(3)(4)(b a f a f a b f Q （A ） （1）求上述求积公式（A ）的代数精度； （2）求截断误差表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q f I ∈-=-ηη中的常数k ；（3）取正整数n ，记nab h -=，),,1,0(n i ih a x i =+=． 试构造求积公式（A ）对应的复化求积公式)(f Q n ，并求极限30)()(lim h f Q f I n h -→．一.答案 （1）1]9)64[()(02000+++=x x x x f ；（2） 210397.0-⨯；（3）153)(22+-=x x x P ；（4）∑=++535)()12(i i ii x l x x1235++=x x ；（5）7)1(1)2(1)2(1==V V λ；（6）x y 2123+=； （7）1-=a ；（8）二阶收敛；（9）41=a ；（10）至少为n -1．二. 解（1）设52008=α，2008)(5-=x x f ，则α为方程0)(=x f 的根．由于0)5(,0)4(><f f ，且在[4,5]上0)(>'x f ，故α为方程0)(=x f 在]5,4[内的唯一实根． 根 （a ）0)5()4(<f f ；（b ）当]5,4[∈x 时，0)(>'x f ，0)(>''x f ；（c ）0)5()5(>''f f （则取50=x （或]5,4[0∈x ）时，Newton 迭代格式 ,1,0,52008451=--=+k x x x x kk k k 收敛． （2）用牛顿迭代格式计算：取50=x ，有64256.41=x ，578545224.42=x ，576704602.43=x ，57670312.44=x ． 因4341021-⨯<-x x ，故5767.420085≈． 三. 解 设T LL A =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛22121122121110775l l l l l l ，比较等式两边矩阵的对应元素，得 5211=l ，71121=l l ，10222221=+l l ．当限定矩阵L 的对角元全为正时，得 511=l ，5721=l ，5122=l ．故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515755157510775． 根据 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛17125157521y y ，解得T)51,512(=y ． 根据 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛515125157521x x ，解得T )1,1(=x ．四. 解 （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为)(1U L D B +-=-J ，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-04102102104100101010104241J B 由 0)41(4102121412＝-=--=-λλλλλλJ B I ，解得21,21,0321-===λλλ，故迭代矩阵谱半径21)(=J B ρ，Jacobi 迭代收敛． （2）Gauss-seidel 迭代格式的迭代矩阵为U L D B 1)(-+-=S ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0001000104100210041s B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=813210218100410 由0)41(813210218100412=-=---=-λλλλλλS B I ，解得41,0,0321===λλλ，故迭代矩阵谱半径41)(=S B ρ，Gauss-Seidel 迭代收敛．（3）对于Jacobi 迭代：21)(=J B ρ，其收敛速度2ln 21ln )(ln =-=-=J J B ρη；对于Gauss-Seidel ：由41)(=S B ρ，其收敛速度2ln 241ln )(ln =-=-=S S B ρη．因为J S ηη> (或)()(J S B B ρρ<)，所以Gauss-seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快．且2=JSηη．五. 解 所给格式的局部截断误差为)()()1()()(21)(21)(11111-+-++'-'--'---=n n n n n n n x y h x y h x y h x y x y x y R αα )()(6)(2)()(432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=)(21n x y -)]()(6)(2)()([21432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''-''+'-- )]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''+'-)()1(n x y h '--α)]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''-'-α)(]14121[)(])1(1211[2n n x y h x y h ''+--+'----+=ααα )()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α要使公式的局部截断误差阶数最高，则令0)1(1211=----+αα，即43=α．当43=α时，1+n R )(]14121[2n x y h ''+--=α)()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α．)()(8543h O x y h n +'''-=且该方法是二阶方法．六. 解 对向量T)4,3(作反射变换，使其与T)0,1(平行，此时40 ,)4,8(,54322===+=βσT u ．Tuu I H β-=22~[]48484011001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53545453 所求反射阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=5354054530001H ，THAH ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=252325140251425735051七. 解 （1）当1)(=x f ，a b f I -=)(，a b f Q -=)(； 当x x f =)(，)(21)(22a b f I -=，)(21)(22a b f Q -=；当2)(x x f =，)(31)(33a b f I -=，})32(3{4)(22b a a a b f Q ++-=333a b -=； 当3)(x x f =，)(41)(44a b f I -=，)(}9)2({4)(33f I b a a a b f Q ≠++-=．所以，求积公式为二次代数精度．（2）做)(x f 的二次Hermite 插值多项式)(2x H ，要求其满足)32()32(),32()32(),()(ba fb a H b a f b a H a f a H +'=+'+=+=． 则 ),()(,)32)((!3)()()(2)3(b a x b a x a x f x H x f ∈+--=-ξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-⎰)32(3)(4)()()(b a f a f a b dx x f f Q f I ba ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰)32(3)(4)(b a H a H a b dx x f badx x H dx x f b a b a ⎰⎰-=)()(（根据求积公式为二次代数 ),()(,)32)((!3)(2)3(b a x dx b a x a x f ba∈+--=⎰ξξ ),(,)32)((!3)(2)3(b a dx b a x a x f b a ∈+--=⎰ηη),(),()(2161)3(4b a f a b ∈-⋅=ηη 所以，表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q fI ∈-=-ηη中的常数2161=k ．（3）求积公式（A ）对应的复化求积公式∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=11)3(3)(4)(n i i i i n x x f x f h fQ ，根据)(f Q 的截断误差，得),(,)(2161)()(110)3(4+-=∈=-∑i i i n i i n x x f h f Q f I ηη．因此，30)()(lim h f Q f I n h -→⎰∑'''==-=→b a n i i h dx x f hf )(2161)(lim 21611)3(0η)]()([2161a f b f ''-''=。

昆明理工大学2013级硕士研究生试卷(A 卷)科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：不予计分；可带计算器。

一、 填空题（每空2分，共40分）1．要使17的相对误差不超过%1.0，应取 位有效数字。

2．设3()f x x =在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ，最佳平方逼近二次多项式为 。

3．求积公式)31()31()(11⎰-+-≈f f dx x f 至少具有_ _次代数精度。

4．解线性方程组Ax b =的SOR 迭代法收敛，则松弛因子ω有 ，设,U L D A --=建立迭代公式f x L x k k +=+)()1(ω，写出逐次超松弛迭代法=ωL 。

5．100999998A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其条件数2()Cond A = ，()Cond A ∞= 6．设)2,3,1(-=X ，计算向量X 的范数，1||||X = ，2||||X = ，∞||||X = 。

7．求方程cos x x =根的牛顿迭代格式是 ，其收敛阶= ； 弦截法迭代格式是 ，其收敛阶= 。

8．3232,01()21,12a x x x S x x bx cx x ⎧++≤≤=⎨++-≤≤⎩是以0，1，2为节点的三次样条函数， 则a= ，b= ，c= 。

9．对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=214511242A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。

二、计算题（每题10分，共50分）1．求出一个次数不高于4次的插值多项式)(x P ，使它满足,0)0()0(==f P ,0)0(')0('==f P 0)0()0(=''=''P f ，1)1(')1(,1)1(')1(=='==P f P f ，并写出余项表达式（要有推导过程）。

2．给定积分⎰=10sin dx x x I （1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过31021-⨯； （2）取同样的求积结点，改用复合Simpson 公式计算时，截断误差是多少？3. 设1001005a A b b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，det 0A ≠，用,a b 表示解线性方程组Ax f =的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

太原科技大学硕士研究生2013/2014学年第1学期《数值分析》课程试卷公式提示：1、Legendre 多项式)(x p n 的递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x p n n x xp n n x p x x p x p n n n2、Chebyshev 多项式)(x T n 的递推关系式：⎪⎩⎪⎨⎧=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n一、填空题（每小题5分，共35分）1、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将x cos 1-改写为___22sin2x___ 2、已知x=0.03056是经过四舍五入得到的近似值，则x 有____5__位有效数字.3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则=∞)(A Cond ___21___.4、已知()sin 1f x x x =--，则牛顿法的迭代公式是_____1sin 1,0,1,2,...1cos k k k k kx x x x k x +--=-=-__________5、求解非线性方程310x x --=的一个收敛的简单迭代公式为_______10,1,2,...k x k +==________。

6、设,,2,1,0,,53)( ==+=k kh x x x f k 则=++],,[21n n n x x x f _______3h________。

7、若用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+=+3242121x ax ax x ，其中a 为实数，则Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是应使a 满足______a <<_________。

二、（本题满分15分）（1）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x （2）写出用Jacobi 迭代求解上述方程组的迭代公式的分量形式。

昆明学院2014－2015学年 上 学期期末考试卷参考答案或评分标准考试科目 数 学 分 析 （三） （A 卷）命题教师： 劉啟寬 审核教师：说明：1．页面要求：纸型：A4；页边距：上、下、左、右各1.5cm 。

2．试题内容用小四号宋体，行距1.5倍。

3．课程名称以课表上的名称为准。

4．每道题需标明分数、解题步骤与评分标准，评分标准需给出主要步骤或基本要点的得分比例。

一. 计算题(每小题9分,共计90分) 1、解： 1y fyx x-∂=∂ ………………………………………………4分ln y fx x y∂=∂………………………………………………4分 (1,1)1,(1,1)0x y f f ''∴==……………………………。

…1分 2、解：12zf y f x∂''=+∂。

4分 2111221222()()zy f y f f y f x∂''''''''=+++∂。

4分21112222y f yf f ''''''=++。

1分3：解：令 (,,)F x y z z xy =-。

2分 ,,1x y z F y F x F '''=-=-=。

2分{}111N =--。

2分切平面：1x y z +-=。

3分 4、解：令 (,,)(1)L x y xy x y λλ=-+-。

2分由 0010Ly x Lx y Lx y λλλ⎧∂=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩。

2分 得 1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

2分又 11,(,)22022x xx z y xy z y xy '''''''=+=+=-<。

2分函数z xy =在点11(,)22处取得极大值111(,)224f =。

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。

由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。

由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。

(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。

解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。

解：（1）2422()73(31)7f x x x x x =++=++22(2)(321)2759f =⨯++=………… 5 分（2） 秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘法。

………… 5 分（3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；C ）避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。

解：（1）Jacobi 迭代(1)()()123(1)()()213(1)()()312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2,k =………… 5 分（2）17A =，8A∞=；………… 5 分（3）因为方程组系数矩阵严格对角占优，所以Gauss -Seidel 迭代格式收敛。

………… 5 分三． 已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。

13级研究生数值分析习题第一章 误差及相关问题内容及纲目：1） 舍入误差和截断误差2） 绝对误差和相对误差3） 误差的传播和计算函数值4） 算法的数值稳定性5） 计算中需要注意的问题1. 用x 近似,sin x 即,sin x x ≈δδ],,0[∈x 最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7. 2. 设,0>x x 的相对误差为δ，求x ln 的绝对误差。

3.的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。

4，设近视数*x 有n 位有效数字，所以有： *11|()|1024n r e x -≤⨯⨯，令：11100.1%24n -⨯≤⨯，解得： 3.097,n ≥所以有4位有效数字。

4. 227作为=3.1415926π有几位有效数字? 5. 误差的来源?计算中需要注意的几个问题.第二章 函数插值内容及纲目：1） 插值多项式的存在性与唯一性2） 插值多项式的构造方法（lagrange 插值，Newton 插值，等距节点的插值）3） 带导数的插值函数构造，Hermite 插值，误差估计和构造方法4） 差分和差商的定义、性质和联系5） 三次样条插值公式及误差估计1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147 x f x f x x x x f 和求+++=。

2. 已知12144,11121,10100===，分别用线性插值和抛物插值法，求115的近似值。

3. （分三次Hermite 插值）,仅给定10,x x 和相应的函数值10,y y 及其微商10,m m ,构造插值函数)(x H ,)(x H 满足条件：1).)(x H 是不超过三次的多项式；2). ,)(,)(1100y x H y x H ==1100)(,)(m x H m x H ='='。

4. 构造 不超过3次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f5. 设f(x) ∈C 2[a,b],且)(a f = )(b f =0,求证：b x a x f ≤≤|)(|max )(81a b -≤ 2 bx a x f ≤≤|)(''|max 。

研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。

山东科技大学 2012-2013 学年第一学期《数值分析》考试试卷[][][][]其收敛阶出的牛顿迭代格式，并指的写出求方程为正数，记设六、计算题插值多项式。

的三次写出时，已知当五、计算题差。

多项式，并估计平方误上的一次最佳平方逼近在区间求设函数四、计算题一个复化求积公式利用该求积公式构造等分，并记作）将区间（斯型，并说明理由；）判断该公式是否为高（数精度；代数精度，并指出其代，使其具有尽可能高的试确定求积系数给定求积公式：三、计算题差限。

的绝对误差限与相对误位有效数字，试分析均具有设二、计算题。

计算、设的值。

与计算、设一、计算题**211212121710610360)(,,)(ewton )(,5,2,3,1)(5,3,2,020)(,)(,,,1,0,1,2n 11-32,,)1()1()0()1()(365.3,1.12,,,,723226131,1252222222,13)(1x x f a x a a x x f N x f x f x x f x x f n k i ih x nh C B A Cf Bf Af d x f x x x x A A x x A x L f L f x x x f n n i x F ==-=====+-==++-≈+==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=++=⎰-∞并指出其精度。

写出改进的欧拉公式，，记取正整数题考虑常微分方程初值问八、计算题消去法求方程组的解。

用列主元迭代格式的敛散性；试分析迭代格式。

迭代格式与写出给定线性方程组七、计算题.0,,n ,)(),,(auss )3(eidel -auss )2(eidel -auss acobi )1(215702031-22-1'321n i ih a x n a b h a y b x a y x f y G S G S G J x x x i ≤≤+=-=⎩⎨⎧=≤≤=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡η。

数值分析A-第05次作业李国轩，机研113，2011210287，15.12.201301. 定义2:f R R →如下：121221,when =0(,),when =01,in other casesx x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，证明1(0)f x ∂∂与2(0)f x ∂∂均存在，但f 在点(0,0)处不可导。

证明：由已知可得到111100111(,0)(0)0(0)lim lim 1h h f h f h f x h h →→--∂===∂ 类似的又有212200222(0,)(0)0(0)lim lim 1h h f h f h f x h h →→--∂===∂ 于是可见1(0)f x ∂∂与2(0)f x ∂∂均存在。

而当取12(,)h h h =，同时120h h =≠，原函数的导数为10001()(0)111limlimlim lim h h h h f h f hh h h →→→→∞-=== 上面式子中的这个极限显然是不存在的，于是原函数在点(0,0)处不可导。

原题得证。

04. 证明由()ln(1)x G x e =+定义的函数G ：R R →，在任何闭区间[a,b]上是压缩的，但没有不动点。

证明：反证法来证明可压缩性。

假设存在常数1m ≥和在区间[,]a b 上的两个点x 和y ，使得下面的式子成立()()G x G y m x y -≥-为了在后续的化简过程中过程简单，这里假设x y > 于是1()()ln(1)ln(1)()1x xxyy ye e G x G y m x y e e m x y y x e e +-≥-⇔+-+≥-⇔≥⇔≥+可见这里与原建设x y >矛盾。

因此压缩性得证。

同时，假设存在不动点，即存在*x 满足下面的式子。

******()ln(1)1x x x G x x e x e e =⇔+=⇔+=显然矛盾，因此原函数没有不动点。

重庆大学研究生数值分析课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 1学期开课学院：数统学院 课程号:考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2。

按A4纸缩小打印一、 选择题（3分/每小题，共15分）1、以下误差公式不正确的是（ A ）A. ()()()1212x x x x εεε-=- B 。

()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2、通过点()00,x y ，()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ，()1l x 满足（C ）A. ()000l x =，()110l x =B. ()000l x =,()111l x = C 。

()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x =3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()352k k k f x dx A f x =≈∑⎰，则3k k A ==∑（ C )A. 1B. 2C. 3 D 。

44、解线性方程组Ax b =的简单迭代格式()()1k k x Bx f +=+收敛的充要条件是（ B ) A 。

()1A ρ< B. ()1B ρ< C 。

()1A ρ> D 。

()1B ρ>5、已知差商021[,,]5f x x x =，402[,,]9f x x x =,234[,,]14f x x x =，032[,,]8f x x x =，则420[,,]f x x x =（ B ）A. 5B. 9C. 14D. 8二、 填空题（3分/每小题，共15分）1取 3.141592x =作为数3.141592654...的近似值,则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密3、若()2[,]f x C a b ∈，则梯形求积公式的截断误差为：3''()()2b a f η--4、迭代法()1n n x x ϕ+=收敛的充分必要条件是：()'1x ϕ<5。

2021年云南昆明理工大学数学分析考研真题A 卷1、证明：当0>x 时，x x x x <+<-)1ln(22.(15分) 2、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=0,2sin 210,)1ln()(23x x x x x x f ，求)(x f '，并讨论)(x f '的连续性.〔15分〕3、设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x b x a t f dt dt t f x F )()()(，],[b a x ∈. 证明：〔1〕2)(≥'x F ； 〔2〕方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个根.(15分)4、求幂级数∑∞=-11n n nx 的收敛区间及和函数，并利用所得的结果求级数∑∞=-112n n n 的和.〔15分〕 5、函数222222)1()1(),(y x y y x x y x f ++-+=， 〔1〕求二次极限),(lim lim 00y x f x y →→和),(lim lim 00y x f y x →→；〔2〕判断二重极限),(lim 00y x f y x →→是否存在.(15分)6、设),(y xy f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求22222,,yz y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂.(15分) 7、利用格林公式计算曲线积分⎰++-L dy y x dx x xy )()2(22，其中L 是由抛物线2x y =和x y =2所围成的区域的正向边界曲线.(15分)8、计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.(15分)9、证明：假设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且A x f x =∞→)(lim 〔A 为有限数〕，那么)(x f 必在),(+∞-∞内有界.〔15分〕10、设221)(x n x x S n +=， 证明： 〔1〕函数序列{})(x S n 在),(+∞-∞上一致收敛；〔2〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(x S dx d n 在),(+∞-∞上不一致收敛.(15分)。