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北师大版七年级下册数学线段垂直平分线的性质及画法

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北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件

北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件

新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.

北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线的性质》精品课件

北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线的性质》精品课件

作业布置
课本 P124 习题5.4
感谢观看
居民区A
·
街道
居民区B
·
· M
课堂练习
1.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有 ( A ) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 A D.CD平分∠ACB
C B
D
课堂练习
2.如图所示,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两
人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(1)通过手中的纸片,用刻度尺量取后发现它们相等. (2)通过折叠纸片,从它们互相重合发现它们相等.
·C
A
O
B
新知讲解
想一想:CA与CB大小有什么关系?能说明你的理由吗?
(3)通过三角形全等证明它们相等, 在△AOC和△BOC中,因为AO=BO,∠AOC=∠BOC=90°,OC=OC, 所以△AOC≌△BOC,所以AC=BC.
新知导入
居民区A
·
街道
居民区B
·
如图所示，祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站，向居民区A， B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A,B到它的距离相等?
新知讲解
【思考】线段是轴对称图形吗?如果是,你能找出它的一条对称轴吗?
做一做:为了解决这个问题,请同学们拿出准备好的纸,在纸上画出一条 线段AB,对折AB使点A,B重合,折痕与AB的交点为O.
新知讲解
【想一想】怎样验证折痕与AB垂直？
由折叠可知∠1=∠2,又因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°,所以折 痕与线段AB垂直.
新知讲解
【思考】由此你能得到什么结论?

数学北师大版七年级下册线段垂直平分线的判定课件PPT

数学北师大版七年级下册线段垂直平分线的判定课件PPT
回忆与思考
1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2、线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点的距离相等 。
1、因为AD为BC的中垂线，所以 AB＝AC 。 理由： B 线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
A D
C
2、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
M
A
D N
B
例题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的 度数。
C E
B
D
A
例题：
如下图△ABC中，AC=16cm，DE 为AB的垂直平分线， △BCE的 周长为26cm，求BC的长。
A
D
E B C
反过来: 到一条线段 两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分 线上吗?
思 考 分 析
线段垂直平分线的判定： 结论：
与一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上。
0 20 若∠BAC=100°则∠PAQ=____
如图：要在河边修建一个水泵站，分别向 张村（A）、李庄（B）送水，修在河边 什么地方，可使所用的水管最短？
A B
已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN 上的一点，MN交AB于O，OB=4cm， ∠APB+3∠B=210°，求点B到AP的距离
M A P N C ∟ B
A
P
C
B
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.

北师版线段垂直平分线

北师版线段垂直平分线
北师版线段垂直平分线
目录
• 定义与性质 • 线段垂直平分线的判定 • 线段垂直平分线的应用 • 练习与巩固
01 定义与性质
线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线是一 条过线段中点且垂直 于线段所在直线的直 线。
线段垂直平分线上的 任意一点到线段两端 点的距离相等。
线段垂直平分线将线 段分为两个相等的部 分。
方法3
利用已知的垂直平分线性 质，如点到线段两端点的 距离相等，来证明垂直平 分线的存在。
判定例题
例题1
已知点A、B分别在直线l的两侧，且 PA=PB，证明直线l是线段AB的垂直 平分线。
例题2
例题3
已知点P在直线l的垂直平分线上，证 明PA=PB。
已知点P在直线l上，且PA=PB，证明 直线l是线段AB的垂直平分线。
03 线段垂直平分线的应用
在三角形中的运用
01
确定三角形外心的位置
线段垂直平分线与三角形外接圆相交于一点，该点即为三角形外心。
02
证明角平分线定理
利用线段垂直平线与角的两边相交，可以证明角平分线定理，即角平
分线上的点到角两边的距离相等。
03
证明等腰三角形的性质
利用线段垂直平分线与等腰三角形相交，可以证明等腰三角形的性质，
线段垂直平分线的性质
垂直性
线段垂直平分线上的任意一点到 线段两端点的连线都与线段垂直。
平分性
线段垂直平分线将线段分为两个相 等的部分。
定理
直角三角形斜边的中线等于斜边的 一半。
线段垂直平分线的定理
角平分线的性质定理
角平分线上的任意一点到角的两边距离相等。
平行线的性质定理
平行线之间的距离处处相等。

《线段垂直平分线的性质》

《线段垂直平分线的性质》

在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质，可以确定一个点到线段两端 点的距离相等，从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中，通过三角形顶点向对边作垂直平分线，该垂 直平分线将与对边相交于一点，该点将相对边分为两段相 等的线段，这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等，利用这一性质可 以将角平分，从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中，常常需要找到一个物体的对称点，以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中，需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线，可以确定这两点之间的最短路径，从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线 上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等，那么 这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要 ，尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质，即如 果一条直线经过线段两端点，并且与经过中 点的垂直线相交，则这条直线也是该线段的 垂直平分线。
详细描述
在几何学中，这个定理进一步揭示了线段垂 直平分线的性质。如果一条直线同时经过线 段的两端点，并且与经过中点的垂直线相交 ，那么这条直线也是该线段的垂直平分线。 这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和 判定方法非常重要。

垂直平分线的性质及做法(轴对称的性质)

垂直平分线的性质及做法(轴对称的性质)

02 垂直平分线的做法
已知线段和点，求作垂直平分线
第一步
第三步
通过给定点作线段的平行线，与线段 交于两点，分别记为A和B。
连接CD，则CD为线段的垂直平分线。
第二步
分别以A、B为圆心，大于 $frac{AB}{2}$的距离为半径作圆弧， 两圆弧交于两点，分别记为C和D。
已知三角形，求作高线、中线、角平分线
高线
从三角形的一个顶点向对边作垂 线，即为高线。
中线
连接三角形的一边的中点与对角的 顶点，即为中线。
角平分线
通过三角形的一个角的顶点，作对 边的平行线，与对边交于一点，再 从这一点作另一边的垂线，即为角 平分线。
已知垂直平分线，求作线段的中点
01
02
03
第一步
在垂直平分线上任取一点， 记为O。
第二步
轴对称图形是全等图 形，即它们的大小和 形状完全相同。
对称轴两侧的对应点 连线与对称轴垂直并 平分。
对称轴两侧的对应点 到对称轴的距离相等。
轴对称的应用
在几何学中，轴对称是研究图形性质 的重要工具。通过对称轴的性质，可 以推导出许多图形的性质和定理。
在物理学中，许多物理现象也具有轴对称 的性质，例如磁场、电场等。通过对称性 分析，可以更好地理解和研究这些现象。
01
如果一条线上的任意一点到线段 两端的距离相等，那么这条线就 是所求的垂直平分线。
02
如果一条线是线段的中垂线，那 么它也是这条线段的垂直平分线 。
垂直平分线的性质定理
定理
如果一条线是线段的中垂线，那么这 条线也是这条线段的垂直平分线。
应用
在几何问题中，常常需要找到一个线 段的中点或者确定一个点是否在线段 的中垂线上，这时就可以利用垂直平 分线的性质定理来解决。

数学北师大版七年级下册垂直平分线的性质

线段的垂直平分线教学目标：（1）初步掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理，能运用它们进行简单证明.（2）通过线段垂直平分线的探索学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力.教学重点：线段垂直平分线性质定理及其判定定理.教学难点：性质定理及其判定定理的探究证明.教学过程：一、新课背景知识复习：线段的垂直平分线的定义上一堂课我们在学习轴对称图形的特征过程中认识了什么叫做线段的垂直平分线，请同学回忆一下线段垂直平分线的定义学生回答：过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线几何画板演示，带领学生一起操作，画出线段的垂直平分线所以根据定义，要画一条线段的垂直平分线，首先取线段的中点，然后过中点做出该线段的垂线，这条直线就是线段的垂直平分线.那么线段的垂直平分线有什么性质？如何判定一条直线是否为某条线段的垂直平分线？带着这两个问题我们来开始本堂课的学习（投影题目）在前面我们学习了角的平分线的性质，它主要描述的是角平分线上点的特征，那么对于垂直平分线也类似。

二、新课讲授1、操作引入：首先，请同学们看投影在线段AB的垂直平分线上任取一点C，连接CA、CB，我们度量一下CA、CB有何数量关系？（结果相等）再取一点D，连接DA,DB,量一量DA,DB有何数量关系？（结果相等）那么线段的垂直平分线上的所有点都具有这种特征吗？下面我们借助于几何画板为大家演示一下，请仔细观察.借助几何画板让图形动起来，让学生能够直观感受图形变化过程中不变的数量关系，便于结论的归纳通过我们刚刚的操作，你们发现了什么结论？学生回答：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（投影）但是这是我们通过观察猜想得到的结论，你能进行证明吗？ 在讲解角的平分线的性质和判定时，我们已经掌握要证明一个几何中的命题，应该分“三步走”，即明确命题中的已知和求证，根据题意画出图形，用数学符号表示已知和求证，最后经过分析进行证明．那么那位同学能为我们进行一下证明，请举手带领学生画出所需图形，写出已知求证，找同学口述证明过程．经过证明得到线段的垂直平分线的性质，投影显示定理内容，借助图形，我们来看一下定理的应用格式。

北师大版七年级数学下册5.3.2线段垂直平分线的性质(共25张PPT)


(甲)作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;
(乙)作AC,BC的中垂线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列说法正确的是 ( D )
A.两人都正确
C
B.两人都错误
C.甲正确,乙错误
A
B
D.甲错误,乙正确
P
课堂练习
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交
(甲)作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;
A 所以△AOC≌△BOC,所以AC=BC.
(甲)作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;
B
可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB.
我们只要连CA,CB,DA,DB就可以了,因为在△ADC和△BDC中,AC=BC,
AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是 ( B )
A.AE=BE B.AC=BE C.CE=DE D.∠CAE=∠B
C E
A
D
B
课堂练习
4.如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交
BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.
解:因为DE垂直平分AB,所以DA=DB,所
板书设计
1.线段的对称性 2.线段垂直平分线的定义与性质 3.尺规作图:作线段垂直平分线
想一想:CA与CB大小有什么关系?能说明你的理由吗?
由此你能得到线段垂直平分线的性质吗?
求作:线段AB的垂直平分线. 可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头M的位置.
如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

北师大版数学七年级下册1.3线段的垂直平分线第一课时教学课件

(2)由(1)知△PAD≌△PAE，∴AD＝AE，∴AD＋6＝10－AD，解得 AD＝2 cm
6. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC 于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交
于点O，△ADE的周长为6 cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16 cm，求OA的长．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，
PA=PB，PC=PC，
AC
B
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．
(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长．
解：(1)∵PQ是BC边的垂直平分线，∴PB＝PC，∵AP平分∠DAC， PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠DAP＝∠EAP，∠PDA＝∠PEA＝90°，AP ＝AP，∴△PAD≌△PAE(AAS)，∴PD＝PE，在Rt△BPD和Rt△CPE中， PD＝PE，PB＝PC，∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL)，∴BD＝CE
32 1 E
B
4 DC
F
∴∠1+ ∠ 2= ∠4(等边对等角) 又∵∠ 4=∠B+∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∠1+ ∠ 2=∠B+∠3
∴∠1=∠B ∴∠CAF= ∠B.
5. 如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直 平分线PQ于点P，PD⊥AB于点D.
(1)过点P作PE⊥AC于点E，求证：BD＝CE；

北师大版七年级下(新教材)尺规作图(画线段的垂直平分线)


交于A、B两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB 2 长为半径画弧，两弧相交于D点； （4）过C、D两点作直线CD。 所以，直线CD就是所求作的。

1、如图，过点P画∠O两边的 垂线.
(第 1 题)
2、如图，画△ABC边
BC上的高.
（第 2 题）
如图，已知线段a，h，
尺规作图（3）
（画垂线）
复习 1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称 为尺规作图） 2、用尺规作图 （1）作线段，使它等于已知线 段的长； （2）作角，使它等于已知角；
什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线） 线段垂直平分线有哪些特征？ （线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
求作：△ABC，使AB=AC，
且BC=a，高为h
h
a

AB、AC分别是菱形ABCD 的一条边和对角线，请你 用尺规把这个菱形补充完 整。CAFra bibliotekB
A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案。
B A
灌 溉 总 渠
教学反思
本节课你掌握了哪些知识？ 还有哪些疑惑？
已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
1、如图，点C在直线上，试过 点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；
（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，
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第2课时 线段垂直平分线的性质及画法
1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.
2.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质.
自学指导 阅读教材P123～P124，完成下列问题.
(一)知识探究
1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
(二)自学反馈
1.如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 是直线CD 上的一点.已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为( B )
A .6 B.5 C.4 D.3
2.如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12
AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点D ，E ，则直线DE 是( D ) A .∠A 的平分线 B.AC 边的中线
C .BC 边的高线 D.AB 边的垂直平分线
活动1 小组讨论
例1 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3 cm ，△ABD 的周长为13 cm ，求△ABC 的周长.
解：因为DE 是AC 的垂直平分线，
所以AD ＝CD ，AC ＝2AE ＝6(cm).
因为△ABD 的周长为13 cm ，
所以AB ＋BD ＋AD ＝AB ＋BD ＋DC ＝AB ＋BC ＝13 cm.
所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝13＋6＝19(cm).
由垂直平分线的性质得AD ＝DC ，再通过线段之间的等量代换即可得出△ABC 的周长.
例2 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 的边缘上建一个休息点M ，使它到A ，C 两个点的距离相等.在图中确定休息点M 的位置.
解：作AC 的垂直平分线交AB 于M 点，则点M 即为所求.
活动2 跟踪训练
1.如图，已知直线MN 是线段AB 的中垂线，垂足为N ，AM ＝5 cm ，△MAB 的周长为16 cm ，那么AN 等于( A )
A .3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
2.如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；
②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD.
若CD ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ACB 的度数为( D )
A .90° B.95° C.100° D.105
°
活动3 课堂小结
本课时主要学些了哪些知识与方法，有何收获和感悟？
(1)线段的轴对称性：线段是轴对称图形.
(2)线段的垂直平分线的性质
⎩⎪⎨⎪⎧内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
相等.作用：见垂直平分线，得线段相等.
(3)线段垂直平分线的作图.。