初中数学九年级下册圆周角和圆心角的关系1

《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计教学过程设计说明[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．回顾旧知，导入新课[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．创设问题设置悬念，激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆情境习欲望。

心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片)A．13．3在通过射门游戏引入圆周角的概念。

[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)探索新知圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．[师]请同学们考虑两个问题：认识概念顶点在圆上的角是圆周角吗？(1)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？(2)请同学们画图回答上述问题．[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：个重要特征。

(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．试列举一些反例让学生进行辨析。

)1(出示投影片一试[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？联想建构[师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？提出这一问题意在引起它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到学生思考，为本节活动的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。

什么关系？验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的证猜方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆想周角都等于它所对的圆心角的一半．（教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系）[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．(学生口述，教师播放flash.)(学生口述，教师播放flash[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)[生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作通过这样的启发提问，出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的可提高学生的思维能力，为推理论证圆周角和即可证出．(学生口述，教师播放flash.)[生定理，打下了良好的基乙]在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是础。

圆的知识在足球比赛中的应用
题目：如图1，在一次足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到点A时，乙已经跟随冲到点B，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？为什么？
分析：从数学角度看，甲、乙谁射门好，关键是比较∠MAN与∠MBN的大小，角度越大，射门的机会越好。

如何比较∠MAN与∠MBN的大小呢？
如图2，过M、B、N三点作⊙O，发现点A落在⊙O的外部，连结CN。

根据圆周角定理的推论得，∠MBN＝∠MCN；在△CAN中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MCN＞∠MAN，所以∠MBN＞∠MAN，所以甲将球传给乙，让乙射门更好些。

当然我们也可以过M、A、N三点作圆。

如图3，过M、A、N三点作⊙O′，发现点B落在⊙O’的内部，延长MB交⊙O’于点D，连结DN。

根据圆周角定理的推论得，∠MDN＝∠MAN；在△BND中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MBN＞∠MDN，同样可得∠MBN＞∠MAN。

图1
图1
图3。

3.4圆周角和圆心角的关系（第1课时）【教学目标】1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征.2．经历探索圆周角和圆心角关系的过程，会运用它进行有关的证明和运算. 3．在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中，感悟分类，转化的数学思想.【重点难点】重点: 理解圆周角与圆心角的关系．难点: 感悟圆周角定理证明过程中的分类，转化的数学思想.【教法学法】教法：引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练．学法：在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．课前准备：圆形纸片，多媒体课件．【教学过程】一．创设情境，引入新课很多同学都喜欢看足球世界杯.2020年中国足球将冲出亚洲，走向世界.这是我们亿万球迷的中国足球梦，足球中也有数学问题.同学们想一想，球员射中球门的难易程度与什么有关？这与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？通过今天的学习，我们就能解答这个问题．今天我们就来学习圆周角和圆心角的关系．(板书课题：3.4圆周角和圆心角的关系)处理方式：学生观看视频，思考分析并进行交流.设计意图：通过视频欣赏，充分调动学生的听课热情和积极性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处都有数学的身影. 通过设疑，激发学生的求知欲，培养学习兴趣．二. 探究学习，感悟新知活动内容1：圆周角的概念问题1：∠ABC，∠ADC，∠AEC是圆心角吗？什么是圆心角？问题2：它们与圆心角有什么区别？与同伴交流．问题3：你能给圆周角下个定义吗？处理方式：学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己的发现，引导学生与圆心角进行对比，重点引导学生说出∠ABC，∠ADC，∠AEC的共同特征，把握两点特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．接着给出圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角．巩固练习：火眼金睛1．判断下列各图形中的角是不是圆周角.处理方式：教师演示几何画板，动态展示图中各种情况，要注意引导学生回顾圆周角定义中的两个条件：①顶点在圆上；②两边分别与圆还有另一个交点．设计意图：通过让学生经历“观察—发现—对比—交流—总结”这一数学活动过程，一方面积累数学活动的经验，另一方面也加深了学生对圆周角的理解．类比圆心角来学习圆周角，学生会感觉自然，易于接受；通过两个练习，让学生加深对圆周角定义的理解和直观感受，让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动内容2：圆周角和圆心角的关系1．直观感受：做一做如图，∠AOB=80°．（1）请你画几个所对的圆周角. 这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．（2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．处理方式：对于问题（1）应先让学生明确问题的要求，找到特定的弧，然后再画圆周角．学生所画的圆周角的位置会有不同，教师可以从中找出典型的图形进行展示，同时引导学生观察所画的圆周角与圆心角∠ AOB 有几种位置关系，猜测这几个圆周角的关系，与同伴交流自己的想法．学生所画圆周角展示：对于问题（2），教师可引导学生通过度量验证这些圆周角和圆心角∠AOB 的大小有什么关系，并启发学生思考：为什么不同位置的圆周角度数相同？从而初步得出结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半，同弧所对的圆周角相等．2．猜想：议一议在上图中，改变∠AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流．处理方式：学生猜想结论是否成立，并尝试进行说理；教师演示几何画板改变角的度数加以验证．3．证明已知：如图，∠C 所对的圆周角，∠AOB 所对的圆心角． 求证：AOB C ∠=∠21．分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O 在圆周角∠C 的一边上，如图（1）；（2）圆心O 在圆周角∠C 的内部，如图（2）；（3）圆心O在圆周角∠C的外部，如图（3）．处理方式：先引导学生明确题意，再根据圆周角和圆心角的位置关系，进行分析--讨论--证明．证明时先让学生证明圆心O在圆周角∠C的一边上的情况，对于另外两种情况教师应适时进行引导，分析如何添加辅助线，将其转化为（1）的情况进行证明．情况（1）可让学生到黑板板演，适时点拨强调，规范学生的解题步骤．情况（2）（3）如果时间充足可让学生板演证明过程，也可借助实物投影展示学生的证明过程．注意要及时给予肯定的评价，帮助学生树立信心．4．总结归纳通过以上证明过程你能得出什么结论？圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.5. 得出推论（1）在足球射门的游戏中，球员在B，D，E三点射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？由圆周角定理可以很容易的得到：同弧所对的圆周角相等.（2）若把同弧换成等弧，结论还成立吗？结论仍然成立. 由此得到圆周角定理的一个推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.处理方式：引导学生观察∠ABC，∠ADC，∠AEC是同弧所对的圆周角，根据圆心角定理，它们都等于圆心角的一半，所以这几个圆周角相等．设计意图：通过画图加深对圆周角的理解，同时在画图的过程中让学生感受所画的圆周角与圆心角∠AOB所对的弧是同一条弧．学生通过测量出来，就能直观地感受它们之间的关系，再经历猜想，验证，归纳，证明的思维过程，培养学生的数学思维能力，渗透数学思想方法．设计意图：然后就会很努力的去验证这个目标.三．回顾反思，提炼升华通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再与大家一起分享. （学生畅谈自己的收获）设计意图：通过学生对本节课所学知识的梳理，理清本节课的主要内容，让学生养成反思与总结的习惯，培养学生自主发展的意识．四．达标检测，反馈提高1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，∠CAD=25°，则∠COD 的度数为 . .2. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC= .3．AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°，求∠BOC的度数．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，尽可能地调动学生学习数学的积极性，使每个学生都有不同程度的提高．五．布置作业，课堂延伸必做题：课本80页习题3.4第1，2题．选做题：课本81页习题3.4第4题．附：板书设计§3.4.1 圆周角和圆心角的关系（1）圆周角定义：做一做：圆周角定理：已知：求证：证明：推论：练习：投影区学生活动区域学生的知识技能基础:学生在本章的第二节课中,通过探索已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系,并对定理进行了严密的证明,通过一系列简单的练习具备了应用本关系解决问题的基本能力.但由于本班学生对问题的推理以及证明题的书写能力不是很好,所以圆周角定理的证明对他们有一定的挑战性.学生活动经验基础:在之前的学习过程中,学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法,获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验,同时在学习过程中也经历了合作学习的过程,具备一定的合作和交流的能力.本节课对教学目标的确定明确、具体、全面，符合学生的认知特点。

沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计 24.3圆周角（共三课时）第一课时圆周角与圆心角的关系一．教学背景（一）教材分析本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。

通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛。

所以这一节课既是前面所学知识的继续又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。

（二）学情分析本课内容是在学生已经了解圆的基本性质，会判断圆心角，基本掌握了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，熟练掌握了三角形的外角定理的基础上进行研究的。

初三的学生已具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，再通过合作交流逐步完善自己的想法，因此本节课设计成探究课，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。

二．教学目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2.经历探索圆周角的有关性质的过程，渗透由“特殊到一般”的数学思想方法．体会分类、转化等数学思想方法。

三．教学重难点教学重点：1.圆周角及圆周角定理2.探索圆周角与圆心角的关系是本课时的重点.教学难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”及圆周角定理的简单应用。

四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析本课以教师为主导，学生为主体，知识为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。

学习方法指导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。

小班辅导教案知识点一圆心角定理1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心.（2）顶点在的角叫做圆心角.（3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.（4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 .2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 >3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（）A.50°B.55°C.65°D.80°̂= .4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AĈ的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′为（）A.60°B.大于60°C.小于60°D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD；̂=BÊ.（2）AD巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD.题型二利用圆心角定理计算弧的度数̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD̂的度数.求BE巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，̂的度数.求AD知识点二圆心角定理的逆定理1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.2.下列命题中，真命题是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm.4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= .̂=BĈ.若AB=3,则CD= .5.如图，在⊙○中，AD题型一：利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关证明例1：如图，⊙○的弦AB,CD相交于点P，PO平分∠APD.求证：AB=CD.̂=BD̂.求巩固练习1：如图所示，⊙○的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E,F,AC证：四边形OEPF是正方形.例2：如图，P为⊙○的直径EF延长线上一点，PA交⊙○于点B，A,PC交⊙○于点D,C,∠1=∠2.求证：PB=PD.巩固练习2：如图，P为⊙○外一点，∠APC的两边分别交⊙○于点A,B和点C,D.如果PA=PC,求证：AB=CD.知识点三圆周角定理及其推论1.顶点在圆上，的角，叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的度数的一半.圆周角定理的推论1：半径（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 .3.如图，A,C,B是⊙○上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是 .4.已知一条弧的度数为80°，则这条弧所对的圆心角和圆周角分别是和 .5.在⊙○中，一条6cm长的弦所对的圆周角为90°，则⊙○的直径是 cm.6.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为 cm.题型一与圆周角定理有关的计算例1：如图，A,B,C,D四个点均在⊙○上，∠AOD=70°，AO//DC，求∠B的度数.巩固练习1：如图，A,B,C是⊙○上三点，AB=2,∠ACB=30°，求⊙○的半径.题型二利用圆周角定理的推理1进行计算与证明例2：如图AB,AC是⊙○的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D，使AD=AC，连结DB并延长，交⊙○于点E.求证：CE是⊙○的直径.巩固练习2：如图，△ABC是⊙○的内接三角形，AD是⊙○的直径.若∠ABC=50°，求∠CAD的度数.知识点四圆周角定理的推理21.圆周角定理的推理2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；的圆周角所对的弧也相等.2.如图，点A,B,C,D在⊙○上，若∠BDC=30°，则∠BAC= .3.如图，∠DBC=20°，∠APB=80°，则∠D= .4.若⊙○的弦AB所对的弧的度数是180°，则AB必是⊙○.5.如图，AB是⊙○的直径，∠CAB=60°，则∠D= .题型一：利用圆周角定理及其推论进行计算例1：如图，已知在⊙○中，直径AB=10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙○于点D，求BC,AD,BD的长.巩固练习1：如图，点A,B,C,D都在⊙○上，AD是⊙○的直径，且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD，求弦AC的长.题型二：利用圆周角定理及其推论进行证明例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE,BE交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD,CD,CE且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想.巩固练习2：如图，过圆内一点P作弦AB和CD，且AP=CP.求证：PB=PD.1.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA,OB 交小圆于点C,D ，下列结论中正确的个数有（ ）①∠OCD=∠OAB ；②AB=CD;③AB̂=CD ̂. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图，BE 是半径为6的⊙D 的14圆周，C 点是BÊ上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A.12<P ≤18B. 18<P ≤24C. 18<P ≤18+6√2D. 12<P ≤12+6√23.已知AB 是⊙○的直径，AC,AD 是弦，且AB=2，AC=√2，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是（ ）A.45°和60°B.60°C.105°D.15°或105°4.如图，AB 是⊙○的直径，点C 在⊙○上，弦BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A.AD=DCB.AD̂=DC ̂ C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA5.如图，已知AB 是⊙○的直径，PA=PB ，∠P=60°，则CD̂所对的圆心角等于 度.6.如图，AB,CD 是⊙○的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC=130°，AD,CB 的延长线相交于点P ，则∠P 的度数为 .7.如图，∠A 的两边交⊙○于点B,C,D,E ，若BD̂:BC ̂:CE ̂:DE ̂=1:3:4:4，则∠A 的度数为 .8.如图为⊙○的部分图形，OA,OB 是⊙○的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过点M 作MC//OA ，交AB̂于点C.求证：AC ̂=13AB ̂.9.已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN̂的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙○的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？1.若⊙○内的一条弦与直径相交成30°的角，并把直径分成2cm 和6cm 两端，则这条弦的弦心距为（ ）A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm2.如图，用四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A,B,O是小正方形的顶点，⊙○的半径为1，P是⊙○上的一点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.15°或105°3.如图，MN是半圆O的直径，点A是MN延长线上一点，AP交半圆于点Q,P.若∠A=20°，∠PMQ=40°，则∠MQP等于（）A.30°B.35°C.40°D.50°4.如图，AB为⊙○的一固定直径，它把⊙○分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙○于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变̂ D.随C点移动而移动C.等分BD（第4题）（第5题）（第7题）5.如图，已知A,B,C三点在⊙○上，AC⊥BO于点D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 .6.圆内的一条弦把圆分成5:1两部分，如果圆的半径是2cm，那么这条弦的长是 cm.7.如图，CD是半圆的直径，点O是圆心，点A在CD的延长线上，点E在半圆上，EA与半圆相交于点B.若AB=OC,̂的度数为 .∠DAE=15°，则DE8.如图，在⊙○中，AB是直角，CD是弦，AB⊥CD.̂上一点（不与C,D重合）.求证：∠CPD=∠COB.（1）P是CAD̂上（不与C,D重合）时，∠C P′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.（2）点P′在CD9.如图，AB ̂是⊙○的14圆周，半径OA ⊥OB ，C,D 是AB ̂的三等分点，AB 分别交OC,OD 于点E,F.求证：AE=BF=CD.。

3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ． 【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补二、习题库同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。

(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆，50A =∠，60ABC =∠，是圆的直径， 交于点，连结，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△内接于⊙O ，点是上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ）º º º °3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。

课时课题：第三章圆3．圆周角和圆心角的关系第1课时课型：新授课教学目标：1．经历圆周角和圆心角的关系的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会分类、归纳等数学思想方法。

2．理解圆周角的概念及圆周角和圆心角的关系。

并能够应用“圆周角与圆心角的关系”进行简单的论证和计算．重点:经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，理解“圆周角与圆心角的关系”．难点:了解圆周角与圆心的三种位置关系，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”．教学分析及教学方法：本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的推论的理论依据,还能充分渗透分类讨论的数学思想和方法。

本节课储备的知识，在推理、论证和计算中应用广泛，并且它在研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。

根据本节课教学内容的特点，采用“创景导学—自主探究—合作交流—巩固提升—当堂检测”的教学模式．课前准备：多媒体课件教学过程：一、创设情境，导入新课师：同学们玩过足球射门游戏吗？（投影展示一系列足球射门的图片）生：玩过．师：适当玩一些益智游戏，可以锻炼我们的多种能力，但是一定要把握度。

请同学们想一想，球员射中球门的难易与什么有关？生：积极回答！设计说明：设计上述问题，意在通过射门游戏引入圆周角的概念，激发学生的兴趣，而对于这一问题的答案，则可以让学生相互交流，自由发挥，不必去刻意追求正确的答案．师：（教师总结）如图1所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．把实际图形画成图（1），请同学们观察图中的∠ABC有哪些特征？生1：角的顶点在圆上．生2：他说的不全面，应该有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交．设计说明：在引导学生探索圆周角的特征时，要引导学生先在观察图形的基础上进行独立思考，然后再进行合作交流，最后形成共识．师：第二位同学回答的非常全面，我们把具备这两个特征的角叫做圆周角，这节课我们就来探索圆周角与圆心角的关系．（板书课题，导入新课）二、问题导学，合作探究（一）圆周角的概念师：哪位同学能叙述一下圆周角的概念？生：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角．师：这位同学回答的很正确，同学们在理解圆周的概念时一定要抓住它的两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交．下面我就出个题目，来检测一下同学们对圆周角概念的掌握情况．投影出示：判断下列图中的角是否是圆周角，并说明理由．（先让学生观察思考，然后再找基础较弱的学生回答）生1：第（1）个不是圆周角，因为角的顶点不在圆上．生2：第（2）个是圆周角．生3：第（3）个不是圆周角，因为角的顶点不在圆上． 生4：第（4）个是圆周角．生5：第（5）个不是圆周角，因为该角只有一边与圆有一个交点，另一边不与圆相交． 生6：第（6）个不是圆周角，因为该角的两边都不与圆相交． 生7：第（7）个是圆周角．生8：第（6）个不是圆周角，它是圆心角．设计意图：一是通过对圆周角的辨析，加深对圆周角概念的理解；二是通过对（2）、(4)、(7)三个图形中圆周角不同位置的展示，引起学生的注意和思考，为下一步探索圆周角与圆心的位置关系做铺垫；三是借助（8）中图形对圆心角进行回顾． （二）探索圆周角和圆心角的关系 师：在图1中，当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC ，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？ 生：相等．师：我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 生：也相等．（大部分学生思考不语，有极少部分学生回答）设计说明：提出这一问题意在引起学生思考，为本节课活动埋下伏笔，但有部分学生提前进行了预习或通过猜测，说出了答案，教师可在此基础上继续质疑、引导． 师：你能说出理由吗？ 生：思考，回答不出来．师：为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系． 首先请同学们画出⊙O 中弧AC 所对的圆心角和圆周角．然后思考：（1）弧AC 所对的圆周角有多少个？动手画一下．（2）这些圆周角与圆心有几种位置关系？ 生：结合图形回答．设计说明：教师引导学生通过动手画图，操作与观察，去发现弧AC 所对的圆周角有无数个，它们与圆心的位置关系只有三种情况．教师在此基础上利用多媒体投影演示图2、图3，进一步明确圆周角与圆心的这三种位置关系，这样就为后面的分类探索起铺垫作用，达到分散难点的目的．师：下面我们把图1画成图4，其中O 为圆心，请同学们观察：圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴交流一下．（这里给学生留出思考、交流的时间）oB 3A CB 2 B 1oBACoACBoACB（点B 在优弧AC 上运图2图3图4生：既然圆周角与圆心的位置关系只有三种情况，那我们就先考虑特殊情况下：圆周角的一边经过圆心时圆周角与圆心角的关系．设计说明：有了前面的铺垫，个别学生能够提出类似教材上小亮的想法，此时教师可顺势进行下面的教学，指导学生进行规范的演绎推理．师：这位同学说得很好，现在我们就来探究这种特殊情况：如图5，当∠ABC 的一边BC 经过圆心O 时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的关系．哪位同学能到黑板上把你的结论和理由写出来？（画出图形，让学生到黑板板演） 生：解：∠ABC＝21∠AOC．理由：∵∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO． ∵OA＝OB,∴∠ABO＝∠BAO． ∴∠AOC＝2∠ABO，即∠ABC＝21∠AOC． 师：如果∠ABC 的两边都不经过圆心（如图6所示），那么结果会怎样？生：开始思考、交流讨论． 师：（引导点拨）这两种情况能转化为第一种情况吗？如何转化？请同学讨论一下．设计说明：学生解决这一问题时，教师可先设计问题引导，让学生独立思考：这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？在此基础上再指导学生进行合作交流．时机成熟后找两名同学上黑板板演，师生共同纠错． 生1：解：如图（1），在⊙中作直径BD ，由前面的结论可知，∠ABD＝21∠AOD，∠CBD＝21∠COD． ∴∠ABD＋∠CBD＝21∠AOD＋21∠COD．即：∠ABC＝21∠AOC．生2：解：如图（2），在⊙O 中作直径BD ， 由前面的结论可知，∠ABD＝21∠AOD，∠CBD＝21∠COD．图5图6∴∠ABD－∠CBD＝21∠AOD－21∠COD．即：∠ABC＝21∠AOC．师：同学们做得非常好，通过对圆周角和圆心角关系的探究，你发现了什么结论？生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．师：我们把这一结论称为圆周角定理，请同学们结合图形识记这个定理．（教师板书定理）三、学以致用，巩固提高（投影出示练习题）1．（2012·湘潭）如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( ) A．20° B． 40° C．50° D． 80°2．（2012·南通）如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝º．3．（2012·吉林中考）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB ＝度．4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，求∠BOD（弧BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小．设计说明：先让学生独立完成，教师做巡视，了解学情，然后师生共同校对答案、纠错．通过一组习题来加深学生对圆周角及其定理的理解，提高运用所学知识解决问题的能力．如果第4题图第5题图时间允许可在学生完成4、5两题的基础上补充：（1）（2012·鄂州）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的大小是（） A．40°B．50°C．60°D．70°（2）如图，∠BCD＝100°，点C在⊙O上，且点A不与B、D重合，求∠BAD度数．设计意图：让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力．四、归纳小结，知识升华师：请同学们从以下四个方面：1、学到了哪些知识；2、掌握了哪些数学方法；3、体会到了哪些数学思想；4、还有哪些发现与猜想？谈一谈本节课的学习收获．生：畅所欲言，谈收获与感受．设计意图：一是给学生抒发感受的机会，让学生在民主、和谐的氛围中小结本节课所学的知识及自己的感悟，；二是让学生总结出自己在“做中学”的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，以培养学生的表达能力和概括能力．五、当堂达标检测（投影出示达标检测题）1．若⊙O的一条弧所对的圆周角为60°，则这条弧所对的圆心角是（）A．30° B．60° C．120° D．以上答案都不对2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15︒ B．28︒ C．29︒ D．34︒3．（2012·泰州中考）如图，点A，B，C都在⊙O上，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°4．（2012·大庆）如图所示，点A，B，C，D，E均在⊙O上，则∠AD C+∠AEB+∠BAC＝( ) A．90° B．180° C．270°D．360°5．（2012·威海中考）如图，在⊙O中，∠AOB的度数为160度，C是弧ACB上一点，D,E 是弧AB上不同的两点（不与A，B两点重合），则∠D＋∠E的度数为．设计意图：通过当堂达标检测，一是巩固学生所学知识，使学生将刚刚理解的知识加以应用，并在应用过程中加深理解；二是通过对学生检测信息的收集、处理，来了解本节课学生当堂学习情况及教学中的不足之处，便于及时调整，起到查漏补缺的目的．六、板书设计3．圆周角和圆心角的关系一、圆周角的概念二、圆周角定理投影区域学生板演七、教学反思在本节课的教学中，我结合本节课教学内容、教学目标和学生的认知规律，在教学设计上，一是注重创设情境，激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望，为下一步教学的顺利展开开个好头；二是注重引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程，鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，使学生在数学活动中深刻的理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法。