四年级上册数学奥数讲义-线段 含解析

第十八讲植树问题
第一部分：趣味数学
奇妙的数字12
12这个数字跟人类有缘，与我们的生活有密切的联系。

如:
一年12个月
一昼夜12个时辰
时针在钟面上走一圈是12小时
在我国和亚洲一些国家有着12生肖的说法
我国传统用做表示次序的符号有12个，即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥
小肠第一部分叫十二指肠，它的长度相当于本人12个手指的指幅
人体的胸部有12块胸椎，分别与12对肋骨相接
打排球时场上有12个球员
足球比赛罚点球的英制长度是12码
第二部分：奥数小练
知识要点
1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：棵数=段数－1。

2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：棵数=段数。

在四年级数学课程中，直线、线段和射线是非常基础但又非常重要的概念。

它们是几何学中的基本概念，对于学生理解空间关系、图形的特点有着至关重要的作用。

在这篇文章中，我将全面解析四年级上册数学课本中关于直线、线段和射线的讲解，帮助你更好地理解这些概念。

让我们来了解一下这些概念的定义。

在数学中，直线是由无数个点连成的，延伸到无限远的图形。

直线没有起点和终点，也没有长度和宽度。

线段是由两个端点和连接这两个点的线段构成的部分，有固定的长度。

而射线是起点固定的，通过这个起点，只能延伸出去的一条线。

这些概念在几何学中非常常见，也是很基础的几何概念。

接下来，让我们来深入探讨直线、线段和射线在几何学中的应用。

在学习图形的性质和关系时，直线、线段和射线经常被用来描述图形的特征。

在学习对称性时，我们会用到直线的概念来描述图形的对称性；在学习图形的相对位置时，线段和射线的概念也非常重要。

对于学生来说，理解这些概念对于后续学习几何学有着非常重要的作用。

在四年级上册数学课本中，直线、线段和射线的讲解通常会伴随着一些例题和练习题。

通过这些例题和练习题，学生可以更好地理解这些概念，并通过实际操作来加深记忆。

我建议在学习这些内容时，多多进行练习，加强对这些概念的理解。

从个人的角度来看，我认为直线、线段和射线是几何学中非常基础但又非常重要的概念。

它们贯穿了整个几何学的学习过程，对于培养学生的空间想象力、逻辑思维能力有着非常重要的作用。

在教学中，我认为要多给学生创造一些实际应用的场景，帮助他们更好地理解这些概念。

总结回顾一下，四年级上册数学教材中对直线、线段和射线的讲解是非常重要的一部分。

通过深入理解这些概念，可以帮助学生更好地理解空间关系、图形的特点，培养他们的逻辑思维能力。

在学习这些内容时，多进行实际操作和练习，可以更好地加深对这些概念的理解。

希望通过本文的讲解，你对直线、线段和射线有了更深入的理解。

以上就是对四年级上册数学直线线段射线讲解的全面评估和深度讨论。

(四年级奥数讲义)第七讲四年级奥数讲义 - 第七讲前言本讲义旨在帮助四年级学生提升奥数能力，全面了解和掌握本学期的知识点。

在本讲中，我们将研究以下内容：1. 几何图形的性质2. 数列的练与运算3. 奥数应用题解析请同学们认真听讲，并配合课后作业进行巩固。

一、几何图形的性质1. 点、线、面的定义- 点：不占据空间位置的事物，用大写字母表示，如A、B。

- 线：由无数个点组成的一条直线，用小写字母表示，如a、b。

- 面：由无数个点组成的平面，用大写字母表示，如P、Q。

2. 图形的分类根据边数和角数，我们可以将图形分为以下几类：- 三角形：有3条边和3个角的图形。

- 四边形：有4条边和4个角的图形。

- 正多边形：边相等且角相等的多边形，如正三角形、正方形等。

- 不规则多边形：边和角都不相等的多边形。

3. 图形的性质不同图形具有不同的性质，我们需要了解它们的特点和规律，以便在解题过程中能够快速判断和运用。

例如：- 三角形的内角和为180度。

- 正方形的四个角都是90度。

二、数列的练与运算1. 数列的定义数列是一组按照特定规律排列的数，其中每个数都有自己的位置。

例如：2，4，6，8，10 是一个等差数列，其中公差为2，下一个数等于前一个数加2。

2. 数列的运算在求和或计算等问题中，需要掌握数列的运算方法。

例如：求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an 为末项，n为项数。

三、奥数应用题解析在实际问题中，奥数经常与生活中的应用场景联系在一起，我们需要学会将奥数知识用于解决实际问题。

例如：小明每天晨跑，第一天跑8公里，以后每天跑的公里数是前一天的两倍。

问第6天小明总共跑了多少公里？解答：第6天跑的公里数为8 + 8 * 2^5 = 264公里。

总结通过本讲的研究，我们了解了几何图形的性质，掌握了数列的运算方法，并通过应用题实践了奥数知识。

请同学们课后认真复，并完成相关练题。

祝大家取得好成绩！。

l
·
A
B
把直线线段A向B或两直线l
特点：直线端是无直限的延，伸没，有就端点，不能测量长度。 得到一条直线。
观察直线有 什么特点？
·
这些线是射线。
·
A
B
射线可以用端点把和线射段线向上一的另一个点表示，
如射线AB。 端无限延伸，就
得到一条射线。
特点：射线是直的，有一个端点，可 以向另一个方向无线延伸。
端点 2 1 0
延伸 不能 一端 两端
三 课堂练习 1.下面的图形，哪些是直线？哪些是射线？哪 些是线段？
直线 线段 射线 线段 射线 线段 直线
2、过下面两点画一条射线。
..
四 课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
线段、直线、射线它们都是直的；线段可以测量长度； 直线和射线可以无限延伸，不能测量长度。
线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。
人教版四年级数学上册
3 角的度量
课题：线段、直线、射线 难点名称：线段、直线、射线的区别
导入
目录
CONTENTS
知识 讲解
课堂 练习
小节
一 导入
找一找，画面上藏着哪些线？
二 知识讲解 难点突破 这些线有什
么共同的名字？
线段
·线段·A 段AB B特点：线段是直的，有两个端点，有长度。
为了表达方便，可以用字母 来表示线段。如线段AB
手电筒或探照灯等射出来的 光线都可以看作射线。
线段、直线和射线三者之间有什么联系与区别？
① 文字叙述:它们都是直的；线段可以测
量长度；直线和射线可以无限延伸，不能测量 长度；线段有两个端点，射线有一个端点，直
线没有端点。

BS版小学数学（奥数）讲义数学四年级上册姓名：2020年秋季班~四年级奥数~目录第1讲和倍、差倍问题 (2)第2讲和差问题 (9)第3讲行程问题 (16)第4讲追及问题 (22)第5讲植树问题 (29)第6讲周期问题 (37)第7讲假设法解题 (43)第8讲还原问题 (49)第9讲盈亏问题 (57)第10讲年龄问题 (64)第11讲复合应用题（一） (69)第12讲复合应用题（二） (75)1~四年级奥数~2第1讲和倍、差倍问题【知识要点】1. 和倍问题【含义】已知两个数的和及两数的倍数关系，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数或较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

2. 差倍问题【含义】已知两个数的差及两数的倍数关系，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数＋两数的差＝较大的数或较小的数×几倍＝较大的数【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

【例题1】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？~四年级奥数~练习1：1. 用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。

铝和锡各用了多少千克？【例题2】甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？练习2：1．一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。

这块黑板的长和宽各是多少分米？3~四年级奥数~4 【例题3】甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？练习3：1．果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？【例题4】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，且桃树比杏树多124棵。

专题03公顷与平方千米的换算和应用1．一块占地20公顷的果园中，种了25000棵果树，平均每棵树占地________平方米．2．5平方千米＝_____公顷＝_____平方米。

3．9公顷＝( )平方米 180000平方米＝( )公顷3平方千米＝()公顷＝()平方米4．学校有一块边长是10米的方形草坪，( )块这样的草坪面积为1公顷。

5．在下面的（ ）里填上合适的数．2公顷=()平方米 60平方千米=()公顷600000平方米=()公顷6．一个长方形果园，长是100米，宽是50米，( )个这样的果园的占地面积是1公顷，( )个这样的果园的占地面积是1平方千米．7．9公顷＝()平方米 3200平方厘米＝()平方分米16000000平方米＝()公顷＝()平方千米8．在( )里填上“＞”“＜”或“＝”。

7千克( )693克 1000克()2千克6时15分( )325分 8600米()8千米60米306平方分米( )3平方米60平方分米 1.5小时()1小时50分500公顷()5平方千米 425平方米()42平方千米9．2022年冬奥会张家口奥林匹克体育中心占地面积约50公顷，( )个这样的体育中心占地面积约1平方千米。

10．幸福小区占地呈长方形，长800米，宽500米，它的占地面积是( )平方米，合( )公顷。

11．________平方千米＝5000公顷 8000000平方米＝________平方千米＝________公顷12．15000000平方米＝( )公顷＝()平方千米；我国青海省的面积是722000()（填上适当的面积单位）。

13．一个正方形棉花地的周长是1200米，这块棉花地的面积是( )公顷。

14．10公顷=________平方米 8200公顷=________平方千米14平方千米=________公顷 3500000平方米=________公顷15．30公顷＝()平方米；()平方千米＝60000公顷。

……
3+2+1=6条 ……
你发现了什么规律？
智慧乐园
请你数一数下图中一共有几条线段？
谢谢大家
直线
无
射线
1个
能 不能 不能
不能向两端 延长
可以向两端 无限延长
可以向一端 无限延长
无始无终，打一条线的名称。 直线 有始无终，打一条线的名称。 射线 有始有终，打一条线的名称。 线段
1.火眼金睛。请你指出下列线中哪些 是直线？哪些是射线？哪些是线段？
线段
╳
①
②
╳
射线
④
⑤
直线
③
线段
⑥
（1）一条直线长8cm。
（╳ ）
（2）射线只有一个端点。
（√ ）
（3）射线的长度是直线的一半。（╳ ）
（1）过一点可以画多少条直线？
无数条
（2）过两点可以画多少条直线？
只有1条
（3）画一条3cm长的线段。
3cm
0cm 1
2
3
4
5
（4）以下面的点为端点画两条射线。
智慧乐园
请你数一数下图中一共有几条线段？
1条
2+1=3条
数学西师大版 四年级上
线段 、直线 和 射线
•
•
线段
黑板的一边可以看成是一条线段
线段有两个端点
如图小明放学后有四条路可以回家， 请你帮他选择一条最近的路。
① ② ③ ④
两点之间线段最短，线段的长度就 是两点间的距离。
是直的 可度量
两端点 有限长
试一试：过下面两点画一条线段
一条线段向两端无限延长后， 会是什么图形呢？
一条线段向两端无限延长后就是一条直线

第17讲数数图形一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.线段上有n个端点，那么线段的条数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12.从一个顶点引n条射线，那么锐角的个数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+13. 由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。

4. 如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。

练习1：数出下列图中有多少条线段。

（2）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。

练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。

练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。

【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。

练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。

【例题5】数一数下图中有多少个长方形。

练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。

【例题6】数一数下图中有多少个长方形？练习6：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题7】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习8：数一数下列各图中分别有多少个正方形。

【例题9】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习9：1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？【例题10】求下列图中线段长度的总和。

线段图解题主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。

重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。

意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。

相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。

一、线段图解题方法和技巧：什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。

1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；4、画多条线段时，一般先画最小的量。

5、虚实结合。

“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；二、常见的可以用线段图来表示的数量关系1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。

当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。

例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。

例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个乙的2个7个文具小明少几分？小强的得分：小明的得分：3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。

可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。

例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？甲的年龄：乙的年龄：注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。

线段、直线和射线
本节课我们主要来学习线段、直线 和射线，同学们要掌握线段、直线 和射线的概念，理解并掌握三者的 异同点，能够解决相关的实际问题。
在两点之间画线，你能画出多少条？
两点之间线段最短 线段的长度就是两点间的距离。
将线段的两端无限延长就得 到一条直线，直线没有端点。
经过两点，只能画出一条直线， 我们称为两点确定一条直线。
经过一点可以画无数条直线
将线段的一端无限延长就得到一 条射线，射线有一个端点。
线段 射线 直线
有2个端点， 可以量长度。
有1个端点， 不能量长度， 无线段： （3）（5） 直线： （1） 射线： （2）（6）
10条
两点确定一 条直线

专题07盈亏问题1．果树队上山种果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果梨树苗每人栽3棵，还余下2棵；苹果树苗每人栽7棵，则少6棵。

问：果树专业队上山植树的有多少人？要栽多少棵苹果树和梨树？2．一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？3．智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？4．三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？5．同学们去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人留在岸边。

共有几只船？划船的同学是多少人？6．学校给一批新入学的学生分配宿舍。

若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。

求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？7．“烛光”读书活动小组在学校图书馆借来的科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技书，则余12本；每人看故事书4本，则差3本，读书活动小组有几人？借来的科技书和故事书各多少本？8．儿童分玩具，每人6个则多12个；每人8个，有一人没有分到。

儿童有几个，玩具有几个？9．用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深．10．学习里有铅笔若干支，奖给三好学生，若每人9支，缺15支；若每人7支缺7支。

三好学生有多少人？铅笔有多少支？11．实验小学进行团体操表演。

如果每行排8人，则多出7人；如果每行排14人，则有一排少5人。

问排成多少排？有多少学生？12．同学们去买蛋糕，如果每人出9 元，就多出了10元，每人出7 元，就多出了2元，那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？13．甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？14．有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两块，这些糖共有多少块？15．学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？16．用一根绳子测量井的深度，用绳子对折来量，井外余6米；用绳子一折四来量，井外余1米。

第三讲基本直线形面积公式在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形．在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形．在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类．我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积．№1. 正方形和长方形的面积正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图：例题1如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？ 练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的宽面积是多少？№2. 平行四边形的面积如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来．为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图．这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽．长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段．在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高．于是我们有：如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离．36 1824底当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图所示．同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离．要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高．大家看看下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高．例题2下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出阴影平行四边形的面积．「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习2如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？BCF底高高高№3. 三角形的面积三角形中也有相对应的底和高．过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底．每个三角形有三组对应的底和高．要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度．观察下图，我们把一个三角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形．平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等．而平行四边形的面积等于“⨯底高”，正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式：从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．由于三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易．因此要想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高．．．．．．．．．．．．下面是一个简单的作图练习，大家不妨画一画．例题3如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？ 练习3右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积．№4. 梯形的面积三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有．在梯形中，平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高．如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形．从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍．同时平行四边形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等．所以：86下底例题4一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分别是多少．练习4如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？例题5如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？例题6如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？ 「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？11课堂内外小欧拉与大羊圈欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就．不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生．小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝镶上去的．小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考．小欧拉没有与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家．回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童．他一面放羊，一面读书．他读的书中，有不少数学书．爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只．原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈．他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米．正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用．若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米．父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米．小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划．他有办法．父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他．小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了．父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美．父亲终于同意让儿子试试看．小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁．他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米．父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了．”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米．经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形．然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了．”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光．面积也足够了，而且还稍稍大了一些．父亲心里感到非常高兴．孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息．父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了．后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利．通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生．这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生．作业1. 在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以AB 为底的高．2. 如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，请问：大正方形的面积是多少？3.下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．求平行四边形的面积．4. 下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积．5. 如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是9厘米，大正方形的边长是13厘米．请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？66 846BD C第三讲基本直线形面积公式1.例题1答案：8平方米详解：方法一：正方形的面积是16平方米，所以正方形的边长是4米，黄瓜的面积是28平方米，黄瓜的宽是4米，长就是2847÷=米．豆角的面积是32平方米，豆角的宽是4米，所以长是3248÷=米．所以苦瓜的宽是÷=米，莴笋的宽是8米，面积是72平方米，所以长是7289⨯=平方米；方法二：豆角是茄子面积的2倍，972-=米，长是4米，所以苦瓜的面积是248所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的2倍，黄瓜和苦瓜的面积是72236÷=平方米，所以苦瓜的面积是36288-=平方米．2.例题2答案：28详解：阴影平行四边形的底BC是4，高FG是7，所以平行四边形的面积是4728⨯=．3.例题3答案：42平方厘米详解：阴影三角形的底是6厘米，高是6814+=厘米，所以阴影三角形的面积是614242⨯÷=平方厘米．4.例题4答案：30平方厘米详解：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是正方形上面的边，正方形的面积是49平方厘米，所以正方形的边长是7厘米，梯形的下底是长方形的宽即8厘米，梯形的高即长方形长与正方形边长之差，为1174-=厘米，所以梯形的面积是()+⨯÷=平方厘米．7842305.例题5答案：91平方厘米详解：由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影平行四边形的底就是1037+=厘米，所以其面积-=厘米，高就是10313是71391⨯=平方厘米．6.例题6答案：12平方厘米详解：小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．阴影部分是由两个三角形组成的，这两个三角形的底都是752-=厘米，左面三角形的高是5厘米，右面三角形的高是7厘米，所以面积分别是2525⨯÷=平方厘米，2727+=平⨯÷=平方厘米，所以阴影部分的面积是5712方厘米．7.练习1答案：12平方米详解：西瓜地是正方形，面积为36平方米，所以边长为6米；冬瓜地面积为24平方米，长为6米，所以宽为2464÷=米；南瓜地面积为18平方米，长为6米，所以宽为1863÷=米；黄瓜地长为4米，宽为3米，所以面积为4312⨯=平方米．8. 练习2答案：96平方厘米详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即8厘米，高是两正方形边长之差，即20812-=厘米，所以平行四边形的面积是81296⨯=平方厘米．9. 练习3答案：30简答：阴影三角形的底是6，高是6410+=，所以阴影三角形的面积是610230⨯÷=．10. 练习4答案：14平方厘米简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即6厘米；梯形的下底是大正方形的边长即8厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为862-=厘米，所以梯形的面积是()682214+⨯÷=平方厘米．11. 作业1答案：如图所示简答：12. 作业2答案：25简答：小正方形的边长为2，小长方形的长为3，那么大正方形的边长为5，面积为5525⨯=．13. 作业3答案：48简答：小正方形的边长为6，大正方形的边长为8，平行四边形的面积是6848⨯=．14. 作业4答案：24；18简答：左图阴影三角形的底选为6，高为8，面积是68224⨯÷=．右图阴影三角形的底选为6，高为6，面积是66218⨯÷=．15.作业5答案：242平方厘米简答：梯形的上底为小正方形的边长，即9厘米．梯形的下底为大正方形的边长，即13厘米．梯形的高为大、小正方形边长和为22厘米．梯形的面积为(913)222242+⨯÷=平方厘米．6.。

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线段的性质
问题导入说一说，从老虎山到狐狸洞有哪几条路？描出最短的路线，你发现了什么？（教材16页下面例题）
过程讲解
1. 观察路线图
从老虎山到狐狸洞共有①、②、③、④4条路线，其中路线①是曲线，路线②、④是折线，只有路线③是线段。

2．比较4条路线的长短
如果点A不动，分别将路线①、②、④的另一端拉直，长度一定都长于线段③。

所以路线③最短。

小结：两点之间所有连线中线段最短。

3．理解两点之间距离的意义
线段AB的长度就是A，B两点之间的距离。

归纳总结
1．线段的基本性质：在两点之间的所有连线中，线段最短。

2．两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。

误区警示慧眼识真知，错误巧规避！
【误区一】判断：一条直线长12厘米。

(√)
错解分析此题错在混淆了直线与线段的概念。

直线可以向两侧无限延长，无法测量长度。

错解改正×
温馨提示在线段、射线和直线中，只有线段可以度量。

【误区二】判断：因为射线是直线的一部分，所以直线一定比射线长。

(√)
错解分析直线和射线的长度都是无限的，因此无法比较它们的长短。

错解改正×
温馨提示直线和射线不能进行长度比较。

小学-数学-上册-打印版。

A 无数条
直线是直的，没有端点，两端无限延长， 长度是不可以测量的。
直线的表示方法：
a
A
B
直线可以用直线上的两个点来表示，如直线AB。
也可以用小写字母表示，如直线a。
探究活动三 1、过一点A可以画几条直线？ 2、过两点A、B可以画几条直线？
·A
·A
·Ｂ
拓展活动
3、如果你想将一根细木条固定在墙上，至 少需要几个钉子？
探究活动一
• 请问：给你两个点，让你通过这两个点画线段，你能画 多少条？
1条
射线是直的，只有一个端点，另一端无限延长， 长度是不可以测量的。
射线的表示方法：
A
B
射线可以用端点和射线上的另一点来表示， 如射线AB。
生活中，你还见过哪些射线？
探究活动二 • 在作业本上画一个点A，通过这个点A画射线。
《线段、射线、直线》
授课教师-------刘学
有一只小虫从一个山洞到另一个山洞寻找食物，有5条路可以走， 可是走哪一条路最短呢？可怜的小虫犯愁了，谁能帮帮它？
起点
1 23
4 5
终点
这条线是直的!
线段是直的，有两个端点，长度是可以测量的。
线段的表示方法：
A
B
C
D
为了表述方便，可以用字母来表示线段， 如线段AB，线段CD。
这节课，你学到了什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
闯关游戏: 第二关
猜谜语
(打一线的名称)
1.有始有终 2.无始无终 3游戏:
第三关
判断下列说法对错。
• （1）一条直线长5厘米。 ……………… （ ）× • （2）射线只有一个端点。 ……………（ ）√ • （3）线段是直线的一部分。 …………（ ）√ • （4）射线的长度是直线的一半。……… （ ×） • （5）一条射线长3千米。………………… （ ）×

线段平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：(1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )．A．1 B．2 C．3 D．4思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．思路点拨引人未知数，通过列方程求解．【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(3)如图c ，有一正方体的盒子ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C l 处不动)思路点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．注： 恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走C 市到这里路程的一半就到达目的地．问A 、B 市相距多少千米?思路点拨 画出线段图进行分析．如图13—1所示，设小镇为D 点，傍晚在正点休息．∵GE=2EB ，∴GE=32BC ∵AD=31AC ，∴DC=32AC ． ∵DC+CE=32（BC+AC ）=32AB ∴DE=32AB ，又DE=400km ； ∴ AB=600 km ．注： 线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km ”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C 市到这里路程的31就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．【例7】 如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短?思路点拨 虽然A 、B 两点在河两侧，但连结AB 的线段不垂直于河岸．如图13-8，关键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

不能向任何一方 延伸
可以向一方 无限延伸 可以向两个相反 方向无限延伸
端点 个数
两个
能否测量 能
一个
不能
无
不能
难点突破
线段、射线、直线的联系
线射段 线 线射段 线
1、 把线段向一个方向无限延伸可得到射线
线 直段线
2、把线段向两个相反的方向无限延伸可得到直线
难点突破
由直线可以也可得到线段、 射线
●
(1)直线没有端点，射线有一个端点，线段有
两个端点。（ √ ）
(2)画一条射线长8厘米。 （× ）
(3)射线比直线短 。
（ ×）
(4)一条2000米长的直线 。（ × ）
课堂练习
有只虫子从一个山洞到别一个山洞寻找食物, 有五条路可走,可是走哪一条路最短呢?可怜的 小虫子犯愁了,谁能帮帮它呢?
1
起点
我们的现在正处于线段的一端， 我们的理想处于线段的另一端。为了 实现我们的理想，让我们像射线一样， 从现在开始勇往直前，创造出像直线 一样无限美好地丰富多彩地美丽的人 生。
谢谢指导
线段、直线、射线
难点名称：线段、直线、射线的区别
知识讲解
线段是直的、 想一想：线有段有两哪个些特端点点呢？
线段的表示方法：
a
线段 A
B 记作: 线段AB (或线段BA)
或记作: 线段 a
线段有两种表示方法: 1.用表示它的两个端点的大写字母表示
2.用一个小写字母表示
有一个端点，可以向一端无限延长。 像这样只有一个端点的线，叫射线。
直线的表示方法
直线
l
记作:直线 MN(或直线NM)
M
N
或记作:直线 l

全国通用四年级上册奥数试题-第7讲线段图解复杂和差倍关系第7讲线段图解复杂和差倍关系例1、小华所有的数学书、语文书和英语书一共70本，其中数学书和语文书的数量之和是英语书的4倍，数学书和英语书的数量之和比语文书的3倍少2本，那么小华有几本数学书？练习1、萱萱折了大、中、小三种纸鹤共576只，其中大纸鹤与中纸鹤的总数要比小纸鹤多24只，那么萱萱折了多少只小纸鹤？例2、四个人的年龄和等于77，其中年龄最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比另外两人的年龄之和大7岁，那么年龄最大的人是多少岁？练习2、有四块不同的蛋糕，一共重2000克，其中最重的两块重量之和比轻的两块多1000克，最轻的那块蛋糕只有100克重，那么第三重的蛋糕有多重？例3、一堆苹果分给甲、乙、丙三人，三人分得的数量都一样多。

后来，甲给了乙2个，乙给了丙6个，丙又给了甲8个，此时甲的苹果数恰好是丙的2倍，那么此时乙有多少个苹果？练习3、甲、乙、丙三人一起完成300个零件的加工任务，其中甲、乙两人分到的零件数量相同。

后来由于某些原因，重新调整了任务量，甲给了乙30个零件，乙给了丙40个零件，丙又给了甲50个零件，结果甲完成的零件个数恰好是乙的两倍。

请问：丙完成的零件个数是多少？例4、超级女声比赛开始报名，一共有上海、北京和湖南3个赛区，总的报名人数为600人。

其中湖南的报名人数比上海的2倍少80人，而上海的报名人数比北京的3倍多20人。

问3个赛区各有多少人报名？练习4、萱萱又折了一些新的纸鹤，大、中、小三种纸鹤共740只。

其中，中纸鹤的数量要比大纸鹤的2倍多20只，而小纸鹤的数量则要比中纸鹤的2倍少20只，那么现在大纸鹤有多少只？例5、小明、小红、小玲共有73块糖。

如果小玲吃掉3块，那么小红于小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍。

问小红有多少块糖？作业1、卡莉娅买了巧克力糖、水果糖和泡泡糖三种糖果给小山羊吃，三种糖共有300颗，其中水果糖和泡泡糖的总数比巧克力糖少10颗，那么巧克力糖有多少颗？2、有4个战斗力不同的战士，他们的战斗力之和为205（战斗力越高越厉害），其中最弱的战士的战斗力为35，而他与最强的战士的战斗力之和要比其他两人之和高5.请问：最强的战士战斗力为多少？3、学校三年级有甲、乙、丙三个班级，人数一样多。