2012-2013经济类第一学期
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一、 填空题：（每空4分，共 24分）
1. 设随机事件
A 、B
相互独立，P (A )=0.7, P (B )=0.4, 则
=)(B A P __0.42________________。
2. 设随机变量X 服从标准正态分布， 则
=)(2X E _________1_______________________。
3. 在十个数字0,1,2,3,4，…，9中任取四个（不重复），则能排成一个四位偶数
的概率为________________41/90______________。
4. 设随机变量X 的分布未知，2)()(σμ==X D X E ，，则根据切贝谢夫不等式
≥+<<-}44{σμσμX P ______15/16______________。
5. 已知随机变量X 的分布函数为,arctan 1
21)(x x F π
+=
则X 的概率密度函数=)(x f _________)1(12x +π___________________。
6. 设随机变量n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为取自总体X 的样本，则统计量
n
S X /μ
-服从_________t (n-1)__________________分布。
二、单项选择题：（每题4 分，共24分）
1. 若A , B , C 表示一些事件，则 A , B , C 恰有一个出现的是 D
(A) C B A (B) C B A C B A C B A (C) C B A (D) C B A C B A C B A
2.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随着σ的增大，概率
}{σμ<-X P ___B___________。
(A) 单调增大 (B)保持不变 (C) 单调减少 (D) 增减不定
3. 设X ，Y 是两个随机变量，a ，b 为常数，则D (aX +bY )=_______C________。
(A) aD (X )+bD (Y ) (B) a 2D (X )+b 2D (Y )
(C) a 2D (X )+b 2D (Y )+2ab cov(X ,Y ) (D) a 2D (X )+b 2D (Y )+ab cov(X ,Y ) 4. 若X 服从[0,1]上的均匀分布，Y =2X +1，则______C___________。
(A) Y 也服从[0,1]上的均匀分布 (B) 1}10{=≤≤Y P (C) Y 服从[1,3]上的均匀分布 (D) 0}10{>≤≤Y P
5.设21,X X 是取自服从正态分布)1,(μN 的总体X 的样本，则下列总体期望μ的无偏估计量中最有效的是_____D___________。
(A)
215352X X + (B ）2131
32X X + (C) 214341X X + (D) 212
1
21X X +
6. 连续型随机变量X 的分布函数为a x a x a a x a x
B A x F -≤<<-≥⎪⎩
⎪⎨⎧+=,,0arcsin ,1)(，则
A 、
B 满足___A_________。
(A) π1,21==
B A (B) π1
,1==B A (C) 21,1=
=
B A π
(D) 1,1
==B A π
三、计算题：（每题9分，共 36分）
1. 某大学生准备参加毕业论文答辩，答辩的效果与他的精神状态有关。
据他
估计如果他的
精神状态很好的话，则答辩通过的概率为0.8；若精神状态一般的话，则通过的概率为0.6；
若精神状态很差的话，则通过的概率降为0.4。
该生感到他的精神状态处于“很好”、“一
般”或“很差”都是等可能的，现已知他通过了这次论文答辩，求他答辩时，精神状态处于“很 好”的概率。
解：设A ={他通过论文答辩}，B 1={他的精神状态处于“很好”}，
B 2={他的精神状态处于“一般”}，B 3={他的精神状态处于“很差”}
则P (B 1)= P (B 2)= P (B 3)=1/3，P (A |B 1)=0.8， P (A |B 2)=0.6，P (A |B 3)=0.4
由全概率公式知5
/3)|()()(3
1==∑=i i i B A P B P A P
由贝叶斯公式得9/4)()
|()()|(111==
A P
B A P B P A B P
2. 设),(Y X 只取下列数组中的值:(0,1)、(-1,0)、(-1,3)、(1,0),且相应概率依次为
12
7
,121,61,61，
（1）求),(Y X 的分布律及边缘分布律；（2）判断X 和Y 是否独立。
解： （1）
Y X -1 0 1 P {Y =j } 0 1/6 0 7/12 9/12 1 0 1/6 0 1/6 3 1/12 0 0 1/12 P {X =i }
3/12
1/6
7/12
（2）因为16
3129123)0()1()0,1(61===-=≠=-==Y P X P Y X P 所以X 和Y 不独立。
3. 已知晶体管收音机的磁棒长度服从正态分布，从生产车间某日的产品中随机抽取6根，
测得长度如下（单位：厘米）：14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1。
已知当天产品长度的
标准差σ=0.25,试求出平均长度的置信区间（置信度1-α=0.95）。
759.0)96.1(=Φ
解：采用统计量 )1,0(~/N n X U σμ
-=
则平均长度μ的置信度为1-α的置信区间为)
,(2
2
αασ
σ
U n
X U n
X +
-。
95
.146/)1.152.158.149.141.156.14(=+++++=X
96.1)96.1(975.0)()(025.0025.02
=Φ==Φ=ΦU U U 得由α
所以平均长度μ的置信度为0.95的置信区间是(14.75, 15.15)。
4. 设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<=其它,
01
0,2)(x x x f ，求（1）X 的分布函数)(x F ；
（2）⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧<<-211X P 。
解：（1）⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=≤=1,110,0
,0)()(2
x x x x x X P x F
（2）4
1
2}211{21
==<<-⎰xdx X P
四、应用题：（每题8分，共 16分）
1. 某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自修的概率为 0.1，问阅览室要准备多少座位才能以99%的概率保证每个去阅览室自修的学 生都有座位？99.0)33.2(=Φ
解：设X 表示每晚去自修的学生人数，则)1.0,4900(~B X
，
441,490==npq np ，
由中心极限定理有
53993.53833.2441
490
)33.2(99.0)441490(
99.0}{≈≥⇒≥-⇒Φ=≥-Φ⇒≥≤k k k k X P 故至少要准备539个座位。
2. 通过经济预测，国际市场上每年对我国某出口商品的需求量为随机变量X （单位：吨），它服从[2000，4000]上的均匀分布，设每售出这种商品一吨，可为国家创汇3万元，假如售不出去而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应如何组织货源，使国家收益最大。
解：由题意可知需求量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=其他,04000
2000,20001)(x x ϕ
设y 为预备出口的这种商品量（只考虑2000<y<4000情况）,收益函数
⎩⎨
⎧<--≥==时
当时当y X X y X y X y X f Y ),(3,3)( 则⎰⎰⎰∞+∞-+--==y y dx y dx x y x dx x x f EY 2000
4000
2000
1320001)]
(3[)()(ϕ
)1047000(10001
62⋅-+-=
y y 350007500)(==+-=y y EY y 得‘ 0500
1
)(''<-=y EY
所以y=3500吨时，收益最大。
