2020年中考数学小题专项训练(5)
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2023年中考数学压轴题专项训练压轴题05二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形)题型一:二次函数与等腰三角形存在性问题例1.(2022•百色)已知抛物线经过A(﹣1,0)、B(0,3)、C(3,0)三点,O为坐标原点,抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,点M为射线BD上一动点,连接OM,交BC于点F.(1)求抛物线的表达式;(2)求证:∠BOF=∠BDF;(3)是否存在点M,使△MDF为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求ME的长.题型二:二次函数与直角三角形存在性问题例2.(2022•滨州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B(点A在点B 的左侧),与y轴相交于点C,连接AC、BC.(1)求线段AC的长;(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点,当P A=PC时,求点P的坐标;(3)若点M为该抛物线上的一个动点,当△BCM为直角三角形时,求点M的坐标.题型三:二次函数与等腰直角三角形存在性问题例3.(2022•枣庄)如图①,已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的关系式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当△OPE面积最大时,求出P点坐标;(3)将抛物线L向上平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界),求h的取值范围;(4)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型四:二次函数与相似三角形存在性问题例4.(2023•宜兴市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC、AC.(1)求二次函数的函数表达式;(2)设二次函数的图象的顶点为D,求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值;(3)若点M在线段AB上(不与A、B重合),点N在线段BC上(不与B、C重合),是否存在△CMN 与△AOC相似,若存在,请直接写出点N的坐标,若不存在,请说明理由.一.解答题(共20小题)1.(2023•绥宁县模拟)如图,一次函数y=12x+2与x轴,y轴分别交于A、C两点,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、C两点,与x轴交于另一点B,其对称轴为直线x=−3 2.(1)求该二次函数表达式;(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M,使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由;(3)在对称轴上是否存在点P,使△P AC为等腰三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2023•泗阳县校级一模)如图,二次函数y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C.(1)求函数表达式及顶点坐标;(2)连接AC,点P为线段AC上方抛物线上一点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交AC于点H,当PH =2HQ时,求点P的坐标;(3)是否存在点M在抛物线上,点N在抛物线对称轴上,使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形,若存在,直接写出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.3.(2023•碑林区校级一模)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标.4.(2023•崂山区开学)如图1,已知二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4).与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标;(4)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.5.(2023•泰山区校级一模)已知二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)求出二次函数表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,求出此时点N的坐标,并说明理由;(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.6.(2023•灞桥区校级二模)如图,二次函数y=−12x2−x+4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B、C的坐标;(2)若点P在抛物线对称轴上,且在x轴上方,当△PBC为等腰三角形时,求出所有符合条件的点P 的坐标.7.(2023春•仓山区校级期中)如图抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)过定点(1,3)的直线l:y=kx+b与二次函数的图象相交于M,N两点.①若S△PMN=2,求k的值;②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形.8.(2023春•兴化市月考)已知:二次函数y=ax2+2ax﹣8a(a为常数,且a>0)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.(1)分别求点A、B的坐标;(2)若△ABC是直角三角形,求该二次函数相应的表达式;(3)当a=12时,一次函数y=12x+b的图象过B点,与二次函数的对称轴交于Q点,N为一次函数图象上一点,过N点作y的平行线交二次函数图象于M点,当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时,求N点的坐标.9.(2023•广水市模拟)二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B(﹣3,0),交y轴于点C(0,﹣3).(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,点E为抛物线的顶点,点T(0,t)为y轴负半轴上的一点,将抛物线绕点T旋转180°,得到新的抛物线,其中B,E旋转后的对应点分别记为B',E',当四边形BEB'E'的面积为12时,求t的值;(3)如图2,过点C作CD∥x轴,交抛物线于另一点D.点M是直线CD上的一个动点,过点M作x 轴的垂线,交抛物线于点P.是否存在点M使△PBC为直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.10.(2023•江油市模拟)抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx﹣6经过点B.点P在抛物线上,设点P的横坐标为m.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标;(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,求CQ+12PQ的最大值.11.如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2.(1)求二次函数的表达式;(2)点M为一次函数下方抛物线上的点,△ABM的面积最大时,求点M的坐标;(3)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标.12.(2023•儋州一模)如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,A(0,3),B(﹣1,0),将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=ax2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.①若S△PMN=2,求k的值;②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.13.(2023•保亭县一模)如图,二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点(1,8),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A(﹣1,0),M为抛物线的顶点.(1)求二次函数的解析式;(2)求△MCB的面积;(3)在坐标轴上是否存在点N,使得△BCN为直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.14.(2022秋•蔡甸区期末)如图,一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点P,使|PB﹣PC|最大,求出点P的坐标;(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.15.(2023•二道区校级一模)已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax(x﹣2)的图象相交于A(﹣1,b)和B,点P是线段AB上的动点(不与A、B重合),过点P作PC⊥x轴,与二次函数y=ax(x﹣2)的图象交于点C.(1)求a、b的值;(2)如图1,M为∠APC内一点,且PM=1,E,F分别为边P A和PC上两个动点,求△MEF周长的最小值;(3)若△P AC是直角三角形,求点C的坐标.16.(2023•靖江市一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点(0,−32),顶点为C(﹣1,﹣2).(Ⅰ)求该二次函数的解析式;(Ⅱ)过A、C两点作直线,并将线段AC沿该直线向上平移,记点A、C分别平移到点D、E处.若点F在这个二次函数的图象上,且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形,求点F的坐标;(Ⅲ)当p+q≥﹣2时,试确定实数p,q的值,使得当p≤x≤q时,p≤y≤q.17.(2023•泰山区一模)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1,0),点B(4,0)两点,交y 轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t=32时,求△DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标.18.(2023•东营区一模)如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0)和B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),直线y=﹣2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点M在AE下方的抛物线上运动,求△AME的面积最大值;(3)如图2,在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.19.(2023•铁西区模拟)如图①,已知抛物线y=mx2﹣3mx﹣4m(m<0)的图象与x轴交于A、B两点(A 在B的左侧),与y的正半轴交于点C,连结BC,二次函数的对称轴与x轴交于点E,且OC=2OE.(1)求出抛物线的解析式;(2)如图②Q(t,0)是x的正半轴上一点,过点Q作y轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,若△MCN与△BQM相似,请求出Q的坐标;(3)如图②Q(t,0)是x的正半轴上一点,过点Q作y轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,将△CMN沿CN翻折,M的对应点为M',是否存在点Q,使得M'恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.20.(2023•东胜区模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣2,0),B(4,0),C(0,8)三点,点P是直线BC上方抛物线上的一个动点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)动点P运动到什么位置时,△PBC的面积最大,求此时P点坐标及△PBC面积的最大值;(3)在y轴上是否存在点Q,使以O,B,Q为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.。
二次函数压轴题1. 如图①,抛物线y =ax 2+(a +2)x +2(a ≠0)与x 轴交于点A (4,0),与y 轴交于点B ,在x 轴上有一动点P (m ,0)(0<m <4).过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ,交抛物线于点M . (1)求a 的值;(2)若PN ∶MN =1∶3,求m 的值;(3)如图②,在(2)的条件下,设动点P 对应的位置是P 1,将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2,旋转角为α(0°<α<90°),连接AP 2、BP 2,求AP 2+32BP 2的最小值.图① 图②第1题图解:(1)∵A (4,0)在抛物线上, ∴0=16a +4(a +2)+2,解得a =-12;(2)由(1)可知抛物线解析式为y =-12x 2+32x +2,令x =0可得y =2, ∴OB =2, ∵OP =m ,∴AP =4-m , ∵PM ⊥x 轴, ∴△OAB ∽△P AN , ∴OB OA =PN P A ,即24=PN 4-m ,∴PN =12(4-m ), ∵M 在抛物线上, ∴PM =-12m 2+32m +2, ∵PN ∶MN =1∶3, ∴PN ∶PM =1∶4,∴-12m 2+32m +2=4×12(4-m ), 解得m =3或m =4(舍去), 即m 的值为3;(3)如解图,在y 轴上取一点Q ,使OQ OP 2=32,第1题解图由(2)可知P 1(3,0),且OB =2,∴OP 2OB =32,且∠P 2OB =∠QOP 2, ∴△P 2OB ∽△QOP 2, ∴QP 2BP 2=OP 2OB =32,∴当Q (0,92)时,QP 2=32BP 2, ∴AP 2+32BP 2=AP 2+QP 2≥AQ ,∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时,AP 2+QP 2有最小值, 又∵A (4,0),Q (0,92),∴AQ =42+(92)2=1452,即AP 2+32BP 2的最小值为1452.2. 如图,已知二次函数y =ax 2+bx +4的图象与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为D ,点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点,过P 作PN ⊥x 轴于N ,交直线BC 于M . (1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标; (2)当PM =MN 时,求点P 的坐标;(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ,连接AP 交对称轴于E ,连接BP 并延长交对称轴于F ,试证明HE +HF 的值为定值,并求出这个定值.第2题图解:(1)∵A (-2,0),B (4,0)在二次函数的图象上,将A ,B 点代入二次函数表达式中,得⎩⎪⎨⎪⎧4a +(-2)b +4=016a +4b +4=0, 解得⎩⎨⎧a =-12b =1, ∴二次函数的表达式为y =-12x 2+x +4, 将其化为顶点式为y =-12(x -1)2+92, ∴顶点D 的坐标为(1,92);(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0,4),设直线BC 的解析式为y =kx +c (k ≠0),将点B (4,0),点C (0,4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k +c =0c =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1c =4, ∴直线BC 的解析式为y =-x +4,(5分) ∵点P 在x 轴上方的抛物线上,∴设点P 的坐标为(t ,-12t 2+t +4)(-2<t <4),∵PN ⊥x 轴于N , ∴点N 的坐标为(t ,0), ∵PN 交BC 于M ,∴点M 的坐标为(t ,-t +4),(7分)∵PM =MN ,点P 在点M 的上方,∴PN =2MN , 即-12t 2+t +4=2(-t +4), 解得t 1=2,t 2=4(与B 重合舍去),∴当PM =MN 时,点P 的坐标为(2,4);(8分)第2题解图(3)如解图,过点P 作PG ⊥x 轴于点G ,设点P 的坐标为(t ,-12t 2+t +4), ∵DH ⊥x 轴于点H , ∴PG ∥DH , ∴△AHE ∽△AGP , △BGP ∽△BHF , ∴EH PG =AH AG ,PG FH =BG BH ,∴EH=AH·PGAG,FH=BH·PGBG,(10分)当点G在BH上时,∵AH=BH=3,AG=t+2,BG=4-t,PG=-12t2+t+4,∴EH+FH=3(PGt+2+PG4-t)=3·(-12)(t+2)(t-4)·4-t+t+2(t+2)(4-t)=9,同理,当点G在AH上,由抛物线对称性可知,结果相同.综上可知,HE+HF的结果为定值,且这个定值为9.(14分)3. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值;(2)设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9 ∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.第3题图解:(1)由12x +1=0,得x =-2, ∴A (-2,0),由12x +1=3,得x =4,∴B (4,3). ∵y =ax 2+bx -3经过A 、B 两点,∴⎩⎪⎨⎪⎧(-2)2·a -2b -3=042·a +4b -3=3, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12b =-12,如解图,设直线AB 与y 轴交于点E ,则E (0,1). ∵PC ∥y 轴,∴∠ACP =∠AEO .∴sin ∠ACP =sin ∠AEO =OA AE =222+12=255;(2)①由(1)知,抛物线的解析式为 y =12x 2-12x -3, ∴P (m ,12m 2-12m -3), C (m ,12m +1),∴PC =12m +1-(12m 2-12m -3)=-12m 2+m +4.在Rt △PCD 中,PD =PC ·sin ∠ACP =(-12m 2+m +4)×255=-55(m -1)2+955.∵-55<0,∴当m =1时,PD 有最大值955; ②存在,m =52或329.【解法提示】如解图,分别过点D 、B 作DF ⊥PC ,BG ⊥PC ,垂足分别为点F 、G .第3题解图由图中几何关系可知 ∠FDP =∠DCP =∠AEO ,∴cos ∠FDP =cos ∠AEO =OE AE =122+12=55,在Rt △PDF 中,DF =cos ∠FDP ·PD =55PD =-15(m 2-2m -8). 又∵BG =4-m ,∴PBCPCD S S △△=DFBG =-15(m 2-2m -8)4-m=m +25.当PBC PCDS S △△=m +25=910时,解得m =52; 当PBCPCDS S △△=m +25=109时,解得m =329.∴m =52或329.4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,OA =3,AB =4,在OC 上取一点E ,使OA =OE ,抛物线y =ax 2+bx +c 过A ,E ,B 三点. (1)求B ,E 点的坐标及抛物线表达式;(2)若M 为抛物线对称轴上一动点,则当|MA -ME |最大时,求M 点的坐标; (3)若点D 为OA 中点,过D 作DN ⊥BC 于点N ,连接AC ,若点P 为线段OC 上一动点且不与C 重合,PF ⊥DN 于F ,PG ⊥AC 于G ,连接GF ,是否存在点P ,使△PGF 为等腰三角形?若存在,求出所有满足条件的P 点坐标;若不存在,请说明理由.第4题图解:(1)∵OA =3,AB =4, OA =OE ,∴A (0,3),B (-4,3), E (-3,0). 将A ,B ,E 三点坐标代入y =ax 2+bx +c 中, 得⎩⎪⎨⎪⎧c =316a -4b +c =39a -3b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =4c =3, ∴抛物线的表达式为y =x 2+4x +3;(3分)(2)∵抛物线y =x 2+4x +3的对称轴为直线x =-2,点A 关于对称轴的对称点为点B ,∴当|MA -ME |最大时,M 在直线BE 与直线x =-2的交点处,即连接BE并延长交直线x =-2于点M ,M 点即为所求,如解图①,(5分)第4题解图①设直线BE 的解析式为y =kx +b (k ≠0), ∵直线过B (-4,3),E (-3,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧-4k +b =3-3k +b =0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧k =-3b =-9, ∴直线BE 的解析式为y =-3x -9. 当x =-2时, y =-3, ∴M (-2,-3);(7分)(3)设P (x ,0)(x <0),如解图②,过点P 分别作PF ⊥DN 于点F ,PG ⊥AC 于点G ,过点G 作GH ⊥OC 于点H ,交DN 于点Q ,连接GF ,第4题解图②∵OA =3,AB =4,∠AOC =90°, ∴AC =5,∵D 为OA 的中点,DN ⊥BC , ∴PF =32,sin ∠1=PG PC =OAAC , ∴PG x +4=35, ∴PG =3(x +4)5, ∵cos ∠1=CG PC =OC AC , ∴CG x +4=45, ∴CG =4(x +4)5. ∵△CGH ∽△CAO , ∴GH AO =CG CA =CH CO , ∴GH 3=CG 5=CH 4,∴GH =35CG =35×4(x +4)5=12(x +4)25, CH =45CG =45×4(x +4)5=16(x +4)25,(9分) ∴PH =QF =OC -CH -OP =4-16(x +4)25+x =9(x +4)25, GQ =GH -QH =12(x +4)25-32,∴在Rt △GQF 中,GF 2=[12(x +4)25-32]2+81(4+x )2625=9(x +4)225-36(x +4)25+94. 要使△PGF 为等腰三角形,可分三种情况讨论: (ⅰ)当GF =GP 时, GF 2=GP 2,∴9(x +4)225-36(x +4)25+94=9(x +4)225, ∴x =-3916,∴P 1(-3916,0);(11分) (ⅱ)当FG =FP 时,FG 2=FP 2, ∴9(x +4)225-36(x +4)25+94=94, ∴x 1=-4,x 2=0. ∵点P 不与C 重合, ∴x =-4(舍去),∴P 2(0,0); (12分)(ⅲ)当PG =PF 时,3(x +4)5=32, ∴x =-32,∴P 3(-32,0).(13分)综上所述,存在P 1(-3916,0),P 2(0,0),P 3(-32,0)使△PFG 为等腰三角形.(14分)5. 已知:直线y =12x -3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ,抛物线y =13x 2+bx +c 经过点A 、B ,且交x 轴于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)点P 为抛物线上一点,且点P 在AB 的下方,设点P 的横坐标为m . ①试求当m 为何值时,△P AB 的面积最大;②当△P AB 的面积最大时,过点P 作x 轴的垂线PD ,垂足为点D ,问在直线PD 上是否存在点Q ,使△QBC 为直角三角形?若存在,直接写出符合条件的Q 点的坐标,若不存在,请说明理由.第5题图 备用图解:(1)∵直线y =12x -3与x 轴、y 轴分别交于A 、B , 则A (6,0),B (0,-3),又∵抛物线y =13x 2+bx +c 经过点A 、B ,则⎩⎨⎧0=13×62+6b +c -3=c , 解得⎩⎨⎧b =-32c =-3, ∴抛物线的解析式为y =13x 2-32x -3;(2)①∵点P 的横坐标为m ,∴P (m ,13m 2-32m -3),∵点P 在直线AB 下方,∴0<m <6,第5题解图①如解图①,过点P 作x 轴的垂线,交AB 于点E ,交x 轴于点D , 则E (m ,12m -3),∴PE =12m -3-(13m 2-32m -3)=-13m 2+2m , ∴S △P AB =S △BPE +S △PEA =12PE ·OA =12(-13m 2+2m )×6 =-(m -3)2+9,∴当m =3时,△P AB 的面积最大;②在直线PD 上存在点Q ,使△QBC 为直角三角形;点Q 的坐标为(3,94)或(3,-32).【解法提示】直线PD 的解析式为:x =3,易得C (-32,0),D (3,0), 当∠BCQ =90°时,如解图②,易证△COB ∽△QDC ,则CO OB =QDDC ,可得Q (3,94);第5题解图②当∠CBQ =90°时,如解图③,易知Q 在AB 上,将x =3代入直线y =12x -3,得y =-32,∴Q (3,-32);第5题解图③当∠BQC =90°时,如解图④,易证△CDQ ∽△QRB ,则CD QR =DQBR ,即923-DQ =DQ3,无解.第5题解图④综上所述,在直线PD 上存在点Q ,使△QBC 为直角三角形,点Q 的坐标为(3,94)或(3,-32).6. 如图,抛物线y =x 2-4x -5与x 轴交于A ,B 两点(点B 在点A 的右侧),与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A,B,C三点的坐标及抛物线的对称轴;(2)如图①,点E(m,n)为抛物线上一点,且2<m<5,过点E作EF∥x轴,交抛物线的对称轴于点F,作EH⊥x轴于点H,求四边形EHDF周长的最大值;(3)如图②,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,B,C 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图①图②第6题图解:(1)把y=0代入y=x2-4x-5,得x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,∵点B在点A的右侧,∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(5,0),把x=0代入y=x2-4x-5,得y=-5,∴点C的坐标为(0,-5),∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9,∴抛物线的对称轴为直线x=2;(4分)(2)由题意可知,四边形EHDF 是矩形,∵抛物线的对称轴为直线x =2,点E 坐标为(m ,m 2-4m -5), ∴EH =-m 2+4m +5,EF =m -2,∴矩形EHDF 的周长为2(EH +EF )=2(-m 2+4m +5+m -2)=-2(m 2-5m -3)=-2(m -52)2+372, ∵-2<0,2<m <5,∴当m =52时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为372;(8分)第6题解图(3)存在点P ,使以点P ,B ,C 为顶点的三角形是直角三角形. 如解图,设点P 的坐标为(2,k ),∵B 和C 两点的坐标分别为(5,0),(0,-5), ∴BC =52+52=52, ①当∠CBP =90°时, ∵BC 2+BP 2=CP 2,∴(52)2+(5-2)2+(-k )2=22+(k +5)2,解得k =3, ∴P 1(2,3);(10分) ②当∠PCB =90°, ∵BC 2+PC 2=BP 2,∴(52)2+22+(k +5)2=(5-2)2+(-k )2, 解得k =-7, ∴P 2(2,-7);(12分) ③当∠CPB =90°时, ∵PC 2+PB 2=BC 2,∴22+(k +5)2+(5-2)2+k 2=(52)2, 解得k =1或k =-6, ∴P 3(2,1),P 4(2,-6),综上所述,满足条件的点P 的坐标为(2,3),(2,-7),(2,1)或(2,-6).(14分)7. 如图,抛物线y =-14x 2+bx +c 经过A (2,0),B (-4,0)两点,直线y =2x -2交y 轴于点D ,过点B 作BC ⊥x 轴交直线CD 于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)求点B 关于直线y =2x -2对称的点E 的坐标,判断点E 是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P 是抛物线上一动点,过点P 作x 轴的垂线,交直线CE 于点F ,是否存在这样的点P ,使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.第7题图解:(1)∵抛物线y =-14x 2+bx +c 的图象经过点A (2,0),B (-4,0)两点, ∴⎩⎪⎨⎪⎧-14×4+2b +c =0-14×16-4b +c =0,解得⎩⎨⎧b =-12c =2, ∴抛物线的解析式为y =-14x 2-12x +2; (2)点E 在抛物线上,理由如下:如解图①,设直线CD :y =2x -2与x 轴交于点N ,过点E 作EM ⊥x 轴,垂足为点M ,令y =2x -2=0,解得x =1,∴点N 的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,-2), ∵BN 2=25,BD 2=20,DN 2=5,BN 2=BD 2+DN 2, ∴BD ⊥CD ,∵点B 和点E 关于点D 对称, ∴BE =2BD ,∴BE =45,∵当x =-4时,y =2x -2=-10, ∴点C 的坐标为(-4,-10), ∵BN =5,BC =10, ∴CN =55,又∵∠MBE =∠BCN ,∠CBN =∠BME , ∴△CBN ∽△BME , ∴BE CN =ME BN ,即4555=ME 5,∴ME =4,根据勾股定理得BM =BE 2-ME 2=80-16=8, ∴BM =8,∴OM =4, ∴点E 的坐标为(4,-4), 当x =4时,y =-14x 2-12x +2=-14×16-12×4+2=-4, ∴点E 在抛物线上;第7题解图①(3)存在,点P 的坐标为(-1,94)或(-5+3292,3329-1518)或(-5-3292,-3329+1518). 【解法提示】如解图②,设直线CE 的解析式为y =kx +b ′,由(2)得点C (-4,-10),E (4,-4),∴⎩⎪⎨⎪⎧-4k +b ′=-104k +b ′=-4,解得⎩⎨⎧k =34b ′=-7,第7题解图②∴直线CE 的解析式为y =34x -7.∵PF ⊥x 轴,设点P 的坐标为(a ,-14a 2-12a +2),则点F 的坐标为(a ,34a -7),∴PF =|-14a 2-12a +2-(34a -7)|=|-14a 2-54a +9|, 要使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形, ∵PF ∥BC , ∴PF =BC =10.当-14a 2-54a +9=10时, 解得a 1=-4(舍去),a 2=-1, ∴点P 的坐标为(-1,94),当-14a 2-54a +9=-10时, 解得a 1=-5+3292, a 2=-5-3292, ∴点P 的坐标为(-5+3292,3329-1518)或(-5-3292, -3329+1518), 综上所述,存在点P ,使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形,点P 的坐标为(-1,94)或(-5+3292,3329-1518)或(-5-3292,-3329+1518). 8. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)过点A (3,-3)和点B (33,0),过点A 作直线AC ∥x 轴,交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P ,过点P 作直线AC 的垂线,垂足为D .连接OA ,使得以A ,D ,P 为顶点的三角形与△AOC 相似,求出相应点P 的坐标; (3)抛物线上是否存在点Q ,使得S △AOC =13S △AOQ ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.第8题图解:(1)将点A (3,-3),B (33,0)分别代入y =ax 2+bx 中,得⎩⎪⎨⎪⎧-3=3a +3b 0=27a +33b, 解得⎩⎨⎧a =12b =-332,∴抛物线的解析式为y =12x 2-332x ;(2)设P 点的坐标为P (m ,12m 2-332m ),则D (m ,-3), ∴PD =|12m 2-332m +3|,AD =|m -3|, ∵∠ACO =∠ADP =90°,∴①当△ACO ∽△ADP 时,有AC OC =ADPD , 即33=|m -3||12m 2-332m +3|,∴3|m -3|=|12m 2-332m +3|,∴3(m -3)=12m 2-332m +3或-3(m -3)=12m 2-332m +3,整理得m 2-53m +12=0或m 2-3m =0,解方程m 2-53m +12=0得:m 1=43,m 2=3(点P 与A 点重合,△APD 不存在,舍去);解方程m 2-3m =0得:m 3=0,m 4=3(点P 与A 点重合,△APD 不存在,舍去);此时P 点的坐标为P (0,0)或P (43,6); ②当△ACO ∽△PDA 时,有AC OC =PDAD , 即33=|12m 2-332m +3||m -3|,∴3|12m 2-332m +3|=|m -3|,∴3(12m 2-332m +3)=m -3或-3(12m 2-332m +3)=m -3, 整理得3m 2-11m +83=0或3m 2-7m +43=0,解方程3m 2-11m +83=0,得:m 1=833,m 2=3(点P 与A 点重合,△APD 不存在,舍去);解方程3m 2-7m +43=0,得:m 1=433,m 2=3(点P 与A 点重合,△APD 不存在,舍去);此时P 点的坐标为P (833,-43)或P (433,-103),综上可知:以点A 、D 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似时,点P 的坐标为:P (0,0)或P (43,6)或P (833,-43)或P (433,-103);(3)存在.在Rt △AOC 中,OC =3,AC =3,根据勾股定理得OA =23, ∵S △AOC =12OC ·AC =332,S △AOC =13S △AOQ , ∴S △AOQ =932,∵OA =23,∴△AOQ 边OA 上的高为92,如解图,过点O作OM⊥OA,截取OM=92,第8题解图过点M作MN∥OA交y轴于点N,∵AC=3,OA=23,∴∠AOC=30°,又∵MN∥OA∴∠MNO=∠AOC=30°,∴在Rt△OMN中,ON=2OM=9,即N(0,9),过点M作MH⊥x轴交x 轴于点H,∵∠MNO=30°,∴∠MOH=30°,∴MH=12OM=94,OH=934,即M(934,94),设直线MN的解析式为y=kx+9(k≠0),把点M的坐标代入得94=934k+9,即k=-3,∴y=-3x+9,联立得⎩⎨⎧y =-3x +9y =12x 2-332x,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =33y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =-23y =15,即Q (33,0)或(-23,15).9. 如图,抛物线经过原点O (0,0),与x 轴交于点A (3,0),与直线l 交于点B (2,-2). (1)求抛物线的解析式;(2)点C 是x 轴正半轴上一动点,过点C 作y 轴的平行线交直线l 于点E ,交抛物线于点F ,当EF =OE 时,请求出点C 的坐标;(3)点D 为抛物线的顶点,连接OD ,在抛物线上是否存在点P ,使得∠BOD =∠AOP ?如果存在,请直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.第9题图 备用图解:(1)由题意可设抛物线的解析式为y =ax 2+bx , 将A (3,0),B (2,-2)代入y =ax 2+bx 中,得⎩⎪⎨⎪⎧9a +3b =04a +2b =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-3, ∴抛物线的解析式为y =x 2-3x ; (2)设直线l 的解析式为y =kx ,将B (2,-2)代入y =kx 中,得-2=2k , 解得k =-1,∴直线l 的解析式为y =-x ,设点C 的坐标为(n ,0),则点E 的坐标为(n ,-n ),点F 的坐标为(n ,n 2-3n ).①当点C 在点A 的左侧时,如解图①所示,EF =-n -(n 2-3n )=-n 2+2n ,OE =n 2+(-n )2=2n , ∵EF =OE , ∴-n 2+2n =2n ,解得n 1=0(C ,E ,F 三点均与原点重合,舍去),n 2=2-2, ∴点C 的坐标为(2-2,0);②当点C 在点A 的右侧时,如解图②所示,EF =n 2-3n -(-n )=n 2-2n ,OE =n 2+(-n )2=2n , ∵EF =OE , ∴n 2-2n =2n ,解得n 1=0(C ,E ,F 均与原点重合,舍去),n 2=2+2, ∴点C 的坐标为(2+2,0);综上所述,当EF =OE 时,点C 的坐标为(2-2,0)或(2+2,0); (3)存在点P 使得∠BOD =∠AOP ,点P 的坐标为(145,-1425)或(165,1625). 【解法提示】抛物线的解析式为y =x 2-3x =(x -32)2-94,∴顶点D 的坐标为(32,-94),设抛物线的对称轴交直线l 于点M ,交x 轴正半轴于点N ,过点D 作DG ⊥OB 于点G ,过点P 作PH ⊥x 轴于点H ,如解图③所示,∵直线l 的解析式为y =-x , ∴∠MON =45°,∴△ONM 为等腰直角三角形,ON =MN =32,OM =2ON =322, ∴DM =94-32=34, 在Rt △DGM 中,∵∠DMG =∠NMO =45°, ∴Rt △DGM 为等腰直角三角形, ∴MG =DG =34×22=328, ∴OG =OM +MG =322+328=1528.设点P 的坐标为(c ,c 2-3c ),当点P 在x 轴下方时,如解图③所示,OH =c ,HP =3c -c 2,第9题解图③∵∠HOP =∠BOD ,∴tan ∠HOP =tan ∠BOD , ∴HP OH =DGOG ,即3c -c 2c =3281528,解得c 1=0(P 点与O 点重合,舍去),c 2=145, ∴点P 的坐标为(145,-1425);当点P 在x 轴上方时,如解图④所示,OH =c ,HP =c 2-3c ,第9题解图④同理可得c 2-3cc =3281528,解得c 1=0(P 点与O 点重合,舍去),c 2=165, ∴P 点的坐标为(165,1625).综上所述,存在点P 使得∠BOD =∠AOP ,点P 的坐标为(145,-1425)或(165,1625).10. 在平面直角坐标系中,直线y =12x -2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,二次函数y =12x 2+bx +c 的图象经过B ,C 两点,且与x 轴的负半轴交于点A ,动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上. (1)求二次函数的表达式;(2)如图①,连接DC ,DB ,设△BCD 的面积为S ,求S 的最大值; (3)如图②,过点D 作DM ⊥BC 于点M ,是否存在点D ,使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍?若存在,直接写出点D 的横坐标...;若不存在,请说明理由.图① 图②第10题图解:(1)直线y =12x -2中,令y =0,解得x =4, 令x =0,解得y =-2, ∴点B (4,0),C (0,-2),将点B (4,0),C (0,-2)代入y =12x 2+bx +c 中,得⎩⎪⎨⎪⎧8+4b +c =0c =-2,解得⎩⎨⎧b =-32c =-2, ∴二次函数的表达式为y =12x 2-32x -2;第10题解图①(2)如解图①,过点D 作DE ∥y 轴,交BC 于点E ,设点D 的坐标为(x ,12x 2-32x -2)(-1<x <4),则点E (x ,12x -2),∴DE =12x -2-(12x 2-32x -2)=-12x 2+2x ,∴S =S △CDE +S △BDE =12(-12x 2+2x )×4=-x 2+4x =-(x -2)2+4,∴当x =2时,S 有最大值,S 的最大值为4;(3)存在,满足条件的点D 的横坐标为2或2911.【解法提示】令y =0,则12x 2-32x -2=0,解得x 1=-1,x 2=4,∴A (-1,0),∵B (4,0),C (0,-2),∴AB 2=52=25,AC 2=12+(-2)2=5,BC 2=42+22=20,∴AB 2=AC 2+BC 2,∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形,如解图②,取AB 的中点P ,第10题解图②∴P (32,0),∴P A =PC =PB =52,∴∠CPO =2∠ABC ,∴tan ∠CPO =OC OP =tan2∠ABC =43,过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点R ,交BC 的延长线于点G ,连接CR , ①当∠DCM =2∠ABC =∠DGC +∠CDG ,∵DG ∥x 轴,∴∠DGC =∠ABC ,∴∠CDG =∠ABC ,∴tan ∠CDG =tan ∠ABC =OC OB =12,即CR DR =12,设点D (x ,12x 2-32x -2),∴DR =x ,RC =-12x 2+32x ,∴-12x 2+32x x =12,解得x 1=0(舍去),x 2=2,∴点D 的横坐标为2;②当∠MDC =2∠ABC ,∴tan ∠MDC =43,设MC =4k ,∴DM =3k ,DC =5k ,∵tan ∠DGC =3k MG =12,∴MG =6k ,∴CG =2k ,∴DG =35k ,∵∠MGD =∠RGC ,∠DMG =∠CRG =90°, ∴△DMG ∽△CRG ,∴DM CR =DG CG ,∴CR =255k ,RG =2CR =455k ,即3k CR =35k 2k ,∴DR =35k -455k =1155k ,∴DR CR =1155k 255k =x -12x 2+32x , 解得x 1=0(舍去),x 2=2911, ∴点D 的横坐标为2911,综上所述,满足条件的点D 的横坐标为2或2911.。
精品模拟2020年安徽省中考数学模拟试卷五一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)1.﹣(﹣2019)的相反数是()A.﹣2019B.2019C.D.2.下列计算正确的是()A.a2•a3=a6B.3a2﹣a2=2C.a6÷a2=a3D.(﹣2a)2=4a23.如图,下列选项中不是正六棱柱三视图的是()A.B.C.D.4.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟,它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学记数法表示为()A.5.6×10﹣1B.5.6×10﹣2C.5.6×10﹣3D.0.56×10﹣15.不等式3x+4≥x的解集是()A.x≥﹣2B.x≥1C.x≤﹣2D.x≤16.小明家承包了一个鱼塘,快到年底了,爸爸想知道这个鱼塘大约有多少条鱼.小明采用“捉放法”先随机抓1000条鱼做上标记,再放回鱼塘过一段时间后再随机抓1000条鱼发现有5条鱼是做标记的,再以此来估算整个池塘的鱼大约有()A.10000条B.100000C.200000条D.2000000条7.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是()A.x(x+1)=210B.x(x﹣1)=210C.2x(x﹣1)=210D.x(x﹣1)=2108.如图,点M是反比例函数y=(x>0)图象上任意一点,MN⊥y轴于N,点P是x轴上的动点,则△MNP的面积为()A.1B.2C.4D.不能确定9.如图,A,B是半径为1的⊙O上两点,且∠AOB=60°,点P从A出发,在⊙O上以每秒个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是()A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④10.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=,以AB为斜边另作Rt△APB,连接PC,当点P在AC左侧时,下列结论正确的是()A.∠APC的度数不确定B.PB=PC+PAC.当PA=1时,PC=D.当PA=PC时,PB2=2+二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)11.若=0.694,=1.442,则=12.因式分解:a2b2﹣a2﹣b2+1=.13.如图,两弦AB 、CD 相交于点E ,且AB ⊥CD ,若∠B =60°,则∠A 等于 度.14.在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图象如图所示,关于x 的方程x 2+3bx +3c =m 有实数根,则m 的取值范围是 .三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分) 15.(8分)计算:sin45°﹣|﹣3|+(2018﹣)0+()﹣116.(8分)购买甲、乙、丙三种不同品种的练习本各四次,其中,有一次购买时,三种练习本同时打折,四次购买的数量和费用如表:(1)第 次购物时打折;练习本甲的标价是 元/本,练习本乙的标价是 元/本,练习本丙的标价是 元/本;(2)如果三种练习本的折扣相同,请问折扣是打几折?(3)现有资金100.5元,全部用于购买练习本,计划以标价购进练习本36本,如果购买其中两种练习本,请你直接写出一种购买方案,不需说明理由. 四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣2,2),B(﹣4,0),C(﹣4,﹣4).(1)在y轴右侧,以O为位似中心,画出△A′B′C′,使它与△ABC的相似比为1:2;(2)根据(1)的作图,sin∠A′C′B′=.18.(8分)如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知AB⊥BC于点B,底座BC的长为1米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°,点H在支架AF上,篮板底部支架EH∥BC,EF⊥EH于点E,已知AH长米,HF长米,HE长1米.(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数.(2)求篮板底部点E到地面的距离.(结果保留根号)五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)19.(10分)阅读下面材料:勾股定理的逆定理:如果是直角三角形的三条边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.能够成为直角三角形三条边长的正整数,称为勾股数.例如:32+42=52,3、4、5是一组勾股数.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2﹣1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数,你认为正确吗?如果正确,请说明理由,并利用这个结论得出一组勾股数.20.(10分)如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,(1)求⊙O的半径;(2)求O到弦BC的距离.六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)21.(12分)张老师把QQ运动里“好友计步榜”排名前20名好友一天行走的步数做了整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:根据信息解答下列问题(1)填空:m=,n=,请补全条形统计图.(2)这20名朋友一天行走的步数的中位数落在组.(3)张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中两人点赞,求乙、丙被同时点赞的概率.七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)22.(12分)现计划把一批货物用一列火车运往某地.已知这列火车可挂A,B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y元,这列火车挂A型车厢x节,写出y关于x的函数表达式,并求出自变量x的取值范围;(2)已知A型车厢数不少于B型车厢数,运输总费用不低于276000元,问有哪些不同运送方案?八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)23.(14分)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是边AD上一点,EM⊥EC交AB于点M,点N在射线MB上,且AE是AM和AN的比例中项.(1)如图1,求证:∠ANE=∠DCE;(2)如图2,当点N在线段MB之间,联结AC,且AC与NE互相垂直,求MN的长;(3)连接AC,如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似,求DE的长.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)1.【分析】根据相反数的意义,直接可得结论.【解答】解:﹣(﹣2019)=2019,所以﹣(﹣2019)的相反数是﹣2019,故选:A.【点评】本题考查了相反数的意义.理解a的相反数是﹣a,是解决本题的关键.2.【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案.【解答】解:A、a2•a3=a5,故此选项错误;B、3a2﹣a2=2a2,故此选项错误;C、a6÷a2=a4,故此选项错误;D、(﹣2a)2=4a2,正确.故选:D.【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.3.【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解:正六棱柱三视图分别为:三个左右相邻的矩形,两个左右相邻的矩形,正六边形.故选:A.【点评】本题考查了几何体的三种视图,注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.4.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解:将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2,故选:B.【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.5.【分析】不等式移项合并,把x系数化为1,即可求出解集.【解答】解:移项,得:3x﹣x≥﹣4,合并同类项,得:2x≥﹣4,系数化为1,得:x≥﹣2,故选:A.【点评】此题考查了解一元一次不等式,注意不等式两边除以负数时,不等号要改变方向.6.【分析】第二次捕上的1000条,发现其中带标记的鱼有5条,说明有标记的占到,而有标记的共有1000条,从而根据所占比例求出总数.【解答】解:1000÷=20000条.故选:C.【点评】本题考查的是通过样本去估计总体,只需将样本“成比例地放大”为总体即可.7.【分析】根据题意列出一元二次方程即可.【解答】解:由题意得,x(x﹣1)=210,故选:B.【点评】本题考查的是一元二次方程的应用,在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的相等关系.8.【分析】可以设出M的坐标是(m,n),△MNP的面积即可利用A的坐标表示,据此即可求解.【解答】解:设M的坐标是(m,n),则mn=2.∵MN=m,△MNP的MN边上的高等于n.∴△MNP的面积=mn=1.故选:A.【点评】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义,在反比例函数图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.9.【分析】分析图象中P到B的时间,可排除其它选项;分两种情形讨论:当点P顺时针旋转时,图象是②,当点P逆时针旋转时,图象是③,由此即可解决问题.【解答】解:分两种情形讨论:①当点P顺时针旋转时,∵⊙O的半径为1,点P从A出发,在⊙O上以每秒个单位长度的速度匀速运动,∠AOB=60°,点P从A到达B点的时间==5,∴图象是②;②当点P逆时针旋转时,点P从A到达B点的时间==1,∴图象是③;故选:B.【点评】本题考查了动点问题的函数图象、圆周长公式,解答时注意数形结合和关注动点到达临界点前后的图象变化趋势.10.【分析】因为∠ACB=∠APB=90°,可得A,P,C,B四点共圆,即∠CPB=∠CAB=45°,可得∠APC=∠APB+∠CPB=90°+45°=135°,故选项A错误;过点C作CP的垂线交PB于点K,证明△BCK≌△ACP,得AP=BK,所以PB=PC+PA,故选项B错误;当PA=1时和PA=PC时,结合PB=PC+PA的关系式,即可对选项C,D作出判断.【解答】解:∵∠ACB=∠APB=90°,∴A,P,C,B四点共圆,∵AC=BC,∴∠CAB=45°,∴∠CPB=∠CAB=45°,∴∠APC=∠APB+∠CPB=90°+45°=135°,∴选项A错误;如图,过点C作CP的垂线交PB于点K,∵∠CPK=45°,∴∠CKP=∠CPK=45°,∴PC=KC,∠CKB=∠CPA=135°,∵∠PCK=∠ACB=90°,∴∠BCK=∠ACP,∴△BCK≌△ACP((ASA),∴AP=BK,∵PK=PC,∴PB=PC+PA,∴选项B错误;当PA=1时,∵AC=BC=,∴AB=2,∴PB=,∵PB=PC+PA,∴=PC+1,解得PC=,∴选项C错误;当PA=PC时,PB=(+1)PA,∵PA2+PB2=AB2,∴(﹣1)2PB2+PB2=4,解得PB2=2+∴选项D正确.故选:D.【点评】本题考查了图形的旋转,三角形全等判定和性质,勾股定理.解题的关键是构造全等三角形得出关系式:PB=PC+PA.二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)11.【分析】根据立方根的性质即可求解.【解答】解:∵=0.694,∴=6.94.故答案为:6.94.【点评】考查了立方根,解决本题的关键是熟练掌握立方根的性质.12.【分析】分成两组:(a2b2﹣b2)和(1﹣a2),利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解.【解答】解:原式=(a2b2﹣b2)+(1﹣a2)=b2(a2﹣1)﹣(a2﹣1)=(a+1)(a﹣1)(b+1)(b﹣1).故答案是:(a+1)(a﹣1)(b+1)(b﹣1).【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.13.【分析】由同弧所对圆周角相等得出∠C=∠B=60°,再根据垂直知∠AEC=90°,利用直角三角形两锐角相等得出答案.【解答】解:∵∠B=60°,∴∠C=∠B=60°,∵AB⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠A=30°,故答案为:30.【点评】本题主要考查圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.14.【分析】二次函数y=x2+bx+c=(x﹣6)2﹣3=x2﹣4x+9,求出b、c,然后用△≥0,即可求解.【解答】解:由图象知,抛物线的顶点坐标为(6,﹣3),∴二次函数y=x2+bx+c=(x﹣6)2﹣3=x2﹣4x+9,则方程x2+3bx+3c=m有实数根,∴方程x2﹣12x+(27﹣m)=0有实数根,∴△=122﹣4(27﹣m)≥0,解得:m≥﹣9.故:答案是m≥﹣9.【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况,涉及到函数表达式的求解、根判别式的运用,题目难度不大.三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)15.【分析】先代入三角函数值、计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂,再进一步计算可得.【解答】解:原式=×﹣3+1+2=1﹣3+1+2=1.【点评】本题主要考查实数的运算,解题的关键是熟练掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质及零指数幂和负整数指数幂的运算法则.16.【分析】(1)观察表格中总价与购买数量可得出第四次购物时打折,设练习本甲的标价是a元/本,练习本乙的标价是b元/本,练习本丙的标价是c元/本,根据总价=单价×数量结合前三次购物的数量及总价,即可得出关于a、b、c的三元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设打m折,根据总价=单价×折扣率×数量,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论;(3)设购进甲种练习本x本,乙种y本,丙种z本,分只购进甲、乙两种练习本、只购进甲、丙两种练习本、只购进乙、丙两种练习本三种情况列出二元一次方程组,解之即可得出结论.【解答】解:(1)观察表格中的总费用与购买数量,可知:第四次购物时打折.设练习本甲的标价是a元/本,练习本乙的标价是b元/本,练习本丙的标价是c元/本,根据题意得:,解得:.故答案为:四;6;4;2.5.(2)设打m折,根据题意得:10××6+10××4+4××2.5=88,解得:m=8.答:折扣是打8折.(3)设购进甲种练习本x本,乙种y本,丙种z本,分以下三种情况考虑:①当只购进甲、乙两种练习本时,,解得:(不合题意,舍去);②当只购进甲、丙两种练习本时,,解得:;③当只购进乙、丙两种练习本时,,解得:.综上所述,有两种方案可供选择:第一种方案是购进甲种练习本3本,丙种33本;第二种方案是购进乙种练习本7本,丙种29本.【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出三元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(3)分只购进甲、乙两种练习本、只购进甲、丙两种练习本、只购进乙、丙两种练习本三种情况考虑.四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)17.【分析】(1)连接AO,并延长使OA=2OA′,同理作出点B和点C的对应点,再顺次连接即可得;(2)利用正弦函数的定义求解可得.【解答】解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求.(2)∵A′C′==,∴sin∠A′C′B′==,故答案为:.【点评】本题主要考查作图﹣位似变换,解题的关键是掌握位似变换的定义和性质,并据此得出变换后的对应点及正弦函数的定义.18.【分析】(1)由cos∠FHE==可得答案;(2)延长FE交CB的延长线于M,过点A作AG⊥FM于G,过点H作HN⊥AG于N,据此知GM=AB,HN=EG,Rt△ABC中,求得AB=BC tan60°=;Rt△ANH中,求得HN=AH sin45°=;根据EM=EG+GM可得答案.【解答】解:(1)在Rt△EFH中,cos∠FHE==,∴∠FHE=45°,答:篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°;(2)延长FE交CB的延长线于M,过点A作AG⊥FM于G,过点H作HN⊥AG于N,则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形,∴GM=AB,HN=EG,在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=,∴AB=BC tan60°=1×=,∴GM=AB=,在Rt△ANH中,∠FAN=∠FHE=45°,∴HN=AH sin45°=×=,∴EM=EG+GM=+,答:篮板底部点E到地面的距离是(+)米.【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线,构造直角三角形,记住锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)19.【分析】欲判断是否为勾股数,必须根据勾股数是正整数,同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.【解答】解:正确.理由:∵m表示大于1的整数,∴a,b,c都是正整数,且c是最大边,∵(2m)2+(m2﹣1)2=(m2+1)2,∴a2+b2=c2,即a、b、c为勾股数.当m=2时,可得一组勾股数3,4,5.【点评】本题考查了勾股数.解答此题要用到勾股数的定义,及勾股定理的逆定理:已知△ABC 的三边满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.20.【分析】(1)连结OB,设半径为r,则OE=r﹣2,构建方程即可解决问题.=BC⋅OF=OC⋅BE,求解即可.(2)根据S△BCO【解答】解:(1)连结OB,设半径为r,则OE=r﹣2,∵AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,∴BE=DE=4,在Rt△OBE中,∵OE2+BE2=OB2 ,∴(r﹣2)2+42=r2∴r=5.(2)∵r=5,∴AC=10,EC=8,BE=DE=4cm,∴BC==4(cm)∵OF⊥BC,=BC⋅OF=OC⋅BE∴S△BCO∴4⋅OF=5×4,∴OF=.【点评】本题考查圆周角定理,垂径定理,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)21.【分析】(1)依据统计图表中的数据,即可得到m,n的值,进而得出C组频数为20×0.05=1,E组频数为20×0.2=4;(2)依据中位数是第10和第11个数据的平均数,A,B两组的人数之和为12,即可得到中位数的位置;(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出2名学生恰好是乙和丙的结果数,然后根据概率公式求解.【解答】解:(1)n=3÷20=0.15,则m=1﹣(0.1+0.5+0.15+0.2)=0.05,∴C组频数为20×0.05=1,E组频数为20×0.2=4,补全图形如下:故答案为:0.05、0.15;(2)由题可得,中位数是第10和第11个数据的平均数,A,B两组的人数之和为12,∴这20名朋友一天行走的步数的中位数落在B组,故答案为:B;(3)画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中2名学生恰好是乙和丙的结果数为2,所以乙、丙被同时点赞的概率==.【点评】本题考查了列表法与树状图法以及中位数的计算;利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)22.【分析】(1)总费用=6000×A型车厢节数+8000×B型车厢节数.(2)根据题意列出不等式组,进而解答即可.【解答】解:(1)设用A型车厢x节,则用B型车厢(40﹣x)节,总运费为y元,依题意,得y=6000x+8000(40﹣x)=﹣2000x+320000;∵,∴x的取值范围是0≤x≤40且x为整数,∴函数关系式为y=﹣2000x+320000(0≤x≤40且x为整数)(2)由题意得:,解得:20≤x≤22,∵x为整数,∴运送方案有:A型车厢20节,B型车厢20节;A型车厢21节,B型车厢19节;A型车厢22节,B型车厢18节.【点评】此题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组.八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)23.【分析】(1)由比例中项知=,据此可证△AME∽△AEN得∠AEM=∠ANE,再证∠AEM=∠DCE可得答案;(2)先证∠ANE=∠EAC,结合∠ANE=∠DCE得∠DCE=∠EAC,从而知=,据此求得AE=8﹣=,由(1)得∠AEM=∠DCE,据此知=,求得AM=,由=求得MN=;(3)分∠ENM=∠EAC和∠ENM=∠ECA两种情况分别求解可得.【解答】解:(1)∵AE是AM和AN的比例中项∴=,∵∠A=∠A,∴△AME∽△AEN,∴∠AEM=∠ANE,∵∠D=90°,∴∠DCE+∠DEC=90°,∵EM⊥BC,∴∠AEM+∠DEC=90°,∴∠AEM=∠DCE,∴∠ANE=∠DCE;(2)∵AC与NE互相垂直,∴∠EAC+∠AEN=90°,∵∠BAC=90°,∴∠ANE+∠AEN=90°,∴∠ANE=∠EAC,由(1)得∠ANE=∠DCE,∴∠DCE=∠EAC,∴tan ∠DCE =tan ∠DAC ,∴=,∵DC =AB =6,AD =8,∴DE =,∴AE =8﹣=, 由(1)得∠AEM =∠DCE , ∴tan ∠AEM =tan ∠DCE ,∴=, ∴AM =,∵=,∴AN =, ∴MN =;(3)∵∠NME =∠MAE +∠AEM ,∠AEC =∠D +∠DCE , 又∠MAE =∠D =90°,由(1)得∠AEM =∠DCE , ∴∠AEC =∠NME ,当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 ①∠ENM =∠EAC ,如图2,∴∠ANE =∠EAC , 由(2)得:DE =; ②∠ENM =∠ECA , 如图3,过点E作EH⊥AC,垂足为点H,由(1)得∠ANE=∠DCE,∴∠ECA=∠DCE,∴HE=DE,又tan∠HAE===,设DE=3x,则HE=3x,AH=4x,AE=5x,又AE+DE=AD,∴5x+3x=8,解得x=1,∴DE=3x=3,综上所述,DE的长分别为或3.【点评】本题是相似三角形的综合问题,解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点.。
2020年中考数学真题试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.5的相反数是( )A .﹣5B .5C .15-D .15【答案】A . 【解析】试题分析:5的相反数是﹣5,故选A . 考点:相反数.2.下列图形中是轴对称图形的是( )A .B .C .D .【答案】D .考点:轴对称图形.3.计算53a a ÷结果正确的是( )A .aB .2a C .3a D .4a 【答案】B . 【解析】试题分析:53a a ÷=2a .故选B . 考点:同底数幂的除法.4.下列调查中,最适合采用抽样调查的是()A.对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查B.对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查C.对某校九年级三班学生视力情况的调查D.对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查【答案】D.考点:全面调查与抽样调查.5131的值在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间【答案】C.【解析】试题分析:∵3134,∴4131<5131在4和5之间,故选C.考点:估算无理数的大小.6.若x=﹣3,y=1,则代数式2x﹣3y+1的值为()A.﹣10 B.﹣8 C.4 D.10【答案】B.【解析】试题分析:∵x=﹣3,y=1,∴2x﹣3y+1=2×(﹣3)﹣3×1+1=﹣8,故选B.考点:代数式求值.7.若分式13x-有意义,则x的取值范围是()A.x>3 B.x<3 C.x≠3 D.x=3 【答案】C.【解析】 试题分析:∵分式13x -有意义,∴x ﹣3≠0,∴x ≠3;故选C . 考点:分式有意义的条件.8.已知△ABC ∽△DEF ,且相似比为1:2,则△ABC 与△DEF 的面积比为( ) A .1:4 B .4:1 C .1:2 D .2:1 【答案】A .考点:相似三角形的性质;图形的相似.9.如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =2,分别以A 、C 为圆心,AD 、CB 为半径画弧,交AB 于点E ,交CD 于点F ,则图中阴影部分的面积是( )A .42π-B .82π- C .82π- D .84π-【答案】C . 【解析】试题分析:∵矩形ABCD ,∴AD =CB =2,∴S 阴影=S 矩形﹣S 半圆=2×4﹣12π×22=8﹣2π,故选C . 考点:扇形面积的计算;矩形的性质. 10.下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有4颗,第②个图形中一共有11颗,第③个图形中一共有21颗,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中的颗数为( )A.116 B.144 C.145 D.150【答案】B.考点:规律型:图形的变化类.11.如图,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°,则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)()A.29.1米B.31.9米C.45.9米D.95.9米【答案】A.【解析】试题分析:作DE⊥AB于E点,作AF⊥DE于F点,如图,设DE=xm,CE=2.4xm,由勾股定理,得x2+(2.4x)2=1952,解得x≈75m,DE=75m,CE=2.4x=180m,EB=BC﹣CE=306﹣180=126m.∵AF∥DG,∴∠1=∠ADG=20°,tan∠1=tan∠ADG=sin20cos20oo=0.364.AF=EB=126m,tan∠1=DFAF=0.364,DF=0.364AF=0.364×126=45.9,AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m,故选A.考点:解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.12.若数a使关于x的不等式组212 2274xxx a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解,且使关于y的分式方程2222ay y+=--有非负数解,则所以满足条件的整数a的值之和是()A.3 B.1 C.0 D.﹣3【答案】A.考点:分式方程的解;一元一次不等式组的整数解;含待定字母的不等式(组);综合题.二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.据统计,2017年五一假日三天,重庆市共接待游客约为14300000人次,将数14300000用科学记数法表示为.【答案】1.43×107.【解析】试题分析:14300000=1.43×107,故答案为:1.43×107.考点:科学记数法—表示较大的数.14.计算:0|3|(4)-+-.【答案】4.【解析】试题分析:原式=3+1=4.故答案为:4.考点:实数的运算;零指数幂.15.如图,OA、OC是⊙O的半径,点B在⊙O上,连接AB、BC,若∠ABC=40°,则∠AOC= 度.【答案】80.考点:圆周角定理.16.某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩,并绘制了如图所示的折线统计图,这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是个.【答案】183.【解析】试题分析:由图可知,把数据从小到大排列的顺序是:180、182、183、185、186,中位数是183.故答案为:183.考点:折线统计图;中位数.17.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,当乙到达终点A时,甲还需分钟到达终点B.【答案】18.考点:函数的图象.18.如图,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折,得到△EFM,连接DM,交EF于点N,若点F是AB的中点,则△EMN的周长是.【答案】52102+.【解析】∴CG=2423⨯=823,∴EG=8223-=523,连接GM、GN,交EF于H,∵∠GFE=45°,∴△GHF是等腰直角三角形,∴GH=FH=2532=103,∴EH=EF﹣FH=10﹣103=2103,∴∠NDE=∠AEF,∴tan∠NDE=tan∠AEF=EN GHDE EH=,∴10310210= =12,∴EN=10,∴NH=EH﹣EN=103﹣102=106,Rt△GNH中,GN=22GH NH+ =221010()()36+=526,由折叠得:MN=GN,EM=EG,∴△EMN的周长=EN+MN+EM=102+526+523=52102+;故答案为:52102+.考点:翻折变换(折叠问题);正方形的性质;综合题.三、解答题(共5小题)19.如图,直线EF∥GH,点A在EF上,AC交GH于点B,若∠FAC=72°,∠ACD=58°,点D在GH上,求∠BDC的度数.【答案】50°.考点:平行线的性质.20.中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高,内容丰富,某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛,对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级,并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息,回答下列问题:(1)扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度,并将条形统计图补充完整.(2)此次比赛有四名同学活动满分,分别是甲、乙、丙、丁,现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛,请用列表法或画树状图法,求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.【答案】(1)72;(2)16.【解析】(2)画树状图,如图所示:共有12个可能的结果,选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个,∴P (选中的两名同学恰好是甲、丁)=212=16.考点:列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.21.计算:(1)2(2)()x x y x y --+ ; (2)2321(2)22a a a a a -++-÷++. 【答案】(1)24xy y --;(2)11a a +-.考点:分式的混合运算;单项式乘多项式;完全平方公式.22.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =ax +b (a ≠0)的图象与反比例函数k y x =(k ≠0)的图象交于A 、B 两点,与x 轴交于点C ,过点A 作AH ⊥x 轴于点H ,点O 是线段CH 的中点,AC =45cos ∠ACH =55,点B 的坐标为(4,n ) (1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△BCH 的面积.【答案】(1)16yx=-,y=﹣2x+4;(2)8.考点:反比例函数与一次函数的交点问题;解直角三角形.23.某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农今年收获樱桃至少多少千克?(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售,该果农去年樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%,销售均价与去年相同,该果农去年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价比去年减少了m%,该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求m 的值.【答案】(1)50;(2)12.5.考点:一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.24.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.(1)如图1,若AB=42,BE=5,求AE的长;(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD、CF,当AF=DF 时,求证:DC=BC.【答案】(1)1;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=22AB=4,根据勾股定理得到CE =22BE BC =3,于是得到结论;考点:全等三角形的判定与性质;勾股定理.25.对任意一个三位数n ,如果n 满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F (n ).例如n =123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F (123)=6.(1)计算:F (243),F (617);(2)若s ,t 都是“相异数”,其中s =100x +32,t =150+y (1≤x ≤9,1≤y ≤9,x ,y 都是正整数),规定:k =()()F s F t ,当F (s )+F (t )=18时,求k 的最大值. 【答案】(1)F (243)=9,F (617)=14;(2)54. 【解析】 试题分析:(1)根据F (n )的定义式,分别将n =243和n =617代入F (n )中,即可求出结论;(2)由s =100x +32、t =150+y 结合F (s )+F (t )=18,即可得出关于x 、y 的二元一次方程,解之即可得出x 、y 的值,再根据“相异数”的定义结合F (n )的定义式,即可求出F (s )、F (t )的值,将其代入k =()()F s F t 中,找出最大值即可. 试题解析:(1)F (243)=(423+342+234)÷111=9;F (617)=(167+716+671)÷111=14.考点:因式分解的应用;二元一次方程的应用;新定义;阅读型;最值问题;压轴题.26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2323333y x x =--与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴与x 轴交于点D ,点E (4,n )在抛物线上.(1)求直线AE 的解析式;(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC ,PE .当△PCE 的面积最大时,连接CD ,CB ,点K 是线段CB 的中点,点M 是CP 上的一点,点N 是CD 上的一点,求KM +MN +NK 的最小值;(3)点G 是线段CE 的中点,将抛物线2323333y x x =--沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′,y ′经过点D ,y ′的顶点为点F .在新抛物线y ′的对称轴上,是否存在一点Q ,使得△FGQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)3333y x =+;(2)3;(3)Q 的坐标为(3,42213-+)或′(3,42213--)或(3,23)或(3,235-).(3)由平移后的抛物线经过点D ,可得到点F 的坐标,利用中点坐标公式可求得点G 的坐标,然后分为QG =FG 、QG =QF ,FQ =FQ 三种情况求解即可.试题解析:(1)∵2323333y x x =--,∴y =33(x +1)(x ﹣3),∴A (﹣1,0),B (3,0).当x =4时,y =533,∴E (4,533). 设直线AE 的解析式为y =kx +b ,将点A 和点E 的坐标代入得:,解得:k =,b =,∴直线AE 的解析式为33y x =.设点P 的坐标为(x ,23233x x --),则点F (x ,233x -),则FP =(233x -)﹣(23233x x --)=2343x x -+,∴△EPC 的面积=12×(2343x x -+)×4=2238333x x -+,∴当x =2时,△EPC 的面积最大,∴P (2,﹣3). 如图2所示:作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ,连接G 、H 交CD 和CP 与N 、M .∵K 是CB 的中点,∴k (323).∵点H 与点K 关于CP 对称,∴点H 的坐标为(32,﹣332). ∵点G 与点K 关于CD 对称,∴点G (0,0),∴KM +MN +NK =MH +MN +GN . 当点O 、N 、M 、H 在条直线上时,KM +MN +NK 有最小值,最小值=GH ,∴GH =22333()()22=3,∴KM +MN +NK 的最小值为3.考点:二次函数综合题;最值问题;分类讨论;存在型;压轴题.。
专项训练5-----图形规律问题学校 班级 姓名1.下列各图形都是由同样大小的圆和正三角形按一定的规律组成.其中,第①个图形由8个圆和1个正三角形组成,第②个图形由16个圆和4个正三角形组成,第③个图形由24个圆和9个正三角形组成,……则第几个图形中圆和正三角形的个数相等.( ) .A . 7B .8C . 9D . 102. 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案,按照这样的规律摆下去,第10个图案需要的黑色五角星的个数是( )A 、15B 、16C 、17D 、183.如图,是一组按照某种规律摆放而成的图案,则图5中三角形的个数是( ).A. 8B.9C.16D.174.用棋子摆出下列一组“口”字,按照这种方法摆下去,则摆第13个“口”字需用棋子( )A .48枚B .44枚C .52枚D . 56枚5. 观察下列图形的构成规律,根据此规律,则第7个图形中有( )个白色小三角形.第1个图 第2 个图 第3个图 第4个图 A .24 B .28 C .30D .34第2个“口”第1个“口”第3个“口”………………6.如图,用菱形纸片按规律依次拼成下列图案.由图知,第1个图案中有5个菱形纸片;第2个图案中有9个菱形纸片;第3个图形中有13个菱形纸片.按此规律,第6个图案中有( )个菱形纸片.A .21B .23C .25D .297.下列图形是不同大小的三角形按一定的规律所组成的,其中第①个图形中一共有5个三角形,第②个图形中一共有17个三角形,第③个图形中一共有53,…,按此规律排列下去,第④图形中三角形个数为( )A .121 B .131 C . 151 D .1618.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第8个图形需要黑色棋子的个数是( )A.48B.80C.90D.869.如图,下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案,则图⑧中圆点的个数是( )A .64B .65C .66D .6710.下列图案都是由同样大小的小正方形按一定的规律组成的,其中第1个图形中有5个小正方形,第2个图形有13个小正方形,第3个图形有25个小正方形,…,按此规律,则第8个图形中小正方形的个数为( ).A .181B .145C . 100D .88…图① 图② 图③ 图④ (1)(2)…(3)11.如图,下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案,则图○8中圆点的个数是()A、64B、65C、66D、6712.下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成:拼搭第1个图案需4根小木棒,拼塔第2个图案需10根小木棒,…,依此规律,拼成第6个图案小木棒()A. 36根 B. 48根 C. 54根 D. 64根13.如图,下列图案均是长度相同的火柴并按一定的规律拼接而成:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,第3个图案需21根火柴,…,依此规律,第8个图案需()根火柴……第1个图第2个图第3个图第4个图A.90 B.91 C.92 D.9314.如图,每个图案都由若干个“●”组成,其中第①个图案中有7个“●”,第②个图案中有13个“●”,…,则第⑨个图案中“●”的个数为()图①图②图③图④A.57 B.73 C.91 D.11115.用火柴棒按如下方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第8个图形需火柴棒的根数是( )A . 48根B . 50根C .52根D .54根16.某公园里鲜花的摆放如图所示,第①个图形中有3盆鲜花,第②个图形中有6盆鲜花, 第③个图形中有11盆鲜花,……,按此规律,则第⑦个图形中的鲜花盆数为( )① ② ③④A .37B .38C .50D .5117.下列是用火柴棒拼成的一组图形,第①个图形中有3根火柴棒,第②个图形中有9根火柴棒,第②个图形中有18根火柴棒,……依此类推,则第5个图形中火柴棒根数是( )A .45B .46C .47D .4818. 下列图形都是由若干个全等的等边三角形按一定规律摆放而成,依此规律,则第10个图形中等边三角形的个数是A .28B .32C .36D .40第1个图第2个图第3个图 ……第4个图第三个图形第二个图形第一个图形19.下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,……,依此规律,第五个图形中三角形的个数是( )A .22B .24C .26D .2820.下列图形都是用同样大小的按一定规律组成的,则第(8)个图形中共有( )(1) (2) (3) (4) A .80个B .73个C .64个D .72个21.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有1个空心..小圆圈,第②个图形中一共有6个空心..小圆圈,第③个图形中一共有13个空心..小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中空心..小圆圈的个数为( ▲ ).A .61B .63C .76D .78 22.如图,每个图形都由同样大小的“”按照一定的规律组成,其中第1个图形有1个“”,第2个图形有2个“”,第3个图形有5个“”,…,则第6个图形中“”的个数为( )A .23B .24C .25D .2623.下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成,图①中有4个黑色棋子,图②中有7个黑色棋子,图③中有10个黑色棋子,…,依次规律,图⑨中黑色棋子的个数是().……A.23 B.25 C.26 D.2824.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为()A.51 B.70 C.76 D.8125.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1的正方形有9个,第(2)个图形中面积为1的正方形有14个,…,按此规律.则第(12)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A.72 B.64 C.54 D.5026.如图,每一个图形都是由正方形按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有9个正方形,第②个图形中一共有17个正方形,第③个图形中一共有25个正方形,……,按此规律排列,则第⑧个图形中正方形的个数为().①②③A.38 B.44 C.65 D.73。
重难点05 几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型,也是难点所在.几何综合题的难度都比较大,所占分值也比较重,题目数量一般有两题左右,其中一题一般为三角型、四边形综合;另一题通常为圆的综合;它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大,学生一般都感觉难做,主要是因为这种类型问题的综合性较强,涉及的知识点或者说考点较多,再加上现在比较热门的动点问题、函数问题,这就导致了几何综合题的难度再次升级,因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力,从不同的角度,运用不同的知识去解决同一个问题.【满分技巧】一.熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题,首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识,尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)、圆等相关知识.二.掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕1.分析法是我们最常用的解决问题的方法,也就是从问题出发,执果索因,去寻找解决问题所需要的条件,依次向前推,直至已知条件;例如,我们要证明某两个三角形全等,先看看要证明全等,需要哪些条件,哪些条件已知了,还缺少哪些条件,然后再思考要证缺少的条件,又需要哪些条件,依次向前推,直到所有的条件都已知为止即可.2.综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论,适合比较简单的问题;3.“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方,不知道如何向下分析时,可以从已知条件出发看看能得到什么结论,把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.三.注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决,我们还要注意运用数学思想方法,这样会大大帮助我们解决问题,或者简化我们解决问题的过程,加快我们解决问题的速度,毕竟考场上时间是非常宝贵的.常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等.【限时检测】(建议用时:60分钟)1. (2019 湖南省郴州市)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把△ADE沿DE 翻折,点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把△BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H.(1)求证:△A1DE△△B1EH;(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断△DEF的形状,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,点G为△DEF内一点,且△DGF=150°,试探究DG,EG,FG的数量关系.【解析】(1)证明:由折叠的性质可知:△DAE=△DA1E=90°,△EBH=△EB1H=90°,△AED=△A1ED,△BEH =△B1EH,△△DEA1+△HEB1=90°.又△△HEB1+△EHB1=90°,△△DEA1=△EHB1,△△A1DE△△B1EH;(2)结论:△DEF是等边三角形;理由如下:△直线MN是矩形ABCD的对称轴,△点A1是EF的中点,即A1E=A1F,在△A1DE和△A1DF中△△A1DE△△A1DF(SAS),△DE=DF,△FDA1=△EDA1,又△△ADE△△A1DE,△ADF=90°.△△ADE=△EDA1=△FDA1=30°,△△EDF=60°,△△DEF是等边三角形;(3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2=GE2,理由如下:由(2)可知△DEF是等边三角形;将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置,如解图(1),△G'F=GE,DG'=DG,△GDG'=60°,△△DGG'是等边三角形,△GG'=DG,△DGG'=60°,△△DGF=150°,△△G'GF=90°,△G'G2+GF2=G'F2,△DG2+GF2=GE2,2. (2019 江西省)在图1,2,3中,已知△ABCD,△ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE 为边向上作菱形AEFG,且△EAG=120°.(1)如图1,当点E与点B重合时,△CEF=°;(2)如图2,连接AF.△填空:△F AD△EAB(填“>”,“<“,“=”);△求证:点F在△ABC的平分线上;(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求的值.【解析】(1)△四边形AEFG是菱形,△△AEF=180°﹣△EAG=60°,△△CEF=△AEC﹣△AEF=60°,故答案为:60°;(2)△△四边形ABCD是平行四边形,△△DAB=180°﹣△ABC=60°,△四边形AEFG是菱形,△EAG=120°,△△F AE=60°,△△F AD=△EAB,故答案为:=;△作FM△BC于M,FN△BA交BA的延长线于N,则△FNB=△FMB=90°,△△NFM=60°,又△AFE=60°,△△AFN=△EFM,△EF=EA,△F AE=60°,△△AEF为等边三角形,△F A=FE,在△AFN和△EFM中,,△△AFN△△EFM(AAS)△FN=FM,又FM△BC,FN△BA,△点F在△ABC的平分线上;(3)△四边形AEFG是菱形,△EAG=120°,△△AGF=60°,△△FGE=△AGE=30°,△四边形AEGH为平行四边形,△GE△AH,△△GAH=△AGE=30°,△H=△FGE=30°,△△GAN=90°,又△AGE=30°,△GN=2AN,△△DAB=60°,△H=30°,△△ADH=30°,△AD=AH=GE,△四边形ABCD为平行四边形,△BC=AD,△BC=GE,△四边形ABEH为平行四边形,△HAE=△EAB=30°,△平行四边形ABEN为菱形,△AB=AN=NE,△GE=3AB,△=3.3. (2019 浙江省宁波市)如图1,△O经过等边△ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,BF△EC交AE于点F.(1)求证:BD=BE.(2)当AF:EF=3:2,AC=6时,求AE的长.(3)设=x,tan△DAE=y.△求y关于x的函数表达式;△如图2,连结OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.【解析】证明:(1)△△ABC是等边三角形,△△BAC=△C=60°,△△DEB=△BAC=60°,△D=△C=60°,△△DEB=△D,△BD=BE;(2)如图1,过点A作AG△BC于点G,△△ABC是等边三角形,AC=6,△BG=,△在Rt△ABG中,AG=BG=3,△BF△EC,△BF△AG,△,△AF:EF=3:2,△BE=BG=2,△EG=BE+BG=3+2=5,在Rt△AEG中,AE=;(3)△如图1,过点E作EH△AD于点H,△△EBD=△ABC=60°,△在Rt△BEH中,,△EH=,BH=,△,△BG=xBE,△AB=BC=2BG=2xBE,△AH=AB+BH=2xBE+BE=(2x+)BE,△在Rt△AHE中,tan△EAD=,△y=;△如图2,过点O作OM△BC于点M,设BE=a,△,△CG=BG=xBE=ax,△EC=CG+BG+BE=a+2ax,△EM=EC=a+ax,△BM=EM﹣BE=ax﹣a,△BF△AG,△△EBF△△EGA,△,△AG=,△BF=,△△OFB的面积=,△△AEC 的面积=,△△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍,△,△2x 2﹣7x +6=0,解得:, △,探究问题4. (2019 辽宁省沈阳市)思维启迪:(1)如图1,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ,连接BC ,取BC 的中点P (点P 可以直接到达A 点),利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ,此时测得200CD =米,那么A ,B 间的距离是 米.思维探索:(2)在ABC ∆和ADE ∆中,AC BC =,AE DE =,且AE AC <,90ACB AED ∠=∠=︒,将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转,把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC 的两侧),设旋转角为α,连接BD ,点P 是线段BD 的中点,连接PC ,PE .△如图2,当ADE ∆在起始位置时,猜想:PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ; △如图3,当90α=︒时,点D 落在AB 边上,请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系,并证明你的结论; △当150α=︒时,若3BC =,DE l =,请直接写出2PC 的值.【解析】(1)解://CD AB Q ,C B ∴∠=∠, 在ABP ∆和DCP ∆中,BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩,()ABP DCP SAS ∴∆≅∆,DC AB ∴=. 200AB =Q 米. 200CD ∴=米,故答案为:200.(2)△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =,PC PE ⊥. 理由如下:如解图1,延长EP 交BC 于F , 同(1)理,可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆,PF PE ∴=,BF DE =,又AC BC =Q ,AE DE =,FC EC ∴=,又90ACB ∠=︒Q ,EFC ∴∆是等腰直角三角形,EP FP =Q ,PC PE ∴=,PC PE ⊥.△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =,PC PE ⊥.理由如下:如解图2,作//BF DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF , 同△理,可知()FBP EDP SAS ∆≅∆, BF DE ∴=,12PE PF EF ==,DE AE =Q , BF AE ∴=,Q 当90α=︒时,90EAC ∠=︒,//ED AC ∴,//EA BC //FB AC Q ,90FBC ∠=, CBF CAE ∴∠=∠,在FBC ∆和EAC ∆中,BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()FBC EAC SAS ∴∆≅∆,CF CE ∴=,FCB ECA ∠=∠, 90ACB ∠=︒Q , 90FCE ∴∠=︒,FCE ∴∆是等腰直角三角形, EP FP =Q ,CP EP ∴⊥,12CP EP EF ==.△如解图2,作//BF DE ,交EP 延长线于点F ,连接CE 、CF ,过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点, 当150α=︒时,由旋转旋转可知,150CAE ∠=︒,DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒,150FBC EAC α∴∠=∠==︒,同△可得()FBP EDP SAS ∆≅∆,同△FCE ∆是等腰直角三角形,CP EP ⊥,CP EP ==, 在Rt AHE ∆中,30EAH ∠=︒,1AE DE ==,12HE ∴=,AH =,又3AC AB ==Q ,3AH ∴=,22210EC AH HE ∴=+=+2212PC EC ∴==.动点问题5. (2019 湖南省衡阳市)如图,在等边△ABC 中,AB =6cm ,动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE△AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形;(2)是否存在某一时刻t,使点F在△ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;(3)求DE的长;(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B′PM,连接AB′,当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.【解析】(1)△△ABC是等边三角形,△△B=60°,△当BQ=2BP时,△BPQ=90°,△6+t=2(6﹣t),△t=3,△t=3时,△BPQ是直角三角形.(2)存在.理由:如图1中,连接BF交AC于M.△BF平分△ABC,BA=BC,△BF△AC,AM=CM=3cm,△EF△BQ,△△EFM=△FBC=△ABC=30°,△EF=2EM,△t=2•(3﹣t),解得t=3.(3)如图2中,作PK△BC交AC于K.△△ABC是等边三角形,△△B=△A=60°,△PK△BC,△△APK=△B=60°,△△A=△APK=△AKP=60°,△△APK是等边三角形,△P A=PK,△PE△AK,△AE=EK,△AP=CQ=PK,△PKD=△DCQ,△PDK=△QDC,△△PKD△△QCD(AAS),△DK=DC,△DE=EK+DK=(AK+CK)=AC=3(cm).(4)如图3中,连接AM,AB′△BM=CM=3,AB=AC,△AM△BC,△AM==3,△AB′≥AM﹣MB′,△AB′≥3﹣3,△AB′的最小值为3﹣3.6. (2019 江苏省扬州市)如图,四边形ABCD是矩形,AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC,△G=90°.点M在线段AB上,且AM=a,点P沿折线AD﹣DG运动,点Q沿折线BC﹣CG运动(与点G不重合),在运动过程中始终保持线段PQ△AB.设PQ与AB之间的距离为x.(1)若a=12.△如图1,当点P在线段AD上时,若四边形AMQP的面积为48,则x的值为;△在运动过程中,求四边形AMQP的最大面积;(2)如图2,若点P在线段DG上时,要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.【解析】(1)解:△P在线段AD上,PQ=AB=20,AP=x,AM=12,四边形AMQP的面积=(12+20)x=48,解得:x=3;故答案为:3;△当P,在AD上运动时,P到D点时四边形AMQP面积最大,为直角梯形,△0<x≤10时,四边形AMQP面积的最大值=(12+20)10=160,当P在DG上运动,10<x≤20,四边形AMQP为不规则梯形,作PH△AB于M,交CD于N,作GE△CD于E,交AB于F,如图2所示:则PM=x,PN=x﹣10,EF=BC=10,△△GDC是等腰直角三角形,△DE=CE,GE=CD=10,△GF=GE+EF=20,△GH=20﹣x,由题意得:PQ△CD,△△GPQ△△GDC,△=,即=,解得:PQ=40﹣2x,△梯形AMQP的面积=(12+40﹣2x)×x=﹣x2+26x=﹣(x﹣13)2+169,△当x=13时,四边形AMQP的面积最大=169;(2)解:P在DG上,则10≤x≤20,AM=a,PQ=40﹣2x,梯形AMQP的面积S=(a+40﹣2x)×x=﹣x2+x,对称轴为:x=10+,△0≤x≤20,△10≤10+≤15,对称轴在10和15之间,△10≤x≤20,二次函数图象开口向下,△当x=20时,S最小,△﹣202+×20≥50,△a≥5;综上所述,a的取值范围为5≤a≤20.7. (2019 山东省济宁市)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE的长;(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且△DMN=△DAM,设AM=x,DN =y.△写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;△是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)如图1中,△四边形ABCD是矩形,△AD=BC=10,AB=CD=8,△△B=△BCD=90°,由翻折可知:AD=AF=10.DE=EF,设EC=x,则DE=EF=8﹣x.在Rt△ABF中,BF==6,△CF=BC﹣BF=10﹣6=4,在Rt△EFC中,则有:(8﹣x)2=x2+42,△x=3,△EC=3.(2)△如图2中,△AD△CG,△=,△=,△CG=6,△BG=BC+CG=16,在Rt△ABG中,AG==8,在Rt△DCG中,DG==10,△AD=DG=10,△△DAG=△AGD,△△DMG=△DMN+△NMG=△DAM+△ADM,△DMN=△DAM,△△ADM=△NMG,△△ADM△△GMN,△=,△=,△y=x2﹣x+10.当x=4时,y有最小值,最小值=2.△存在.有两种情形:如图3﹣1中,当MN=MD时,△△MDN=△GMD,△DMN=△DGM,△△DMN△△DGM,△=,△MN=DM,△DG=GM=10,△x=AM=8﹣10.如图3﹣2中,当MN=DN时,作MH△DG于H.△MN=DN,△△MDN=△DMN,△△DMN=△DGM,△△MDG=△MGD,△MD=MG,△BH△DG,△DH=GH=5,由△GHM△△GBA,可得=,△=,△MG=,△x=AM=8﹣=.综上所述,满足条件的x的值为8﹣10或.8. (2019 山东省青岛市)已知:如图,在四边形ABCD中,AB△CD,△ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,OD垂直平分A C.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点P作PE△AB,交BC于点E,过点Q作QF△AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:(1)当t为何值时,点E在△BAC的平分线上?(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)连接OE,OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OE△OQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)在Rt△ABC中,△△ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,△AC==6(cm),△OD垂直平分线段AC,△OC=OA=3(cm),△DOC=90°,△CD△AB,△△BAC=△DCO,△△DOC=△ACB,△△DOC△△BCA,△==,△==,△CD=5(cm),OD=4(cm),△PB=t,PE△AB,易知:PE=t,BE=t,当点E在△BAC的平分线上时,△EP△AB,EC△AC,△PE=EC,△t=8﹣t,△t=4.△当t为4秒时,点E在△BAC的平分线上.(2)如图,连接OE,PC.S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE﹣S△OEC)=•(4﹣t)•3+[•3•(8﹣t)+•(8﹣t)•t﹣•3•(8﹣t)=﹣t2+t+16(0<t<5).(3)存在.△S=﹣(t﹣)2+(0<t<5),△t=时,四边形OPEG的面积最大,最大值为.(4)存在.如图,连接OQ.△OE△OQ,△△EOC+△QOC=90°,△△QOC+△QOG=90°,△△EOC=△QOG,△tan△EOC=tan△QOG,△=,△=,整理得:5t2﹣66t+160=0,解得t=或10(舍弃)△当t=秒时,OE△OQ.9. (2019 四川省绵阳市) 如图,在以点O为中心的正方形ABCD中,AD=4,连接AC,动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C停止.在运动过程中,△ADE的外接圆交AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF,将△EFG沿EF翻折,得到△EFH.(1)求证:△DEF是等腰直角三角形;(2)当点H恰好落在线段BC上时,求EH的长;(3)设点E运动的时间为t秒,△EFG的面积为S,求S关于时间t的关系式.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAC=∠CAB=45°,∴∠FDE=∠CAB,∠DFE=∠DAC,∴∠FDE=∠DFE=45°,∴∠DEF=90°,∴△DEF是等腰直角三角形;(2)设OE=t,连接OD,∴∠DOE=∠DAF=90°,∵∠OED=∠DFA,∴△DOE∽△DAF,∴OEAF=ODAD=22,∴AF=2t ,又∵∠AEF=∠ADG,∠EAF=∠DAG,∴△AEF∽△ADG,∴AEAD= AF AG,∴AG · AE=AD · AF=42t ,又∵AE=OA+OE=2 2 +t,∴AG=42t22+t,∴EG=AE-AG=t2+822+t,当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°,∴△ADF∽△BFH,∴FHFD=FBAD=4-2t4,∵AF∥CD,∴FGDF=2t4+2t,∴4-2t4=2t4+2t,解得:t1=10 - 2 ,t2=10 + 2 (舍去),∴EG=EH=t2+822+t =(10-2)2+822+10-2= 310 - 5 2 ;(3)过点F作FK⊥AC于点K,由(2)得EG=t2+822+t,∵DE=EF,∠DEF=90°,∴∠DEO=∠EFK,∴△DOE≌△EKF(AAS),∴FK=OE=t,∴S△EFG=12EG · FK =t3+8t42+2t.10. (2019 四川省资阳市)在矩形ABCD中,连结AC,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着B→A→C 的路径运动,运动时间为t(秒).过点E作EF△BC于点F,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(1)如图,当AB=BC=8时,△若点H在△ABC的内部,连结AH、CH,求证:AH=CH;△当0<t≤8时,设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式;(2)当AB=6,BC=8时,若直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分,求t的值.【解析】(1)△如图1中,△四边形EFGH是正方形,AB=BC,△BE=BG,AE=CG,△BHE=△BGH=90°,△△AEH=△CGH=90°,△EH=HG,△△AEH△△CGH(SAS),△AH=CH.△如图1中,当0<t≤4时,重叠部分是正方形EFGH,S=t2.如图2中,当4<t≤8时,重叠部分是五边形EFGMN,S=S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM=×8×8﹣2×(8﹣t)2=﹣t2+32t﹣32.综上所述,S=.(2)如图3﹣1中,延长AH交BC于M,当BM=CM=4时,直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.△EH△BM,△=,△=,△t=.如图3﹣2中,延长AH交CD于M交BC的延长线于K,当CM=DM=3时,直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分,易证AD=CK=8,△EH△BK,△=,△=,△t=.如图3﹣3中,当点E在线段AC上时,延长AH交CD于M,交BC的延长线于N.当CM=DM时,直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分,易证AD=CN=8.在Rt△ABC中,AC==10,△EF△AB,△=,△=,△EF=(16﹣t),△EH△CN,△=,△=,解得t=.综上所述,满足条件的t的值为s或s或s.11. (2019 天津市)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,△ABO=30°.矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.(△)如图△,求点E的坐标;(△)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C′O′D′E′,点C,O,D,E的对应点分别为C′,O′,D′,E′.设OO′=t,矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S.△如图△,当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时,C′E′,E′D′分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;△当≤S≤5时,求t的取值范围(直接写出结果即可).【解析】(△)△点A(6,0),△OA=6,△OD=2,△AD=OA﹣OD=6﹣2=4,△四边形CODE是矩形,△DE△OC,△△AED=△ABO=30°,在Rt△AED中,AE=2AD=8,ED===4,△OD=2,△点E的坐标为(2,4);(△)△由平移的性质得:O′D′=2,E′D′=4,ME′=OO′=t,D′E′△O′C′△OB,△△E′FM=△ABO=30°,△在Rt△MFE′中,MF=2ME′=2t,FE′===t,△S△MFE′=ME′•FE′=×t×t=,△S矩形C′O′D′E′=O′D′•E′D′=2×4=8,△S=S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′=8﹣,△S=﹣t2+8,其中t的取值范围是:0<t<2;△当S=时,如图△所示:O'A=OA﹣OO'=6﹣t,△△AO'F=90°,△AFO'=△ABO=30°,△O'F=O'A=(6﹣t)△S=(6﹣t)×(6﹣t)=,解得:t=6﹣,或t=6+(舍去),△t=6﹣;当S=5时,如图△所示:O'A=6﹣t,D'A=6﹣t﹣2=4﹣t,△O'G=(6﹣t),D'F=(4﹣t),△S=[(6﹣t)+(4﹣t)]×2=5,解得:t=,△当≤S≤5时,t的取值范围为≤t≤6﹣.12. (2019 四川省南充市)如图,在正方形ABCD 中,点E 是AB 边上的一点,以DE 为边作正方形DEFG ,DF 与BC 交于点M ,延长EM 交GF 于点H ,EF 与GB 交于点N ,连接CG.(1)求证:CD△CG ;(2)若tan△MEN=31,求EMMN 的值;(3)已知正方形ABCD 的边长为1,点E 在运动过程中,EM 的长能否为21?请说明理由.【解析】(1)证明:在正方形ABCD ,DEFG 中,DA=DC ,DE=DG ,△ADC=△EDG=△A=90°(1分)△△ADC -△EDC=△EDG -△EDC ,即△ADE=△CDG ,△△ADE△△CDG (SAS )(2分)△△DCG=△A=90°,△CD△CG (3分)(2)解:△CD△CG ,DC△BC ,△G 、C 、M 三点共线△四边形DEFG 是正方形,△DG=DE ,△EDM=△GDM=45°,又△DM=DM△△EDM△△GDM ,△△DME=△DMG (4分)又△DMG=△NMF ,△△DME=△NMF ,又△△EDM=△NFM=45°△△DME△△FMN ,△DMFM ME MN =(5分) 又△DE△HF ,△DM FM ED HF =,又△ED=EF ,△EFHF ME MN =(6分) 在Rt△EFH 中,tan△HEF=31=EF HF ,△31=ME MN (7分) (3)设AE=x ,则BE=1-x ,CG=x ,设CM=y ,则BM=1-y ,EM=GM=x+y (8分)在Rt△BEM 中,222EM BM BE =+,△222)()1()1(y x y x +=-+-, 解得11+-=x x y (9分) △112++=+=x x y x EM ,若21=EM ,则21112=++x x , 化简得:0122=+-x x ,△=-7<0,△方程无解,故EM 长不可能为21. 13. (2019 浙江省台州市)如图,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,P 是BA 延长线上的一点,连接PC 交AD 于点F ,AP =FD .(1)求的值;(2)如图1,连接EC ,在线段EC 上取一点M ,使EM =EB ,连接MF ,求证:MF =PF ;(3)如图2,过点E 作EN △CD 于点N ,在线段EN 上取一点Q ,使AQ =AP ,连接BQ ,BN .将△AQB 绕点A 旋转,使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上.请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上,并说明理由.【解析】(1)设AP =FD =a ,△AF =2﹣a ,△四边形ABCD 是正方形,△AB △CD ,△△AFP △△DFC ,△,即,△AP=FD=﹣1,△AF=AD﹣DF=3﹣△=(2)在CD上截取DH=AF△AF=DH,△P AF=△D=90°,AP=FD,△△P AF△△HDF(SAS),△PF=FH,△AD=CD,AF=DH,△FD=CH=AP=﹣1,△点E是AB中点,△BE=AE=1=EM,△PE=P A+AE=,△EC2=BE2+BC2=1+4=5,△EC=,△EC=PE,CM=﹣1,△AP△CD,△△P=△PCD,△△ECP=△PCD,且CM=CH=﹣1,CF=CF,△△FCM△△FCH(S AS),△FM=FH,△FM=PF.(3)若点B'在BN上,如图,以A原点,AB为y轴,AD为x轴建立平面直角坐标系,△EN△AB,AE=BE△AQ=BQ=AP=﹣1由旋转的性质可得AQ=AQ'=﹣1,AB=AB'=2,Q'B'=QB=﹣1,△点B(0,﹣2),点N(2,﹣1)△直线BN解析式为:y=x﹣2设点B'(x,x﹣2)△AB'==2△x=△点B'(,﹣)△点Q'(﹣1,0)△B'Q'=≠﹣1△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上.。
2020年天津市中考数学模拟试卷(典型考点整理)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分)下列四个数,表示无理数的是()A.sin30°B.πC.D.2.(3分)下列四种标志图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.3.(3分)下列各式正确的是()A.6a2﹣5a2=a2B.(2a)2=2a2C.﹣2(a﹣1)=﹣2a+1D.(a+b)2=a2+b24.(3分)如图所示,直线a、b、c、d的位置如图所示,若∠1=125°,∠2=125°,∠3=135°,则∠4的度数为()A.45°B.55°C.60°D.65°5.(3分)某工艺品厂草编车间共有16名工人,为了了解每个工人的日均生产能力,随机调查了某天每个工人的生产件数,获得数据如下表:生产件数(件)101112131415人数(人)154321则这一天16名工人生产件数的众数和中位数分别是()A.5件、11件B.12件、11件C.11件、12件D.15件、14件6.(3分)如图,▱ABCD的周长为22m,对角线AC、BD交于点O,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE的周长为()A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm7.(3分)一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形,则这个圆锥的侧面积等于()A.36 πcm2B.24πcm2C.18πcm2D.12 πcm28.(3分)如图,菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上,对角线AC、BD交于原点O,DF ⊥AB交AC于点G,反比例函数y=(x>0)经过线段DC的中点E,若BD=4,则AG的长为()A.B.+2C.2+1D.+1二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡相应位置上)9.(3分)要使有意义,则实数x的取值范围是.10.(3分)若x=﹣1是关于x的方程2x+3m﹣7=0的解,则m的值为.11.(3分)青盐铁路(青岛一盐城),是我国“八纵八横”高速铁路网中第一纵“沿海通道”的一部分,全长428.752千米.数据428.752千米用科学记数法表示为米.12.(3分)在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球,其中有a个白球和3个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右,则a的值约为.13.(3分)边长为a、b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为.14.(3分)如图,CE、BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点,则DG的长为.15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1.将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD,再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE,连接DE,则图中阴影部分的面积是.16.(3分)如图,已知△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2.D为BC边一点,且BD:DC=1:2.以D为一个点作等边△DEF,且DE=DC连接AE,将等边△DEF绕点D旋转一周,在整个旋转过程中,当AE取得最大值时AF的长为.三、解答题(本大题共有11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来:18.(6分)先化简,再求值:(x﹣3)2+2(x﹣2)(x+7)﹣(x+2)(x﹣2),其中x2+2x﹣3=0.19.(8分)已知关于x方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1,x2(1)求m的取值范围;(2)若x1=2x2,求m的值.20.(8分)某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查,要求每名学生必选且只能选一项,现随机抽查了m名学生,并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图,请结合以上信息解答下列问题:(1)求m的值;(2)请补全上面的条形统计图;(3)在图2中,“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为多少度?(4)已知该校共有1200名学生,请你估计该校约有多少名学生最喜爱足球活动?21.(8分)“2019大洋湾盐城马拉松”的赛事共有三项:A,“全程马拉松”、B,“半程马拉松”、C.“迷你健身跑”,小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组.(1)小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率为;(2)求小明和小刚被分配到不同项目组的概率.22.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AB=2,求△OEC的面积.23.(10分)某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场.现由甲、乙两个工厂来加工生产,已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍,并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天.(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品?(2)若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元,乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元,至少应安排甲工厂加工生产多少天?24.(10分)如图,以AB为直径作半圆O,点C是半圆上一点,∠ABC的平分线交⊙O于E,D为BE延长线上一点,且DE=FE.(1)求证:AD为⊙O切线;(2)若AB=20,tan∠EBA=,求BC的长.25.(10分)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:(1)当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地千米;(2)当轿车与货车相遇时,求此时x的值;(3)在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值.26.(12分)【操作发现】如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB =∠COD=45°,连接AC,BD交于点M.①AC与BD之间的数量关系为;②∠AMB的度数为;【类比探究】如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请计算的值及∠AMB的度数;【实际应用】如图(3),是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE 组成的图形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠A=∠D=30°且D、E、B在同一直线上,CE=1,BC=,求点A、D之间的距离.27.(14分)如图,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C直线y=﹣x+4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式;(2)过点A的直线交抛物线于点M,交直线BC于点N.①点N位于x轴上方时,是否存在这样的点M,使得AM:NM=5:3?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时,请求出点M的横坐标.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(3分)下列四个数,表示无理数的是()A.sin30°B.πC.D.【分析】无限不循环小数叫做无理数,根据无理数的定义逐个排除即可.【解答】解:A、sin30°=,不是无理数,故本选项不符合题意;B、π是无限不循环小数,是无理数,符合题意;C、=4,不是无理数,故本选项不符合题意;D.=﹣2,不是无理数,故本选项不符合题意;故选:B.【点评】本题考查了无理数,正确理解无理数的意义是解题的关键.2.(3分)下列四种标志图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形;B、是轴对称图形,是中心对称图形;C、不是轴对称图形,是中心对称图形;D、不是轴对称图形,不是中心对称图形.故选:B.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.3.(3分)下列各式正确的是()A.6a2﹣5a2=a2B.(2a)2=2a2C.﹣2(a﹣1)=﹣2a+1D.(a+b)2=a2+b2【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、单项式乘多项式法则及完全平方公式逐一判断即可得.【解答】解:A.6a2﹣5a2=a2,正确;B.(2a)2=4a2,错误;C.﹣2(a﹣1)=﹣2a+2,错误;D.(a+b)2=a2+2ab+b2,错误;故选:A.【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方,解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方、单项式乘多项式法则及完全平方公式.4.(3分)如图所示,直线a、b、c、d的位置如图所示,若∠1=125°,∠2=125°,∠3=135°,则∠4的度数为()A.45°B.55°C.60°D.65°【分析】先依据同位角相等,判定a∥b,再根据平行线的性质,即可得出∠4=45°.【解答】解:如图所示,∵∠1=125°,∠2=125°,∴a∥b,∴∠4=∠5,又∵∠3=135°,∴∠5=45°,∴∠4=45°,故选:A.【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用,能求出a∥b是解此题的关键.5.(3分)某工艺品厂草编车间共有16名工人,为了了解每个工人的日均生产能力,随机调查了某天每个工人的生产件数,获得数据如下表:生产件数(件)101112131415人数(人)154321则这一天16名工人生产件数的众数和中位数分别是()A.5件、11件B.12件、11件C.11件、12件D.15件、14件【分析】根据众数和中位数的概念求解可得.【解答】解:这组数据的众数为11件,中位数为=12(件),故选:C.【点评】此题考查了众数与中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),众数是一组数据中出现次数最多的数.6.(3分)如图,▱ABCD的周长为22m,对角线AC、BD交于点O,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE的周长为()A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD,AD=BC,AO=CO,可得AD+CD=11cm,由线段垂直平分线的性质可得AE=CE,即可求△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11cm.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,又∵EO⊥AC,∴AE=CE,∵▱ABCD的周长为22cm,∴2(AD+CD)=22cm∴AD+CD=11cm∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11cm故选:D.【点评】本题考查了平行四边形的性质,线段垂直平分线的性质,熟练运用平行四边形的性质是本题的关键.7.(3分)一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形,则这个圆锥的侧面积等于()A.36 πcm2B.24πcm2C.18πcm2D.12 πcm2【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm,底面圆的半径为3cm,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.【解答】解:根据题意得圆锥的母线长为6cm,底面圆的半径为3cm,所以这个圆锥的侧面积=×6×2π×3=18π(cm2).故选:C.【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.8.(3分)如图,菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上,对角线AC、BD交于原点O,DF ⊥AB交AC于点G,反比例函数y=(x>0)经过线段DC的中点E,若BD=4,则AG的长为()A.B.+2C.2+1D.+1【分析】过E作y轴和x的垂线EM,EN,证明四边形MENO是矩形,设E(b,a),根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab=,进而可计算出CO长,根据三角函数可得∠DCO=30°,再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°,∠1=30°,AO=CO=2,然后利用勾股定理计算出DG长,进而可得AG长.【解答】解:过E作y轴和x的垂线EM,EN,设E(b,a),∵反比例函数y=(x>0)经过点E,∴ab=,∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,DO=BD=2,∵EN⊥x,EM⊥y,∴四边形MENO是矩形,∴ME∥x,EN∥y,∵E为CD的中点,∴DO•CO=4,∴CO=2,∴tan∠DCO==.∴∠DCO=30°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°,∠1=30°,AO=CO=2,∵DF⊥AB,∴∠2=30°,∴DG=AG,设DG=r,则AG=r,GO=2﹣r,∵AD=AB,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,∴∠3=30°,在Rt△DOG中,DG2=GO2+DO2,∴r2=(2﹣r)2+22,解得:r=,∴AG=.故选:A.【点评】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用,关键是掌握菱形的性质:菱形对角线互相垂直平分,且平分每一组对角,反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡相应位置上)9.(3分)要使有意义,则实数x的取值范围是x≥﹣1.【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数,由此即可求解.【解答】解:依题意得x+1≥0,∴x≥﹣1.故答案为:x≥﹣1.【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,根据被开方数是非负数即可解决问题.10.(3分)若x=﹣1是关于x的方程2x+3m﹣7=0的解,则m的值为3.【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解.将方程的解代入方程可得关于m的一元一次方程,从而可求出m的值.【解答】解:根据题意得:2×(﹣1)+3m﹣7=0解得:m=3,故答案为:3.【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义.已知条件中涉及到方程的解,把方程的解代入原方程,转化为关于m字母系数的方程进行求解,注意细心.11.(3分)青盐铁路(青岛一盐城),是我国“八纵八横”高速铁路网中第一纵“沿海通道”的一部分,全长428.752千米.数据428.752千米用科学记数法表示为 4.28752×105米.【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.【解答】解:428.752千米=428752米=4.28752×105米.故答案为:4.28752×105.【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.12.(3分)在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球,其中有a个白球和3个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右,则a的值约为12.【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系,列出方程求解即可.【解答】解:由题意可得,×100%=20%,解得a=12.经检验:a=12是原分式方程的解,所以a的值约为12,故答案为:12.【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.13.(3分)边长为a、b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为70.【分析】先把所给式子提取公因式ab,再整理为与题意相关的式子,代入求值即可.【解答】解:根据题意得:a+b=7,ab=10,则a2b+ab2=ab(a+b)=70.故答案为70.【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力.14.(3分)如图,CE、BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点,则DG的长为4.【分析】连接EG、FG,根据直角三角形的性质得到EG=FG=BC=5,根据等腰三角形的性质求出ED,根据勾股定理计算,得到答案.【解答】解:连接EG、FG,∵CE,BF分别是△ABC的高线,∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,∵G是BC的中点,∴EG=FG=BC=5,∵D是EF的中点,∴ED=EF=3,GD⊥EF,由勾股定理得,DG==4,故答案为:4.【点评】本题考查的是直角三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1.将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD,再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE,连接DE,则图中阴影部分的面积是﹣.【分析】作EF⊥CD于F,根据勾股定理骑车AC,根据旋转变换的性质求出EF,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算,得到答案.【解答】解:作EF⊥CD于F,由旋转变换的性质可知,EF=BC=1,CD=CB+BD=4,由勾股定理得,CA===,则图中阴影部分的面积=△ABC的面积+扇形ABD的面积+△ECD的面积﹣扇形ACE的面积=×1×3++﹣=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题考查的是扇形面积计算、旋转变换的性质,掌握扇形面积公式:S=是解题的关键.16.(3分)如图,已知△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2.D为BC边一点,且BD:DC=1:2.以D为一个点作等边△DEF,且DE=DC连接AE,将等边△DEF绕点D旋转一周,在整个旋转过程中,当AE取得最大值时AF的长为2.【分析】点E,F在以D为圆心,DC为半径的圆上,当A,D,E在同一直线上时AE 取最大值,过点A作AH⊥BC交BC于H,通过解直角三角形求出DH,BH,CH的长度,∠ADH的度数,证明四边形DEFC是菱形,△ACF为直角三角形,通过勾股定理可求出AF的长度.【解答】解:如图,点E,F在以D为圆心,DC为半径的圆上,当A,D,E在同一直线上时AE取最大值,过点A作AH⊥BC交BC于H,∴∠BAC=120°,AB=AC=2,∴∠B=∠ACB=30°,BH=CH,∴在Rt△ABH中,AH=AB=,BH=AH=3,∴BC=2BH=6,∵BD:DC=1:2,∴BD=2,CD=4,∴DH=BH﹣BD=1,在Rt△ADH中,AH=,DH=1,∴tan∠DAH==,∴∠DAH=30°,∠ADH=60°,∵△DEF是等边三角形,∴∠E=60°,DE=EF=DC,∵∠ADC=∠E=60°,∴DC∥EF,∵DC=EF,∴四边形DEFC为平行四边形,又∵DE=DC,∴平行四边形DEFC为菱形,∴FC=DC=4,∠DCF=∠E=60°,∴∠ACF=ACB+∠DCF=90°,在Rt△ACF中,AF===2,故答案为:2.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,解直角三角形,勾股定理,菱形的判定与性质等,解题关键是能够确定AE取最大值时的位置.三、解答题(本大题共有11小题,共102分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来:【分析】先去分母,然后去括号,再移项、合并同类项,系数化为1即可,再用数轴表示解集.【解答】解:去分母得3(2+x)≤2(2x﹣1)+6,去括号得6+3x≤4x﹣2+6,移项得3x﹣4x≤﹣2+6﹣6,合并得﹣x≤﹣2,系数化为1得,x≥2,用数轴表示为:【点评】本题考查了解一元一次不等式:根据不等式的性质解一元一次不等式,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.也考查了在数轴上表示不等式的解集.18.(6分)先化简,再求值:(x﹣3)2+2(x﹣2)(x+7)﹣(x+2)(x﹣2),其中x2+2x﹣3=0.【分析】原式利用完全平方公式,平方差公式,以及多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,求出方程的解得到x的值,代入计算即可求出值.【解答】解:原式=x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4=4x﹣15,由x2+2x﹣3=0,即(x﹣1)(x+3)=0,得到x=1或x=﹣3,当x=1时,原式=4﹣15=﹣11;当x=﹣3时,原式=﹣12﹣15=﹣27.【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.19.(8分)已知关于x方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1,x2(1)求m的取值范围;(2)若x1=2x2,求m的值.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=6,x1x2=m+4,结合x1=2x2可求出x1,x2的值,再将其代入x1x2=m+4中可求出m的值.【解答】解:(1)∵关于x方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根,∴△=(﹣6)2﹣4×1×(m+4)≥0,解得:m≤5.(2)∵关于x方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1,x2,∴x1+x2=6,x1x2=m+4.又∵x1=2x2,∴x2=2,x1=4,∴4×2=m+4,∴m=4.【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有实数根”;(2)根据根与系数的关系结合x1=2x2,求出x1,x2的值.20.(8分)某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查,要求每名学生必选且只能选一项,现随机抽查了m名学生,并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图,请结合以上信息解答下列问题:(1)求m的值;(2)请补全上面的条形统计图;(3)在图2中,“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为多少度?(4)已知该校共有1200名学生,请你估计该校约有多少名学生最喜爱足球活动?【分析】(1)根据排球人数及其所占百分比可得总人数;(2)求得“足球“的人数=150×20%=30人,补全上面的条形统计图即可;(3)360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论;(4)用总人数乘以样本中足球所占的百分比.【解答】解:(1)m=21÷14%=150;(2)足球的人数为150×20%=30,补全图形如下:(3)在图2中,“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°;(4)估计该校最喜爱足球活动的学生约有1200×20%=240人.【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体.一般来说,用样本去估计总体时,样本越具有代表性、容量越大,这时对总体的估计也就越精确.解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.21.(8分)“2019大洋湾盐城马拉松”的赛事共有三项:A,“全程马拉松”、B,“半程马拉松”、C.“迷你健身跑”,小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组.(1)小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率为;(2)求小明和小刚被分配到不同项目组的概率.【分析】(1)利用概率公式直接计算即可;(2)先画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数,然后根据概率公式计算.【解答】解:(1)∵共有A,B,C三项赛事,∴小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率是,故答案为:;(2)画树状图为:共有9种等可能的结果数,其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数为6,所以小明和小刚被分配到不同项目组的概率=.【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B 的概率.22.(10分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AB=2,求△OEC的面积.【分析】(1)证出∠BAD=∠BCD,得出四边形ABCD是平行四边形,得出OA=OC,OB=OD,证出AC=BD,即可解决问题;(2)作OF⊥BC于F.求出EC、OF即可解决问题;【解答】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADC+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠ADC,∴∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵OA=OB,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)解:作OF⊥BC于F,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴AO=BO=CO=DO,∴BF=FC,∴OF=CD=1,∵DE平分∠ADC,∠ADC=90°,∴∠EDC=45°,在Rt△EDC中,EC=CD=2,∴△OEC的面积=•EC•OF=1.【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造三角形中位线解决问题,属于中考常考题型.23.(10分)某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场.现由甲、乙两个工厂来加工生产,已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍,并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天.(1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品?(2)若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元,乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元,至少应安排甲工厂加工生产多少天?【分析】(1)设乙工厂每天可加工生产x件新产品,则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;(2)设甲工厂加工生产y天,根据题意列出不等式,求出不等式的解集即可得到结果.【解答】解:(1)设乙工厂每天可加工生产x件新产品,则甲工厂每天可加工生产1.5x 件新产品,根据题意得:+4=,去分母得:240+6x=360,解得:x=20,经检验x=20是分式方程的解,且符合题意,∴1.5x=30,则甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品;(2)设甲工厂加工生产y天,根据题意得:2.8y+2.4×≤60,解得:y≥9,则少应安排甲工厂加工生产9天.【点评】此题考查了分式方程的应用,以及一元一次不等式的应用,弄清题意是解本题的关键.24.(10分)如图,以AB为直径作半圆O,点C是半圆上一点,∠ABC的平分线交⊙O于E,D为BE延长线上一点,且DE=FE.(1)求证:AD为⊙O切线;(2)若AB=20,tan∠EBA=,求BC的长.【分析】(1)先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4=∠2,再利用AB为直径得到∠2+∠BAE=90°,则∠4+∠BAE=90°,然后根据切线的判定方法得到AD为⊙O切线;(2)解:根据圆周角定理得到∠ACB=90°,设AE=3k,BE=4k,则AB=5k=20,求得AE=12,BE=16,连接OE交AC于点G,如图,解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2,∵AB为直径,∴AE⊥BD,∵DE=FE,∴∠3=∠4,∵∠1=∠3,∴∠4=∠2,∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∵∠2+∠BAE=90°∴∠4+∠BAE=90°,即∠BAD=90°,∴AD⊥AB,∴AD为⊙O切线;(2)解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,∵tan∠EBA=,∴设AE=3k,BE=4k,则AB=5k=20,∴AE=12,BE=16,连接OE交AC于点G,如图,∵∠1=∠2,∴=,∴OE⊥AC,∵∠3=∠2,∴tan∠EBA=tan∠3=,∴设AG=4x,EG=3x,∴AE=5x=12,∴x=,∴AG=,∵OG∥BC,∴AC=2AG=,∴BC==.【点评】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形.25.(10分)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:(1)当轿车刚到乙地时,此时货车距离乙地30千米;(2)当轿车与货车相遇时,求此时x的值;(3)在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,求x的值.【分析】(1)根据图象可知货车5小时行驶300千米,由此求出货车的速度为60千米/时,再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地,由此求出轿车到达乙地时,货车行驶的路程为270千米,而甲、乙两地相距300千米,则此时货车距乙地的路程为:300﹣270=30千米;(2)先求出线段CD对应的函数关系式,再根据两直线的交点即可解答;(3)分两种情形列出方程即可解决问题.【解答】解:(1)根据图象信息:货车的速度V货=,∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时,∴轿车到达乙地时,货车行驶的路程为:4.5×60=270(千米),此时,货车距乙地的路程为:300﹣270=30(千米).所以轿车到达乙地后,货车距乙地30千米.故答案为:30;(2)设CD段函数解析式为y=kx+b(k≠0)(2.5≤x≤4.5).∵C(2.5,80),D(4.5,300)在其图象上,,解得,∴CD段函数解析式:y=110x﹣195(2.5≤x≤4.5);易得OA:y=60x,,解得,∴当x=3.9时,轿车与货车相遇;(3)当x=2.5时,y货=150,两车相距=150﹣80=70>20,由题意60x﹣(110x﹣195)=20或110x﹣195﹣60x=20,解得x=3.5或4.3小时.答:在两车行驶过程中,当轿车与货车相距20千米时,x的值为3.5或4.3小时.【点评】本题考查了一次函数的应用,对一次函数图象的意义的理解,待定系数法求一次函数的解析式的运用,行程问题中路程=速度×时间的运用,本题有一定难度,其中求出货车与轿车的速度是解题的关键.26.(12分)【操作发现】如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB =∠COD=45°,连接AC,BD交于点M.①AC与BD之间的数量关系为AC=BD;②∠AMB的度数为45°;【类比探究】如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请计算的值及∠AMB的度数;【实际应用】如图(3),是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE 组成的图形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠A=∠D=30°且D、E、B在同一直线上,CE=1,BC=,求点A、D之间的距离.【分析】【操作发现】如图(1),证明△COA≌△DOB(SAS),即可解决问题.【类比探究】如图(2),证明△COA∽△ODB,可得==,∠MAK=∠OBK,已解决可解决问题.【实际应用】分两种情形解直角三角形求出BE,再利用相似三角形的性质解决问题即可.【解答】解:【操作发现】如图(1)中,设OA交BD于K.。
2020年中考数学压轴题精选精练5一、选择题1.若0<m<2,则关于x的一元二次方程﹣(x+m)(x+3m)=3mx+37根的情况是()A.无实数根B.有两个正根C.有两个根,且都大于﹣3mD.有两个根,其中一根大于﹣m2.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP =QO,则的值为()A.B.C.D.3.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,则四边形EFGH的周长为()A.12 B.14 C.24 D.214.如图,AB是半圆O的直径,且AB=12,点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠,若圆弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是()A.4πB.5πC.6πD.8π5.如图,△ABC和△DCE都是边长为8的等边三角形,点B,C,E在同一条直线上接BD,AE,则四边形FGCH的面积为()A.B.C.D.6.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=60°,BC=4,当点P在上由B点运动到C点时,弦AP的中点E运动的路径长为()A.πB.πC.πD.2二、填空题1.如图,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,若四边形ABCD 的面积为4,则AC=.第1题第2题2.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,C为半圆AB的中点,P为上一动点,延长BP至点Q,使BP•BQ=AB2.若点P由A运动到C,则点Q运动的路径长为.3.如图,边长为5的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN 长度的最小值是.第3题第4题4.如图,AB为⊙O的直径,点C、D分别是半圆AB的三等分点,AB=4,点P自A点出发,沿弧ABC向C点运动,T为△P AC的内心.当点P运动到使BT最短时就停止运动,点T运动的路径长为5.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠BAD=60°,对角线AC平分∠BAD,且AB=AC=4,点E、F分别是AC、BC的中点,连接DE、EF、DF,则DF的长为.第3题第4题6.如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=8,∠CAB=60°,P是弧上的一个点,连接AP,过点C作CD⊥AP于点D,连接BD,在点P移动过程中,BD长的最小值为.三、解答题1.如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变),当DM与AB垂直时(如图①所示),易证BM+CN=BD.(1)如图②,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图③,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN =BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明.2.如图,抛物线23(0)y ax ax c a =-+≠与x 轴交于A ,B 两点,交y 轴于点C ,其中A (-1,0),C (0,3). (1) 求抛物线的解析式(2) 点P 是线段BC 上方抛物线上一动点(不与B ,C 重合),过点P 作PD ⊥x 轴,垂足为D ,交BC 于点E ,作PF ⊥直线BC 于点F ,设点P 的横坐标为x ,△PEF 的周长记为l ,求l 关于x 的函数关系式,并求出l 的最大值及此时点P 的坐标(3) 点H 是直线AC 上一点,该抛物线的对称轴上一动点G ,连接OG ,GH ,则两线段OG ,GH 的长度之和的最小值等于______,此时点G 的坐标为_____(直接写出答案。
2020年中考考前(江苏南京卷)全真模拟卷(5)数学(考试时间:120分钟试卷满分:120分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题有6个小题,共2分,满分12分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.据统计截止2019年南京常住人口为843.62万人,共有55个民族,其中汉族占总人口的98.76%,少数民族约9.92万人,843.62万用科学记数法表示为()A.8.4362×102B.8.4362×104C.8.4362×105D.8.4362×106【解析】解:843.62万=843.62×104=8.4362×106.故选D.2.下列运算正确的是()A.a2•a4=a8 B.(a2)4=a8 C.(a4b2)2=a6b4 D.a8÷a4=a2【解析】解:A.a2•a4=a6,故本选项不符合题意;B.(a2)4=a8,正确,故本选项符合题意;C.(a4b2)2=a8b4,故本选项不符合题意;D.a8÷a4=a4,故本选项不符合题意.故选:B.3.下列说法正确的是()A.-3是-9的平方根B.1的立方根是±1C.a是a2的算术平方根D.4的负的平方根是-2【解析】解:A.-9没有平方根,此选项错误;B.1的立方根是1,此选项错误;C.|a|是a2的算术平方根,此选项错误;D.4的负的平方根是-2,此选项正确;故选:D.4.如图,已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C,则下列不等式中不正确的是()A.c<b<a B.ac>ab C.cb>ab D.c+b<a+b【解析】解:由题意,可知a>0>b>c.A、∵a>0>b>c,∴c<b<a,故此选项错误;B、∵b>c,a>0,∴ac<ab,故此选项正确;C、∵c<a,b<0,∴cb>ab,故此选项错误;D、∵c<a,∴c+b<a+b,故此选项错误;故选:B.5.若正数x的平方等于10,则下列对x的估算正确的是()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<5【解析】解:∵x2=10且x>0,∴x=10,34,∴3<x<4.故选:C.6.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是()A.2B.6C.2D.4【解析】解:如图,B′的运动路径是以E为圆心,以AE的长为半径的圆.所以,当B′点落在DE上时,B′D取得最小值.根据折叠的性质,△EBF≌△EB′F,∴EB′⊥B′F,∴EB′=EB,∵E是AB边的中点,AB=4,∴AE=EB′=2,∵AD=6,∴DE DB′=2.故选:A.二、填空题(本大题有10个小题,每小题2分,共20分)7.已知|x|=2020,则x=______.【解析】解:∵|±2020|=2020,∴x=±2020.故答案为:±2020.8.计算__________.6=5+- 5.故答案为:5.9.因式分解:-2ab2+12ab-18a=__________.【解析】解:原式=-2a(b2-6b+9)=-2(b-3)2.故答案为:-2(b-3)2.10.已知方程x2-x-7=0的两个实数根分别为m,n,则m2+n的值为__________.【解析】解:由题意可知m+n=1,m2-m-7=0,∴m2=m+7,∴原式=m+7+n=8,故答案为:8.11.如图,若∠1=∠D=39°,∠C=52°,则∠B=__________°.【解析】解:∵∠1=∠D,∴AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,∴∠B=180°-∠C=180°-52°=128°,故答案为:128.12.如图,一座城墙高11.7米,墙外有一个宽为9米的护城河,那么一个长为15米的云梯_______(填“能”或“否”)到达墙的顶端.【解析】解:设这把梯子能够到达的墙的最大高度是h米,根据勾股定理h=12(米)∵h=12>11.7∴一个长为15米的云梯能够到达墙的顶端.故答案为:能.13.某电视台招聘一名记者,甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90,三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩,那么甲的成绩为________.【解析】解:甲的成绩为(70×5+60×2+90×3)÷(5+2+3)=74,故答案为:74.14.有一块三角板ABC,∠C为直角,∠ABC=30°,将它放置在⊙O中,如图,点A、B在圆上,»AB的度数等于________.边BC经过圆心O,劣弧【解析】解:如图,延长BC交⊙O于点D,连接AD,OA.∵BD是直径,∴∠DAB=90°,∵∠B=30°,∴∠D=90°-30°=60°,∵OA=OD,∴∠D=∠OAD=60°,∴∠AOB=∠D+∠OAD=120°,»AB的度数等于120°.∴劣弧故答案为:120°.15.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在BC,CD上.若BE=2,∠EAF=45°,则DF的长是______.【解析】解:如图,过点E作EG⊥AE交AF于点G,过点G作MN∥AB交BC于点M,交AD 于点N.∵∠EAF=45°,∴△AEG是等腰直角三角形,∴△BEA≌△MGE,∴AB=EM,BE=MG,∴EM=4,MG=2,∴AF=6,NG=2,∵△ANG∽△ADF,∴AN NGAD DF=,即628DF=,解得DF=8 3 .故答案为:8 3 .16.如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是____________.【解析】解:如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2在Rt△ABC1中,AB=A=60°,∴∠ABC1=30°,∴AC1=AB=3,由勾股定理得:BC1=3,在Rt△ABC2中,AB=A=60°,∴∠AC2B=30°,∴AC2=BC2=6,当△ABC 是锐角三角形时,点C 在C 1C 2上移动,此时3<BC <6.故答案为:3<BC <6.三、解答题(本大题有11个小题,共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(7分)计算:3(2x -1)-(-3x -4)(3x -4).【解析】解:原式=6x -3-(16-9x 2)=6x -3-16+9x 2=9x 2+6x -19.18.(7分)已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数,求k 的取值范围. 【解析】解:∵211x k x x -=--,∴1x k x +-=2,∴x =2+k , ∵该分式方程有解,∴x ≠1,∴2+k ≠1,∴k ≠﹣1,∵x >0,∴2+k >0,∴k >﹣2,∴k >﹣2且k ≠﹣1,19.(7分))如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,E 是OB 上一点,DH ⊥CE ,垂足为H ,DH 与OC 相交于点F ,求证:OE =OF .证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD ,AC =BD ,∴∠COB =∠DOC =90°,CO =DO ,∵DH ⊥CE ,∴∠DHE =90°,∠EDH +∠DEH =90°,∵∠ECO +∠DEH =90°,∴∠ECO =∠EDH ,∴△ECO ≌△FDO (ASA ),∴OE =OF .20.(8分)为了使“祖国在我心中”为主题的读书活动更具有针对性,海庆中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中,选取自己最想读的一种(必选且只选一种),学校将收集到的调查结果适当整理后,绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中所给的信息解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)如果海庆中学共有1500名学生,请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名.【解析】解:(1)根据题意得:18÷30%=60(名),答:在这次调查中,一共抽取了60名学生;(2)60﹣(18+9+12+6)=15(名),则本次调查中,选取国防类书籍的学生有15名,补全条形统计图,如图所示:(3)根据题意得:1500×960=225(名),答:该校最想读科技类书籍的学生有225名.21.(8分)为丰富校园文化生活,提高学生的综合素质,促进中学生全面发展,学校开展了多种社团活动.小明喜欢的社团有:合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团(分别用字母A,B,C,D依次表示这四个社团),并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上,然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率是__________.(2)小明先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的字母后不放回,再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的字母.请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率.【解析】解:(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B 的概率=14; (2)列表如下:由表可知共有12种等可能结果,小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的结果数为6种, 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D 的概率为612=12. 22.(7分))已知:如图,点I 是△ABC 的内心,延长AI 交△ABC 的外接圆于点D ,求证:DB =DC =ID .证明:∵点I 是△ABC 的内心,延长AI 交△ABC 的外接圆于点D ,∴∠BAD =∠CAD =∠DBC =∠DCB =12∠BAC ,∠ABI =∠CBI =12∠ABC , ∴BD =CD ,∵∠BID =∠BAD +∠ABI ,∠DBI =∠DBC +∠IBC ,∴∠DBI =∠BID ,∴BD =DI ,∴DB =DC =ID .23.(8分)如图,一次函数y 1=k 1x +b (k 1、b 为常数,k 1≠0)的图象与反比例函数y 2=2k x(k 2≠0,x >0)的图象交于点A (m ,8)与点B (4,2).①求一次函数与反比例函数的解析式.②根据图象说明,当x 为何值时,k 1x +b ﹣2k x<0.【解析】解:①把点B (4,2)代入反比例函数y 2=2k x(k 2≠0,x >0)得,k 2=4×2=8, ∴反比例函数的解析式为y 2=8x, 将点A (m ,8)代入y 2得,8=8m ,解得m =1, ∴A (1,8),将A 、B 的坐标代入y 1=k 1x +b (k 1、b 为常数,k 1≠0)得11842k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得1210k b =-⎧⎨=⎩, ∴一次函数的解析式为y 1=﹣2x +10;②由图象可知:当0<x <1或x >4时,y 1<y 2,即k 1x +b ﹣2k x<0. 24.(8分)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD ,AD =3m ,坝高AE =DF =6m ,坡角α=45°,β=30°,求BC 的长.【解析】解:过A 点作AE ⊥BC 于点E ,过D 作DF ⊥BC 于点F ,则四边形AEFD 是矩形,有AE =DF =6,AD =EF =3,∵坡角α=45°,β=30°,∴BE =AE =6,CF=,∴BC =BE +EF +CF =6+3+=9+,∴BC =(9+)m ,答:BC的长(9+m.25.(8分)2017年,某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元,通过政府产业扶持,发展了养殖业后,到2019年,家庭年人均纯收入达到了3600元.(1)求该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率;(2)若年平均增长率保持不变,2020年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元?【解析】解:(1)设该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x,依题意,得:2500(1+x)2=3600,解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去).答:该贫困户2017年到2019年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%.(2)3600×(1+20%)=4320(元),4320>4200.答:2020年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元.26.(9分)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2).(1)AE=________cm,∠EAD=________°;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)当PQ=cm时,直接写出x的值.【解析】解:(1)∵AB=3cm,BE=AB=3cm,∴AE cm,∠BAE=∠BEA=45°∵∠BAD=90°∴∠DAE=45°故答案为:,45(2)当0<x ≤2时,如图,过点P 作PF ⊥AD ,∵AQ =2x ,APx ,∠DAE =45°,PF ⊥AD ,∴PA =PQx ,∴y =S △PQA =12×PQ 2=x 2; 当2<x ≤3时,如图,过点P 作PF ⊥AD ,∵APx ,PF =AF =x ,QD =2x ﹣4,∴DF =4﹣x ,∴y =12x 2+12(2x ﹣4+x )(4﹣x )=﹣x 2+8x ﹣8; 当3<x ≤72时,如图,点P 与点E 重合.∵CQ =(3+4)﹣2x =7﹣2x ,CE =4﹣3=1cm ,∴y =12(1+4)×3﹣12(7﹣2x )×1=x +4. 综上所述,y =22884x x x x ⎧⎪-+-⎨⎪+⎩()()0223732x x x <≤<≤⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭.(3)当0<x ≤2时∵QF =AF =x ,PF ⊥AD ,∴PQ =AP ,∵PQ =54cm ,x =54,∴x . 当2<x ≤3时,过点P 作PM ⊥CD ,∴四边形MPFD 是矩形,∴PM =DF =4﹣x ,MD =PF =x ,∴MQ =x ﹣(2x ﹣4)=4﹣x ,∵MP 2+MQ 2=PQ 2,∴(4﹣x )2+(4﹣x )2=2516,∵x =4±8>3(舍), 当3<x ≤72时,如图,∵PQ 2=CP 2+CQ 2,∴2516=1+(7﹣2x )2,∴x =258.综上所述:x =258或8. 27.(11分)问题提出:(1)如图1,已知△ABC ,试确定一点D ,使得以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;问题探究:(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使∠BPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离;问题解决:(3)如图3,有一座草根塔A,按规定,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE.根据实际情况,要求顶点B是定点,点B到塔A的距离为50米,∠CBE=120°,那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以,求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)【解析】解:(1)如图记为点D所在的位置.(2)如图,∵AB=4,BC=10,∴取BC的中点O,则OB>AB.∴以点O为圆心,OB=5长为半径作⊙O,⊙O一定与AD相交于P1,P2两点,连接BP1,P1C,P1O,∵∠BPC=90°,点P不能在矩形外;∴△BPC的顶点P在点P1或P2位置时,△BPC的面积最大,作P1E⊥BC,垂足为E,则OE=3,∴AP1=BE=OB﹣OE=5﹣3=2,由对称性得AP2=8.(3)可以,如图所示,连接BD,∵点A为□BCDE的对称中心,BA=50,∠CBE=120°,∴BD=100,∠BED=60°作△BDE的外接圆⊙O,则点E在优弧»BD上,取¼BED的中点E′,连接E′B,E′D,则E′B=E′D,且∠BE′D=60°,∴△BE′D为等边三角形.连接E′O并延长,经过点A至C′,使E′A=AC′,连接BC′,DC′,∵E′A⊥BD,∴四边形BC′DE′为菱形,且∠C′BE′=120°,作EF⊥BD,垂足为F,连接EO,则EF≤EO+OA﹣E′O+OA=E′A,∴S△BDE=12BD·EF≤12BD·E′A=S△E′BD,∴S□BCDE≤S□BC′DE′=2S△E′BD=1002sin60°=(m2)所以符合要求的□BCDE的最大面积为2.。